专题03 弧弦圆心角圆周角（解析版）.docx

1、专题03 弧、弦、圆心角、圆周角知识梳理：知识点一：圆心角定义如图所示，AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角（1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等（2）推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等知识点二：圆周角（1）圆周角定义：像图中AEB、ADB、ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半（3）圆周角定理的推论：半圆（或直径）所

2、对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径知识点三：圆内接四边形：（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形 （2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）知识点四：弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等). *如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等. 弧、弦、圆心角、圆周角例题讲解类型一：利用圆心角圆周角定理求角度【例1】如图，点C在上，且点C

3、不与A、B重合，则的度数为（ ）A B或 C D 或【答案】D【解析】当点C在优弧AB上时，ACB =50；当点C在劣弧AB上时，ACB =130，故选D.【例2】如图，AC是O的直径，弦ABCD，假设BAC=32，那么AOD等于( )A64B48C32D76【答案】A【解析】弦ABCD，BAC=32，C=A=32，AOD=2C=64.【例3】如图，已知A、B、C、D、E均在O上，且AC为直径，那么A+B+C=_度【答案】90 ； 【解析】如图，连结AB、BC，那么CAD + EBD +ACE=CBD +EBD +ABE=ABC=90.【例4】如图，AB是圆O的直径，CD是圆O的弦，AB，CD

4、的延长线交于点E，若AB=2DE，E=16，则AOC的度数是_【答案】24【解析】解：连接OD，AB是圆O的直径，AB=2CD，AB=2BEOD=DE，EOD=E=16，C=BOD=8，ABC=CE=816=24【例5】如图，AB是O的直径，点C，D在O上，若AED=20，则BCD的度数为（ ）A100 B120 C115 D110【答案】D【解析】解：连接AC，AB为O的直径，ACB=90，AED=20，ACD=20，BCD=ACBACD=110【例6】如图，是的直径，若，则圆周角的度数是（ ） A B C D【答案】B【解析】，【例7】如图所示，在半圆O中，AB为直径，P为的中点，分别在和

5、上取其中点A1和B1，再在1和1上分别取其中点A2和B2.若一直这样取下去，则AnOBn_.【答案】()【解析】当n1时，A1OB190；当n2时，A2OB245所以AnOBn().【例8】如图，BD是O的直径，CBD30，则A的度数为（）A30B45C60D75【答案】C【解析】BD是O的直径，BCD90，CBD30，D60，AD60【例9】如图，以原点O为圆心的圆交x轴于A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内O上的一点，若DAB20，则OCD 解：连接DO，DAB20，DOB40，COD904050，CODO，OCDCDO，OCD（18050）265题型二：利用弧弦圆心角圆周角之

6、间的关系证明弧、线段、角度。【例1】已知：如图所示，O中弦ABCD求证：ADBC【答案】见解析【解析】证法一：如图， ABCD， ，即 ADBC证法二：如图，连OA、OB、OC、OD， ABCD， AOBCOD AOBDOBCODDOB，即AODBOC， ADBC【例2】如下图，AB，AC是O的弦，ADBC于D，交O于F，AE为O的直径，试问两弦BE与CF的大小有何关系，说明理由【答案】BE=CF【解析】理由：AE为O的直径，ADBC，ABE=90=ADC， 又AEB=ACB，BAE=CAF， BE=CF【例3】如图所示，已知AB是O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CMAB，DNAB 求

7、证：【答案】见解析【解析】证法一：如上图所示，连OC、OD，则OCOD， OAOB，且， OMON，而CMAB，DNAB， RtCOMRtDON， COMDON， 【例4】如图，在O中，M，N分别是半径OA，OB的中点，且CMOA交O于点C，DNOB交O于点D.求证：.【答案】 见解析【解析】证明：如图，连接OC，OD，则OCOD.M，N分别是半径OA，OB的中点，OMON.CMOA，DNOB，OMCOND90.在RtOMC和RtOND中，RtOMCRtOND(HL)，MOCNOD，. 【例5】如图，OA、OB是O的半径，C是O上一点，AOB40，OBC50，则OAC_【答案】 30【解析】解

