专题03 利用方程同解求圆的方程-2021-2022学年高二数学培优辅导（人教A版2019选择性必修第一册）.docx

1、专题03 利用方程同解求圆的方程【方法点拨】当圆与另一曲线（如抛物线）有两个公共点求圆的方程时，可考虑将曲线方程分别与直线方程联立消元，根据函数与方程的关系，则两方程同解，故可利用系数成比例求解圆的方程.【典型题示例】例1 （多选题）已知二次函数交轴于，两点（，不重合），交轴于点.圆过，三点.下列说法正确的是（ ）圆心在直线上； 的取值范围是；圆半径的最小值为1； 存在定点，使得圆恒过点.ABCD【答案】AD【解析】因为二次函数的对称轴是，且，两点关于对称，所以圆心在直线上，故正确；因为二次函数交轴于，两点，所以 解得且，故错误； 设圆的方程为，（#）令，则则为方程的两个根与轴交于，两点为方程

2、的两个根故方程与方程的根相同，代入（#）又在圆上，解得所以所求圆的方程为.即故，因为且，所以，故错误； 圆M的方程为，即，则圆恒过定点，故正确；故选：AD.例2 （多选题）在平面直角坐标系中，设二次函数的图象与直线有两个不同的交点，经过三点的圆记为圆.下列结论正确的是（ ）A且 B当时，为钝角C圆：（且）D圆过定点【解析】对于A，联立，消可得，二次函数与直线有两个交点，则，解得，又，故A正确；对于B，联立消可得，设，则，则当时，所以为锐角，故B错误；对于C，设圆的方程为（因为圆过，故），由，消可得，故为方程的两个根由，消可得即故为方程的两个根所以与为同一方程故有，解得所以圆的方程为（且，故C正

3、确；对于D，由C：（且），整理可得，方程过定点则 ，解得 ，所以圆过定点，故D正确；故选：ACD.【巩固训练】1.已知圆C过点，它与x轴的交点为，与y轴的交点为，且，则圆C的标准方程为_.2. 已知曲线与轴交于，两点，与轴交于点，则外接圆的方程为（ ）ABCD3.在平面直角坐标系中，记二次函数（）与两坐标轴有三个交点经过三个交点的圆记为，则圆经过定点 （其坐标与的无关）【答案或提示】1.【答案】【解析】设圆C的一般式方程为，令，得，所以，令，得，所以，所以有，所以，又圆C过点，所以，由得，所以圆C的一般式方程为，标准方程为.2. 【答案】A【解析】设外接圆的方程为，（#）令，则则为方程的两个根与轴交于两点为方程的两个根故方程与方程的根相同，代入（#）又在圆上，解得所以所求圆的方程为.3.【答案】【解析】设所求圆的一般方程为令0 得这与是同一个方程，故D2，F令0 得，此方程有一个根为b，代入得出Eb1所以圆C 的方程为.分离参数得： （*）令0，得抛物线与轴交点是（0，b）；令，由题意b0 且0，解得b1 且b0为使（*）式对所有满足的都成立，必须有，结合（*）式得，解得经检验知，点均在圆C上，因此圆C 过定点.