专题01 集合及其运算（考点清单）（解析版）.docx

1、专题01 集合及其运算（考点清单）目录一、思维导图2二、知识回归2三、典型例题讲与练4考点清单01：元素与集合的关系4【期末热考题型1】判断元素与集合的关系4【期末热考题型2】分类讨论法解决元素与集合的关系问题6【期末热考题型3】分类讨论法解决集合中元素的个数问题7考点清单02：集合中元素的特性10【期末热考题型1】集合中元素的特性10考点清单03：集合的表示方法12【期末热考题型1】强化描述法中一般元素代表12考点清单04：集合之间的基本关系13【期末热考题型1】子集（真子集）个数13【期末热考题型2】根据集合包含关系求参数值或范围14考点清单05：集合的基本运算16【期末热考题型1】集合的

2、综合运算16【期末热考题型2】分类讨论法解决集合的运算结果求参数的取值范围17考点清单06：集合的实际应用20【期末热考题型1】图解决集合运算问题20一、思维导图二、知识回归知识回顾1：元素与集合（1）集合元素的三大特性：确定性、互异性（解题注意回代检验集合元素互异性）、无序性.（2）元素与集合的关系：属于（）或不属于（）（3）集合的表示方法：列举法、描述法、（韦恩图法）；注意描述法书写格式，一般元素代表，共同特征；知识回顾2：集合间的基本关系（1）子集：若对任意，都有，则或.图表示：（2）真子集：若，且集合中至少有一个元素不属于集合，则_.图表示：（3）相等：若，且，则.（4）空集的性质：是

3、任何集合的子集，是任何非空集合的真子集知识回顾3：集合的基本运算（1）并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：.并集的性质：,.高频性质：若.图形语言（2）交集：一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：.交集的性质：,.高频性质：若.图形语言（3）全集与补集：全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合.补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组

4、成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即.补集的性质： , , .知识回顾4：容斥原理一般地，对任意两个有限集,三、典型例题讲与练01：元素与集合的关系【期末热考题型1】判断元素与集合的关系【解题方法】紧抓属于（）和不属于（）两个关系【典例1】（2023上广东广州高三华南师大附中校考阶段练习）已知集合，则（）ABCD【答案】A【详解】由题意可得：，所以，.故选：A.【典例2】（2023上上海浦东新高一上海南汇中学校考期中）非空集合具有下列性质：若，则；若，则，下列判断一定成立的序号是 .（1）（2）（3）若，则（4）若，、则【答案】（1）（2）（4）【详解】假设，则令，则，令，则，令，不存在，即

5、，矛盾，所以，（1）对；由题知，则，（2）对；因为，若，则，（3）错；因为，所以，又，（4）对.故答案为：（1）（2）（4）【专训1-1】（2023上广东惠州高一校联考阶段练习）下列说法正确的有（）；A1个B2个C3个D4个【答案】A【详解】是有理数，故正确；不是正整数，故错误；不是自然数，故错误；不是有理数，故错误；是整数，故错误故正确的有1个故选：A【专训1-2】（多选）（2023上贵州遵义高一统考阶段练习）已知由实数组成的非空集合A满足：若，则下列结论正确的是（）A若，则BCA可能仅含有2个元素DA所含的元素的个数一定是【答案】ABD【详解】若，则，A正确若，则，而中分母不能为0，即，所

6、以，B正确若，则，所以，所以，若，即，此方程无实数解，所以，若，即，此方程无实数解，所以，若，即，此方程无实数解，所以，所以若，则，且x，互不相等所以A所含的元素的个数一定是，非空集合A所含的元素最少有4个，C错误，D正确故选：ABD【期末热考题型2】分类讨论法解决元素与集合的关系问题【解题方法】紧抓属于（）和不属于（）两个关系，同时注意检查集合元素的互异性【典例1】（多选）（2023上江苏盐城高一江苏省响水中学校考阶段练习）已知集合，则a的值为（）.ABC1D【答案】BD【详解】，集合，得或或，解得或或，当时，不符合集合中元素的互异性，故舍去；当时，满足题意；当时，满足题意.故选：BD.【典

