专题01 椭圆及其性质-直击2021年高考中的圆锥曲线问题（理科数学）.docx

1、专题01 椭圆及其性质一、椭圆的概念平面内与两个定点F1、F2的距离的_和_等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的_焦点_，_两焦点_间的距离叫做椭圆的焦距当常数等于|F1F2|时轨迹为_线段F1F2_，当常数小于|F1F2|时，轨迹_不存在_.二、椭圆的标准方程椭圆的标准方程有两种形式：（1）焦点落在x轴上的椭圆的标准方程为(ab0)，焦点为F1 (c，0)，F2 (c，0)，焦距为2c，且b2c2，如图1所示；（2）焦点落在y轴上的椭圆的标准方程为(ab0)，焦点为F1 (0，c)，F2 (0，c)，焦距为2c，且b2c2，如图2所示图1 图2 图3注

2、：椭圆方程中，a表示椭圆上的点到两焦点的距离的和的一半，可借助于图3记忆正数a，b，c恰好构成一个直角三角形，其中a是斜边，所以ab，ac且，其中c是焦距的一半对于图2中的椭圆，关系式ab，ac且也始终成立三、椭圆的几何性质标准方程1(ab0)1(ab0)图形性质焦点_F1(c,0)，F2(c,0)_F1(0，c)，F2(0，c)_焦距|F1F2|2c(c)|F1F2|2c(c)范围_|x|a，|y|b_|x|b，|y|a_对称性关于_x轴、y轴和原点_对称顶点_(a,0)，(0，b)_(0，a)，(b,0)_轴长轴长_2a_，短轴长_2b_离心率e_(0e1)注意：求椭圆的标准方程的方法可以

3、采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择椭圆的标准方程；也可以利用椭圆的定义及焦点位置或点的坐标确定椭圆的标准方程.求椭圆的离心率主要的方法有：根据条件分别求出与，然后利用计算求得离心率；或者根据已知条件建立关于的等量关系式或不等关系式，由此得到方程或不等式，通过解方程或不等式求解离心率的值或取值范围.四、离心率对椭圆扁圆程度的影响如图所示，在RtBF2O中，cosBF2O，记e则0e0，B0，AB)方程Ax2By21(其中A0，B0，AB)包含椭圆的焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况，方程可变形为1.当，即BA时，表示焦点在x轴上的椭圆；当，即Bb0)有公共焦点的椭圆方程为1(ab0，b

4、2)；与椭圆1(ab0)有公共焦点的椭圆方程为1(ab0，b2)技巧1 椭圆的定义例1、已知圆A：(x3)2y2100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过B且与圆A内切(如图所示)，求圆心P的轨迹方程规范解答设圆P的半径为r，又圆P过点B，|PB|r，又圆P与圆A内切，圆A的半径为10.两圆的圆心距|PA|10r，即|PA|PB|10(大于|AB|)点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆2a10,2c|AB|6，a5，c3.b2a2c225916.即点P的轨迹方程为1.点睛：1.对椭圆定义的三点说明(1)椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视(2)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是

5、变量(3)常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件2椭圆定义的两个应用(1)若|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)，则动点M的轨迹是椭圆(2)若点M在椭圆上，则|MF1|MF2|2a.技巧2 椭圆的标准方程例2、求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(0,5)，(0，5)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26；(2)焦点在坐标轴上，且经过A(，2)和B(2，1)两点思路分析(1)由焦点坐标知道椭圆焦点在y轴，c5，由椭圆定义知a13，所以b12.(2)由于不知道焦点在x轴还是y轴，所以设椭圆方程为Ax2By21(A0，B

6、0，AB)，代入两点坐标，可求得系数规范解答(1)因为焦点在y轴上，所以设其标准方程为1(ab0)因为2a26,2c10，所以a13，c5.所以b2a2c2144.所以所求椭圆方程为1.(2)设所求椭圆方程为Ax2By21(A0，B0，AB)，依题意，得解得所以所求椭圆的标准方程为1.点睛：1.利用待定系数法求椭圆的标准方程步骤：(1)定位，确定焦点在哪个轴上；(2)定量，依据条件及a2b2c2确定a、b、c的值；(3)写出标准方程2求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为1(m0，n0，mn)，再根据条件确定m、n的值3当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为Ax2By21(A0，B0，

