专题02 垂径定理及其应用（解析版）.docx

1、专题02 垂径定理及其应用l 圆的对称性圆的轴对称性：过圆心的任一条直线（直径所在的直线）都是它的对称轴。垂径定理垂径定理包含两个条件和三个结论，即条件结论 符号语言：推论1：在（1）、（2）、（3）、（4）、（5）中，任意两个成立，都可以推出另外三个都成立。推论2：平行的两弦之间所夹的两弧相等。相关概念：弦心距：圆心到弦的距离（垂线段OE）。应用链接：垂径定理常和勾股定理联系在一起综合应用解题（利用弦心距、半径、半弦构造RtOAE）。圆的对称性以及垂径定理例题讲解一、 概念考察【例1】下面四个命题中正确的一个是（ ）A平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C

2、弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心【答案】D【解析】平分弦（不是直径）的直径，垂直于弦，A说法错误 过圆心且平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦，B错误 弦的垂直平分线必经过这条弦所在圆的圆心，C错误【例2】下列命题中，正确的是（）A过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B过弦的中点的直线必过圆心C弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 D弦的垂线平分弦所对的弧【答案】C【解析】A、B都未指出这条直线应该为垂线，所以AB都错误 D未说明过弦的中点，所以错误【例3】如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，那么以下结论正确的选项是A、AE=BE

3、B、= C、BOC是等边三角形 D、四边形ODBC是菱形【答案】B【解析】ABCD，AB过O，DE=CE，=，(垂径定理）不能推出DE=BE，BOC是等边三角形，四边形ODBC是菱形【例4】如图，已知在O中，AB是弦，半径OCAB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（）A ADBDBOC2CDCCADCBDDOCAOCB【答案】B【解析】OC2CD理由如下：在O中，AB是弦，半径OCAB，ADDB，OC2CD，ADBD，DOCD，ABCO，四边形OACB为菱形【例5】下列命题：（1）垂直于弦的直线平分弦；（2）平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

4、；（3）平分弦的直线必过圆心；（4）弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦。其中正确的命题有（ ) A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】A【解析】 （1）垂直于弦的直径平分弦，错误；（2）平分弦（不是直径）的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，错误；（3）垂直于弦且平分弦的直线必过圆心，错误；（4）弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦正确；其中正确的命题有1个.故答案为：A二、 求弦长【例1】如图，AB是O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DEAB于点E，延长DE交O于点F，若AE2，O的直径为10，则AC长为（）A5B6C7D8【答案】D【解析】解：连接OF，如图：DEAB，AB过圆心O

5、，DEEF，D为弧AC的中点，ACDF，O的直径为10，OFOA5，AE2，OEOAAE523，在RtOEF中，由勾股定理得：EF4，DEEF4，ACDFDE+EF4+48，故选：D【例2】如图，O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，那么AB的长为A、2 B、4 C、6 D、8【答案】D【解析】解：CE=2，DE=8，OB=5，OE=3，ABCD，在OBE中，得BE=4，AB=2BE=8【例3】把半径长为2.5的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知CD4，则EF（）A2B2.5C4D5【答案】C【解析】设球的平面投影圆心为O，过点O作ONAD于点N，延长N

6、O交BC于点M，连接OF，如图所示：则NFENEF，四边形ABCD是矩形，CD90，四边形CDNM是矩形，MNCD4，ONMNOM42.51.5，在RtONF中，由勾股定理得：ON2+NF2OF2，NF2，EF2NF4，【例4】如图，矩形ABCD中，AB20，AD15，P，Q分别是AB，AD边上的动点，PQ16，以PQ为直径的O与BD交于点M，N，则MN的最大值为 【答案】8【解析】过A点作AHBD于H，连接OM，如图：四边形ABCD是矩形，BAD90，在RtABD中，BD25，AHBDADAB，AH12，O的直径为16，O的半径为8，点O在AH上时，OH最短，HM，此时HM有最大值，OHAH

7、OA4，则最大值为4，OHMN，MN2MH，MN的最大值为248故答案为：8【例5】如图，点E在y轴上，E与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，若C（0，9），D（0，1），则线段AB的长度为（）A3B4C6D8【答案】C【解析】连接EB，如图所示：C（0，9），D（0，1），OD1，OC9，CD10，EBEDCD5，OE514，ABCD，AOBOAB，OB3，AB2OB6；故选：C【例6】在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线与O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为_【答案】24【解析】解：直线ykx3k+4k（x3）+4，k（x3）y4，k有无数个值，x3

