专题03 相似三角形的判定重难点专练（解析版）（沪教版）.docx

1、专题03相似三角形的判定重难点专练第I卷（选择题）一、单选题1（2018上海浦东新区九年级期末）如图，梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，DBC=45，点E在BC上，点F在AB上，将梯形ABCD沿直线EF翻折，使得点B与点D重合如果，那么的值是（）ABCD2（2021上海徐汇区）下列说法中，正确的是（ ）A两个矩形必相似B两个含角的等腰三角形必相似C两个菱形必相似D两个含角的直角三角形必相似3（2021上海九年级专题练习）如图，在正方形中，为中点， 联结那么下列结果错误的是( )A与相似B与相似C与相似D与相似4（2021上海九年级专题练习）下列命题中的真命题是（ ）A两个直角三角形都相似B

2、若一个直角三角形的两条边和另一个直角三角形的两条边成比例，则这两个直角三角形相似C两个等腰三角形都相似D两个等腰直角三角形都相似5（2020上海市静安区实验中学九年级课时练习）在ABC中，D为AB上一点，过点D作一条直线截ABC，使截得的三角形与ABC相似，这样的直线可以作（ ）A2条B3条C4条D5条6（2020上海市静安区实验中学九年级课时练习）将一张矩形纸片对折后裁下，得到两张大小完全一样的矩形纸片，已知它们都与原来的矩形相似，那么原来矩形长与宽的比为（ ）A2:1B:1C3:1D:17（2021上海九年级专题练习）在RtABC和RtDEF中，C=F=90，由下列条件判定ABCDEF的是

3、（ ）A=55，D=35；AC=3，BC=4，DF=6，DE=8；AC=9，BC=12，DF=6，EF=8；AB=10，AC=8，EF=9，DE=15A1个B2个C3个D4个8（2020上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知ABC和ADC均为直角三角形，点B、D位于AC的两侧，ACB=ACD=90，BC=a，AC=b，AB=c，要使ADC和ABC相似，CD可以等于（ ）ABCD9（2020上海市静安区实验中学九年级课时练习）在ABC中，直线DE分别与AB、AC相交于点D、E，下列条件不能推出ABC与ADE相似的是（ ）ABADE=ACBCAEAC=ABADD10（2020上海市静安区实验中学

4、九年级课时练习）下列能判定ABC和DEF相似的是（ ）AA=40，B=E=58，D=82BA=E，CA=B，D=EDAB=BC=DE=EF11（2020上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，点P是ABC边AB上一点（ABAC），下列条件不一定能使ACPABC的是（ ）ABCACP=BDAPC=ACB12（2018上海民办兰生复旦中学九年级月考）下列各命题中，真命题的个数是（ ）两边成比例的两个直角三角形相似；两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似；两边及其中一边上的高对应成比例的两个三角形相似；三条直线被两条直线所截，截得的对应线段成比例，那么这三条直线平行；如果一条直线截三角形两边

5、的延长线，所得对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边；A0个B1个C2个D3个13（2021上海九年级专题练习）下列命题中正确的是（ ）A所有等腰三角形都相似B两边成比例的两个等腰三角形相似C有一个角相等的两个等腰三角形相似D有一个角是100的两个等腰三角形相似14（2021上海九年级专题练习）如图，点D、E分别在ABC的AB、AC边上，下列条件中：ADEC；使ADE与ACB一定相似的是（ ）ABCD15（2021上海）如图，四边形是正方形，是边的中点，是边上的一动点，下列条件中，ABP不与ECP相似的是（ ）ABCD16（2019上海嘉定区）下列命题是真命题的是（）A有一个角相等的

6、两个等腰三角形相似B两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似C四个内角都对应相等的两个四边形相似D斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似17（2021上海九年级专题练习）下列判断中，不正确的有（）A三边对应成比例的两个三角形相似B两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似C斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似D有一个角是100的两个等腰三角形相似18（2019上海第二工业大学附属龚路中学九年级月考）如图，在中，点、分别在边、上，平分，与一定相似的三角形为（ ） ABCD19（2020上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，ADEACDABC，图中相似三角形共有（ ）

7、A1对B2对C3对D4对20（2017上海宋庆龄学校九年级月考）下列命题中，说法正确的个数是（ ）（1）两个等边三角形一定相似；（2）有一个角相等的两个菱形一定相似；（3）两个等腰三角形腰上的高和腰对应成比例，则这两个三角形必相似；（4）两边及第三边上的中线对应成比例的两三角形相似.A1个B2个C3个D4个第II卷（非选择题）二、填空题21（2021上海九年级专题练习）已知在中，点分别在边上，将沿直线对折后，点正好落在对边上，且折痕截所成的小三角形（即对折后的重叠部分）与相似，则折折痕_22（2021上海）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全

8、等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线，在四边形ABCD中，对角线BD是它的相似对角线，ABC=70，BD平分ABC，那么ADC=_度23（2017上海）如图，在直角三角形ACB中，D为AC中点，过点D作DEAB，垂足为点E，点F在CB的延长线上，且，联结DF，交AB于点H，如果，那么_. 24（2017上海）如图，在ABC中，D、E分别为边AB、AC的中点，CD与BE交于点F，BECD，如果，那么_. 25（2020上海上外附中九年级月考）的边长分别为的边长分别，则与_（选填“一定”“不一定” “一定不”）相似26（2020上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，在RtABC中，

