专题03 手拉手模型（从全等到相似）（原卷版）.docx

1、专题03 手拉手模型（从全等到相似）全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了本专题就手拉手模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1.手拉手模型（全等模型）【模型解读】将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。【常见模型及证法】 （等腰）（等边）（等腰直角）公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为

2、“左手”，第二个顶点记为“右手”。 对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得。1（2022青海中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.(1)问题发现：如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：；(2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由. 图1 图22（2022黑龙江中考真题）和都是等边三角形(1)将绕点A旋

3、转到图的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有（或）成立；请证明(2)将绕点A旋转到图的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将绕点A旋转到图的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明3（2022吉林九年级期末）如图，在中，点，分别在边，上，且，此时，成立（1）将绕点逆时针旋转时，在图中补充图形，并直接写出的长度；（2）当绕点逆时针旋转一周的过程中，与的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请你利用图证明，若不成立请说明理由；（

4、3）将绕点逆时针旋转一周的过程中，当，三点在同一条直线上时，请直接写出的长度模型2.手拉手模型（旋转相似模型）【模型解读与图示】 旋转放缩变换，图中必有两对相似三角形.1（2022四川达州中考真题）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如图1的方式摆放，随后保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，延长交于点F，连接该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：(1)【初步探究】如图2，当时，则_；(2)【初步探究】如图3，当点E，F重合时，请直接写出，之间的数量关系：_；(3)【深入探究】如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否仍然成

5、立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由(4)【拓展延伸】如图5，在与中，若，（m为常数）保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，延长交于点F，连接，如图6试探究，之间的数量关系，并说明理由2（2022山东烟台中考真题）(1)【问题呈现】如图1，ABC和ADE都是等边三角形，连接BD，CE求证：BDCE(2)【类比探究】如图2，ABC和ADE都是等腰直角三角形，ABCADE90连接BD，CE请直接写出的值(3)【拓展提升】如图3，ABC和ADE都是直角三角形，ABCADE90，且连接BD，CE求的值；延长CE交BD于点F，交AB于点G求sinBFC的值3（2022山东东营市一模）

6、【提出问题】（1）如图1，在等边ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边AMN，连结CN求证：ABC=ACN【类比探究】（2）如图2，在等边ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论ABC=ACN还成立吗？请说明理由【拓展延伸】（3）如图3，在等腰ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰AMN，使顶角AMN=ABC连结CN试探究ABC与ACN的数量关系，并说明理由4（2022山西长治九年级期末）问题情境：如图1，在ABC中，AB6，AC5，点D，E分别在边AB，AC上，

7、且数学思考：(1)在图1中，的值为 ；(2)图1中ABC保持不动，将ADE绕点A按逆时针方向旋转到图2的位置，其它条件不变，连接BD，CE，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；(3)拓展探究：在图2中，延长BD，分别交AC，CE于点F，P，连接AP，得到图3，探究APE与ABC之间有何数量关系，并说明理由；(4)若将ADE绕点A按逆时针方向旋转到图4的位置，连接BD，CE，延长BD交CE的延长线于点P，BP交AC于点F，则（3）中的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出APE与ABC之间的数量关系课后专项训练：1（2022湖南中考真题）如图，点是等边三角形内一点，则与

8、的面积之和为（）ABCD2（2022四川宜宾中考真题）如图，和都是等腰直角三角形，点D是BC边上的动点（不与点B、C重合），DE与AC交于点F，连结CE下列结论：；若，则；在内存在唯一一点P，使得的值最小，若点D在AP的延长线上，且AP的长为2，则其中含所有正确结论的选项是（）ABCD3（2022湖北襄阳市樊城区青泥湾中学九年级阶段练习）如图，已知AOB和MON都是等腰直角三角形(OAOM=ON)，AOB=MON=90(1)如图，连接AM，BN，求证：AOMBON；(2)若将MON绕点O顺时针旋转，如图，当点N恰好在AB边上时，求证：；当点A，M，N在同一条直线上时，若OB=4，ON =3，请

