专题03 三角形中的导角模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型（原卷版）.docx

1、专题03 三角形中的导角模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型近年来各地中考中常出现一些几何导角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“A”字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1、“8”字模型 图1 图28字模型（基础型）条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：；。 8字模型（加角平分线）条件：如图2，线段AP平分BAD，线段CP平分BCD；结论：2P=B+D例1（2021河北统考中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，保持不变

2、为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”） 度例2（2023浙江八年级假期作业）如图，求A+B+C+D+E+F+G+H+K的度数例3（2023山东德州八年级校考阶段练习）如图1，已知线段相交于点O，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字型”(1)求证：；(2)如图2，若和的平分线和相交于点P，且与分别相交于点若，求的度数；若角平分线中角的关系改为“”，试探究与之间的数量关系例4（2023春广东深圳七年级统考期末）定理：三角形任意两边之和大于第三边(1)如图1，线段，交于点，连接，判断与的大小关系，并说明理由；(2)如图2，平分，为上任意一点，在，上截取，连接，求证：；(3)

3、如图3，在中，为角平分线上异于端点的一动点，求证：例5（2023春江苏苏州七年级校联考期中）阅读：基本图形通常是指能够反映一个或几个定理，或者能够反映图形基本规律的几何图形这些图形以基本概念、基本事实、定理、常用的数学结论和基本规律为基础，图形简单又具有代表性在几何问题中，熟练把握和灵活构造基本图形，能更好地帮助我们解决问题我们将图1所示的图形称为“8字形”在这个“8字形”中，存在结论我们将图1所示的凹四边形称为“飞镖形”在这个“飞镖形”中，存在结论(1)直接利用上述基本图形中的任意一种，解决问题：如图2，、分别平分、，说明：(2)将图2看作基本图形，直接利用（1）中的结论解决下列问题：如图3

4、，直线平分的外角，平分的外角，若，求的度数在图4中，平分的外角，平分的外角，猜想与、的关系（直接写出结果，无需说明理由）在图5中，平分，平分的外角，猜想与、的关系（直接写出结果，无需说明理由）模型2、“A”字模型 结论：3+4=D+E ；1+2=A+180 。例1（2023浙江八年级假期作业）如图是某建筑工地上的人字架，若，那么的度数为 例2（2023绵阳市八年级假期作业）如图，中，直线交于点D，交于点E，则（）ABCD例3（2022福建泉州九年级校考期中）如图，若，那么（）ABCD例4（2023秋广西八年级专题练习）如图所示，的两边上各有一点，连接，求证例5（2023广东八年级课时练习）如图

5、，已知在中，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点D落在的内部，则（）ABCD例6（2023秋河南信阳八年级校联考期末）（1）如图1，为直角三角形，若沿图中虚线剪去，则_；（2）如图2，在中，剪去后成为四边形，则_；（3）如图2，根据（1）和（2）的求解过程，请归纳与的关系是_；（4）若没有剪去，而是将折成如图3的形状，试探究与的关系，并说明理由例7（2022秋河北邯郸八年级统考期中）利用“模型”解决几何综合问题往往会取得事半功倍的效果几何模型：如图（1），我们称它为“A”型图案，易证明：EDF = A + B + C；应用上面模型解决问题：(1)如图（2），“五角

6、星”形，求？分析： 图中是“A”型图，于是，所以= ；(2)如图（3），“七角星”形，求；(3)如图（4），“八角星”形，可以求得= ；模型3、三角板模型【模型解读】由一副三角板拼凑出的几个图形我们称他们为三角板模型。图中：A=30，C=60，图中：A=C=45，例1（2023山西吕梁联考模拟预测）如图：和是两块直角三角尺，两直角三角尺的斜边AB、DE在同一直线上，其中，则的度数为（）ABCD例2（2023春安徽九年级专题练习）将两块直角三角尺按如图摆放，其中，若相交于点E，则的大小为（）ABCD例3.（2023陕西咸阳校考一模）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点C在的延长线上，点C、F

7、分别为直角顶点，且，若，则的度数是（）A15B20C25D30例3（2023江苏盐城统考二模）一副三角板如图所示摆放，其中含角的直角三角板的直角顶点在另一个三角板的斜边上，若，则的度数是（）ABCD例4（2023春陕西渭南七年级统考期中）如图，一副直角三角板和如图摆放，若，则下列结论：；平分，正确的有 （填序号）例5（2023春湖南衡阳七年级统考期末）一副三角板如图1摆放，点在上，点在上，且平分，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转（当点落在射线上时停止旋转），设旋转时间为秒(1)当_秒时，；当_秒时，；(2)在旋转过程中，与的交点记为，如图2，若有两个内角相等，求的值；(3)当边与边、分别交