7、AB)，将点的坐标代入解方程组求得系数技巧3 椭圆的离心率例3、设F1，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上任意一点M都满足F1MF2为锐角，则椭圆离心率的取值范围是()A(0， B(0，) C(0,1)D，1)思路分析由题设条件可知，当点P位于(0，b)或(0，b)处时，F1PF2最大，此时cosF1PF20，ac，由此能够推导出该椭圆的离心率的取值范围规范解答由题可知，当点P位于(0，b)或(0，b)处时，F1PF2最大，此时cosF1PF20，ac.e.又0e1，0eb0)如图所示，A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|c，|A1A2|2b，cb4，a2b2c2

8、32，故所求椭圆的方程为1.点睛：1.已知椭圆的几何性质，求其标准方程主要采用待定系数法，解题步骤为：(1)确定焦点所在的位置，以确定椭圆标准方程的形式；(2)确立关于a、b、c的方程(组)，求出参数a、b、c；(3)写出标准方程2注意事项：当椭圆的焦点位置不确定时，通常要分类讨论，分别设出标准方程求解，可确定类型的量有焦点、顶点；而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率、焦距1设F1，F2为定点，|F1F2|6，动点M满足|MF1|MF2|10，则动点M的轨迹是()A椭圆B直线C圆D线段解析|MF1|MF2|10|F1F2|6，由椭圆定义，动点M轨迹为椭圆2设P是椭圆1上的任意一点，若F1

9、、F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|PF2|等于()A4B2C2D解析|PF1|PF2|2a4，选A3椭圆1的焦距是2，则m的值是()A5B3或8C3或5D20解析2c2，c1，故有m41或4m1，m5或m3，故选C4焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为(A)A1B1 C1D1解析设椭圆方程1(ab0)，椭圆方程1.5已知椭圆的焦点F1、F2在x轴上，它与y轴的一个交点为P，且PF1F2为正三角形，且焦点到椭圆上的点的最短距离为，则椭圆的方程为 .解析椭圆的焦点在x轴上，则设方程为1(ab0)，两焦点F1(c,0)、F2(c,0)、P(0，b)不妨设x轴与椭圆的一个交

10、点为A(a,0)，c，由PF1F2为正三角形可知：|PF1|PF2|F1F2|，a2c又焦点到椭圆上的点的最短距离为ac，于是ac由可得：a2，c，从而b2a2c29.所求椭圆方程为1.1【2019年北京卷理数】已知椭圆1(ab0)的离心率为，则()Aa22b2B3a24b2Ca2bD3a4b解析因为椭圆的离心率e，所以a24c2.又a2b2c2，所以3a24b2.故选B2（2018年新课标全国）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为AB CD【答案】D【解析】在中，设，则，又由椭圆定义可知，则，故选D3（2018年新课标全国II卷）已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在

11、过且斜率为的直线上，为等腰三角形，则的离心率为（ ） ABCD【答案】D【解析】【分析】【详解】分析：先根据条件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率.详解：因为为等腰三角形，所以PF2=F1F2=2c,由斜率为得，由正弦定理得,所以，故选D.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.4（2020年新课标全国I卷）已知椭圆，双曲线若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为_

12、；双曲线N的离心率为_【答案】 2 【解析】分析：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中关系，即得双曲线N的离心率；由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得，解得椭圆M的离心率.详解：由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得，所以椭圆M的离心率为双曲线N的渐近线方程为，由题意得双曲线N的一条渐近线的倾斜角为， 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.5（2017新课标全国I）设A，B是椭圆C：长

13、轴的两个端点，若C上存在点M满足AMB=120，则m的取值范围是AB CD【答案】A【解析】当时，焦点在轴上，要使C上存在点M满足，则，即，得；当时，焦点在轴上，要使C上存在点M满足，则，即，得，故的取值范围为，故选A6（2020年新课标全国II卷）已知椭圆C1：(ab0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|.（1）求C1的离心率；（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）求出、，利用可得出关于、的齐次等式，可解得椭圆的离心率的值；（2）由（1）可得出的方程为，联立曲线与的方程，求出点的坐标，利用抛物线的定义结合可求得的值，进而可得出与的标准方程.【详解】（1），轴且与椭圆相交于、两点，则直线的方程为，联立，解得，则，抛物线的方程为，联立，解得，即，即，即，解得，因此，椭圆的离心率为；（2）由（1）知，椭圆的方程为，联立，消去并整理得，解得或（舍去），由抛物线的定义可得，解得.因此，曲线的标准方程为，曲线的标准方程为.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，同时也考查了利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程，考查计算能力，属于中等题.今天错在哪里啦？_