8、0，y40，解得x3，y4，直线必过点D（3，4），最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，点D的坐标是（3，4），OD5，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），圆的半径为13，OB13，BD12，BC的长的最小值为24；故答案为：24【例7】如图，AB为O的直径，弦AB与CD交于点P，且BPD=30，AP=3，BP=7，求CD的长【答案】【解析】解：作OHCD于H，连结OC，如图，OHCD，HCHD，AP3，BP7，AB10，OA5，OPOAAP2，在RtOPH中，OPH30，POH60，OHOP1，在RtOHC中，OC5，OH1，CD2CH三、 求半径（直径）【例1】如图，O是ABC的外

9、接圆，且AB=AC=13，BC=24，求O的半径【答案】16.9【解析】解：连接OA交BC于点D，连接OC，OB，AB=AC=13，=，AOB=AOC，OB=OC，AOBC，CD=BC=12在RtACD中，AC=13，CD=12所以AD=设O的半径为r那么在RtOCD中，OD=r5，CD=12，OC=r所以r52+122=r2解得r=16.9答：O的半径为16.9【例2】如图，一条公路的转弯处是一段圆弧图中的弧AB，点O是这段弧的圆心，点C是弧AB上的一点，OCAB，垂足为D，如AB=60m，CD=10m，求这段弯路的半径【答案】50【解析】解：OCAB，AD=DB，在RtAOD中，OA2=O

10、D2+AD2，设半径为r得：r2=r102+302，解得：r=50，这段弯路的半径为50m【例3】如图，AB为O的直径，AE为O的弦，C为优弧ABE的中点，CDAB，垂足为D若AE8，DB2，则O的半径为（）A6B5C4D4【答案】B【解析】解：如图，连接CO，延长CO交AE于点T设O的半径为r，CTAE，ATTEAE4，在AOT和COD中，AOTCOD（AAS），CDAT4，在RtCOD中，OC2CD2+OD2，r242+（r2）2，r5，【例4】如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为 cm【答案】5【解析】如

11、图所示：过点O作ODAB于点D，连接OA，ODAB，ADAB84cm，设OAr，则ODr2，在RtAOD中，OA2OD2+AD2，即r2（r2）2+42，解得r5cm该输水管的半径为5cm；【例5】用工件槽（如图1）可以检测一种铁球的大小是否符合要求，已知工件槽的两个底角均为90，尺寸如图（单位：cm）将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求图2是过球心O及A、B、E三点的截面示意图，求这种铁球的直径【答案】20【解析】解：连接OA、OE，设OE与AB交于点P，如图ACBD，ACCD，BDCD四边形ACDB是矩形CD16cm，PE4cmPA8c

12、m，BP8cm，在RtOAP中，由勾股定理得OA2PA2+OP2即OA282+（OA4）2解得：OA10答：这种铁球的直径为20cm四、 求弦心距【例1】如图，O的半径为13，弦AB长为24，那么点O到AB的距离是A、6 B、5 C、4 D、3【答案】B【解析】解：过O作OCAB于C，OC过O，AC=BC=AB=12，在RtAOC中，由勾股定理得：OC=5应选：B【例2】如图，O的半径为5，弦AB8，点C是AB的中点，连接OC，则OC的长为（）A1B2C3D4【答案】C【解析】解：O的半径为5，弦AB8，点C是AB的中点，OCAB，ACBC4，OA5，OC3，【例3】在直径为10cm的圆中，弦

13、的长为8cm，则它的弦心距为 cm【答案】3【解析】先画出图形，如图，然后连接AO，作OC垂直于AB，根据垂径定理得到AC=4，由题目得半径为5，根据勾股定理算出弦心距为3.【例4】如图，O的半径为5，弦AB8，P是弦AB上的一个动点（不与A、B重合），下列符合条件的OP的值是（）A5.8B3.8C1.3D2.5【答案】B【解析】当OP垂直于AB时，此时最短。此时根据勾股定理可得OP=3；当P点与A、B重合时此时最长为5，所以，3OP5，由此可得只有B选项满足答案。五、 求拱高【例1】一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水如图，此时的水面宽AB为0.6米1求此时的水深即阴影局