9、ACB=90，BA=12cm，AD、BE是两条中线，F为其交点，那么CF=_cm27（2020上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，在ABC中，DEBC，则=_28（2020上海市静安区实验中学九年级课时练习）在ABC中，D为AB上一点，且AD=1，AB=4，AC=7，若AC上有一点E，且ADE与原三角形相似，则AE=_29（2020上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，在ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，已知AB=6，AC=9，BC=12，AD=3，AE=2，那么DE=_30（2020上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，E是ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F

10、，图中_对相似三角形31（2021上海九年级专题练习）如图，ABC中C90，如果CDAB于D，那么AC是AD和_的比例中项32（2021上海九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，点E是DC上一点，DAE=BAC，则EC的长为_ 33（2019上海市闵行区七宝第二中学九年级期中）在中，ACB=90，ACBC，O是边AB的中点，过点O的直线将分割成两个部分，若其中的一个部分与相似，则满足条件的直线共有_条34（2019上海第二工业大学附属龚路中学九年级月考）中，点在上，且，若要在上找一个点，使与相似，则_三、解答题35（2021上海九年级专题练习）在矩形ABCD中，点P在AD

11、上，AB=2，AP=1.直角尺的直角顶点放在点P处，直角尺的两边分别交AB、BC于点E、F，连接EF(如图1).(1)当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合(如图2).求证：APBDCP；求PC、BC的长.(2)探究：将直角尺从图2中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止.在这个过程中(图1是该过程的某个时刻)，观察、猜想并解答： tanPEF的值是否发生变化？请说明理由. 设AE=x，当PBF是等腰三角形时，请直接写出x的值.36（2018上海普陀区）如图1，正方形ABCD的边长为4，把三角板的直角顶点放置BC中点E处，三角板绕点E旋转，三角板的两边分别交边AB、CD于点G、F

12、（1）求证：GBEGEF（2）设AG=x，GF=y，求Y关于X的函数表达式，并写出自变量取值范围（3）如图2，连接AC交GF于点Q，交EF于点P当AGQ与CEP相似，求线段AG的长 37（2019上海浦东新区）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形已知是比例三角形，请直接写出所有满足条件的AC的长；如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分，求证：是比例三角形如图2，在的条件下，当时，求的值38（2018上海黄浦区中考模拟）如图，线段AB=5，AD=4，A=90，DPAB，点C为射线DP上一点，BE平分ABC交线段AD于点E（不与端点A、D重合）（1）当AB

13、C为锐角，且tanABC=2时，求四边形ABCD的面积；（2）当ABE与BCE相似时，求线段CD的长；（3）设CD=x，DE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域39（2018上海中考模拟）如图，已知ABC中，ACB90，AC8，cosA，D是AB边的中点，E是AC边上一点，联结DE，过点D作DFDE交BC边于点F，联结EF（1）如图1，当DEAC时，求EF的长；（2）如图2，当点E在AC边上移动时，DFE的正切值是否会发生变化，如果变化请说出变化情况；如果保持不变，请求出DFE的正切值；（3）如图3，联结CD交EF于点Q，当CQF是等腰三角形时，请直接写出BF的长40（2017上海第二工

14、业大学附属龚路中学九年级期中）从三角形一个顶点引出一条射线于对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的优美线（1）如图，在ABC中，AD为角平分线，B=50，C=30，求证：AD为ABC的优美线；（2）在ABC中，B=46，AD是ABC的优美线，且ABD是以AB为腰的等腰三角形，求BAC的度数；（3）在ABC中，AB=4，AC=2，AD是ABC的优美线，且ABD是等腰三角形，直接写出优美线AD的长41（2014上海普陀区）如图，在正方形中，点是边上的任意一点，是延长线上一点，联结，

15、作交的平分线上一点，联结交边于点（1）求证：；（2）设点到点的距离为，线段的长为，试求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）当点是线段延长线上一动点，那么（2）式中与的函数关系式保持不变吗？如改变，试直接写出函数关系式42（2014上海）已知：如图，在等腰直角ABC中，AC=BC，斜边AB的长为4，过点C作射线CP/AB，D为射线CP上一点，E在边BC上（不与B、C重合），且DAE=45，AC与DE交于点O（1）求证：ADEACB；（2）设CD=x，BAE = y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果COD与BEA相似，求CD的值43（2021上海崇明区九年级二模）如

16、图，在矩形ABCD中，AB3，BC4，点P为射线BC上的一个动点，过点P的直线PQ垂直于AP与直线CD相交于点Q，当BP5时，CQ_44（2020上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，四边形ABCD中，A=BCD=90过C作对角线BD的垂线交BD、AD于点E、F，求证：CD是DF和DA的比例中项45（2020上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图,DF为RtABC斜边AB的中垂线,交BC及AC的延长线于点E、F,已知CD=6,DE=4,求DF的长46（2020上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，C=90，AC=CD=DE=BE，试找出图中的一对相似三角形，并加以证明47（2020上

