专题01 双中点（线段）模型与双角平分线（角）模型（教师卷）.docx

1、专题01 双中点（线段）模型与双角平分线（角）模型线段与角度是初中几何的入门知识，虽然难度不高，但重要性是不言而喻的。这类模型通常由问题出发，先由线段（角度）和差确定解题方向，然后辅以线段中点（角平分线）来解决。但是，对于有公共部分的线段双中点模型和双角平分线模型，可以写出的线段（角度）和差种类较多，这就增加了思考的难度。模型1.线段的双中点模型 图1 图21）双中点模型（两线段无公共部分）条件：如图1，已知A、B、C三点共线，D、E分别为AB、BC中点，结论：.2）双中点模型（两线段有公共部分）条件：如图2，已知A、B、C三点共线，D、E分别为AB、BC中点，结论：.例1（2023广东七年级

2、期中）如图，是的中点，是的中点，若，则下列说法中错误的是（）ABCD【答案】B【分析】根据是的中点，是的中点，分别求得，再根据线段的和与差，计算即可判断【详解】解：是的中点，是的中点，且，故选项A不符合题意；，故选项B符合题意；，故选项C不符合题意；，故选项D不符合题意；故选：B【点睛】本题主要考查了两点间的距离以及中点的定义，利用中点性质转化线段之间的倍分关系，在不同情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解决问题例2（2022秋江苏泰州七年级校考期末）如图，线段，长度为2的线段在线段上运动，分别取线段、的中点、，则 【答案】7【分析】先求解，再证明，再利用线段的和差可得答案【详解】解：，线段

3、、的中点为、， 故答案为：【点睛】本题考查的是线段中点的含义，线段的和差运算，理解线段的和差运算是解本题的关键例3（2022秋湖北咸宁七年级统考期末）如图，点是的中点，点是的中点，现给出下列等式：，其中正确的等式序号是 【答案】【分析】根据线段中点的性质，可得，再根据线段的和差，可得答案【详解】解：点是的中点，故正确；点是的中点，又点是的中点，故正确；点是的中点，故正确；，故错误故正确的有故答案为：【点睛】此题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段中点的概念和性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键例4（2022秋江苏淮安七年级统考期末）线段，是的中点，是的中点，是的中点，是的中点，依此类推，线段

4、的长为 【答案】【分析】先分别求出、的值，根据求出的结果得出规律，即可得出答案【详解】解：因为线段，是的中点，所以；因为是的中点，所以；因为是的中点，所以；，所以，所以，答案为：【点睛】本题考查了线段中点的有关计算、求两点之间的距离、数字类规律探究，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键例5（2022秋山东青岛七年级校考期末）直线l上有三点A、B、C，其中，M、N分别是、的中点则的长是 【答案】或【分析】本题没有给出图形，在画图时，应考虑到A、B、C三点之间的位置关系的多种可能，再根据正确画出的图形解题【详解】解：第一种情况：B在线段上，如图，则；第二种情况：B在身线上，在线段外，如图，则答：

5、线段MN的长是或故答案为：1或7【点睛】本题考查线段的和差，由于B的位置有两种情况，所以本题的值就有两种情况，做这类题时学生一定要思维细密例6（2023河南周口七年级统考期末）如图，点C在线段上，点M是的中点，点N是的中点(1)若，求的长；(2)若，求的长；(3)若，求的长【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据线段中点的定义可得，即可求出结果；（2）根据线段中点的定义可得，即可求出结果；（2）根据线段中点的定义可得，即可求出结果【详解】（1）解：点M是的中点，点N是的中点，又，（2）解：点M是的中点，点N是的中点，（3）解：点M是的中点，点N是的中点，又，【点睛】本题考查了线段中点的定义