7、例2】（2023上山东青岛高一山东省青岛第五十八中学校考阶段练习）集合，若且，则的取值范围为 【答案】【详解】根据题意，则，即且，解得或；，则，或即，或，故；综上所述，.故答案为：.【专训1-1】62023上上海松江高一校考期中）已知集合，若，则实数的取值范围是 .【答案】【详解】集合，若，故或，解得.故答案为：.【期末热考题型3】分类讨论法解决集合中元素的个数问题【解题方法】分类讨论+判别法【典例1】（2023上上海嘉定高一校考期中）已知集合(1)若A中只有一个元素，求a的值(2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围(3)若，求a的取值范围【答案】(1)0或(2)(3)【详解】（1）若时，符

8、合题意；当时，可知方程为一元二次方程，则，解得；综上所述：或.（2）若A中至多有一个元素，即A中有一个元素或，若A中有一个，由（1）可知：或；若，则，解得；综上所述：a的取值范围为.（3）因为，则有：若，由（2）可知：；若，则有：若时，由（1）可知，符合题意；当时，则，解得；综上所述：a的取值范围为.【典例2】（2023上湖北武汉高一武汉市第十七中学校考阶段练习）已知集合，求：(1)当时，中至多只有个子集，求的取值范围；(2)当、满足什么条件时，集合为空集.【答案】(1)或(2)或【详解】（1）解：由题意得，方程可化为，当时，方程可化为，得，所以，符合题意，当时，因为中至多只有一个元素，所以，

9、解得，综上所述，的取值范围为或.（2）解：当时，方程可化为，因为为空集，所以，当时，因为为空集，所以，综上所述，当或时，集合为空集.【专训1-1】（2023上辽宁沈阳高一沈阳二十中校考阶段练习）已知集合，若A中只有一个元素，则实数m的取值集合为 【答案】【详解】由题意，方程只有一个解，当时，有一解，符合题意，当时，一元二次方程有一解，只需，解得，综上，或，故答案为：【专训1-2】（2023江苏高一专题练习）已知集合中的元素满足，. (1)若，求实数的值；(2)若为单元素集合，求实数的值；(3)若为双元素集合，求实数的取值范围.【答案】(1)2(2)0或(3)且【详解】（1），故，解得.（2）当

10、时，方程变为，得，满足题意；当时，要使为单元素集合，则方程有两个相等的实数根，解得；综上所述：或时为单元素集合.（3）若为双元素集合，则方程有两个不相等的实数根，故且，解得且.02：集合中元素的特性【期末热考题型1】集合中元素的特性【解题方法】集合的互异性，确定性，无序性，特别注意互异性【典例1】 （2022上湖南邵阳高一邵阳市第二中学校考阶段练习）已知，若集合，则的值为（）AB1CD2【答案】B【详解】因为所以有，解得或当时，不满足集合中元素的互异性，故则故选:B.【典例2】（2023下湖南岳阳高一校考阶段练习）若集合，实数的值为 【答案】【详解】令,，,，,，若，则，则,，,，满足要求；若

11、，则，而中元素，矛盾；若，则，则,，,，满足要求；故实数的值为.故答案为：【专训1-1】（2023上福建泉州高一福建省南安市侨光中学校考阶段练习）若，则 .【答案】【详解】解：由题意，集合中有元素，又，则，解得：或，当时，不满足集合中元素的互异性，故舍去；当时，满足，则.故答案为：.【专训1-2】（2021上江苏扬州高一统考期中）已知集合，若，则实数的值构成的集合为 【答案】/【详解】因为集合，且 所以或（1）当时，此时，符合题意.（2）当时，解得或当时，与集合元素的互相性矛盾，舍去；当时，符合题意.综上可知实数的值构成的集合为故答案为：03：集合的表示方法【期末热考题型1】强化描述法中一般元