17、海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，一张长8cm，宽6cm的矩形纸片，将它沿某直线折叠使得A、C重合，求折痕EF的长48（2021上海九年级专题练习）如图，在正方形ABCD中，E是CD上的一点，F是BC的延长线上的一点，且CE=CF，BE的延长线交DF于点G，求证：BGFDCF49（2021上海九年级专题练习）如图，矩形ABCD中，BPPQ（1）求证：ABPDPQ； （2）写出对应边成比例的式子50（2019上海市黄兴学校九年级月考）如图，ADBC于点D，点E在边AB上，CE与AD交于点G，EFAD于点F，AE5cm，BE10cm，BD9cm，CD5cm，求AF、FG、GD的长参考答案1B

18、【解析】EF是点B、D的对称轴，BFEDFE，DE=BE在BDE中，DE=BE，DBE=45，BDE=DBE=45，DEB=90，DEBC在等腰梯形ABCD中，=，设AD=1，BC=4，过A作AGBC于G，四边形AGED是矩形，GE=AD=1，RtABGRtDCE，BG=EC=1.5，AG=DE=BE=2.5，AB=CD=，ABC=C=FDE，CDE+C=90，FDE+CDE=90，FDB+BDC+FDB=FDB+DFE=90，BDC=DFE，DEF=DBC=45，BDCDEF，DF=，BF=，AF=ABBF=，=故选B2D【分析】根据相似多边形、相似三角形的判定逐项判断即可得【详解】A、两个

19、矩形的对应角相等，但对应边不一定成比例，则不一定相似，此项错误；B、如果一个等腰三角形的顶角是，另一等腰三角形的底角是，则不相似，此项错误；C、两个菱形的对应边成比例，但四个内角不一定对应相等，则不一定相似，此项错误；D、两个含角的直角三角形必相似，此项正确；故选：D【点睛】本题考查了相似多边形、相似三角形的判定，熟练掌握相似图形的判定方法是解题关键3C【分析】根据正方形的性质及勾股定理逆定理可以判断AEF是直角三角形，再根据三角形相似的判定可以选出结果错误的选项【详解】解：设正方形边长为1 ，则由已知可得：，AEF是直角三角形，在RTABE、RTECF、RTADF、RTAEF中，B=C=AE

20、F=D，RTABE、RTECF、RTAEF两两相似，但是ABE 与 ADF 不相似，A、B、D正确，C错误，故选C【点睛】本题考查正方形与三角形相似的综合应用，灵活运用正方形的性质和三角形相似的判定是解题关键4D【分析】根据相似三角形的判定逐项判断即可得【详解】A、如一个直角三角形的三个内角分别为，另一个直角三角形的三个内角分别为，这两个直角三角形不相似，则此项是假命题；B、如一个直角三角形的三边长分别为，另一个直角三角形的三个内角分别为，这两个直角三角形不相似，则此项是假命题；C、如一个等腰三角形的三个内角分别为，另一个等腰三角形的三个内角分别为，这两个等腰三角形不相似，则此项是假命题；D、

21、等腰直角三角形的三个内角都是，满足三角形相似的判定定理，则此项是真命题；故选：D【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键5C【分析】根据相似三角形的判定方法分析，即可做出判断【详解】满足条件的直线有4条，如图所示：如图1，过D作DEAC，则有BDEBAC；如图2，过D作DEBC，则有ADEABC；如图3，过D作AED=B，又A=A，则有ADEACB；如图4，过D作BED=A，又B=B，则有BEDBAC，故选：C【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解答的关键是对相似三角形的判定方法的理解与灵活运用6B【分析】先设出原矩形的长和宽，可根据对折表示出对折后的矩形的长

22、和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，然后求解【详解】解：设原矩形长2a，宽b，则对折后的矩形的长为b，宽为a，对折后的矩形与原矩形相似，故选B【点睛】此题主要考查了相似多边形的性质，关键是掌握相似多边形对应边成比例7B【分析】根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析即可【详解】解：如图示，在RtABC和RtDEF中，C=F=90，故是不正确的；，故是正确的；，；故是正确的；，有一组角相等两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似；故是错误的；综上所述是正确的，正确的有2个，故选：B【点睛】此题主要要求学生熟练掌握相似三角形的判定定理：两角对应相等，两组边对应成比例且夹角相等，

23、三边对应成比例8B【分析】由ADC和ABC相似，可得到，从而完成求解【详解】ADC和ABC相似，且ACB=ACD=90 故选：B【点睛】本题考查了直角三角形和相似三角形的知识，求解的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解9D【分析】由题意可得一组对角相等，根据相似三角形的判定：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似添加条件即可【详解】解：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项A不符合题意；两角对应相等，两三角形相似，故选项B不符合题意；由AEAC=ABAD得，且A=A，故可得ABC与ADE相似，所以选项C不符合题意；而D不是夹角相等，故