6、和求两点间的距离，熟练掌握计算两点间距离的方法是解题的关键例7（2022秋广东广州七年级统考期末）如图，点在线段上，点、分别是、的中点(1)求线段的长；(2)若点在线段的延长线上，且满足，其它条件不变，你能猜想的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由【答案】(1)(2)，详见解析【分析】（1）利用线段的和差，线段的中点的性质计算；（2）先画出图形，再利用线段的和差，线段的中点的性质计算【详解】（1）解：点在线段上，点、分别是、的中点，；（2）解：如图所示，点在线段的延长线上，且满足，又点、分别是、的中点，的长度【点睛】本题考查了两点间的距离，解题的关键是掌握线段的和差，线段中点的性质例8

7、（2022春湖南株洲七年级统考期末）材料阅读：当点在线段上，且时，我们称为点在线段上的点值，记作如点是的中点时，则，记作；反过来，当时，则有因此，我们可以这样理解：与具有相同的含义初步感知：(1)如图1，点在线段上，若，则_；若，则_；(2)如图2，已知线段，点、分别从点和点同时出发，相向而行，运动速度均为，当点到达点时，点、同时停止运动，设运动时间为，请用含有的式子表示和，并判断它们的数量关系拓展运用：(3)已知线段，点、分别从点和点同时出发，相向而行，若点、的运动速度分别为和，点到达点后立即以原速返回，点到达点时，点、同时停止运动，设运动时间为则当为何值时，等式成立【答案】(1)，(2)，

8、(3)存在和使等式成立【分析】（1）根据定义直接得出结果即可求解；（2）根据题意，得出，相加即可求解；（3）分在点到达点之前，在点到达点返回之后，两种情况分类讨论即可求解【详解】（1）根据定义可得：，则；，,则；故答案为：，；（2） （3）在点到达点之前 在点到达点返回之后 存在和使等式成立【点睛】本题考查了几何新定义，线段的和差，理解新定义，数形结合是解题的关键例9（2022贵州铜仁七年级期末）如图1，已知点C在线段AB上，线段AC10厘米，BC6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点（1）求线段MN的长度（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设ACa，BCb，其他条件不变，求MN的长度（3）

9、动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动设点P的运动时间为t（s）当C、P、Q三点中，有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点时，直接写出时间t【答案】（1）MN=8厘米；（2）MN=a+b；（3）所求时间t为4或或【分析】（1）（2）根据线段中点的定义、线段的和差，可得答案；（3）当C、P、Q三点中，有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点时，可分四种情况进行讨论：当0t5时，C是线段PQ的中点；当5t时，P为线段CQ的中点；当t6时，Q为线段PC的中点；当6t8时

10、，C为线段PQ的中点根据线段中点的定义，可得方程，进而求解【详解】解：（1）线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，MC=AC=5厘米，CN=BC=3厘米，MN=MC+CN=8厘米；（2）AC=a，BC=b，点M，N分别是AC，BC的中点，MC=AC=a，CN=BC=b，MN=MC+CN=a+b；（3）当点P在线段AC上，即0t5时，C是线段PQ的中点，得10-2t=6-t，解得t=4；当点P在线段BC上，即5t时，P为线段CQ的中点，2t-10=16-3t，解得t=；当点Q在线段BC上，即t6时，Q为线段PC的中点，6-t=3t-16，解得t=；当点Q在线段AC上，

11、即6t8时，C为线段PQ的中点，2t-10=t-6，解得t=4（舍），综上所述：所求时间t为4或或【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，利用线段中点的定义得出关于t的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏模型2.双角平分线模型 图1 图2 图31）双角平分线模型（两个角无公共部分）条件：如图1，已知：OD、OE分别平分AOB、BOC；结论：.2）双角平分线模型（两个角有公共部分）条件：如图1，已知：OD、OE分别平分AOB、BOC；结论：.3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角）条件：如图3，已知AOB+BOC+AOC=360，OP1平分AOC、OP2平分BOC；结论：.

