专题01 解三角形（解答题10种考法）（精讲）（解析版）.docx

1、专题01 解三角形（解答题）考法一 公式的直接运用【例1】（2023天津统考高考真题）在中，角所对的边分别是已知(1)求的值；(2)求的值；(3)求【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）由正弦定理可得，即，解得：；（2）由余弦定理可得，即，解得：或（舍去）（3）由正弦定理可得，即，解得：，而，所以都为锐角，因此，【变式】1（2022天津统考高考真题）在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）因为，即，而，代入得，解得：（2）由（1）可求出，而，所以，又，所以（3）因为，所以，故，又， 所以，而，所以，故2

2、（2022浙江统考高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知(1)求的值；(2)若，求的面积【答案】(1)；(2)【解析】（1）由于， ，则因为，由正弦定理知，则（2）因为，由余弦定理，得，即，解得，而，所以的面积3（2023天津北辰校考模拟预测）已知，分别为锐角三角形三个内角的对边，且(1)求；(2)若，求；(3)若，求的值【答案】(1)(2)3(3)【解析】（1）由于，所以，由根据正弦定理可得，所以，且三角形为锐角三角形，即所以.（2）在中，由余弦定理知，即，解得或（舍），故.（3）由，可得，所以，即考法二 三角形的面积【例2-1】（2023福建校联考模拟预测）设的内角，的对

3、边分别为，已知，且.(1)求；(2)求的面积.【答案】(1)(2)【解析】（1）由及，得，由正弦定理得所以，所以，又因为，所以.（2）由结合正弦定理得，即所以或.又因为，所以.所以，因为，所以，所以，即的面积为.【例2-2】（2023湖南永州统考一模）在中，设所对的边分别为，且满足(1)求角；(2)若的内切圆半径，求的面积【答案】(1)(2)【解析】（1）在中，由得，即,故，由于，故，而，故.（2）由可得，而，故，则，由的内切圆半径，可得，即，即，故，解得，故的面积.【变式】1（2023海南海口校考模拟预测）在 中，角 A、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足.(1)求的值；(2)若

4、，求的面积.【答案】(1)2(2)12【解析】（1）由可得，因为，所以可得，解得.（2）由（1）知，所以，又因为，所以，所以，即，又，所以，由正弦定理可得，所以，所以，所以的面积.2（2023江苏无锡校考模拟预测）已知函数.(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；(2)在中，内角所对的边分别是，且，若，求的面积.【答案】(1)最小正周期为，单调递增区间为.(2)【解析】（1），所以函数的最小正周期为.令，得，故函数的单调递增区间为.（2）由，得，由得，所以，得.由余弦定理得，即，因为，所以，从而有，得，则3（2023河南开封统考三模）在中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足(1)求角

5、B；(2)若，的内切圆半径，求的面积【答案】(1)(2)【解析】（1）因为，由余弦定理得，即，所以又，所以（2）由余弦定理得：，则，由三角形面积公式，即，则，所以，解得，所以.考法 三角形的周长【例3-1】（2023山东菏泽）在中，角所对的边分别为已知，面积，再从以下两个条件中选择其中一个作为已知，求三角形的周长.（1）;（2）.注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】【解析】由三角形的面积公式可知，整理得由正弦定理得:因为，若选择条件（1）由：得，则，又为三角形的内角，由正弦定理得代入解得，三角形的周长为若选择条件（2），则由，得又，又为三角形的内角，.由正弦定理得: ，代入

6、解得，三角形的周长为【例3-2】（2023重庆南岸）设，（1）求的单调递增区间；（2）在中，角为锐角，角，的对边分别为，若，求三角形的周长.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由已知，令，则，的单调递增区间为；（2）由（1）得，又角为锐角，得，得，所以三角形的周长为.【变式】1（2022北京统考高考真题）在中，(1)求；(2)若，且的面积为，求的周长【答案】(1)(2)【解析】（1）解：因为，则，由已知可得，可得，因此，.（2）解：由三角形的面积公式可得，解得.由余弦定理可得，所以，的周长为.2（2023河南校联考二模）记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.(1)求A；(2)设的中