14、部的弓形高；2当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度【答案】（1）0.4 （2）当MN及AB在圆心同侧时，水面上升的高度为0.1米；当MN及AB在圆心异侧时，水面上升的高度为0.7米【解析】解：1作半径OCAB，垂足为点D，连接OA，那么CD即为弓形高OCAB，AO=0.5，AB=0.6，AD=AB=0.6=0.3，OD=0.4，2当水位上升到水面宽MN为0.8米时，直线OC及MN相交于点P同理可得OP=0.3，当MN及AB在圆心同侧时，水面上升的高度为0.1米；当MN及AB在圆心异侧时，水面上升的高度为0.7米【例2】如图是一个装有水的水管的截面，已知水管的直径是100cm，装有水

15、的液面宽度为AB60cm，CD为过圆心且CDAB，则水管中水的最大深度为多少？【答案】90【解析】解：连接OA，根据题意得：CDAB，ADAB6030（cm），水管的直径是100cm，OA50cm，在RtAOD中，OD40（cm），CDOC+OD90（cm）水管中水的最大深度为90cm【例3】如图，在一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为60m，拱高PM为18m，当洪水泛滥到跨度只有30m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有64m，即PN=4m时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施。 【答案】不需要【解析】解：设圆弧所在圆的圆心为O，连结OA，OA，如图所示 设半径为x(m)则OA=OA

16、=OP=x(m)由垂径定理可知AM=BM AN=BNAB=60m，AM=30m，且OM=OP-PM=(x-18)m在RtAOM中，由勾股定理可得AO2=OM2+AM2即x2=(x-18)2+302 ， 解得x=34ON=OP-PN=34-4=30（m)在AON中，由勾股定理可得AN= = =16(m)AB=32m30m不需要采取紧急措施。六、 求两平行线之间的距离【例1】已知圆心到圆的两条平行弦的距离分别是2和3，则两条平行弦之间的距离为 【答案】1或5【解析】两条平行弦在圆心的同侧时，则两条平行弦间的距离321；当两条平行弦在圆心的两侧时，则两条平行弦间的距离3+25【例2】已知AB是半圆O

17、的直径，弦CDAB，CD8，AB10，则CD与AB之间的距离是_. 【答案】 3 【解析】解：过点 作 于 ，连接 ，如图， 则 ，在 中， ，所以 与 之间的距离是3.故答案为3.【例3】如图，AB，CD是半径为5的O的两条弦，AB8，CD6，MN是直径，ABMN于点E，CDMN于点F，P为EF上的任意一点，则PAPC的最小值为_【答案】 【解析】解：连结BC，BC与EF的交点为P时，PAPC最短连结OA，OC，由勾股定理得OE=3，OF=4EF=7ABCDEPPF=7EP=4，PF=3BP=，PC=PAPC的最短距离=BC=【例4】在直径为10厘米的圆中,两条分别为6厘米和8厘米的平行弦之

18、间的距离是 厘米【答案】 1或7【解析】 当两条平行弦在圆心同侧，根据勾股定理，最后得到平行弦之间距离为4-3=1 当两条平行弦在圆心异侧，根据勾股定理，最后得到平行弦之间距离为4+3=7七、 综合简答题【例1】如图，O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E（1）OMCD于点M，CD24，O的半径长为4，求OM的长（2）点G在BD上，且AGBD交CD于点F，求证：CEEF【答案】 （1） 4 （2）见解析【解析】（1）解：如图，连接OD，OMCD，OM过圆心，CD24，DMCMCD12，OMD90，由勾股定理得，OM4，即OM的长为4；（2）证明：如图，连接AC，AGBD，DGF90，DFG+D

19、90，ABCD，CEA90，C+EAC90，EACD，DFGAFC，CAFC，AFAC，ABCD，CEEF【例2】如图，AB为圆O直径，F点在圆上，E点为AF中点，连接EO，作COEO交圆O于点C，作CDAB于点D，已知直径为10，OE4，求OD的长度【答案】 3 【解析】解：E点为AF中点，OEAF，COEO，OCAF，OAECOD，CDAB，AEOODC，在AEO和ODC中，AEOODC（AAS），CDOE4，OC5，OD3【例3】如图，O中，直径CD弦AB于E，AMBC于M，交CD于N，连接AD（1）求证：ADAN；（2）若AB8，ON1，求O的半径【答案】 （1）见解析 （2） 【解析

20、】（1）证明：CDABCEB90C+B90，同理C+CNM90CNMBCNMANDANDB，DB，ANDD，ANAD；（2）解：设OE的长为x，连接OAANAD，CDABDENEx+1，ODOE+EDx+x+12x+1，OAOD2x+1，在RtOAE中OE2+AE2OA2，x2+42（2x+1）2解得x或x3（不合题意，舍去），OA2x+12+1，即O的半径为课后练习题：1在平面直角坐标系中，P的圆心是（2，a）（a2），半径为2，函数yx的图象被P截得的弦AB的长为，则a的值是 【答案】 2+【解析】解：过P点作PEAB于E，过P点作PCx轴于C，交AB于D，连接PAAB2，AE，PA2，P