12、例3（2022秋陕西西安七年级校考期末）如图，是内部的一条射线，、分别是、的角平分线若，则的度数为（）ABCD【答案】A【分析】根据、分别是、的角平分线，可得，根据，可得，再结合，可得，问题随之得解【详解】、分别是、的角平分线，即，故选：A【点睛】本题主要考查了有关角平分线的计算，明确题意，厘清图中各角度之间的数量关系是解答本题的关键例4（2023秋福建福州七年级统考期末）如图，已知射线在内部，平分平分平分，以下四个结论： ；其中正确的结论有 （填序号）【答案】【分析】根据平分，平分，平分，得出，求出，即可得出结论；根据角度之间的关系得出，得出，即可得出结论；无法证明；根据，得出，即可得出结论

13、【详解】解：平分，平分，平分，即，故正确；，故正确；与不一定相等，故错误；根据解析可知，故正确；综上分析可知，正确的有故答案为：【点睛】本题考查角平分线的有关计算，根据角度之间的关系得出是解题的关键例5（2023河南七年级校联考期末）如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，则的度数是 【答案】【分析】由角平分线性质推理得，据此规律可解答【详解】解：，、分别是和的平分线，、分别是和的平分线，、分别是和的平分线，由此规律得：故答案为：【点睛】本题考查角平分线的性质、图形规律等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键例6（2022秋山西太原七年级统考期末）图，A

14、OC=BOD=90，OB在AOC的内部，OC在BOD的内部，OE是AOB的一条三等分线请从A，B两题中任选一题作答A当BOC30时，EOD的度数为 B当BOC时，EOD的度数为 （用含的代数式表示）【答案】 110或130 或【分析】A、根据角的和差得到AOB=90-30=60，根据OE是AOB的一条三等分线，分类讨论，当AOE=AOB=20，当BOE=AOB=20，根据角的和差即可得到结论；B、根据角的和差得到AOB，根据OE是AOB的一条三等分线，分类讨论，当AOE=AOB，当BOE=AOB，根据角的和差即可得到结论【详解】解：A、如图，AOC=90，BOC=30，AOB=90-30=60

15、，OE是AOB的一条三等分线，当AOE=AOB=20，BOE=40，BOD=90，EOD=BOD+BOE=130，当BOE=AOB=20，DOE=90+20=110，综上所述，EOD的度数为130或110，故答案为：130或110；B、AOC=90，BOC=，AOB=90-，OE是AOB的一条三等分线，当AOE=AOB=30-，BOE=90-（30-）=60-，BOD=90，EOD=BOD+BOE=150-，当BOE=AOB=30-，DOE=90+30-=120-，综上所述，EOD的度数为150-或120-，故答案为：150-或120-；【点睛】本题考查了余角和补角的定义，角的倍分，熟练掌握余

16、角和补角的性质是解题的关键例7（2023秋江苏无锡七年级校考期末）解答题：(1)如图，若， ，、分别平分、，求的度数；(2)若，是平面内两个角， ，、分别平分、，求的度数（用含、的代数式表示）【答案】(1)(2)所以当射线在的内部时，；当射线在的外部时，【分析】（1）根据角平分线定义求出和度数，即可得出答案；（2）由于无法确定射线的位置，所以需要分类讨论：若射线在的内部时，根据角平分线定义得出，求出；若射线在的外部时，根据角平分线定义得出，求出，代入求出即可【详解】（1），平分，分别平分，（2）若射线在的内部，如图2 ，、分别平分、所以当射线在的内部时，若射线在外部时，如图3，、分别平分、所以

17、当射线在的外部时，【点睛】本题考查的是角平分线的定义和角的有关计算，利用角平分线的定义求解角的度数是解题的关键例8（2022秋河南商丘七年级统考期末）综合与探究：如图1，在的内部画射线，射线把分成两个角，分别为和，若这两个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“3等分线”(1)若，射线为的“3等分线”，则的度数为_(2)如图2，已知，过点O在外部作射线若三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为角的“3等分线”，求的度数（）【答案】(1)或(2)或或或【分析】（1）根据“3等分线”的定义分和两种情况求解即可；（2）分为的“3等分线”和为的“3等分线”两种情况求解即可【详解】（1）根据“3

