专题02 全等三角形中的半角模型(原卷版).docx

1、专题02 全等三角形中的半角模型 【模型展示】特点过正方形ABCD顶角顶点（设顶角为A），引两条射线且它们的夹角为A2；这两条射线与过底角顶点的相关直线交于两点E、F，则BE,EF,FC之间必存在固定关系。这种关系仅与两条相关直线及顶角A相关.【模型证明】解决方法以点A为中心，把ADF（顺时针或逆时针）旋转角A度，至ABF；结论1、AMN全等于AMN，MN=MN;2、AEF全等于AEF，EF=EFBE+EF=EF;3、；4、CEF的周长等于正方形ABCD的一半；5、点A到EF的距离等于正方形的边长（AB）。应用环境1：顶角为特殊角的等腰三角形，如顶角为30、45、60、75或它们的补角、90；

2、2：正方形、菱形等也能产生等腰三角形；3：过底角顶点的两条相关直线：底边、底角两条平分线、腰上的两高、底角的邻补角的两条角平分线，底角的邻余角另外两边等；正方形或棱形的另外两边；4：此等腰三角形的相关弦.【模型拓展】证明90中夹45(正方形中的半角模型)条件：在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，EAF=45，BD为对角线，交AE于M点，交AF于N点。结论：图1、2中，EF=BE+FD证明：如图3中，将AF绕点A顺时针旋转90，F点落在F处，连接BF，EAF=90-EAF=90-45=45=EAF，且AE=AE，AF=AF，FAEFAE(SAS)，EF=EF，又D=ABF=90，

3、ABE=90，ABE+ABF=90+90=180，F、B、E三点共线，EF=BE+BF=BE+DF。结论：图2中MN=BM+DN；证明：如图4中，将AN绕点A顺时针旋转90，N点落在N处，连接AN、BN、MN，NAM=90-EAF=90-45=45=MAN，且AM=AM，AN=AN，MANMAN(SAS)，MN=MN，又ADN=45=ABN，ABD=45，MBN=ABD+ABN=45+45=90，在RtMBN中，MN=BM+BN，即MN=BM+BN。结论：图1、2中EA平分BEF，FA平分DFE。证明过程见证明中时FAEFAE即可。结论：图1、2中。证明：如图5中，过A点作AHEF于H点，由结

4、论可知：AEH=AEB，且AHE=ABE=90，AE=AE，AEBAEH(AAS)，AH=AB=AD，进而可以证明AHFADF(AAS)，.【题型演练】一、单选题1如图，四边形ABCD内接于O，ABAD，BCD120，E、F分别为BC、CD上一点，EAF30，EF3，DF1则BE的长为（）A1B2C3D42如图，点M、N分别是正方形ABCD的边BC、CD上的两个动点，在运动过程中保持MAN45，连接EN、FM相交于点O，以下结论：MNBM+DN；BE2+DF2EF2；BC2BFDE；OMOF（）ABCD二、填空题3如图，在RtABC和RtBCD中，BACBDC90，BC4，ABAC，CBD30

5、，M，N分别在BD，CD上，MAN45，则DMN的周长为_4如图，在边长为6的正方形内作，交于点，交于点，连接，将绕点顺时针旋转90得到，若，则的长为_5如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，BC上，若F是BC的中点，且EDF45，则DE的长为 _三、解答题6正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且EDF=45.将DAE绕点D逆时针旋转90，得到DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长7已知，如图所示，正方形中，分别在边，上，且，分别交于，连，求证：.8如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，将绕点A顺时针旋转 后，得到，连接

6、EM，AE，且使得（1）求证：；（2）求证：.9已知：边长为4的正方形ABCD，EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且EAF45，连接EF求证：EFBE+DF思路分析：(1)如图1，正方形ABCD中，ABAD，BADBADC90，把ABE绕点A逆时针旋转90至ADE，则F、D、E在一条直线上，EAF 度，根据定理，可证：AEFAEFEFBE+DF类比探究：(2)如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写出证明过程；拓展应用：(3)如图3，在ABC中，ABAC，D、E在BC上，BAC2DAE若SABC14，SADE6，求线段BD、DE、EC围成的

7、三角形的面积10如图1，在菱形ABCD中，AC2，BD2，AC，BD相交于点O(1)求边AB的长；(2)求BAC的度数；(3)如图2，将一个足够大的直角三角板60角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60角的两边分别与边BC，CD相交于点E，F，连接EF判断AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由11（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，ECG=45，求证EG=BE+GD（2）请用（1）的经验和知识完成此题：如图2，在四边形ABCD中，AG/BC(BCAG)，B=90，AB=BC=12，E是AB上一点，且ECG=45，BE=4，求EG的长？12如

8、图，点E是正方形ABCD的边BC上一点，连接DE，将DE绕着点E逆时针旋转90，得到EG，过点G作GFCB，垂足为F，GHAB，垂足为H，连接DG，交AB于I(1)求证：(2)求证：四边形BFGH是正方形；(3)求证：ED平分CEI13学完旋转这一章，老师给同学们出了这样一道题：“如图1，在正方形ABCD中，EAF45，求证：EFBEDF”小明同学的思路：四边形ABCD是正方形，ABAD，BADC90把ABE绕点A逆时针旋转到的位置，然后证明，从而可得，从而使问题得证(1)【探究】请你参考小明的解题思路解决下面问题：如图2，在四边形ABCD中，ABAD，BD90，直接写出EF，BE，DF之间的数量关系(2)【应用】如图3，在四边形ABCD中，ABAD，BD180，求证：EFBEDF(3)【知识迁移】如图4，四边形ABPC是的内接四边形，BC是直径，ABAC，请直接写出PBPC与AP的关系