7、点为D，若，且的周长为，求a，b.【答案】(1)(2)，.【解析】（1）由条件及正弦定理可得，因为，所以，所以，整理得，又因为，所以，所以，解得.（2）在中，由余弦定理得.而，所以.在中，由余弦定理得.由两式相减，得，所以，将代入，得，则.因为的周长为，所以，解得，所以，.3（2023黑龙江大庆大庆中学校考模拟预测）在；，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答已知的内角、所对的边分别为、，_(1)求的值；(2)若的面积为，求的周长【答案】(1)(2)【解析】（1）解：若选，由已知得，所以，由正弦定理得，又，所以，所以，又，由，解得；若选，由已知及正弦定理得，所以，所以，所以，又，所

8、以，所以，又，由，解得（2）解：由的面积为，得，所以，由（1）可得，由余弦定理得，所以，所以，所以的周长为考法四 爪型三角形【例4-1】（2023全国统考高考真题）已知在中，(1)求；(2)设，求边上的高【答案】(1)(2)6【解析】（1），即，又，即，所以，.（2）由（1）知，由，由正弦定理，可得，.【例4-2】（2023湖北）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.(1)求B.(2)若，_，求.在D为AC的中点，BD为ABC的角平分线这两个条件中任选一个，补充在横线上.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)(2)答案见解析【解析】（1）由正弦定理得，.因

9、为，所以，所以，即.又，则，所以.（2）选择条件：因为，所以，.选择条件：因为BD为ABC的角平分线，所以，则，解得.【例4-3】（2023福建泉州统考模拟预测）的内角所对的边分别为，且满足.(1)求；(2)若平分，且，求的面积.【答案】(1)(2)【解析】（1）解法一：因为，所以由正弦定理可得，即，所以， 又，所以，因为，所以.解法二：在中，由余弦定理得，又因为，所以，即，所以，因为，所以.（2）解法一：因为，所以，两边平方得，即，又因为平分，所以，即，由，解得，所以.解法二：在中，所以，又因为平分，所以，即，在中，由余弦定理，得，即，在中，由余弦定理，得，即，由解得，所以.解法三：过点作交

10、于点，因为，且平分，所以，所以为等边三角形，所以，又因为，所以，所以.【变式】1.（2023福建宁德校考二模）已知的内角，的对边分别为，且(1)求；(2)若，为中点，求的长【答案】(1)(2)【解析】（1），即，化简得，解得，因为，所以（2）由余弦定理得，即，解得，因为，故的长度为2.（2022秋江苏南京高三校考期末）已知a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边,面积为S,且(1)求A;(2)若a2,且角A的角平分线交BC于点D,AD,求b【答案】(1)(2)2【解析】（1）解:由题知,则有:,在中,由余弦定理可得:,代入式可得: ,即,由辅助角公式可得:,所以或,即或,因为,所以;（2）由(

11、1)知,因为平分,所以,且有,即:,将边和角代入可得: ,化简可得: ,在中,由余弦定理可得:,即,即,解得:(舍)或,即,解得.3（2023河南模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积记为S，已知，(1)求A；(2)若BC边上的中线长为1，AD为角A的角平分线，求CD的长【答案】(1)(2)【解析】（1）因为，所以，即，由正弦定理可得，即所以因为，所以（2）设AE为BC边上的中线，可得，如下图所示：则，所以，解得因为，所以，所以；由可得，利用余弦定理可得，所以考法五 多边多角【例5-1】（2023秋陕西商洛高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）如图，在平面四边形ABCD中，.

12、(1)求；(2)若，求BC.【答案】(1)(2)【解析】（1）在中，由正弦定理得，即，所以.由题设知，所以.（2）由题设及（1）知，在中，由余弦定理得，所以.【例5-2】（2023秋四川绵阳高三四川省绵阳江油中学校考阶段练习）如图，在平面四边形中，(1)求的值；(2)求的长【答案】(1)(2)【解析】（1）解：在中，由余弦定理可得，整理可得，解得，则，故为等腰三角形，故.（2）解：由（1）知，又因为，则，因为，则为锐角，且，所以，在中，由正弦定理，可得.【变式】1（2023春广东湛江）如图，四边形ABCD的内角，且(1)求角B；(2)若点是线段上的一点，求的值【答案】(1)(2)【解析】（1）