18、等分线”的定义可得，或 或故答案为： 或（2）当OA在的内部时，如图， 根据“3等分线”的定义可得，或当OB在的内部时，如图，根据“3等分线”的定义可得，或此时，或综上，的度数为或或或【点睛】本题主要考查了角的和差倍分，熟练掌握“3等分线”的定义是解答本题的关键例9（2022四川成都市七年级期末）如图所示：点是直线上一点，是直角，平分（1）如图1，若=40，求的度数；（2）如图1，若=，直接写出的度数（用含的代数式表示）；（3）保持题目条件不变，将图1中的按顺时针方向旋转至图2所示的位置，探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由【答案】（1）20；（2）；（3），理由见解析【分析】（1

19、）首先求得BPC，BPD的度数，然后根据角平分线的定义求得BPE的度数，再根据即可求解；（2）解法与（1）相同，把（1）中的40改成即可；（3）把APC的度数作为已知量，求得BPC的度数，然后根据角的平分线的定义求得BPE的度数，再根据即可解决【详解】（1），又平分，（2），又平分，（3）结论：理由如下：设，则，又平分，【点睛】本题考查了角度的计算，正确理解角平分线的定义，理解角度之间的和差关系是关键课后专项训练1（2023秋福建泉州七年级统考期末）在直线上任取一点A，截取，再截取，则的中点与的中点之间的距离为（）ABC或D或【答案】C【分析】分两种情况B，在点A同侧时，B，在点A两侧时，分别

20、画出图形，求出结果即可【详解】解：B，在点A同侧时，如图所示： 是的中点，是的中点，B，在点A两侧时，如图， 是的中点，是的中点，综上：与之间距离为或，故C正确故选：C【点睛】本题主要考查了线段中点的计算，解题的关键是分类讨论，画出图形，数形结合2（2023秋海南七年级统考期末）已知线段，点是直线上一点，若是的中点，是的中点，则线段的长度是（）ABC或D或【答案】A【分析】分点在点右侧与点在点左侧两种情况画出图形求解【详解】解：当点在点右侧时，如图所示， ， 是中点，是的中点， ， ，；当点在点左侧时，如图所示 ， ， 是中点，是的中点， ， ， 综上所述：线段MN的长度为5 cm故选：B【点

21、睛】本题考查了线段和差，线段的中点等知识，分点在点右侧与点在点左侧两种情况考虑是解题的关键3（2023秋江西上饶七年级统考期末）如图，C、D是线段上两点，M、N分别是线段的中点，下列结论：若，则；若，则；其中正确的结论是（）ABCD【答案】A【分析】根据线段中点的定义与线段的和差结合图形逐一进行分析即可【详解】解：如图， M、N分别是线段的中点， ， ， ， ，即，故符合题意； ， ， ， ，故符合题意； ， ，故符合题意； ， ， ， ，故不符合题意， 故选：A【点睛】本题考查了线段的和差运算，能够利用中点的性质及线段的和差关系求解一些线段之间的关系是解本题的关键4（2023秋江苏徐州七年级

22、校考期末）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；连续这样操作2023次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和（）ABCD【答案】C【分析】根据，分别为的中点，求出的长度，再由的长度求出的长度，找到的规律即可求出的值【详解】解：，分别为的中点，分别为的中点，分别为的中点，由此可得：，故选C【点睛】本题考查线段中点的有关计算，有理数的简便运算，相对较难，根据题意找出规律是解题的关键5（2023秋广西七年级专题练习）如图，在数轴上，O是原点，点A表示的数是4，线段（点B在点C的左侧）在直线上运动，

