专题02 代数式（解析版）.docx

1、专题02 代数式核心考点聚焦1、学会用字母表示数，并会总结图形的规律；2、从代数式的分类中认识单项式和多项式，并会写出它们的系数、指数、项数，了解降幂、升幂的写法；3、根据字母和式子的值，代入代数式求值；4、熟练运用合并同类项和去括号法则去化简代数式；5、熟练整式化简。一、代数式如：16n ，2a+3b ，34 ，等式子，它们都是用运算符号(、乘方、开方)把数和表示数的字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式注：代数式的书写规范：（1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“ ”或省略不写；（2）除法运算一般以分数的形式表示；（3）字母与数字相乘时，通常把

2、数字写在字母的前面；（4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式；（5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写二、整式的相关概念 1单项式：由数与字母的乘积积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式 要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和 2多项式：几个单项式的和叫做多项式在多项式中，每个单项式叫做多项式的项注：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式3. 多

3、项式的降幂与升幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列注：（1）利用加法交换律重新排列时，各项应连同它的符号一起移动位置；（2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列4整式：单项式和多项式统称为整式三、整式的加减1同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项所有的常数项都是同类项注：辨别同类项要把准“两相同，两无关”：（1）“两相同”是指：所含字母相同；相同字母的指数相同；（2）“两无关”是指：与系数无关；与字母的排列顺

4、序无关2合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项注：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变3去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变4添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变5整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项考点剖析例1：甲乙两地相距，某人计划到达，现在因为路上发生事故，延

5、后了到达，相比于原计划，平均每小时会少走（）ABCD【答案】D【分析】根据速度=路程时间，分别表示出原计划的速度和实际的速度即可得出答案.【详解】解：原计划的速度=km/h，实际行走的速度=km/h，所以相比于原计划，平均每小时会少走.故选D.【点睛】本题考查了列代数式的知识，属于基础题型，用含s、a的代数式表示出原计划的速度和实际的速度是解题的关键.变式1-1：一个三位数,个位上的数字是a，十位上的数字是个位上数字的平方,百位上的数字是个位上数字的立方，则这个三位数是 【答案】【分析】根据题意写出该三位数的十位数字和百位数字，再写出这个三位数即可.【详解】个位上的数字是a，十位上的数字是个位

6、上数字的平方，所以十位上的数字为；百位上的数字是个位上数字的立方，所以百位上的数字为；所以该三位数为 故答案为【点睛】本题考查列代数表示三位数，熟练掌握数字表示方式是解题关键.变式1-2：（1）把一堆黑色棋子按图1所示的规律排列起来，摆成第n个“口”需要a枚黑色的棋子，请用含n的代数式表示：_.？第1个“口”第2个“口”第3个“口”第n个“口”（2）把一堆黑色和白色棋子按图2所示的规律排列起来：图2求：从前往后数，第2018枚棋子的颜色.（3）把一堆黑色和白色棋子按图3所示的规律排列起来：图3若图3中的黑色棋子全部由图1中的a枚黑色棋子充当，用完为止（黑色棋子共有a枚），按照这样的规律摆放至以

7、黑色棋子收尾，当，请列式并计算：这时，图3中黑、白棋子的总数是多少？【答案】（1）4n（2）白色（3）1375枚【分析】（1）根据摆成第1个“口” ，第2个“口”，第3个“口”需要的黑色的棋子的个数发现规律即可求出摆成第n个“口”需要a枚黑色的棋子的个数；（2）发现摆的棋子为6个一循环，故可求出第2018枚棋子的颜色；（3）当时，所以黑白棋子交叉出现50次，由黑棋子每次都是2枚，白棋子每次多1枚，故可分别求出黑白棋子的个数，再相加即可.【详解】（1）摆成第1个“口” 需要的黑色的棋子的个数为4，第2个“口”需要的黑色的棋子的个数为8，第3个“口”需要的黑色的棋子的个数为12故摆成第n个“口”需

8、要a枚黑色的棋子为4n；（2）因为，所以第2018枚棋子与第2枚颜色相同，是白色.（3）当时，所以黑白棋子交叉出现50次，黑棋子每次都是2枚，白棋子每次多1枚.白棋子数量：（枚）.总数：（枚）.答：黑白棋子的数量为1375枚.【点睛】此题主要考查图形的规律探索，解题的关键是根据已知的图形特点找到规律.例2：下列说法中，正确的是（）A不是整式B的系数是，次数是3C3是单项式D多项式是五次二项式【答案】C【分析】本题主要考查了单项式、多项式及整式，分数和字母的积的形式是单项式，多项式是由若干个单项式相加组成的代数式，单项式和多项式统称为整式，解题的关键是熟记单项式、多项式及整式的定义【详解】解：A