24、选项D符合题意；故选：D【点睛】相似三角形的判定：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似；（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似10A【分析】根据相似三角形的判定方法即可判断【详解】A、由A=40，B=58知，C=D=82，又B=E，可判定ABCFED，符合题意；B、由知，要使ABC和DEF相似，只需B=F,故此选项不能判定ABC和DEF相似；C、因为A=B，D=E是分别在同一三角形中相等的角，故此选项不能判定ABC和DEF相似；D、由AB=B

25、C=DE=EF得，但还差一对角相等或AC=DF，故此选项不能判定ABC和DEF相似，故选：A【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答的关键11B【分析】A利用对应边成比例,且夹角相等来判断即可;B对应边成比例,但夹角不相等,不能证ACP与ABC全等;C利用两角对应相等,两三角形全等,进行判定即可; D利用两角对应相等,两三角形全等,进行判定即可【详解】解：A,A=AACPABCB对应边成比例,但夹角不相等,不能证ACP与ABC全等CACP=B,A=AACPABCDAPC=ACB,A=AACPABC故选：B【点睛】本题考查了相似三角形的判定:两组对应边成比例且夹角对应

26、相等的两个三角形相似;有两组角对应相等的两个三角形相似注意:两边对应成比例必须夹角相等12A【分析】根据相似三角形的判定和平行线分线段成比例定理判断选项的正确性【详解】这两条边必须是对应的直角边，错误；这个角必须是两边的夹角，错误；假如一个是锐角三角形，一个钝角三角形，错误；如果截得两条直线是平行关系也成比例，错误；两边的延长线应该在第三边的同侧，错误；一个都不对故选：A【点睛】本题考查相似三角形的判定和平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握这两个性质定理13D【分析】根据相似三角形进行判断即可【详解】解：A、所有等腰三角形不一定都相似，原命题是假命题；B、两边成比例的两个等腰三角形不一

27、定相似，原命题是假命题；C、有一个角相等的两个等腰三角形不一定相似，原命题是假命题；D、有一个角是100的两个等腰三角形相似，是真命题；故选：D【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理14C【分析】由两角相等的两个三角形相似得出正确，由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得出正确；即可得出结果【详解】DAEBAC，当ADEC时，ADEACB，故符合题意，当时，B不一定等于AED，ADE与ACB不一定相似，故不符合题意，当时，ADEACB故符合题意，综上所述：使ADE与ACB一定相似的是，故选：C【点睛】本题考查

28、相似三角形的判定，两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键15A【分析】由四边形ABCD是正方形，可得B=C=90，又由E是CD的中点，易得CE:AB=1:2，然后分别利用相似三角形的判定定理，判定ABP与ECP相似【详解】四边形ABCD是正方形，B=C=90，AB=CD=BC，E是CD的中点，CE:CD=1:2，即CE:AB=1:2， A、BP=PC，BP=PC=BC，没办法判定ABP与ECP中各边成比例，故A错误；B、APE=90，APB+CPE=90，BAP+APB=90，BAP=CPE

29、，ABPPCE，故B正确；C、APB=EPC，ABPEPC，故C正确；D、BP=2PC，PC:BP=1:2，PC:BP=CE:AB=1:2，ABPPCE，故D正确故选：A【点睛】本题考查了相似三角形的判定以及正方形的性质注意灵活应用判定定理是解题的关键16D【分析】根据相等的角可能为顶角或底角可对A进行判断；根据相似三角形的判定方法对B、D进行判断；利用矩形和正方形不相似可对C进行判断【详解】解：A、有一个顶角（或底角）对应相等的两个等腰三角形相似，所以A选项错误；B、两边对应成比例且它们的夹角相等的两个三角形相似，所以B选项错误；C、四个内角都对应相等的两个四边形不一定相似(四边也必须对应成

30、比例)，所以C选项错误；D、斜边和一条直角边对应成比例,根据勾股定理另一条直角边也和斜边成比例,这样的两个直角三角形相似，所以D选项正确故选：D【点睛】此题考查的是相似三角形的判定,掌握相似三角形的各个判定方法是解决此题的关键.17B【分析】由相似三角形的判定依次判断可求解【详解】解：A、三边对应成比例的两个三角形相似，故A选项不合题意；B、两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，故B选项符合题意；C、斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，故C选项不合题意；D、有一个角是100的两个等腰三角形，则他们的底角都是40，所以有一个角是100的两个等腰三角形相似，故D选项不合题意； 故

31、选B【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键18B【分析】由题意可得，根据三角形的外角等于不相邻的两个内角和，可求，即可证【详解】平分，又，且故选【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定解决问题是本题的关键19D【解析】试题分析：ADE=ACD=ABC，DEBC，ADEABC，DEBC，EDC=DCB，ACD=ABC，EDCDCB，同理：ACD=ABC，A=A，ABCACD，ADEABC，ABCACD，ADEACD，共4对，故选D考点：1相似三角形的判定；2平行线的判定20D【分析】利用相似图形的判定和性质，分别判断即可.【详解】解：（1）等

