专题02中点四大模型在三角形中的应用（知识解读）-备战2023年中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）.docx

1、专题02 中点四大模型在三角形中应用（知识解读）【专题说明】 线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和后面学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？等腰三角形三线合一；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延长中线交平行等的应用。【方法技巧】模型1 ：倍长中线法如图，在ABC中，AD是BC边上的中线. 当题中出现中线时，我们经常根据需要将AD延长，使延长部分和中线相等，这种方法叫做“倍长中线”.如下图：此时，易证ACDEDB，进而得到AC=BE且AC/BE. 模型2：

2、平行线夹中点如图，AB/CD，点E是BC的中点.可延长DE交AB于点F. 模型3：中位线如图，在ABC中，点D是AB边的中点.可作另一边AC的中点，构造三角形中位线.如下图所示：由中位线的性质可得，DE/BC且DE=1/2BC. 模型4：连接直角顶点，构造斜中定理 【典例分析】【模型1 倍长中线法】【典例1】【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，ABC中，若AB8，AC6，求BC边上的中线AD的取值范围小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DEAD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到ADCEDB的理由是 ASSS BSAS CAAS

3、DHL（2）求得AD的取值范围是 A6AD8 B6AD8 C1AD7 D1AD7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中【问题解决】（3）如图2，AD是ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AEEF求证：ACBF【变式1-1】（1）在ABC中，AB5，AC3，求BC边上的中线AD的取值范围（2）受到（1）启发，请你证明下面的问题：如图，在ABC中，D是BC边上的中点，DEDF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF求证：BE+CFEF.【变式1-2】如图，在ABC中，已知：点D是BC中点，连

4、接AD并延长到点E，连接BE（1）请你添加一个条件使ACDEBD，并给出证明（2）若AB5，AC3，求BC边上的中线AD的取值范围【变式1-3】阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且BAECDE求证：ABCD分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证明ABCD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中两种对原题进行证明（1）延长DE到F，使得EFDE；（2）作

5、CGDE于G，BFDE于F交DE的延长线于F；（3）过点C作CFAB交DE的延长线于F【模型2 平行线夹中点】【典例2】如图，已知AB12，ABBC，垂足为点B，ABAD，垂足为点A，AD5，BC10，点E是CD的中点，求AE的长【变式2-1】如图，ABCD，BCD90，AB1，BC4，CD3，取AD的中点E，连结BE，则BE【变式2-2】如图，公园有一条“Z”字形道路ABBCCD，其中ABCD，在E、M、F处各有一个小石凳，且BECF，M为BC的中点，连接EM、MF，请问石凳M到石凳E、F的距离ME、MF是否相等？说出你推断的理由【变式2-3】如图：已知ABCD，BCCD，且CD2AB12，

6、BC8，E是AD的中点，请你用直尺（无刻度）作出一条线段与BE相等；并证明之；求BE的长【模型3 中位线】【典例3】如图，ABC中，AD平分BAC，E是BC中点，ADBD，AC7，AB4，则DE的值为（）A1B2CD【变式3-1】如图，在ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若DEF的周长为10，则ABC的周长为 【变式3-2】如图，等边ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使，连接CD和EF（1）求证：CDEF；（2）四边形DEFC的面积为 【变式3-3】如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC的延长线上，CEDE2BCCD的中点为F，DE的中点为G，

7、连接AF，FG（1）求证：四边形AFGD为菱形；（2）连接AG，若BC2，求AG的长【模型4 连接直角顶点，构造斜中定】【典例4】用三种方法证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半已知：如图，BCA90，ADDB求证：CDAB【变式4-1】直角三角形斜边上的中线长为10，则该斜边长为（）A5B10C15D20【变式4-2】如图，点E是ABC内一点，AEB90，D是边AB的中点，延长线段DE交边BC于点F，点F是边BC的中点若AB6，EF1，则线段AC的长为（）A7BC8D9【变式4-3】用两种方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”已知：如图1，在RtABC中，ACB90，CD是斜边

8、AB上的中线求证：CDAB证法1：如图2，在ACB的内部作BCEB，CE与AB相交于点EBCEB， BCE+ACE90，B+ACE90又 ，ACEAEAECEAEBEC，即CE是斜边AB上的中线，且CEAB又CD是斜边AB上的中线，即CD与CE重合，CDAB请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2 专题02 中点四大模型在三角形中应用（知识解读）【专题说明】 线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和后面学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？等腰三角形三线合一；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；还是中位线定理？今天我们重点

9、探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延长中线交平行的应用。【方法技巧】模型1 ：倍长中线法如图，在ABC中，AD是BC边上的中线. 当题中出现中线时，我们经常根据需要将AD延长，使延长部分和中线相等，这种方法叫做“倍长中线”.如下图：此时，易证ACDEDB，进而得到AC=BE且AC/BE. 模型2：平行线夹中点如图，AB/CD，点E是BC的中点.可延长DE交AB于点F. 模型3：中位线如图，在ABC中，点D是AB边的中点.可作另一边AC的中点，构造三角形中位线.如下图所示：由中位线的性质可得，DE/BC且DE=1/2BC. 模型4：连接直角顶点，构造斜中定理 【典例分析】【模型1 倍长中线法