8、：连接OCOC=OB，OCB=OBC=50，BOC=180502=80AOC=8040=120，OC=OA，OAC=OCA=30【例6】已知弦AB把圆周分成1：5的两部分，则弦AB所对的圆心角的度数为_【答案】 60【解析】解：弦AB把圆周分成1：5的两部分，弦AB所对的圆心角的度数=360=60【例7】如图，已知ABACAD，CBD2BDC，BAC44，则CAD的度数为（）A68B88C90D112【答案】B 【解析】解：如图，ABACAD，点B、C、D在以点A为圆心，以AB的长为半径的圆上；CBD2BDC，CAD2CBD，BAC2BDC，CAD2BAC，而BAC44，CAD88【例8】如图

9、，将O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则APB的度数为（）A45B30C75D60【答案】D 【解析】解：作半径OCAB于D，连接OA、OB，如图，将O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，ODCD，ODOCOA，OAD30，又OAOB，OBA30，AOB120，APBAOB60类型三：圆内接四边形【例1】如图，在O中，若圆心角AOB=100，C是上一点，则ACB等于( )A80B100C130D140【答案】C 【解析】设点D是优弧AB上一点（不与A、B重合），连接AD、BD；则ADB=AOB=50；四边形ADBC内接于O，C=180-ADB=130；故选C【例2】如图，四边

10、形ABCD内接于O，假设BOD=138，那么它的一个外角DCE等于( )A69B42C48D38【答案】A【解析】 BAD=BOD=69，由圆内接四边形的外角等于它的内对角得DCE=BAD=69. 【例3】如图，四边形ABCD内接于O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若ABC105，BAC25，则E的度数为()A. 45 B. 50 C. 55 D. 60 【答案】B【解析】四边形ABCD是圆内接四边形，ABC105，ADC75，BACDCF25，EADCDCF50. 【例4】如图，四边形ABCD是O的内接四边形，ABC60，点D是的中点，点E在OC的延长线上，且

11、CEAD，连接DE（1）求证：四边形AOCD是菱形；（2）若AD6，求DE的长【答案】见解析【解析】（1）点D是AC的中点，连接OD，ADDC，AODDOC，AOC2ABC120，AODDOC60，OCOD，OAOCCDAD，四边形AOCD是菱形；（2）由（1）可知，COD是等边三角形OCDODC60，CEAD，CDAD，CECD，CDECEDOCD30，ODEODC+CDE90，在RtODE中，OD6，CED30，OE=12，根据勾股定理DE6【例5】如图，在O的内接四边形ABCD中，ABAC，BDAC，垂足为E.(1)若BAC40，求ADC的度数；(2)求证：BAC2DAC.【答案】（1）

12、110 （2）见解析【解析】(1)解：ABAC，BAC40，ABCACB(180BAC)70.四边形ABCD是O的内接四边形，ADCABC180.ADC180ABC18070110.(2)证明：BDAC，AEBBEC90.ACB90CBD.ABAC，ABCACB90CBD.BAC1802ABC2CBD.DACCBD，BAC2DAC.【例6】如图，四边形ABCD内接于O，若，BDC50，则ADC的度数是 【答案】130【解析】连接OA、OB、OC， BDC50，BOC2BDC100，BOCAOC100，ABCAOC50，ADC180ABC130.类型四：综合性题目【例1】如图，AB是O的直径，A

13、BAC，BC交O于点D，AC交O于点E，且BAC50，给出下列四个结论：BDCD，AECE，ABE40，劣弧的度数为25.其中正确结论的序号是（）A B C D【答案】B【解析】解：连接AD，OE，OD，AB为O的直径ADB=AEB=90，即ADBC，AB=AC，BD=DC，故正确BAC=50，ABC=C=65ABE=90BAC=40故正确CBE=ABCBAC=25AECE，故错误BOE=2BAC=100，弧BE的度数为100，AB=AC，ADBC，BAD=CAD弧BD=弧BD，劣弧DE的度数为50，故错误【例2】如图，AB是O的直径，AB=8，点M在O上，MAB=20，N是弧MB的中点，P是