23、且下列说法正确的是（）甲：当点B与点O重合时，；乙：当点C与点A重合时，若P是线段延长线上的点，则；丙：在线段运动过程中，若M，N为线段的中点，则线段的长度不变A甲、乙B只有乙C只有丙D乙、丙【答案】D【分析】甲：画出图形，利用线段的和差可判断甲的说法；乙：画出图形，设点P表示的数为x，则，可判断乙的说法；丙：设点B表示的数是m，则点C表示的数是，利用中点公式表示出M、N表示的数即可求解【详解】甲：如图1，当点B与点O重合时， ，故甲的说法错误；乙：如图2，当点C与点A重合时，设点P表示的数为x，则，故乙的说法正确；丙：点B表示的数是m，则点C表示的数是，O是原点，点A表示的数是4，M，N为线

24、段的中点，点M表示的数是，点N表示的数是，故丙的说法正确故选D【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，线段中点的计算，整式的加减等知识，数形结合是解答本题的关键6（2023秋河南驻马店七年级统考期末）如图，已知，以点为顶点作直角，以点为端点作一条射线通过折叠的方法，使与重合，点落在点处，所在的直线为折痕，若，则（）ABCD【答案】C【分析】利用角平分线的定义求出即可解决问题【详解】解：平分，故选：C【点睛】本题考查角的和差定义，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型7（2023秋山西大同七年级统考期末）在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三

25、等分线若，射线为的三等分线，则的度数为（）ABC或D或【答案】C【分析】根据题意得出或，再根据角之间的数量关系，得出，综合即可得出答案【详解】解：，射线为的三等分线或，的度数为或故选：C【点睛】本题考查了角度的计算，理解题意，分类讨论是解本题的关键8（2023秋广西崇左七年级统考期末）如图，是内的一条射线，平分，平分，则的度数为（）ABCD【答案】B【分析】根据平分，平分，可得，从而得到，即可求解【详解】解：平分，平分，故选：B【点睛】本题主要考查了有关角平分线的计算，根据题意得到是解题的关键9（2023吉林七年级上学期期末数学试题）如图，射线OC、OD把平角AOB三等分，OE平分AOC，OF

26、平分BOD，下列说法正确的是（）A图中只有两个120的角B图中只有DOE是直角C图中AOC的补角有3个D图中AOE的余角有2个【答案】C【详解】解：射线OC、OD把平角AOB三等分，OE平分AOC，OF平分BOD，故A选项不符合题意；，故B选项不符合题意；AOC与AOD、FOE、BOC都是互为补角，故C选项符合题意；AOE与AOC、COD、BOD都是互为余角，故D选项不符合题意；故选：C【点睛】此题考查了角平分线的定义，余角与补角的定义，正确掌握角平分线的定义求出各角的度数是解题的关键10（2023秋重庆开州七年级统考期末）一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（、），将三角板绕点B逆时针旋转

27、一定角度，如图2所示，且，有下列四个结论：在图1的情况下，在内作，则平分；在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值；在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次；的角度恒为其中正确的结论个数为（）A1个B2个C3个D4个【答案】C【分析】结合图形根据题意正确进行角的和差计算即可判断【详解】如图可得，所以平分，正确；当时，设，平分， ，当时，设，平分，故正确；时，时，时故正确；当时，当时，故错误；综上所述，正确的结论为；故选：C【点睛】本题主要考查了角的和差，角的平分线，旋转的性质，关键根据题意正确进行角的和差计算11（2022秋四川巴中七年级统考期末）如图：数轴上点、表示的数分别是