12、素代表【解题方法】抓住集合表示方法的定义【典例1】（2023江苏高一专题练习）集合A用列举法表示为（）ABCD【答案】D【详解】因为，所以或2或4或8，即或4或2或，即.故选：D.【典例2】（2023上上海徐汇高一上海中学校考期中）集合可用列举法表示为 【答案】【详解】由可知，所以只能取，又，所以，即集合中的元素为，故列举法表示为.故答案为：【专训1-1】（2023上河南商丘高一商丘市第一高级中学校联考期中）集合中的元素个数为 【答案】6【详解】因为，即，所以的可能取值为，分别代入可得，所以集合中共有6个元素.故答案为：6【专训1-2】（2023上江西南昌高一校考阶段练习）设集合，则集合 【答

13、案】【详解】因为，所以，解得，又，则.即故答案为：.04：集合之间的基本关系【期末热考题型1】子集（真子集）个数【解题方法】可以用公式计算或者直接列举【典例1】（2023上重庆渝北高一重庆市松树桥中学校校考阶段练习）设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（）A2B3C7D8【答案】C【详解】由，得，解得或，所以，当时，满足，当时，因为，所以或，得或，综上，实数取值的集合为，所以实数取值集合的真子集的个数为，故选：C【典例2】（2023上广东湛江高三统考阶段练习）已知集合，则的真子集的个数为（）A1B2C3D4【答案】C【详解】由题设，则，所以共有个子集，其中3个真子集.故选：C【专训

14、1-1】（2023上广东广州高一校考期中）设A，B是全集的子集，则满足的的个数是（）A14B15C16D17【答案】C【详解】设，由，则，显然的个数为，所以的个数为.故选：C.【专训1-2】（2023上天津河东高一天津市第四十五中学校考阶段练习）设集合，则图中阴影部分表示的集合的真子集个数为 .【答案】7【详解】因为，所以，由韦恩图可知阴影部分表示的集合为，故其真子集个数为个.故答案为：7【期末热考题型2】根据集合包含关系求参数值或范围【解题方法】数轴法，列举法，注意不要忽视空集【典例1】（2023上江西赣州高一赣州市第三中学校联考期中）若集合，且，则的取值范围是（）ABCD【答案】B【详解】

15、依题意得，当时，符合题意，当时，因为，所以，解得，综上，的取值范图为.故选：B.【典例2】（2023上北京高一校考期中）设全集，集合，集合.(1)若 求和；(2)若，求的取值范围.【答案】(1)，或；或(2)或【详解】（1）由，解得或，所以或，当时，所以，或.，或，所以或.（2）因为，则.或，由于，所以或，解得或，所以t的取值范围为或.【专训1-1】（多选）（2023上湖北省直辖县级单位高一校考期中）已知集合，若，则实数的值可以为（）A2B1C0D-1【答案】ABC【详解】，当时，显然，符合题意；当时，显然，符合题意；当且时，要想，只需，综上所述：选项ABC满足，故选：ABC【专训1-2】（2

16、023江苏高一专题练习）已知集合，若BA，求实数m的取值范围.【答案】【详解】当时，由，得.当时，如图所示.则，得，即，综上可得，实数m的取值范围是.05：集合的基本运算【期末热考题型1】集合的综合运算【解题方法】并交补定义【典例1】（2023上江苏苏州高一江苏省苏州第十中学校校考阶段练习）设集合，集合，则（）ABCD【答案】B【详解】因为，所以，所以，或，或，所以，或.故选：B【典例2】（2022上山东聊城高一校考阶段练习）已知集合，集合，求：(1)；(2)【答案】(1)；(2)或【详解】（1）由已知；（2）或，或【专训1-1】（2023上江西抚州高一统考期中）已知集合，则（）ABCD【答案