13、设，在中由余弦定理得，即，又在中由余弦定理得，即，因为，则，联立可得（负值舍去），因为，所以（2）在中，由正弦定理知，所以，又，故，在直角三角形中，由勾股定理知，此时2（2023春浙江金华 ）如图，四边形是由与正拼接而成，设，.(1)当时，设，求，的值；(2)当时，求线段的长.【答案】(1)，(2)【解析】（1）在中，由，可知.由于，.（2）在中，所以，.3（2023广东）在三角形ABC中，(1)求BD的长；(2)若AC与BD交于点O，求的面积【答案】(1)(2)【解析】（1）由题意，在中，由余弦定理得，所以，在中，所以，所以，在中，由余弦定理可知，所以（2）由（1）可知，又因为，所以为等边三

14、角形，所以， 在中，所以，在中，故，所以，所以，在中，由正弦定理可知，即，解得，所以考法六 最值【例6-1】（2023云南校联考模拟预测）的内角的对边分别为，且.(1)求角；(2)若，求周长的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】（1）因为，可得，所以由正弦定理可得，又为三角形内角，所以，因为，所以，可得，所以.（2）由（1）知，又，由正弦定理得，则，【例6-2】（2023秋江苏高三统考期末）已知ABC为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosBbcosA2ccosC(1)求角C；(2)若c2，求ABC的周长的取值范围【答案】(1)(2)【解析】（1）由正弦定理，得，即，即

15、，又，所以，所以，故（2）由正弦定理，得，所以的周长由为锐角三角形可知，得，所以，所以所以的周长的取值范围为【例6-3】（2022全国统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(1)若，求B；(2)求的最小值【答案】(1)；(2)【解析】（1）因为，即，而，所以；（2）由（1）知，所以，而，所以，即有，所以所以当且仅当时取等号，所以的最小值为【变式】1（2023江西校联考模拟预测）已知中内角，所对边分别为，(1)求；(2)若边上一点，满足且，求的面积最大值【答案】(1)(2)【解析】（1）由题意，由正弦定理得，因为三角形内角，则，即，故，（2），已知，由（1）知， 由题意得由

16、，（如图）已知，且由（1）知，两边平方得，则，解得，.故.当且仅当，即时，等号成立.所以，的最大值为2（2023江西九江统考一模）中，内角所对的边分别是，已知，(1)求角的值；(2)求边上高的最大值【答案】(1)(2)【解析】（1）由，得由正弦定理，得又，即，（2）解法一：设边上高为，由余弦定理，得即，即，当且仅当时，等号成立又，边上高的最大值为解法二：设边上高为，由正弦定理得，因为，又，边上高的最大值为.3（2023江苏南京南京航空航天大学附属高级中学校考模拟预测）在中，以，分别为内角，的对边，且(1)求；(2)若，求边上中线长.【答案】(1)(2)或【解析】（1）由得，由正弦定理可得，由余

17、弦定理可得，因为，所以.（2）因，由正弦定理可得，即，因为，所以，则，所以或，即或，当时，为等边三角形，即，如图所示，所以边上中线长为；当时，则，所以为直角三角形，如图所示，又，所以由正弦定理，即，所以，所以边上中线长为；综上可得边上中线长为或.4.（2022秋江苏南京高三校考期末）已知a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边,面积为S,且(1)求A;(2)若a2,且角A的角平分线交BC于点D,AD,求b【答案】(1)(2)2【解析】（1）解:由题知,则有:,在中,由余弦定理可得:,代入式可得: ,即,由辅助角公式可得:,所以或,即或,因为,所以;（2）由(1)知,因为平分,所以,且有,即:,

18、将边和角代入可得: ,化简可得: ,在中,由余弦定理可得:,即,即,解得:(舍)或,即,解得.考法七 三角形的四心【例7】（2023春浙江温州 ）已知的内角、的对边分别为、，且，角B为钝角(1)求；(2)在重心，内心，外心这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并解决问题若，为的_，求的面积【答案】(1)；(2)若选，；若选，；若选，【解析】（1）由正弦定理可得，因为，所以.因为，所以.（2）若选，连接并延长交边于点，因为为的重心，所以为的中点，且，所以点到的距离等于点到的距离的，所以，；若选，由余弦定理可得，若为的内心，设的内切圆的半径为，则，则，因此，； 若选，若为的外心，设的外接圆半径为，

