专题03阿氏圆（知识解读）-备战2023年中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）.docx

1、 专题03 阿氏圆（知识解读）【专题说明】 “PA+kPB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。即点P在直线上运动和点P在圆上运动。(1)其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；(2)点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题；本章节主要学习“阿氏圆”解题方法。【方法技巧】阿氏圆问题问题：求解“”类加权线段和最小值方法：定：定系数，并确定是半径和哪条线段的比值造：根据线段比，构造母子型相似算：根据母子型结论，计算定点位置转：“”转化为“”问题关键：可解性：半径长与圆心到加权线段中定点距离比等于加权系数系数小于1：

2、内部构造母子型系数大于1：外部构造母子型【典例分析】【典例1】阅读以下材料，并按要求完成相应的任务已知平面上两点A、B，则所有符合k（k0且k1）的点P会组成一个圆这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆阿氏圆基本解法：构造三角形相似【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x轴，y轴上分别有点C（m，0），D（0，n），点P是平面内一动点，且OPr，设k，求PC+kPD的最小值阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在OD上取点M，使得OM：OPOP：ODk；第二步：证明kPDPM；第三步：连接CM，此时CM即为所求的最小值下面是该题的解答过程（部分）：解：在OD上取点M，使得OM：OP

3、OP：ODk，又PODMOP，POMDOP任务：（1）将以上解答过程补充完整（2）如图2，在RtABC中，ACB90，AC4，BC3，D为ABC内一动点，满足CD2，利用（1）中的结论，请直接写出AD+BD的最小值【变式1】如图，在RtABC中，ABC90，AB6，BC9，B的半径为3，点P是B上一点，连接AP，CP，则AP+CP的最小值为 【典例2】如图，在扇形AOB中，AOB90，OA4，C，D分别为OA，OB的中点，点P是上一点，则2PC+PD的最小值为 【变式2-1】如图，扇形AOB中，AOB90，OA6，C是OA的中点，D是OB上一点，OD5，P是上一动点，则PC+PD的最小值为 【

4、变式2-2】如图，ABC为等边三角形，AB6，将边AB绕点A顺时针旋转（0120）得到线段AD，连接CD，BAD的平分线交CD于点E，点F为CD上一点，且DF2CF，连接BF（1）如图，当60时，求EF的长；（2）如图，连接AF，求BF+AF的最小值 专题03 阿氏圆（知识解读）【专题说明】 “PA+kPB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。即点P在直线上运动和点P在圆上运动。(1)其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；(2)点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题；本章节主要学习“阿氏圆”解题方法。【方法

5、技巧】阿氏圆问题问题：求解“”类加权线段和最小值方法：定：定系数，并确定是半径和哪条线段的比值造：根据线段比，构造母子型相似算：根据母子型结论，计算定点位置转：“”转化为“”问题关键：可解性：半径长与圆心到加权线段中定点距离比等于加权系数系数小于1：内部构造母子型系数大于1：外部构造母子型【典例分析】【典例1】阅读以下材料，并按要求完成相应的任务已知平面上两点A、B，则所有符合k（k0且k1）的点P会组成一个圆这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆阿氏圆基本解法：构造三角形相似【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x轴，y轴上分别有点C（m，0），D（0，n），点P是平面内一动点，

6、且OPr，设k，求PC+kPD的最小值阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在OD上取点M，使得OM：OPOP：ODk；第二步：证明kPDPM；第三步：连接CM，此时CM即为所求的最小值下面是该题的解答过程（部分）：解：在OD上取点M，使得OM：OPOP：ODk，又PODMOP，POMDOP任务：（1）将以上解答过程补充完整（2）如图2，在RtABC中，ACB90，AC4，BC3，D为ABC内一动点，满足CD2，利用（1）中的结论，请直接写出AD+BD的最小值【解答】解（1）在OD上取点M，使得OM：OPOP：ODk，又PODMOP，POMDOPMP：PDk，MPkPD，PC+kPDPC+MP

7、，当PC+kPD取最小值时，PC+MP有最小值，即C，P，M三点共线时有最小值，利用勾股定理得（2）ACm4，在CB上取一点M，使得CMCD，的最小值为【变式1】如图，在RtABC中，ABC90，AB6，BC9，B的半径为3，点P是B上一点，连接AP，CP，则AP+CP的最小值为 【答案】【解答】解：连接BP，在BC上截取BQ1，连接PQ，AQ，PBQCBP，BPQBCP，PQCP，AP+CPAP+PQAQ，当A、P、Q三点依次在同一直线上时，AP+CPAQ的值最小，故答案为：【典例2】如图，在扇形AOB中，AOB90，OA4，C，D分别为OA，OB的中点，点P是上一点，则2PC+PD的最小值

8、为 【答案】2版权所有【解答】解：如图，延长OA使AEOA，连接ED，EP，OP，AOOB4，C，D分别是OA，OB的中点，OE8，OP4，ODOC2，且COPEOP，OPEOCP，EP2DC，2PC+PDPE+PD，当点E，点P，点D三点共线时，2PC+PD的值最小，2PC+PD最小值2【变式2-1】如图，扇形AOB中，AOB90，OA6，C是OA的中点，D是OB上一点，OD5，P是上一动点，则PC+PD的最小值为 【答案】【解答】解：如图，延长OA使AEOB，连接EC，EP，OP，AOOB6，C分别是OA的中点，OE12，OP6，OCAC3，且COPEOPOPEOCP，EP2PC，PC+P

9、D（2PC+PD）（PD+PE），当点E，点P，点D三点共线时，PC+PD的值最小，DE13，PD+PEDE13，PD+PE的最小值为13，PC+PD的值最小值为故答案为：【变式2-2】如图，ABC为等边三角形，AB6，将边AB绕点A顺时针旋转（0120）得到线段AD，连接CD，BAD的平分线交CD于点E，点F为CD上一点，且DF2CF，连接BF（1）如图，当60时，求EF的长；（2）如图，连接AF，求BF+AF的最小值【解答】解：（1）将边AB绕点A顺时针旋转（0120）得到线段AD，如图，BAD，ABAD，ABC是等边三角形，ABAC，BAC60，ACAD，ADCACD，60，DAC120ADCACD30，AE平分BAD，DAEBAE30，EDAEAD，CAE90，DEAE，ABAC6，DEAEACtan302，CE4，CDCE+DE6，DF2CF，CFCD2，EFCECF2；（2）如图，过F作FHAD，交AC于H，取AC的中点M，连接FM，则AMCM3，CFHCDA，DF2FC，CHFH2，MH321，FHMAHF，FHMAHF，FMAF，当B、F、M三点共线时，BF+FMBF+AF的长最小，如图，此时BMAC，BM，BF+AF的最小值为3