32、边三角形的内角都是60，各边相等，得到对应边的比相等所以一定相似，正确；（2）有一个角相等的两个菱形，其余的角也必对应相等，菱形各边相等，所以对应边的比相等，所以一定相似，正确；（3）根据斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，可得这两个等腰三角形的顶角相等，然后由腰对应成比例可得这两个三角形必相似，正确；（4）理由：如图，AD、AD分别是ABC与ABC的中线，延长AD到M，使DMAD，连结MC在ABD与MCD中，ADMD，ADBMDC，BDCD，ABDMCD（SAS），ABMC，同理延长AD到M，使DMAD，连结MC，那么ABMC，在ACM与ACM中，ACMACM，MACMAC，同理

33、可得MABMAB，MACMABMACMAB，即BACBAC在ABC与ABC中，BACBAC，ABCABC，两边及第三边上的中线对应成比例的两三角形相似，正确.故选：D.【点睛】本题考查了相似多边形的定义及相似三角形的判定，判定两个三角形相似的方法有：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似21或【分析】先画草图借草图分析如图重叠的小三角形为，由对折知，所以要使ABC和相似，只需，此时

34、和C重合，N为AC中点，由三角形中位线定理易得MN的值；或只需，此时与B点重合，M=BM=AM=，再由相似的知识算得MN的值【详解】由AC=4，BC=3，ACB=90据勾股定理得AB=5下面分情况讨论：第一种情况如图1当MNC=90时，折叠后A点落在C点BCA=90MNC=BCA又由对折知：MCN=AMCNABC由对折知N为AC的中点，据三角形中位线定理得（）；第二种情况如图2当NMB=90时，折叠后A点落在B点C=90C=NMB又由对折知A=NBMABCBNM又由对折知（）综上分析得MN=或故答案为：或【点睛】本题是折叠类问题，考查相似三角形的判定，兼考查分类讨论的数学方法关键之处在于紧抓折

35、叠的图形成轴对称及全等解决之22145【分析】先画出示意图，由相似三角形的判定可知，在ABD和DBC中，已知ABD=CBD，所以需另一组对应角相等，若A=C，则ABD与DBC全等不符合题意，所以必定有A=BDC,再根据四边形的内角和为360列式求解.【详解】解：根据题意画出示意图，已知ABD=CBD，ABD与DBC相似，但不全等，A=BDC，ADB=C.又A+ABC+C+ADC=360，2ADB+2BDC+ABC=360，ADB+BDC=145，即ADC=145.【点睛】对于新定义问题，读懂题意是关键.23【解析】解：过B作BGCA交DF于GAC=2，D为AC的中点，AD=DC=1，BF：AD

36、=3：1，BF=3BGCA，BG：CD=BF：CF=3：4，BG=AC=2，BC=1，AB=.BGCA，BG：AD=BH：AH，=，=，AH=.在RtADE和RtABC中，A=A，AED=C=90，ADEABC，AE：AC=AD：AB，AE：2=1：，AE= ，EH=AH-AE=.故答案为：点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质的综合运用，关键是通过做辅助线BGCA而把所有相关线段联系起来24【解析】解：连接EDD、E分别为边AB、AC的中点，EDBC，2ED=BC，EDBC，BF=2EF，CF=2FD在RtBCF中，CBF=30，BC=4，CE=2，BF=，EF= 在RtEFC中，EC= =

37、，AC=2EC=.点睛：本题考查了三角形中位线定理和相似三角形的判定与性质，通过连接DE，由三角形中位线定理得出ED和CB的关系，进而得出EF的长25不一定【分析】先求出两个三角形三边的比，再根据三边对应成比例判断两个三角形相似即可【详解】解：的边长分别为的边长分别，两个三角形对应边的比分别为：，当a=b=c时，这两个三角形相似，当abc时，这两个三角形不相似，与不一定相似，故答案为：不一定【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答的关键264【分析】延长CF交AB于点H，连接DH利用直角三角形斜边中线的性质求出CH，再根据三角形中位线定理推出DHAC，AC=2DH，

38、可得，推出FG=2FH，由此即可解决问题；【详解】解：延长CF交AB于点H，连接DHAF，BE是ABC的中线，CH是ABC的中线，ACB=90，CH=AB=6cm，BD=CD，BH=AH，DHAC，AC=2DH，CF=2FH，CF=CH=4cm故答案为：4【点睛】本题考查三角形的重心，直角三角形斜边中线的性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识可解决问题，属于中考常考题型27【分析】根据平行线的性质得ADE=B，AED=C，利用“有两个角对应相等的两个三角形相似”证得ADEABC，根据相似三角形的性质即可得出结论【详解】DEBC，ADE=B，AED=C，ADEABC，故答案

39、为：【点睛】本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键28或【分析】根据ADE与原三角形相似，得到A=A，故分类讨论，根据相似性质即可求解【详解】解：（1）如图1，当ADEABC时，即：，；（2）如图2，当ADEACB时，即：，故答案为：或【点睛】本题考查了相似三角形的性质，题目中没有说明两个三角形相似的对应点，故分类讨论是解题关键294【分析】通过证明AEDABC，可得，即可求解【详解】AD=3，AE=2，AB=6，AC=9，又A=AADEACBDE=故答案为：4【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属

