专题02 线圆最值（知识解读）-备战2023年中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）.docx

1、 专题02 线圆最值（知识解读）【专题说明】 直线与圆的位置关系是中考数学一个非常重要的 内容，它涉及的知识点较多，题型也千变万化.最值是数学知识体系中的重要内容，也是数学中最具挑战性的问题.中考命题者对直线与圆知识中的最值问题常常是情有独钟，这种导向性使得该知识成为教学中的重点与难点.从问题解决的思路来看，学生要想顺利地解决此类 问题，需要综合运用几何与代数的相关知识与方法，以及数形结合等思想，并在此过程中寻找到解决最值问题的方法.本文通过教学实践，枚举几例直线与圆中的最值问题，以供参考.【方法技巧】考点：线圆最值 已知O及直线l，O的半径为r，点Q为O上一点，圆心O与直线l之间的距离为d.

2、位置关系直线与O相离直线与O相切直线与O相交图示点Q到直线l距离的最大值dr2rdr此时点Q的位置过点O作直线l的垂线，其反向延长线与O的交点，即为点Q点Q到直线l距离的最小值dr0rd此时点Q的位置过点O作直线l的垂线，与O的交点即为点Q拓展：在解决某些面积最值问题时，常利用此模型，将问题转化为求动点到定边的最大（小）距离，进而利用面积公式求解【典例分析】【典例1】如图，在矩形ABCD中，BC2AB4，点E是AB的中点，点P是矩形ABCD内一点，且EPAE，连接CP，PD，则PCD面积的最小值为 【典例2】如图，在ABC和ADE中，ABAC6，ADAE，BACDAE60，且BD2AD，DEB

3、C，点M是DE的中点，连接BM，CM将ADE绕点A逆时针旋转，则在旋转过程中，BMC面积的最大值为 【典例3】如图，在矩形ABCD中，AB3，BC4，点P是矩形ABCD内一点，且BPC90，连接AP，PD，则APD面积的最小值为 【典例4】如图，在边长为2的菱形ABCD中，A60，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将AMN沿MN所在直线翻折得到AMN，连接AB，AC，则ABC面积的最小值为 【典例5】如图，在RtABC中，AB3，BC4，点D是AC边上一点，点E是平面内一点，且DE1，连接AE，CE，则四边形ABCE面积的最大值为 【变式1】如图，在四边形ABCD中，ADBC，B60，

4、BCD90，AB12，BC16点M是AB上一点，AM4，点N是四边形ABCD内一点，且DN5，连接CN，MN（1）当M，N，D三点共线时，求MN的长；（2）求四边形BCNM面积的最小值【变式2】如图，在矩形ABCD中，AB4，BC6，E，F分别为AD，BC上的两个动点，连接EF，将矩形沿EF折叠，点A，B的对应点分别为点H，G（1）如图，当点G落在DC边上时，连接BG若点G为DC的中点，求CF的长；试探究EF与BG之间的位置关系和数量关系，并说明理由；（2）如图，若点E为AD的中点，连接AH，HC，求四边形AHCB面积的最大值 专题02 线圆最值（知识解读）【专题说明】 直线与圆的位置关系是中

5、考数学一个非常重要的 内容，它涉及的知识点较多，题型也千变万化.最值是数学知识体系中的重要内容，也是数学中最具挑战性的问 题.中考命题者对直线与圆知识中的最值问题常常是情有独钟，这种导向性使得该知识成为教学中的重点与难点.从问题解决的思路来看，学生要想顺利地解决此类 问题，需要综合运用几何与代数的相关知识与方法，以及数形结合等思想，并在此过程中寻找到解决最值问题的方法.本文通过教学实践，枚举几例直线与圆中的最值问题，以供参考.【方法技巧】考点：线圆最值 已知O及直线l，O的半径为r，点Q为O上一点，圆心O与直线l之间的距离为d.位置关系直线与O相离直线与O相切直线与O相交图示点Q到直线l距离的

6、最大值dr2rdr此时点Q的位置过点O作直线l的垂线，其反向延长线与O的交点，即为点Q点Q到直线l距离的最小值dr0rd此时点Q的位置过点O作直线l的垂线，与O的交点即为点Q拓展：在解决某些面积最值问题时，常利用此模型，将问题转化为求动点到定边的最大（小）距离，进而利用面积公式求解【典例分析】【典例1】如图，在矩形ABCD中，BC2AB4，点E是AB的中点，点P是矩形ABCD内一点，且EPAE，连接CP，PD，则PCD面积的最小值为 【答案】3【解答】解：BC2AB4，AB2，点E是AB 的中点，AEBE1；点P在以点E为圆心，1为半径的弧上运动，过点 P作PQCD 于点Q，过点E作EFCD于