10、】【典例1】【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，ABC中，若AB8，AC6，求BC边上的中线AD的取值范围小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DEAD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到ADCEDB的理由是 ASSS BSAS CAAS DHL（2）求得AD的取值范围是 A6AD8 B6AD8 C1AD7 D1AD7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中【问题解决】（3）如图2，AD是ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AEEF求

11、证：ACBF【解答】（1）解：在ADC和EDB中，ADCEDB（SAS），故选B；（2）解：由（1）知：ADCEDB，BEAC6，AE2AD，在ABE中，AB8，由三角形三边关系定理得：862AD8+6，1AD7，故选C（3）证明：延长AD到M，使ADDM，连接BM，AD是ABC中线，CDBD，在ADC和MDB中ADCMDB，BMAC，CADM，AEEF，CADAFE，AFEBFD，BFDCADM，BFBMAC，即ACBF【变式1-1】（1）在ABC中，AB5，AC3，求BC边上的中线AD的取值范围（2）受到（1）启发，请你证明下面的问题：如图，在ABC中，D是BC边上的中点，DEDF，DE交

12、AB于点E，DF交AC于点F，连接EF求证：BE+CFEF.【解答】解：（1）延长AD到点E，使DEAD，连接BE，AD是BC边的中线，BDDC，ADCBDE，ADCEDB（SAS），BEAC3，在ABC中，AB5，53AE5+3，2AE8，22AD8，1AD4；（2）延长FD到点G，使GDDF，连接BG，EG，D是BC边上的中点，BDDC，BDGCDF，BDGCDF（SAS），BGCF，DEDF，ED是GF的垂直平分线，EGEF，在BEG中，BE+BGEG，BE+CFEF【变式1-2】如图，在ABC中，已知：点D是BC中点，连接AD并延长到点E，连接BE（1）请你添加一个条件使ACDEBD，

13、并给出证明（2）若AB5，AC3，求BC边上的中线AD的取值范围【解答】（1）结论：若要使ACDEBD，应添上条件：ACBE或ADDE；证明：当ACBE时，ACBE，CADE，ACDEBD，又D为BC的中点，BDCD，在ACD和EBD中，ACDEBD（AAS）；当ADDE时，点D是BC中点，BDDC，在ACD和EBD中，ACDEBD（SAS），（2）解：ACDEBD，ACBE3，在ABE中，ABBEAEAB+BE，即532AD5+3，22AD8，1AD4【变式1-3】阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且BAECDE求证：ABCD分析：证明两条线

14、段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证明ABCD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中两种对原题进行证明（1）延长DE到F，使得EFDE；（2）作CGDE于G，BFDE于F交DE的延长线于F；（3）过点C作CFAB交DE的延长线于F【解答】解：方法一：延长DE到F，使得EFDE，连接BF在DEC和FEB中，DECFEB，DF，DCFB，BAED，BAEF，BABF，ABCD方法二：作CGDE于G，BFDE于F交DE

15、的延长线于FCGDE，BFDE，CGEBFE90，在CGE和BFE中，CGEBFE，BFCG，在ABF和DCG中，ABFDCG，ABCD方法三：过点C作CFAB交DE的延长线于FCFAB，BAEF，BFCE，在ABE和FCE中，ABEFCE，ABFC，BAED，BAEF，DF，CFCD，ABCD【模型2 平行线夹中点】【典例2】如图，已知AB12，ABBC，垂足为点B，ABAD，垂足为点A，AD5，BC10，点E是CD的中点，求AE的长【解答】解：如图，延长AE交BC于点F，点E是CD的中点DECE，ABBC，ABADADBCADEBCE且DECE，AEDCEFAEDFEC（ASA）ADFC5

16、，AEEFBFBCFC5在RtABF中，AF13AE【变式2-1】如图，ABCD，BCD90，AB1，BC4，CD3，取AD的中点E，连结BE，则BE【答案】【解答】解：延长BE交CD于点F，ABCD，ABEDFE，在ABE与DFE中，ABEDFE（ASA），BEEFBF，ABDF1，CF2，BF2，BEBF，故答案为：【变式2-2】如图，公园有一条“Z”字形道路ABBCCD，其中ABCD，在E、M、F处各有一个小石凳，且BECF，M为BC的中点，连接EM、MF，请问石凳M到石凳E、F的距离ME、MF是否相等？说出你推断的理由【解答】解：石凳M到石凳E、F的距离ME、MF相等理由如下：ABCD

17、，BC，又M为BC中点，BMMC在BEM和CFM中，BEMCFM（SAS），MEMF即石凳M到石凳E、F的距离ME、MF相等【变式2-3】如图：已知ABCD，BCCD，且CD2AB12，BC8，E是AD的中点，请你用直尺（无刻度）作出一条线段与BE相等；并证明之；求BE的长【解答】解：延长BE与CD相交于点F，则EFBE，证明：ABCD，AD，ABEDFE，E是AD的中点，AEDE，在AEB与DEF中，AEBDEF（AAS），BEEF；AEBDEF，DFAB6，BEEFBF，CFCDDF6，BCCD，BF10，BEBF5【模型3 中位线】【典例3】如图，ABC中，AD平分BAC，E是BC中点，