8、于点、时，如图3，连接，设，试问是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由课后专项训练1（2023广东江门八年级校考期中）如下图，的度数为（）A540B500C460D4202（2023春江苏七年级专题练习）如图，已知四边形中，若沿图中虚线剪去，则等于（）ABCD3（2023福建福州七年级统考期中）如图，将一块直角三角板DEF放置在锐角ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C，若ABC+ACB120，则ABD+ACD的值为()A60B50C40D304（2023河北邯郸统考一模）如图，已知在中，若沿图中虚线剪去，则的度数是（）ABCD5（2022秋河南商丘八年级统

9、考阶段练习）如图所示，五条线段首尾相连形成的图形中，则等于（）ABCD6（2023秋湖北武汉八年级校联考期中）如图，在由线段组成的平面图形中，则的度数为（）ABCD7（2022秋湖北孝感八年级统考期中）一副三角板如图所示放置，则的度数为（）ABCD8（2023秋海南海口九年级校考期末）将一个直角三角板与一个直尺按如图所示的方式摆放，若，则的度数为（）ABCD9（2022春广东揭阳八年级校考期末）探索归纳：（1）如图1，已知ABC为直角三角形，A=90，若沿图中虚线剪去A，则1+2= （2）如图2，已知ABC中，A=40，剪去A后成四边形，则1+2= （3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，

10、请你归纳猜想1+2与A的关系是 10（2022安徽八年级校考期中）如图，若，则 11（2022秋四川绵阳八年级统考期中）如图，已知， 12（2023春重庆黔江七年级统考期末）如图，将三角板与三角板摆放在一起；如图，其中，固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，记旋转角(1)在旋转过程中，当为 度时，；当为 度时，(2)当时，连接，利用图探究值的大小变化情况，并说明理由13（2023春安徽宿州八年级校联考期中）小明善于用数学的眼光观察生活，从中找到数学研究的乐趣他用一副三角板拼成了如下两幅图(1)图1中，的度数是_(2)求图1中的度数；图2中，求的度数14（2022秋湖北省直辖县级单位八年级校

11、联考期中）如图所示，有一块直角三角板足够大，其中，把直角三角板放置在锐角上，三角板的两边、恰好分别经过、(1)若，则_，_，_(2)若，则_（写出求解过程）(3)请你猜想一下与所满足的数量关系，并说明理由15（2023福建南平八年级统考期末）结论：直角三角形中，的锐角所对的直角边等于斜边的一半.如图，我们用几何语言表示如下： 在中，.你可以利用以上这一结论解决以下问题：如图，在中，（1）求的面积；（2）如图，射线平分，点从点出发，以每秒1个单位的速度沿着射线的方向运动，过点分别作于，于，于.设点的运动时间为秒，当时，求的值.16（2022广东云浮九年级校考期中）把一副三角板按如图甲放置，其中，

12、斜边，把三角板绕点顺时针旋转得到（如图乙）这时与相交于点、与相交于点(1)写出 度；(2)线段的长为 ；(3)若把绕着点顺时针旋转得，这时点在的内部、外部、还是边上？说明理由17（2022湖北武汉八年级校考阶段练习）如图所示，AB、CD相交于点O，A48，D46(1) 若BE平分ABD交CD于F，CE平分ACD交AB于G，求BEC的度数；(2) 若直线BM平分ABD交CD于F，CM平分DCH交直线BF于M，求BMC的度数18（2023广东湛江八年级统考期中）问题情景：如图，有一块直角三角板放置在上（点在内），三角板的两条直角边、恰好分别经过点和点探究与是否存在某种确定的数量关系 (1)特殊探究

13、：若，则_度，_度，_度；(2)类比探索：请探究与的关系；(3)类比延伸：如图，改变直角三角板的位置，使点在外，三角板的两条直角边、仍然分别经过点和点，（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论，并说明理由19（2023安徽淮北八年级统考期末）如图，在中，直线分别交的边、和的延长线于点D、E、F(1)若，则 (2)、有什么数量关系？请说明理由20（2023山东青岛八年级校联考期末）阅读材料，回答下列问题：【材料提出】“八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成【探索研究】探索一：如图1，在八字形中，探索A、B、C、D之间的数量关系为 ；探索二：如图2，若B

14、36，D14，求P的度数为 ；探索三：如图3，CP、AG分别平分BCE、FAD，AG反向延长线交CP于点P，则P、B、D之间的数量关系为 【模型应用】应用一：如图4，在四边形MNCB中，设M，N，+180，四边形的内角MBC与外角NCD的角平分线BP，CP相交于点P则A （用含有和的代数式表示），P （用含有和的代数式表示）应用二：如图5，在四边形MNCB中，设M，N，+180，四边形的内角MBC与外角NCD的角平分线所在的直线相交于点P，P （用含有和的代数式表示）【拓展延伸】拓展一：如图6，若设Cx，By，CAPCAB，CDPCDB，试问P与C、B之间的数量关系为 （用x、y表示P）拓展二：如图7，AP平分BAD，CP平分BCD的邻补角BCE，猜想P与B、D的关系，直接写出结论