9、、是分数和字母的积，是单项式，所以是整式，原说法错误，A选项错误；B、的系数是，次数是3，原说法错误，B选项错误；C、3是单项式，原说法正确，C选项正确；D、多项式是三次二项式，原说法错误，D选项错误；故选：C变式2-1：有若干个数，第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，第n个数记为，若，从第二个数起，每个数都等于1与它前面那个数的差的倒数，则值为 【答案】3【分析】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题根据每个数都等于与前面那个数的差的倒数，求出前4个数，进而得出规律，从而推导各数的结果【详解】解：，数列以，3三个数字依次不断循环出现，故答案为：3变式2-2：（

10、1）观察发现：填空，_；（2）迁移应用：填空_；_；（3）拓展研究：计算【答案】（1）；（2）；（3）【分析】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，（1）根据题目中的式子可以写出第n个等式的结果；（2）根据（1）中的结果，可以写出所求式子的结果；根据题目中式子的特点，可以写出相应的结果；（3）根据题目中式子的特点，可以计算出所求式子的值解答本题的关键是明确题意，发现题目中式子的变化特点，求出所求式子的值【详解】解：（1）根据题意得：，故答案为：；（2） ；故答案为：；（3）原式例3：若m与互为相反数，n的相反数是最大的负整数，则的值为（）ABC1D13【答案】B【分析】本题考查了相反数，最大

11、负整数是，有理数的乘法，代数式的值，熟练掌握定义计算是解题的关键【详解】解：m与互为相反数，n的相反数是最大的负整数，故选：B变式3-1：若多项式的值为9，则多项式的值为 【答案】【分析】本题主要考查整体代入法求代数式的值，并结合有理数的加减运算即可【详解】解：，故答案为：变式3-2：某商店推出两种优惠方案：购1个书包，赠送1支笔；购书包和笔一律按9折优惠已知每个书包定价20元，每支笔定价5元，小丽和同学需买书包4个，笔x支（x不少于4支）(1)按优惠方案购买的书包和笔的总费用为 ，按优惠方案购买的书包和笔的总费用为 元；（用含x的式子表示，化为最简形式）(2)若，通过计算说明，按方案购买还是

12、方案购买较为合算？(3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？请直接写出你的购买方案【答案】(1)元，(2)按方案购买较为合算，见解析(3)当时，运用优惠方案购4个书包，再运用优惠方案购26支笔进行购买更优惠【分析】此题考查了运用代数式解决实际问题的能力，关键是能准确根据题意列出代数式，并能进行正确地计算（1）按照两种购买方案分别进行求解；（2）将分别代入两种购买方案关系式进行求解、比较；（3）根据题意运用优惠方案购4个书包，再运用优惠方案购26支笔进行购买【详解】（1）由题意得，按优惠方案购买的书包和笔的总费用为：元，按优惠方案购买的书包和笔的总费用为：元，故答案为：元，；（2）由题意得，

13、当时，（元；（元，按方案购买较为合算；（3）当时，运用优惠方案购4个书包，再运用优惠方案购26支笔进行购买更优惠例4：已知和是同类项，则的值是（）AB1C2023D【答案】A【分析】本题主要考查了同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，根据同类项的概念求得m与n的值，代入即可求得答案【详解】解：和是同类项，故选：A变式4-1：若，那么 【答案】【分析】本题考查了合并同类项，根据合并同类项法则计算即可，解决问题的关键在于掌握合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变【详解】解：，解得，故答案为：变式4-2：某同学做一道数学题，已知两个多项和，试求，

14、这位同学把看成，结果求出的答案为(1)求多项式；(2)请你替这位同学求出的正确答案【答案】(1)(2)【分析】本题考查了整式加减，应用去括号，合并同类项的方法，根据题意可知：（1），然后将B代入再化简即可；（2）根据（1）中的结果和B，可以计算出正确的结果【详解】（1）解：同学把看成，结果求出的答案为，；（2），例5：下列各式去括号正确的是（）ABCD【答案】A【分析】本题主要考查去括号与添括号的知识，去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是 ，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是 ，去括号后，括号里的各项都改变符号运用这一法则去掉括号即可【详解】解