9、直接写出线段BN的长4（2022山西朔州九年级期末）综合与实践问题情境：在数学课上老师出了这样一道题：如图1，在中，求的长(1)探究发现：如图2，勤奋小组经过思考后，发现：把绕点A顺时针旋转得到，连接，利用直角三角形的性质即可求解，请你根据勤奋小组的思路，求的长；(2)探究拓展：如图3，缜密小组的同学在勤奋小组的启发下，把绕点A顺时针旋转后得到，连接，交于点F，交于点G，请你判断四边形的形状并证明；(3)奇异小组的同学把图3中的绕点B顺时针旋转，在旋转过程中，连接，发现的长度在不断变化，直接写出的最大值和最小值5（2022湖北武汉八年级期末）已知ABC中，BAC=60，以AB和BC为边向外作等

10、边ABD和等边BCE(1)连接AE、CD，如图1，求证：AE=CD；(2)若N为CD中点，连接AN，如图2，求证：CE=2AN(3)若ABBC，延长AB交DE于M，DB=，如图3，则BM=_（直接写出结果）6（2022湖南长沙市湘郡培粹实验中学八年级阶段练习）如图1，在RtABC中，B90，ABBC4，点D，E分别为边AB，BC上的中点，且BDBE(1)如图2，将BDE绕点B逆时针旋转任意角度，连接AD，EC，则线段EC与AD的关系是 ；(2)如图3，DEBC，连接AE，判断EAC的形状，并求出EC的长；(3)继续旋转BDE，当AEC90时，请直接写出EC的长7（2022广东惠州一中八年级期中

11、）为等边三角形，于点为线段上一点，以为边在直线右侧构造等边连结，为的中点（1）如图1，与交于点，连结，求线段的长；连结，求的大小（2）如图2，将绕点逆时针旋转，旋转角为为线段的中点连结、当时，猜想的大小是否为定值，并证明你的结论8（2022新乡中考模拟）在ABC中，CACBm，在AED中，DADEm，请探索解答下列问题【问题发现】（1）如图1，若ACBADE90，点D，E分别在CA，AB上，则CD与BE的数量关系是 ，直线CD与BE的夹角为 ；【类比探究】（2）如图2，若ACBADE120，将AED绕点A旋转至如图2所示的位置，则CD与BE之间是否满足（1）中的数量关系？说明理由【拓展延伸】（

12、3）在（1）的条件下，若m2，将AED绕点A旋转过程中，当B，E，D三点共线请直接写出CD的长9（2022虹口区期中）如图，在ABC和ADE中，BADCAE，ABCADE（1）求证：ABCADE；（2）判断ABD与ACE是否相似？并证明10（2022长垣市一模）在ABC中，ABAC，点D为AB边上一动点，CDEBAC，CDED，连接BE，EC（1）问题发现：如图，若60，则EBA ，AD与EB的数量关系是 ；（2）类比探究：如图，当90时，请写出EBA的度数及AD与EB的数量关系并说明理由；（3）拓展应用：如图，点E为正方形ABCD的边AB上的三等分点，以DE为边在DE上方作正方形DEFG，点

13、O为正方形DEFG的中心，若OA，请直接写出线段EF的长度11（2022山西寿阳县教研室九年级期末）问题情境：如图1所示，在ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DEBC，在图1中将ADE绕A点顺时针旋转一定角度，得到图2，然后将BD、CE分别延长至M、N，使DM=BD，EN=CE，得到图3，请解答下列问题：(1)猜想证明：若AB=AC，请探究下列数量关系：在图2中，BD与CE的数量关系是_在图3中，猜想MAN与BAC的数量关系，并证明你的猜想；(2)拓展应用：其他条件不变，若AB=AC，按上述操作方法，得到图4，请你继续探究：MAN与BAC的数量关系？AM与AN的数量关系？直接写出你的猜想12（2022辽宁东港市第七中学一模）如图，在、中，设连接，以、为邻边作，连接(1)若，当、分别与、重合时（图1），易得当绕点顺时针旋转到（图2）位置时，请直接写出线段、的数量关系_；(2)若，当绕点顺时针旋转到（图3）位置时，试判断线段、的数量关系，并证明你的结论；(3)若为任意角度，绕点顺时针旋转一周（图4），当、三点共线时，请直接写出的长度