40、于中考常考题型303【分析】由ABCD可得，再由平行线性质推导而证明AFECFDBCE，从而完成求解【详解】ABCD， ， ， CFDBCEAFECFDBCE故答案为：3【点睛】本题考查了平行四边形和相似三角形的知识；求解的关键是熟练掌握平行四边形和相似三角形的性质，从而得到答案31AB【分析】利用相似三角形的判定得出ABCACD，进而利用相似三角形的性质求解即可【详解】C90，CDAB，ACB=ADC，又A=AABCACD，即AC2ADAB，AC是AD和AB的比例中项，故答案为：AB【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，关键是利用相似三角形的判定得出ABCACD32 【详解】解：矩形AB

41、CD中，DC=AB=2，AD=BC=1又DAE=BAC，D=B，ADEABC，AB：AD=BC：DE，DE=，EC=DCDE=点睛：本题考查的是相似三角形的判定和性质，相似三角形的对应边成比例333【分析】由于三角形ABC是直角三角形，所以必须保证直线l与三角形的任意一边能够形成直角三角形，进而再判定其是否相似【详解】三角形ABC是直角三角形.只有创造出一个直角时，才有可能满足题中相似的条件；当lBC时，可得三角形相似；当lAC时，亦可得三角形相似；当lAB时，三角形也相似，故满足题中的直线L共有3条.【点睛】本题考查相似三角形的判定，对于没有图的题可根据题意画出图形，通过图形得出小三角形与A

42、BC有一个角是公用角（也就是相等的）是解决此题的关键.345或【分析】分两种情况讨论，由是公共角，当，即时，当，即时，可求的值【详解】是公共角，当，即时，解得：当，即时，解得：故答案为：5或【点睛】此题考查了相似三角形的判定注意分类讨论思想的应用35(1)证明见解析；PC=2，BC=5；(2)tanPEF的值不变；x=或x=或x=.【分析】（1）由勾股定理求BP，利用互余关系证明APBDCP；利用相似比求PC，DP, 再根据BC=AD=AP+DP即可求得BC的长；（2）tanPEF的值不变理由为：过F作FGAD，垂足为点G. 则四边形ABFG是矩形，同（1）的方法证明APEGFP，得相似比，再

43、利用锐角三角函数的定义求值；利用相似比求GP，再矩形性质求出BF，PBF是等腰三角形，分三种情况讨论：() 当PB=PF时，根据BF=2AP求值；当BF=BP时，()根据BP=求值；() 当BF=PF时，根据PF=即可求出x值.【详解】解：(1)如图3.2，四边形ABCD是矩形，A=D=90，CD=AB=2，在RtABC中，1+2=90，BP=.又BPC=90,3+2=90， 1=3. APBDCP.由APBDCP.，即.PC=2，DP=4.BC=AD=AP+DP=5.(2)tanPEF的值不变.理由如下：如图3.1，过F作FGAD，垂足为点G. 则四边形ABFG是矩形.A=PGF=90，FG

44、=AB=2，在RtAPE中，1+2=90，又EPF=90,3+2=90， 1=3. APEGFP，. 在RtEPF中，tanPEF=2.tanPEF的值不变.由APEGFP.GP=2AE=2x，四边形ABFG是矩形.BF=AG=AP+GP=2x+1.PBF是等腰三角形，分三种情况讨论：()当PB=PF时，点P在BF的垂直平分线上. BF=2AP. 即2x+1=2，x=.()当BF=BP时，BP=BP=2x+1=.x=.()当BF=PF时，PF=，(2x)2+22=(2x+1)2，x=.【点睛】本题是综合题：熟练掌握线段垂直平分线的判定、矩形的性质和相似三角形的判定方法和性质；灵活运用相似三角形

45、的性质表示线段之间的关系和计算线段的长；合理作平行线构建相似三角形是解决问题的关键36（1）见解析；（2）y=4x+（0x3）；（3）当AGQ与CEP相似，线段AG的长为2或4【解析】【分析】（1）先判断出BEFCEF，得出BF=CF，EF=EF，进而得出BGE=EGF，即可得出结论；（2）先判断出BEGCFE进而得出CF=，即可得出结论；（3）分两种情况，AGQCEP时，判断出BGE=60，即可求出BG；AGQCPE时，判断出EGAC，进而得出BEGBCA即可得出BG，即可得出结论【详解】（1）如图1，延长FE交AB的延长线于F，点E是BC的中点，BE=CE=2，四边形ABCD是正方形，AB

46、CD，F=CFE，在BEF和CEF中，BEFCEF，BF=CF，EF=EF，GEF=90，GF=GF，BGE=EGF，GBE=GEF=90，GBEGEF；（2）FEG=90，BEG+CEF=90，BEG+BGE=90，BGE=CEF，EBG=C=90，BEGCFE，由（1）知，BE=CE=2，AG=x，BG=4x，CF=，由（1）知，BF=CF=，由（1）知，GF=GF=y，y=GF=BG+BF=4x+当CF=4时，即：=4，x=3，（0x3），即：y关于x的函数表达式为y=4x+（0x3）；（3）AC是正方形ABCD的对角线，BAC=BCA=45，AGQ与CEP相似，AGQCEP，AGQ=C