15、：A、，此选项正确，B、，此选项错误，C、，此选项错误，D、，此选项错误，故选：A变式5-1：若多项式的值为8，则多项式的值为 【答案】6【分析】本题主要考查了代数式求值，利用整体代入的思想求解是解题的关键先求出，再根据进行求解即可【详解】解：多项式的值为8，故答案为：6变式5-2：若关于x的多项式不含三次项和一次项(1)求m、n的值(2)求出的值【答案】(1)(2)15【分析】本题考查了合并同类项，代数式求值正确的合并同类项是解题的关键（1），由题意知，计算求解即可；（2）将代入计算求解即可【详解】（1）解：，多项式不含三次项和一次项，解得，；（2）解：将代入得，的值为15例6：已知数a，b

16、，c在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（）AB CD 【答案】C【分析】从数轴上得到：，再根据绝对值运算结果的正负去掉绝对值符号，计算出结果本题考查了绝对值和数轴的应用，关键根据数轴上的点来判断绝对值运算的结果【详解】解：，故选：C变式6-1：如图，长方形是由正方形A与B和长方形、组成，若长方形、的周长之比为，则正方形A与B的面积之比为 【答案】【分析】本题考查正方形的周长面积公式，整式的加减法，列代数式，表示出两个正方形边长之间的数量关系是解题的关键设正方形的边长为，正方形的边长为，根据图形分别得出长方形、的长和宽，再根据长方形、的周长之比，得到，即可求出正方形、的面积之比【详解】解：设正

17、方形的边长为，正方形的边长为，长方形的宽为，长为；长方形的长，宽为，长方形的长为，宽为，长方形、的周长之比为，故答案为：变式6-2：【问题背景】定义一种新运算“*”：其运算结果的符号同号取正，异号取负，数值为其绝对值相加的和，0与图任何数进行“*”的运算都得这个数的绝对值例如：，；，；，；【问题再现】（1）计算：；【拓展提升】（2）计算：【答案】（1）；（2）当时，；当时，；当时，【分析】本题主要考查了新定义下的有理数的乘除混合运算，根据新定义运算法则计算即可（1）按新定义下的运算法则先计算括号里面的，再算外面的即可（2）根据题意分类讨论a的情况，然后根据分类按照新定义下的运算法则计算即可【详

18、解】解：，则；（2）当时，原式；当时，原式；当时，原式；综上，当时，原式；当时，原式；当时，原式难点1：代数式中的整体思想阅读材料：我们知道，类似地，我们把看成一个整体，则； “整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛 尝试应用：（1）把看成一个整体，合并的结果是 15 （2）已知，求的值；拓广探索：（3）已知，求的值【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（）利用整体思想，把看成一个整体，合并即可得到结果；（）原式可化为，把整体代入即可；（）依据，即可得到，整体代入进行计算即可；本题考查了代数式求值，熟练掌握整体的思想是解题的关键【详解】（1），故答

19、案为：；（2），原式，；（3），原式难点2：代数式中的规律探索规律(1)观察上面的图，发现：图空白部分小正方形的个数是图空白部分小正方形的个数是图空白部分小正方形的个数是_(2)像这样继续排列下去，你会发现一些有趣的规律，请你再写出一道算式：_(3)运用规律计算：【答案】(1)(2)（答案不唯一）(3)【分析】本题考查图形类规律探究；（1）结合图形，进行作答即可；（2）根据已有的等式得到，写出一道算式即可；（3）先运用规律，计算括号内，再进行除法计算即可【详解】（1）解：图空白部分小正方形的个数是；故答案为：；（2）由：， ，可得：，则：再写出一道算式可以为：；（答案不唯一）；故答案为：（答案

20、不唯一）；（3）难点3：代数式中的销售问题某商场销售一种西装和领带，西装每套定价元，领带每条定价元国庆节期间商场决定开展促销活动方案一：买一套西装送一条领带；方案二：西装和领带都按定价的付款现某客户要到该商场购买西装套，领带条(1)若该客户按方式一购买，需付款_元（用含的式子表示）；若该客户按方式二购买，需付款_元（用含的式子表示）(2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？(3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？请写出你的购买方案，并计算出所需费用【答案】(1)，(2)按方案二购买较合算(3)先按方案一购买套西装获赠送条领带，再按方案二购买条领带所需费用为：元【分析】本题考查了列