7、点F，则PQ，当PQ最小时，PCD 的面积取得最小值EP+PQEF，当E，P，Q三点共线时，PQ取得最小值，最小值为EFEP的值；四边形ABCD是矩形，EFBC4，PQ最小EFEP3，SPCD最小PQ最小3，故答案为：3【典例2】如图，在ABC和ADE中，ABAC6，ADAE，BACDAE60，且BD2AD，DEBC，点M是DE的中点，连接BM，CM将ADE绕点A逆时针旋转，则在旋转过程中，BMC面积的最大值为 【答案】12【解答】解：连接AM，交BC于H，.ABAC，ADAE，点M是DE的中点，AMDE，AHBC，将ADE绕点A逆时针旋转180，即M、M、H在同一直线上时，BMC面积取最大值

8、ABAC6，ADAE，BACDAE60，且BD2AD，ADAE2，BH3，AMAD，AM，MH4，此时，BMC面积12故答案为：12【典例3】如图，在矩形ABCD中，AB3，BC4，点P是矩形ABCD内一点，且BPC90，连接AP，PD，则APD面积的最小值为 【答案】2【解答】解：BPC90，点P在以BC为直径的圆上，即点P到BC的最大距离为2，点P到AD的最小值341，SAPD412，APD面积的最小值为2故答案为：2【典例4】如图，在边长为2的菱形ABCD中，A60，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将AMN沿MN所在直线翻折得到AMN，连接AB，AC，则ABC面积的最小值为 【

9、答案】1【解答】解：如图，由折叠知AMAM，又M是AD的中点，MAMAMD，点A的运动轨迹就是在以点M为圆心，MA长为半径的上，过点M作MEBC于点E，连接BD，在菱形ABCD中，ADAB，A60，ABD是等边三角形M是AD的中点，点E与点B重合，EM，设点A到BC的距离为h，当点A在ME上时，h取得最小值，最小值为EMAM1，ABC面积的最小值为BCh2（1）1，故答案为：1【典例5】如图，在RtABC中，AB3，BC4，点D是AC边上一点，点E是平面内一点，且DE1，连接AE，CE，则四边形ABCE面积的最大值为 【答案】【解答】解：在RtABC中，B90，AB3，BC4，AC经分析，当D

10、EAC于D时，四边形ABCE面积的最大四边形ABCE面积的最大值为S四边形ABCESABC+SACEDE故答案为：【变式1】如图，在四边形ABCD中，ADBC，B60，BCD90，AB12，BC16点M是AB上一点，AM4，点N是四边形ABCD内一点，且DN5，连接CN，MN（1）当M，N，D三点共线时，求MN的长；（2）求四边形BCNM面积的最小值【解答】解：（1）延长DA到F，作MGAF于G，AEBC于E，B60，AB12，BE6ADEC10，AM4，AMG30，AG2，MG2，DG12，DM2DG2+MG2，DM2122+（2）2，DM2，MN25；（2）取BC中点K，连接MC，MK，作

11、NHMC于H，DLMC于L，B60，BMBK8，MBK是等边三角形，MKKC6，MKB60，KMCMCK30，BMC90MC8，SMBCMCMB32，当NMC面积最小时，四边形MBCN面积最小，DN5，当D，N，H三点共线时，NH最小，NMC面积最小，由（1）知DCAE6，DLDC9，NH最小值为：4，SNMC的最小值为：CMNH16，四边形MBCN面积最小值为：32+1648【变式2】如图，在矩形ABCD中，AB4，BC6，E，F分别为AD，BC上的两个动点，连接EF，将矩形沿EF折叠，点A，B的对应点分别为点H，G（1）如图，当点G落在DC边上时，连接BG若点G为DC的中点，求CF的长；试

12、探究EF与BG之间的位置关系和数量关系，并说明理由；（2）如图，若点E为AD的中点，连接AH，HC，求四边形AHCB面积的最大值【解答】解：（1）如图中，四边形ABCD是矩形，C90，ABCD4，BC6，DGCG2，由翻折的性质可知，FBFG，设FBFGx，FG2CG2+CF2，x2（6x）2+22，x，CF6；结论：EFBG，理由：如图中，过点E作ETBC于点T，设BG交ET于点J，BG交EF于点O，则四边形ABTE是矩形，ETAB4由翻折变换的性质可知，EF垂直平分线段BG，EOJBTJ90，EJOBJT，FETCBG，ETFC90，ETFBCG，；（2）如图中，连接AC，过点E作ERAC于点R在RtADC中，AD6，CD4，AC2，sinEAR，AEED3，ER，EHAE3，当点H在RE的延长线上时，ACH的面积最大，此时四边形ABCH的面积最大，四边形ABCH的面积的最大值46+2（+3）18+3