18、ADBD，AC7，AB4，则DE的值为（）A1B2CD【答案】D【解答】解：延长BD交AC于H，在ADB和ADH中，ADBADH（ASA）AHAB4，BDDH，HCACAH3，BDDH，BEEC，DEHC，故选：D【变式3-1】如图，在ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若DEF的周长为10，则ABC的周长为 【答案】20【解答】解：点D，E，F分别是ABC的AB，BC，CA边的中点，EF、DE、DF为ABC的中位线，EFAB，DFBC，DEAC，AB2EF，BC2DF，AC2DE，DEF的周长为10，EF+DE+DF10，2EF+2DE+2DF20，AB+BC+AC20，AB

19、C的周长为20故答案为：20【变式3-2】如图，等边ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使，连接CD和EF（1）求证：CDEF；（2）四边形DEFC的面积为 【解答】（1）证明：在ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，DE为ABC的中位线，DEBC，CFBC，DECF（2）解：过点D作DHBC于HABC是等边三角形，ACBC，ACB60，ADBD，CDAB，DCBACB30，BC4，BD2，CD，DHC90，DHDC，DE为ABC的中位线，DECF，DECFBC2，四边形DEFC是平行四边形，S四边形DEFCCFDH22故答案为：2【变式3-3】如图，在平行四边形

20、ABCD中，点E在BC的延长线上，CEDE2BCCD的中点为F，DE的中点为G，连接AF，FG（1）求证：四边形AFGD为菱形；（2）连接AG，若BC2，求AG的长【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ADBC，DE的中点为G，DE2DG，CD的中点为F，FG是DFG的中位线，CE2FG，FGCE，FGAD，CEDE2BC，FGDGBC，ADFG，四边形AFGD是平行四边形，FGDG，四边形AFGD为菱形；（2）解：连接AG交DF于点O，四边形ABCD是平行四边形，BADO，ADBC2，四边形AFGD为菱形，AGDF，AG2AO，在RtADO中，tanADO，设AO3x，D

21、O2x，AO2+DO2AD2，（3x）2+（2x）24，x或x（舍去），AG2AO，AG的长为【模型4 连接直角顶点，构造斜中定】【典例4】用三种方法证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半已知：如图，BCA90，ADDB求证：CDAB【解答】解：证法1：如图2，在ACB的内部作BCEB，CE与AB相交于点EBCEB，ECEB，BCE+ACE90，B+ACE90又A+B90，ACEAEAECEAEBEC，即CE是斜边AB上的中线，且CEAB又CD是斜边AB上的中线，即CD与CE重合，CDAB；证法2：延长CD至点E，使得DECD，连接AE、BE如图3所示：ADDB，DECD四边形ACBE是平

22、行四边形又ACB90，四边形ACBE是矩形ABCE，又CDCE，CDAB；证法3：延长CD到E，使DECD，连接AE，CD是斜边AB的中线，BDAD，CDBEDA，CDDE，CDBEDA（SAS），CBAE，BDAE，CBAE，BCA+ACE180，ACB90，CAE90，CBAE，BCAEAC90，ACCAABCCEA（SAS），ABCECE2CDAB2CD【变式4-1】直角三角形斜边上的中线长为10，则该斜边长为（）A5B10C15D20【答案】D【解答】解：根据直角三角形斜边上的中线的性质，可得斜边长21020，故选：D【变式4-2】如图，点E是ABC内一点，AEB90，D是边AB的中点

23、，延长线段DE交边BC于点F，点F是边BC的中点若AB6，EF1，则线段AC的长为（）A7BC8D9【答案】C【解答】解：AEB90，D是边AB的中点，AB6，DEAB3，EF1，DFDE+EF3+14D是边AB的中点，点F是边BC的中点，DF是ABC的中位线，AC2DF8故选：C【变式4-3】用两种方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”已知：如图1，在RtABC中，ACB90，CD是斜边AB上的中线求证：CDAB证法1：如图2，在ACB的内部作BCEB，CE与AB相交于点EBCEB， BCE+ACE90，B+ACE90又 ，ACEAEAECEAEBEC，即CE是斜边AB上的中线，且CEAB又CD是斜边AB上的中线，即CD与CE重合，CDAB请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2【解答】解：证法1：如图2，在ACB的内部作BCEB，CE与AB相交于点EBCEB，ECEB，BCE+ACE90，B+ACE90又A+B90，ACEAEAECEAEBEC，即CE是斜边AB上的中线，且CEAB又CD是斜边AB上的中线，即CD与CE重合，CDAB 故答案为：ECEB；A+B90；证法2：延长CD至点E，使得DECD，连接AE、BE如图3所示：ADDB，DECD四边形ACBE是平行四边形又ACB90，四边形ACBE是矩形ABCE，又CDCE，CDAB