21、代数式及代数式的求值，正确列出代数式是解决本题的关键（1）先列出代数式，再化简，得到答案；（2）把代入两个方案中，计算求值；（3）通过计算优选购买方案【详解】（1）解：根据题意得：客户要到该商场购买西装套，领带条方案一费用：元；方案二费用：；故答案为：，（2）当时，方案一：（元），方案二：（元），所以，按方案二购买较合算；（3）先按方案一购买套西装获赠送条领带，再按方案二购买条领带所需费用为：（元），是最省钱的购买方案难点4：代数式中的整除阅读材料，完成下列问题：材料一：若一个四位正整数（各个数位均不为0），十位和千位数字相同，个位和百位数字相同，则称该数为“双生数”例如：3131、4646都

22、是“双生数”材料二：将一个四位正整数的百位和十位交换位置后得到一个四位数，规定例如：若为1234，则为1324，所以；若为1226，则为1226，所以(1)填空： ；(2)证明任意“双生数”的一定能被10整除：(3)若一个“双生数”（，且、为整数），当能被7整除时，求出满足条件的所有值中的最小值【答案】(1)(2)见解析(3)满足条件的所有值中的最小值为【分析】此题主要考查了新定义，整除问题，根据新定义表示要求的式子是解本题的关键（1）直接利用新定义计算即可得出结论；（2）设任意“双生数”的千位和十位数字为x，百位和个位数字为y，表示出即可；（3）把合并，再用a、b表示，最后计算即可【详解】（

23、1）解：，故答案为：（2）证明：设任意“双生数”为（，且、均为整数）则 ，均为整数 也必为整数任意“双生数”的一定能被10整除；（3）当时，由题：为整数，为7的倍数 或14或21或28经讨论得： 当时，为“双生数” 由题：为整数，为7的倍数 或7即或8又满足条件的所有值中的最小值为难点5：代数式中的新定义【定义】一个多元多项式（这里的“元”指的是多项式中的字母），如果把其中任意两个元互换，所得的结果都与原多项式相同，则称此多项式是关于这些元的对称多项式如、都是关于元、的对称多项式【理解】(1)请根据上述对称多项式的概念，写出一个新的对称多项式_【应用】(2)请判断是否是对称多项式？并说明理由【

24、拓展】(3)两个任意的对称多项式的和或差一定是对称多项式吗？若是，请说明理由；若不是，请举出一个反例【答案】(1)(2)不是，见解析(3)不是，见解析【分析】（1）根据对称多项式的概念求解即可；（2）根据题意将x和y互换，然后根据对称多项式的概念求解即可；（3）根据题意举例求解即可【详解】（1）根据对称多项式的概念可得，写出一个新的对称多项式为：，故答案为：（2）解：不是对称多项式，理由如下：因为将原多项式中的与互换，新的多项式为：所以所以不是对称多项式；（3）不是，如是关于元、的对称多项式，是关于元、的对称多项式，不是对称多项式两个任意的对称多项式的和或差不一定是对称多项式【点睛】此题考查了

25、列代数式，整式的加减运算，解题的关键是读懂题意真题感知1（2022江苏泰州统考中考真题）下列计算正确的是()ABCD【答案】A【分析】运用合并同类项的法则1合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数之和，且字母连同它的指数不变字母不变，系数相加减2同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变即可得出答案【详解】解：A、，故选项正确，符合题意； B、，故选项错误，不符合题意；C、，故选项错误，不符合题意；D、不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意；故选：A【点睛】本题考查了合并同类项，解题的关键是知道如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么

26、就称这两个单项式为同类项，还要掌握合并同类项的运算法则2（2021江苏连云港统考中考真题）下列运算正确的是（）ABCD【答案】D【分析】根据同类项与合并同类项、全完平方差公式的展开即可得出答案【详解】解：A，与不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意；B，与不是同类项，不能合并得到常数值，故选项错误，不符合题意；C，合并同类项后，故选项错误，不符合题意；D，完全平方公式：，故选项正确，符合题意；故选：D【点睛】本题考查了代数式的运算，同类项合并及完全平方差公式，解题的关键是：掌握相关的运算法则3（2023江苏南通统考中考真题）若，则的值为（）A24B20C18D16【答案】D【分析】根据得