21、E1点D在直线yx上，AOC45，DCO90，ODC45，PDEODC45，DPEPDE45，DEPE1，PDP的圆心是（2，a），点D的横坐标为2，OC2，DCOC2，aPD+DC2+2、如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为 cm【答案】2【解析】解：过点O作ODAB交AB于点D，连接OA，OA2OD2cm，ADcm，ODAB，AB2ADcm3下列语句中不正确的有（）相等的圆心角所对的弧相等；平分弦的直径垂直于弦；圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；长度相等的两条弧是等弧A3个B2个C1个D4个【答案】D【解析】和、错误，应强调在同圆或等圆中；、

22、错误，应强调不是直径的弦；、错误，应强调过直径所在的直线才是它的对称轴4、 如图，在O中，弦CD垂直于直径AB于点E，若BAD30，且BE2（1）求O半径；（2）求弦CD的长 【答案】（1） 4 （2）4 【解析】解：（1）连接OD，设O的半径为r，则OEr2，BAD30，DOE60，CDAB，CD2DE，ODE30，OD2OE，即r2（r2），解得r4；（2）由（1）知r4，BE2，OE422，DE2，CD2DE45. 如图，在O内有折线OABC，点B、C在圆上，点A在O内，其中OA4cm，BC10cm，AB60，则AB的长为（）A5cmB6cmC7cmD8cm【答案】B【解析】解：延长AO

23、交BC于D，作OEBC于E，设AB的长为xcm，AB60，ADB60；ADB为等边三角形；BDADABx；OA4cm，BC10cm，BE5cm，DE（x5）cm，OD（x4）cm，又ADB60，DEOD，x5（x4），解得：x6故选：B6、如图，AB为O的直径，弦CDAB于点E，已知CD8，EB2，则O的半径为 【答案】5【解析】解：连接OC，设O的半径为R，则OER2，CDAB，CECD4，由勾股定理得，OC2OE2+CE2，即R2（R2）2+42，解得，R5，则O的半径为5， 7、 如图，已知AB，CG是O的两条直径，ABCD于点E，CGAD于点F（1）求AOG的度数；（2）若AB2，求C

24、D的长 【答案】见解析【解析】解：（1）连接OD，ABCD，BOCBOD，由圆周角定理得，ABOD，ABOD，AOGBOD，AAOG，OFA90，AOG60；（2）AOG60，COE60，C30，OEOC，CE，ABCD，CD2CE8、如图，圆内接四边形ABDC，AB是O的直径，ODBC于E（1）请你写出四个不同类型的正确结论；（2）若BE4，AC6，求DE【答案】见解析【解析】解：（1）四个不同类型的正确结论分别为：ACB90；BECE；ODAC；（2）ODBC，BE4，BECE4，即BC2BE8，AB为圆O的直径，ACB90，在RtABC中，AC6，BC8，根据勾股定理得：AB10，OB5

25、，在RtOBE中，OB5，BE4，根据勾股定理得：OE3，则EDOBOE5329、如图，在残破的圆形工件上量得一条弦BC16，的中点D到BC的距离ED4，则这个圆形工件的半径是 【答案】10【解析】解：DEBC，DE平分弧BC，圆心在直线DE上，设圆心为O，如图，连接OB，设圆的半径为R，则OERDER4，OEBC，BECEBC168，在RtOEB中，OB2BE2+OE2，即R282+（R4）2，解得R10，即这个圆形工件的半径是1010、一座桥如图，桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米（1）如图1，若把桥看作是抛物线的一部分，建立如图坐标系要使高

26、为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？（2）如图2，若把桥看作是圆的一部分要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？【答案】见解析【解析】解：（1）设抛物线解析式为：yax2+c，桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米，A（10，0），B（10，0），D（0，4），解得：抛物线解析式为：yx2+4，要使高为3米的船通过，y3，则3x2+4，解得：x5，EF10米；（2）设圆半径r米，圆心为W，BW2BC2+CW2，r2（r4）2+102，解得：r14.5；在RtWGF中，由题可知，WF14.5，WG14.5113.5，根据勾股定理知：GF2WF2WG2，即GF214.5213.5228，所以GF2，此时宽度EF4米