47、EP，由（2）知，CEP=BGE，AGQ=BGE，由（1）知，BGE=FGE，AGQ=BGQ=FGE，AGQ+BGQ+FGE=180，BGE=60，BEG=30，在RtBEG中，BE=2，BG=，AG=ABBG=4，AGQCPE，AQG=CEP，CEP=BGE=FGE，AQG=FGE，EGAC，BEGBCA，BG=2，AG=ABBG=2，即：当AGQ与CEP相似，线段AG的长为2或4【点睛】本题考核知识点：相似三角形综合. 解题关键点：熟记相似三角形的判定和性质.37当或或时，是比例三角形；证明见解析； 【详解】【分析】根据比例三角形的定义分、三种情况分别代入计算可得；先证得，再由知即可得；作

48、，由知，再证得，即，结合知，据此可得答案【详解】是比例三角形，且、，当时，得：，解得：；当时，得：，解得：；当时，得：，解得：负值舍去；所以当或或时，是比例三角形；，又，即，平分，是比例三角形；如图，过点A作于点H，又，即，又，【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，理解比例三角形的定义，熟练掌握和运用相似三角形的判定与性质是解题的关键38（1）16（2）当ABEEBC时，线段CD的长为2或（3）（0x4.1）【解析】试题分析:(1) 过C作CHAB与H,由A=90,DPAB,可得得四边形ADCH为矩形,在BCH中,CH=AD=4,BHC=90,tanCBH=2,得HB=CH2=2, 所以CD

49、=AH=5-2=3,则四边形ABCD的面积=,(2) 由BE平分ABC,得ABE=EBC,当ABEEBC时,BCE=BAE=90,由BE=BE,得BECBEA,得BC=BA=5,在BCH中,BH=,所以CD=AH=5-3=2.BEC=BAE=90,延长CE交BA延长线于T,由ABE=EBC,BEC=BET=90,BE=BE,得BECBET,得BC=BT,且CE=TE,又CDAT,得AT=CD.令CD=x,则在BCH中,BC=BT=5+x,BH=5-x,BHC=90,所以,即,解得,(3) 延长BE交CD延长线于M,因为ABCD,所以M=ABE=CBM,所以CM=CB,在BCH中,由勾股定理可得

50、:,则DM=CM-CD=,又因为DMAB,可得,即,即可得到:.试题解析:（1）过C作CHAB与H,由A=90,DPAB,得四边形ADCH为矩形,在BCH中,CH=AD=4,BHC=90,tanCBH=2,得HB=CH2=2, 所以CD=AH=5-2=3,则四边形ABCD的面积=,（2）由BE平分ABC,得ABE=EBC,当ABEEBC时,BCE=BAE=90,由BE=BE,得BECBEA,得BC=BA=5,于是在BCH中,BH=,所以CD=AH=5-3=2. BEC=BAE=90,延长CE交BA延长线于T,由ABE=EBC,BEC=BET=90,BE=BE,得BECBET,得BC=BT,且C

51、E=TE,又CDAT,得AT=CD.令CD=x,则在BCH中,BC=BT=5+x,BH=5-x,BHC=90,所以,即,解得,综上,当ABEEBC时,线段CD的长为2或. （3）延长BE交CD延长线于M,由ABCD,得M=ABE=CBM,所以CM=CB,在BCH中,则DM=CM-CD=,又DMAB,得,即,解得.39（1）；（2）不变；（3）或3或.【解析】试题分析：（1）由已知条件易求DE=3，DF=4，再由勾股定理EF=5；（2）过点作，垂足分别为点、，由（1）可得DH=3，DG=4；再证，即可得出结论；（3）分三种情况讨论即可.（1）， 是边的中点 在中， 又 四边形是矩形在中， （2）

52、不变过点作，垂足分别为点、由（1）可得，又，四边形是矩形 即又 （3）1 当时，易证，即又，D是AB的中点 2 当时，易证在中，设，则，当时，易证， 解得 3 在BC边上截取BK=BD=5，由勾股定理得出当时，易证设，则， 解得 40（1）证明见解析；（2）113.（3）优美线AD的长为4-4【解析】试题分析:(1)根据三角形的优美线的定义,只要证明ABD是等腰三角形, CADCBA即可解决问题,(2)如图2中,分两种情形讨论求解若AB=AD, CADCBA,则B=ADB=CAD,则ACBC,这与ABC这个条件矛盾, 若AB=BD, CADCBA, (3)如图3中,分三种情形讨论若AD=BD,

53、 CADCBA,则设BD=AD=x,CD=y,可得,解方程即可, 若AB=AD=4,由,设BD=AD=x,CD=y,可得,解方程即可, 若AB=AD,显然不可能.(1)证明：B=50，C=30，BAC=100，AD平分BAC，BAD=DAC=50，B=BAD=50，DB=DA， ABD是等腰三角形，C=C，DAC=B=50，CADCBA， 线段AD是ABC的优美线（2）若AB=AD，舍去， （理由若CADCBA，则B=ADB=CAD，则ACBC，）若AB=BD，B=46，BAD=BDA=67，CADCBA，CAD=B=46，BAC=67+46=113（3）或.41（1）证明见解析；（2）；（3