27、到，再将整体代入中求值【详解】解：，得，变形为，原式故选：D【点睛】本题考查代数式求值，将变形为是解题的关键4（2019江苏泰州统考中考真题）若，则代数式的值为（）A-1B1C2D3【答案】B【分析】先将代数式变形后，再整体代入即可得结论【详解】故选B【点睛】此题考查代数式的求值，根据代数式的特点将原式变形，再整体代入已知条件是解题的关键5（2023江苏统考中考真题）若，则的值是 【答案】3【分析】根据已知得到，再代值求解即可【详解】解：，故答案为：3.【点睛】本题考查代数式求值，利用整体思想求解是解答的关键6（2023江苏泰州统考中考真题）若，则的值为 【答案】【分析】由，可得，根据，计算求

28、解即可【详解】解：由，可得，故答案为：【点睛】本题考查了代数式求值解题的关键在于正确的运算7（2021江苏苏州统考中考真题）若，则的值为 【答案】3【分析】根据，将式子进行变形，然后代入求出值即可【详解】 ，=3m(m+2n)+6n=3m+6n=3(m+2n)=3故答案为：3【点睛】本题考查了代数式的求值，解题的关键是利用已知代数式求值8（2019江苏苏州统考中考真题）若，则的值为 .【答案】5【分析】将变形可得，因为，所以得到a=2，再求出b，得到a+b【详解】将变形可得，因为，所以，得到a=2，将a=2带入，得到b=3，所以a+b=5，故填5【点睛】本题考查代数式的求值，以及二元一次方程组

29、的解法，本题也可采用加减消元或者代入消元法进行解题9（2021江苏扬州统考中考真题）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为 【答案】1275【分析】首先得到前n个图形中每个图形中的黑色圆点的个数，得到第n个图形中的黑色圆点的个数为，再判断其中能被3整除的数，得到每3个数中，都有2个能被3整除，再计算出第33个能被3整除的数所在组，为原数列中第50个数，代入计算即可【详解】解：第个图形中的黑色圆点的个数为：1，第个图形中的黑色圆点的个数为：=3，第个图形中的黑色圆点的个

30、数为：=6，第个图形中的黑色圆点的个数为：=10，.第n个图形中的黑色圆点的个数为，则这列数为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，.，其中每3个数中，都有2个能被3整除，332=16.1，163+2=50，则第33个被3整除的数为原数列中第50个数，即=1275，故答案为：1275【点睛】此题考查了规律型：图形的变化类，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律10（2019江苏盐城统考中考真题）【生活观察】甲、乙两人买菜，甲习惯买一定质量的菜，乙习惯买一定金额的菜，两人每次买菜的单价相同，例如：菜价元千克质量金额甲千克元乙千克元菜价元千克质量金额甲千克_元乙_千

31、克元（1）完成上表；（2）计算甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价（均价总金额总质量）【数学思考】设甲每次买质量为千克的菜，乙每次买金额为元的菜，两次的单价分别是元千克、元千克，用含有、的式子，分别表示出甲、乙两次买菜的均价、比较、的大小，并说明理由【知识迁移】某船在相距为的甲、乙两码头间往返航行一次，在没有水流时，船的速度为所需时间为：如果水流速度为时（），船顺水航行速度为（），逆水航行速度为（），所需时间为请借鉴上面的研究经验，比较、的大小，并说明理由【答案】【生活观察】：（1）见解析表；（2）甲两次买菜的均价是元千克：乙两次买菜的均价是元千克；【数学思考】：当时，当时，见解析；【知识迁移】：，见解析.【分析】（1）根据单价、质量与金额的关系，进行求解.（2）根据均价总金额总质量，进行求解.【数学思考】：根据均价总金额总质量，进行表示与大小比较.【知识迁移】：根据时间=路程速度，进行表示与大小比较.【详解】（1）根据单价、质量与金额的关系，可得甲的金额和乙的质量，如图表所示第二次：菜价元千克质量金额甲千克元乙千克元（2）根据均价总金额总质量，甲两次买菜的均价为元千克，乙两次买菜的均价为元千克.【数学思考】：，当时，当时，【知识迁移】：，；，又，【点睛】本题考查“单价=金额质量”，“时间=路程速度”公式的综合应用，以及代数式的值的大小判别.