14、直径AB上的一动点，若MN=1，则PMN周长的最小值为（ ）A、4 B、5 C、6 D、7【答案】B【解析】解：作点N关于AB的对称点N，连接OM、ON、ON、MN，则MN与AB的交点即为PMPN的最小时的点，PMPN的最小值=MN，MAB=20，MOB=2MAB=220=40，N是弧MB的中点，BON=MOB=40=20，由对称性，NOB=BON=20MON=MOBNOB=4020=60MON是等边三角形MN=OM=OB=AB=PMN周长的最小值=14=5【例3】如图，O是ABC的外接圆，AB为直径，ACCF，CDAB于D，且交O于G，AF交CD于E求证：AECE【答案】见解析【解析】证明：

15、连接AG，CF，AB为直径，且ABCG，又ACCF，ACGCAF，AECE【例4】如图，O的直径CD为6cm，OA，OB都是O的半径，AOD2AOB60，点P在直径CD上移动，则AP+BP的最小值为 【答案】3cm【解析】解：作点A关于CD的对称点A，连接AB就是最小值（P此时为AB与CD的交点），|OA|OB|OA|CD|3cm且AOD2AOB60，AOBBOD30，A关于CD的对称点A，DOAAOD60，BOABOD+DOA90，BOA为等腰直角三角形，AP+BP的最小值为：|AB|3cm课后练习题：1、如图，C、D是以AB为直径的半圆上两点，且D是中点，若ABD80，则CAB_【答案】2

16、0【解析】解：连接ADAB是直径,ADB=90,ABD=80,DAB=10,D是中点,弧CD=弧BDCAD=DAB=10CAB=202、如图，AB是O的直径，弦CD与AB相交于点E（1）若CAB65，求D的度数；（2）若AE10，EB2，且AEC30，求CD的长【答案】(1)25 (2)【解析】解：（1）连接BCAB是圆O的直径 ACB=90 CAB=65 B=25 D=B=25（2）连接OC，过点O作OFCD于点F , AE=10，BE=2OC=OA=6，OE=62=4 AEC=60 OF=2由勾股定理得： 解得： CD=2CF=3、如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，则_【答案】1【解析

17、】AB为直径，4如图，四边形ABCD是O的内接四边形，若BOD88，则BCD的度数是（）A88B92C106D136【答案】D【解析】解：BOD88，BAD88244，BAD+BCD180，BCD18044136，即BCD的度数是1365如图正方形ABCD四个顶点都在O上，P是在弧AB上的一点，则CPD度数是（）A35B40C45D60【答案】C【解析】解：连接AC，如图，四边形ABCD为正方形，CAD45，又CPDCAD，CPD456、如图，在O中，A35，E40，则BOD的度数（）A75B80C135D150【答案】D【解析】解：如图，连接OC，A35，BOC70，E40，DOC80，则B

18、ODBOC+DOC70+801507、如图，A、B、C、D四个点均在O上，AOD70，AODC，则B的度数为（）A40B45C50D55【答案】D【解析】解：如图，连接OC，AODC，ODCAOD70，ODOC，ODCOCD70，COD40，AOC110，BAOC558、如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，G是劣弧上一点，AG，DC的延长线交于点F求证：FGCAGD【答案】见解析【解析】证明：如图，连接AC，AB是O的直径，弦CDAB，ADAC，ADCACD，点A、D、C、G在O上，FGCADC，AGDACD，FGCAGD；9如图，AB是O的直径，C是的中点，CEAB于E，BD交CE于点F，（1）求证：CFBF；（2）若CD12，AC16，求O的半径和CE的长【答案】见解析【解析】解：（1）证明：AB是O的直径，ACB90，又CEAB，CEB90，290ABCA，又C是弧BD的中点，1A，12，CFBF；（2）C是弧BD的中点，BCCD12，又在RtABC中，AC16，由勾股定理可得：AB20，O的半径为10，SABCACBCABCE，CE9.6