54、）改变，.【解析】试题分析：（1）欲证利用原图无法证明，需构建三角形且使之全等，因此在边上截取线段，使，连接，证明与全等即可（2）由列式化简即可得.（3）在延长线上取点，令，是等腰直角三角形.同理，.，即.整理，得.试题解析：（1）在边上截取线段，使，连接，由正方形，得，.，.又，平分，.又，即得.，即得.在和中，（2）在上取点，令，是等腰直角三角形.同理，.，即.整理，得.（3）改变，.考点：1.正方形的性质；2. 等腰直角三角形的判定和性质；3.全等三角形的判定与性质；4.由实际问题列函数关系式.42(1)略；（2）y= ，定义域0x2；（3）当CD=时，COD与BEA相似【解析】试题分析

55、：(1)根据等腰三角形的性质，得出角相等，然后角的等量代换，得出其余角相等，即可证明三角形相似；由（1）的结论可以得到线段成比例，解直角三角形即可求出函数解析式，并确定定义域；先由相似得出线段比例关系，设未知数解方程即可.试题解析：（1）证明：ACB是等腰直角三角形CABB=45CP/ABDCACAB=45DCABDAE=45DAC+CAE=CAE+EABDAC=EABDCAEAB即且DAE=CAB=45ADEACB（2）过点E作EHAB于点H由（1）得DCAEABACB是等腰直角三角形，且CD=xEB=xEH=BH=xAH=4x在RtAEH中，BAE=即y=定义域0x2（3）若COD与BEA

56、相似，又BEA与相似DCA即COD与DCA相似只有DCOACDDAOCEOCEOEABtanCEOy即解得，经检验都是原方程的实数根，不合题意舍去当CD=时，COD与BEA相似图13H考点：1.相似三角形的判定和性质；2.等腰三角形的性质；3.三角函数的定义.43【分析】通过证明ABPPCQ，可得 ，即可求解【详解】解：如图，BP5，BC4，CP1，PQAP，APQ90ABC，APB+BAP90APB+BPQ，BAPBPQ，又ABPPCQ90，ABPPCQ， CQ ，故答案为：【点睛】本题考查相似三角形、矩形的性质根据题意找相似的条件是关键利用相似比计算线段的长度是常用的方法44见解析【分析】

57、根据如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似，可以证得DCEDBC，DEFDAB；根据相似三角形的对应边成比例，即可证得【详解】证明：（1）DEF=DAB=90，BDA=FDE，DEFDAB，DE：DA=DF：DB，DEDB=DADF，DCB=DEC=90，BDC=CDE，DECDCB，DC2=DEDB，又DEDB=DADF，CD2=DFDACD是DF和DA的比例中项【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟记掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键45DF的长为9【分析】先证明ACBBDE,得到,将DE,BE,AB代入即可得到AC的值,进而求得BC的值,再通过证ADFCBA,得到

58、,即可求出DF的长【详解】DF为RTABC斜边AB的中垂线BDE =90,DE=4ACB= BDE,B=BACBBDE利用勾股定理,可得：同理可得ADFCBADF=9【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,勾股定理,以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半46ADEBDA【分析】先利用勾股定理求得AD=，进而有，又ADB=ADB，利用“两组边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似”即可证得ADEBDA【详解】C=90，AC=CD=DE=BE，AD=，BD=2，ADB=ADB，ADEBDA【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答的关键47EF的长为【分析】联结CF，

59、根据翻折的图形全等得到AF=CF，再根据勾股定理计算即可；【详解】联结CF，翻折的图形全等，AF=CF，设AF=x，则DF=8-x，OC=5，OF=，可证OE=OF，EF=【点睛】本题主要考查了勾股定理的折叠问题，准确计算是解题的关键48见解析【分析】先根据正方形的性质得出DC=BC，DCB =DCF =90，由CE=CF可得出DCFECB，故CDF=CBE，再根据F为公共角即可得出结论【详解】正方形ABCDDCB=DCF=90，DC=BCCE=CFDCFECBCDF =CBECDFF=90CBEF=90BGF=90=DCFBGFDCF【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知有两组角对应相等

60、的两个三角形相似是解答此题的关键49（1）证明见解析；（2）【分析】（1）根据矩形的性质得到A=D=90，再由BPPQ及“同角的余角相等”证得ABP=DPQ，然后利用“两组角相等的两个三角形相似”即可证得结论（2）根据相似三角形的性质即可解答【详解】（1）矩形ABCD，BPPQ A=D=BPQ=90 ABP+APB =90，DPQ+APB =90 ABP=DPQ ABPDPQ（2）ABPDPQ，【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、垂线定义、同（或等）角的余角相等，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键50AF4cm，FG3cm，GD5cm【分析】根据平行线得AEFABD，得到，代入已知数据求出EF，根据平行线分线段成比例定理得到，计算得到答案【详解】ADBC，EFAD，EFBC，AEFABD，又AE5cm，BE10cm，BD9cm，EF3cm，在RtABD中，AB15，BD9，由勾股定理得，AD=12，EFBC，AF4，DF8，EFBC，FG3cm，GD5cm答：AF4cm，FG3cm，GD5cm【点睛】本题考查的是相似三角形、平行线分线段成比例定理和勾股定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键