19、由余弦定理可得，则，在优弧上任取一点，则，则，因此，【变式】1（2022安徽芜湖一中校联考一模）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanC=(1)求的值；(2)设M和N分别是ABC的重心和内心，若MN/BC且c=2，求a的值【答案】(1)2(2)【解析】（1）由已知得，即sinAcosC=2sinC-cosAsinC得sin(A+C)=2sinC即sinB=2sinC由正弦定理得，所以；（2）由(1)知，因为，所以设ABC的内切圆半径为r，则内心N到BC边的距离为r，因为MNBC，所以重心M到BC边的距离为r，根据重心的性质，顶点A到BC边的距离为3r，根据面积关系得即，所以2

20、（2022秋四川内江高三威远中学校校考期中）的内角A，B，C所对的边分别为(1)求A的大小；(2)M为内一点，的延长线交于点D，_，求的面积请在下面三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使存在，并解决问题M为的重心，；M为的内心，；M为的外心，【答案】(1)(2)答案见解析【解析】（1），即由正弦定理得，即，又，（2）设外接圆半径为，则根据正弦定理得，若选：M为该三角形的重心，则D为线段的中点且，又，即， 又由余弦定理得，即，解得，；若选：M为的内心，由得，即，由余弦定理可得，即，即， 若选：M为的外心，则为外接圆半径，与所给条件矛盾，故不能选.3（2022秋广东广州高三广州市第五中学校

21、考阶段练习）已知的内角、的对边分别为、，且.(1)求；(2)在重心，内心，外心这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并解决问题.若，为的_，求的面积.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.【答案】(1)(2)答案见解析【解析】（1）解：，则，即，则，即有，可得，则，解得.（2）解：若选，连接并延长交边于点，因为为的重心，所以，为的中点，且，所以点到的距离等于点到的距离的，所以，；若选，由余弦定理可得，若为的内心，设的内切圆的半径为，则，则，因此，；若选，若为的外心，设的外接圆半径为，由余弦定理可得，则，在优弧上任取一点，则，则，因此，.考法八 解三角形与三角函数性质的综合【例8】（

22、2023广东）设函数，其中向量，.(1)求的最小值；(2)在中，分别是角，所对的边，已知，的面积为，求的值.【答案】(1)；(2).【解析】（1）由题设，所以，当时的最小值为.（2）由，得：，则，又，所以，故，则.由，可得：.在中，由余弦定理得：，所以.由，则.【例8-2】（2023北京）已知函数，将的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位后得到的图象，且在区间内的最大值为.（1）求的值；（2）在锐角中，若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）将函数的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位后得到的图象，则，当，即时，最大值，所以，；（2），则，所以，所以

23、，是锐角三角形，由，解得，所以，则.【变式】1（2023春山西晋城）已知函数.(1)求函数的定义域和值域；(2)已知锐角的三个内角分别为A，B，C，若，求的最大值.【答案】(1)；(2)2【解析】（1），所以要使有意义，只需，即，所以，解得所以函数的定义域为，由于，所以，所以函数的值域为；（2）由于，所以，因为，所以，所以即，由锐角可得，所以，由正弦定理可得，因为，所以所以，所以的最大值为2.2（2023上海浦东新华师大二附中校考模拟预测）已知函数.(1)求函数的单调递减区间；(2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，求的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】（1）令，则所以，

24、单调减区间是.（2）由得：，即，由于，所以.在中，于是，则，所以.3（2023春云南）已知函数的部分图象如图所示（1）求函数的解析式；（2）在锐角中，角，所对的边分别为，若，且的面积为，求【答案】（1）；（2）.【解析】（1）据图象可得，故，由得：由得：由知，解得，；（2）， 由题意得的面积为，解得，由余弦定理得，解得：.考法九 证明题【例9】（2022全国统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知(1)若，求C；(2)证明：【答案】(1)；(2)证明见解析【解析】（1）由，可得，而，所以，即有，而，显然，所以，而，所以（2）由可得，再由正弦定理可得，然后根据余弦定理可知，化简