17、】C【详解】，所以故选：C【专训1-2】（2023上江苏南京高一南京市第十三中学校考期中）设全集，集合，则（）ABCD【答案】A【详解】，.故选：A【期末热考题型2】分类讨论法解决集合的运算结果求参数的取值范围【解题方法】根据集合运算结果，推出包含关系，借助数轴或通过列举求参数【典例1】（2023上河南南阳高一校考阶段练习）已知集合.(1)若，求，及(2)若，求实数m的取值范围.【答案】(1)，或.(2)【详解】（1）当时，又，所以，所以或.（2）因为，所以或，又，所以，解得，所以实数m的取值范围为.【典例2】（2023上北京西城高一北师大实验中学校考期中）已知集合，.(1)若，求；(2)请在

18、条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使得至少存在一个实数a满足该条件，并求出a的范围.；.注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)(2)答案见解析【详解】（1）由可得：，解得：，所以，当时，因此，（2）选择条件: 由条件可得当时，满足题意；当时，所以，即，所以，当时，所以，即，所以，综上所述，a的取值范围是.选择条件: 由条件可得当时，满足题意；当时，所以，即，所以，当时，所以，即，所以，综上所述，a的取值范围是.补充：下面说明条件不成立：选择条件，由可得：，当时，不满足；当时，不满足；当时，不满足；故不能选择条件.【专训1-1】（2023上江苏无锡高

19、一江苏省梅村高级中学校考期中）已知集合，.(1)当时，求集合；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）由，得，解得，故， 当时，所以或，所以.（2）因为，所以，当时，解得，此时；当时，由，得，解得，综上，即的取值范围是.【专训1-2】（2023上广东湛江高一统考期中）已知集合(1)在，三个条件中任选一个，作为下面问题的条件，并解答问题：当集合满足_时，求的取值范围注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分(2)若，求的取值范围【答案】(1)(2)【详解】（1）选择，都有当时，解得当时，解得综上，的取值范围为（2）当时，由，解得，符合题意当时，或解得综上，的取值范围为0

20、6：集合的实际应用【期末热考题型1】图解决集合运算问题【解题方法】利用图解【典例1】（2023上辽宁高一校联考阶段练习）杭州第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，经调查，亚运会中球类、田径类、游泳类比赛深受学生喜爱小明统计了其所在班级50名同学观看球类、田径类、游泳类比赛情况，每人至少观看过其中一类比赛，有15人观看过这3类比赛，18人没观看过球类比赛，20人没观看过田径类比赛，16人没观看过游泳类比赛，因不慎将观看过其中两类比赛的人的数据丢失，记为，则由上述可推断出（）A16B17C18D19【答案】A【详解】不妨设观看过球类与田径类比赛的有人，观看过球类与游泳类比赛的有人，

21、观看过田径类与游泳类比赛的有人，则，只观看过球类、田径类、游泳类比赛的人数分别为，如图，则，因为有18人没看过球类比赛，所以，因为20人没观看过田径类比赛，16人没观看过游泳类比赛，所以，所以，由得，则故选：A【典例2】（2021上江苏徐州高一徐州市第七中学校考期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，同时参加由径和球类比赛的有 人?只参加游泳一项比赛的有 人?【答案】 3 9【详解】解：如图所示：设A=游泳，B=田径

22、，C=球类，由题意得：，所以，则，所以，所以参加由径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人，故答案为：3，9【专训1-1】（多选）（2022上全国高一阶段练习）对于集合，我们把集合且，叫作集合和的差集，记作，例如：，则有，下列解答正确的是（）A已知，则B已知或，则或C如果，那么D已知全集、集合、集合关系如上图中所示，则.【答案】BCD【详解】对于A：因为，所以，故A错误；对于B：因为或，所以或，故B正确；对于C：若，则中的元素都是中的元素，所以，故C正确；对于D：即为由的补集与集合的交集，即，故D正确；故选：BCD【专训1-2】（2023上北京高一北京市八一中学校考阶段练习）1881年英国数学家约翰维恩发明了Venn图，用来直观表示集合之间的关系.全集，集合的关系如图所示，其中区域I，II构成，区域II，III构成.若区域I，II，III表示的集合均不是空集，则实数的取值范围是 .【答案】【详解】由题意与交集不为空，且互不为包含关系，故或，即无解或.综上有.故答案为：