28、，1，且点为线段的中点，点为原点，点在数轴上，点为线段的中点、为数轴上两个动点，点从点向左运动，速度为每秒1个单位长度，点从点向左运动，速度为每秒3个单位长度，、同时运动，运动时间为有下列结论：若点表示的数是3，则；若，则；当时，；当时，点是线段的中点；其中正确的有 （填序号）【答案】/【分析】根据线段的中点的定义以及点、可确定点、表示的数，进而得到的长度；由，分两种情况讨论：点在点的右侧时以及点在点的左侧时，可得到点表示的数，由点为线段的中点可得点表示的数，进而得到的长度；当时，可得到、的长，从而确定点、，即可得到的长；当时，可得到、的长，从而确定点、，进而判断【详解】若点表示的数是3，点为

29、线段的中点，表示的数是1，即表示的数是2，故正确；若，当点在点的右侧时，则点表示的数是4，点为线段的中点，即表示的数是，当点在点的左侧时，则点表示的数是，点为线段的中点，即表示的数是，综上，故不正确；当时，、表示的数分别是，1，、表示的数分别是，故正确；当时，、表示的数分别是，点在、的左侧，不可能是线段的中点故不正确；故答案为：【点睛】本题考查了数轴以及两点间的距离、线段的中点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题12（2023秋安徽六安七年级校考期末）如图，已知、是内部的两条射线，平分，平分，若，则的度数为 度；若，则的度数为 度(用含x的代数式表示)【答案】 120 【分析】利用

30、角平分线的定义可得，易得，利用，可得结果；由角的加减可得，可得，再利用可得结果【详解】解：，平分，平分，故答案为120；，故答案为：【点睛】本题考查的是角平分线的定义有关知识，利用角平分线的定义找出角的数量关系是解决本题关键13（2023春四川达州七年级校考阶段练习）已知点A、B、C都在直线l上，点C是线段的三等分点，D、E分别为线段中点，直线l上所有线段的长度之和为91，则 【答案】或13【分析】画出图形，分两种情况讨论；设，根据直线l上所有线段的长度之和为91，列方程，先求出x，即可求出的长.【详解】当时，如图1设，则，直线l上所有线段的长度之和为91当时，如图2, 故答案为：或13【点睛

31、】本题主要考查了线段的和差，解题的关键是要弄清楚直线l上的线段的条数，及要进行分类讨论.14（2023秋福建福州七年级校考期末）已知线段和线段在同一直线上，线段（A在左，B在右）的长为a，长度小于的线段（D在左，C在右）在直线上移动，M为的中点，N为的中点，线段的长为b，则线段的长为 （用a，b的式子表示）【答案】/【分析】根据题意画出图形，分情况讨论，再利用线段和差分别表示线段的长度即可【详解】解：M为的中点，N为的中点，线段和线段在同一直线上，线段（A在左，B在右）的长为a，长度小于的线段（D在左，C在右）在直线上移动，分以下5种情况说明：当在左侧时，如图1，即，；当点D与点A重合时，如图

32、2，即 ，；当在内部时，如图3，即 ，；当点C在点B右侧时，同理可得：；当在右侧时，同理可得：；综上所述：线段的长为故答案为：【点睛】本题考查线段的和差，根据题意画出对应情况的图形是解题的关键，注意分类讨论思想的运用15（2023秋湖北武汉七年级统考期末）如图，点C，D在线段上，P，Q分别是的中点，若，则 【答案】1【分析】先由线段中点定义得出，又因为，利用线段和差即可求得，代入即可求解【详解】解，P，Q分别是，的中点，故答案为1【点睛】本题考查线段和差倍分，熟练掌握线段和差倍分的运算是解题的关键16（2023秋福建福州七年级校考期末）已知有理数a，b满足：如图，在数轴上，点O是原点，点A所对应的数是a，线段在直线上运动（点B在点C的左侧），下列结论：；当点B与点O重合时，；当点C与点A重合时，若点P是线段BC延长线上的点，则；在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，则线段的长度不变所有结论正确的序号是 【答案】【分析】根据非负数的性质可得a和b的值，可判断；如图1，根据数轴可直观得出；如图2，分别计算，的值可判断；分四种情况，根据图形分别计算的长即可可判断