25、得：，故原等式成立【变式】1（2023四川成都校联考模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(1)求证：，是等差数列；(2)求的最大值【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）证明：因为，所以，由正弦定理，得，又由余弦定理，得，则，即，所以，是等差数列（2）解：由（1）得，又（当且仅当时取等号），因为，所以，则的最大值为，则的最大值为2（2023山东泰安校考模拟预测）在锐角中，内角所对的边分别为，满足，且(1)求证：；(2)已知是的平分线，若，求线段长度的取值范围【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）由题意得，即所以，由正弦定理得，又由余弦定理得，所以，故，故，整理得又为

26、锐角三角形，则，所以，因此（2）在中，由正弦定理得，所以所以因为为锐角三角形，且，所以，解得故，所以因此线段长度的取值范围.3（2023河南校联考模拟预测）已知的外心为，点分别在线段上，且恰为的中点(1)若，求面积的最大值；(2)证明：【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）解：由正弦定理，得，所以，又，所以或，当时，由余弦定理，得，所以，的面积，当且仅当时，取等号；当时，同理可得，的面积，当且仅当时，取等号综上，面积的最大值为；（2）证明：设，由余弦定理知，因为，所以，化简整理得，而，因此，又因为是外心，故，同理可知，因为恰为的中点，因此，所以考法十 存在性与唯一性【例10-1】（202

27、1全国统考高考真题）在中，角、所对的边长分别为、，.（1）若，求的面积；（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由【答案】（1）；（2）存在，且.【解析】（1）因为，则，则，故，所以，为锐角，则，因此，；（2）显然，若为钝角三角形，则为钝角，由余弦定理可得，解得，则，由三角形三边关系可得，可得，故.【例10-2】（2021北京统考高考真题）在中，（1）求；（2）再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长条件：；条件：的周长为；条件：的面积为；【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析【解析】（1），则由正弦定理可得，解

28、得；（2）若选择：由正弦定理结合（1）可得，与矛盾，故这样的不存在；若选择：由（1）可得，设的外接圆半径为，则由正弦定理可得，则周长，解得，则，由余弦定理可得边上的中线的长度为：；若选择：由（1）可得，即，则，解得，则由余弦定理可得边上的中线的长度为：.【变式】1（2023四川南充四川省南充高级中学校考三模）在中，角的对边分别为，且.(1)求的值；(2)若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积.条件：；条件：；条件：的周长为9.【答案】(1)2(2)答案见解析【解析】（1）解：因为，由正弦定理得，即，又因为，可得，所以，可得.（2）解：由（1）得，由正弦定理得，若

29、选条件：由余弦定理得，即，又由，解得，则，此时存在且唯一确定，因为，则，可得，所以；若选条件：由，因为，即，若为锐角，则，由余弦定理，即，整理得，且，解得，则；若为钝角，则，由余弦定理得，即，整理得，且，解得，则；综上所述，此时存在但不唯一确定，不合题意；若条件：因为，即，解得，则，所以此时存在且唯一确定，由余弦定理得，因为，可得，所以2.（2022北京景山学校模拟预测）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(1)求B；(2)从以下条件中选择两个，使ABC存在且唯一确定，并求ABC的面积若；ABC的周长为9【答案】(1)；(2)选，面积为【解析】(1)因为，由正弦定理得，三角形中，

30、所以，所以；(2)因为，所以，因此条件不能确定三角形；若已知，则由正弦定理得，无解；若已知，即，则，与三角形的性质矛盾，三角形不存在所以只有条件能确定三角形，则，由（1），即，所以，又，所以，从而，为等边三角形，唯一确定，面积为3.（2022秋山西运城高三校考阶段练习）中，内角的对边分别为的外接圆半径为，已知.(1)求；(2)已知的平分线交于点，从以下三个条件中选择两个，使唯一确定，并求和的长度.条件：；条件：；条件：.【答案】(1)(2)选择条件和；，【解析】（1）由已知得，得，即，即，又因为，故；（2）由（1）得中，由余弦定理得，所以，而条件中，所以，显然不符合题意，即条件错误，由条件，条件，解得，由余弦定理可得，所以，所以，在中，因为为的平分线，所以，又因为，所以，在中，所以.