专题03 解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线(解析版)（重点突围）.docx

1、专题03 解题技巧专题：利用等腰三角形的三线合一作辅助线【考点导航】目录【典型例题】1【题型一 底边有中点时，连中线】1【题型二 底边无中点时，作高】7【题型三 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】14【典型例题】【题型一 底边有中点时，连中线】例题：（2022春浙江宁波八年级校联考期中）如图，在中，D为边的中点，E，F分别在上，于点D(1)求证：是等腰三角形(2)求的最小值【答案】(1)见解析(2)最小值为【分析】（1）连接，证明，解题即可；（2）先根据勾股定理求得，则，取中点G，连接，则，即即可解题【详解】（1）如图，连接为直角三角形，且，D为的中点，且平分，又，是等腰直角三角形（2

2、），取中点G，连接，最小值为【点睛】本题考查直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，正确作出辅助线是解题的关键【变式训练】1（2022春北京海淀八年级北京二十中校考阶段练习）如图：在中，D为边的中点，过点D作于点E，于点F(1)求证：；(2)若，求的周长【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，可得平分，再根据证明，即可得到结果；（2）根据已知条件证明为等边三角形，再根据直角三角形的性质得到，即可得到结果；【详解】（1）证明：连接，为边的中点，平分，又，；（2）解： ， 为等边三角形，的周长为【点睛】本题主要考查了三线合一，全等三角形的性质与判定，等边三

3、角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键2（2022春北京大兴八年级统考期末）已知，在中，点是的中点，作，使得射线与射线分别交射线，于点，(1)如图1，当点在线段上时，线段与线段的数量关系是_；(2)如图2，当点在线段的延长线上时，用等式表示线段，和之间的数量关系并加以证明【答案】(1)；(2)，理由见解析【分析】（1）连接，由等腰直角三角形的性质可得，根据可推导，进而证明，即可得到线段与线段的数量关系；（2）连接，利用（1）中的证明思路，再次证明，证得，即可利用等量代换得到【详解】（1）解：连接，点是的中点，且，平分，又（ASA）（2），理

4、由如下：连接，由（1）可知：，在和中，（ASA）【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解决问题的关键3（2022春湖北孝感八年级统考期末）在中，点O为的中点(1)若，两边分别交于E，F两点如图1，当点E，F分别在边和上时，求证：；如图2，当点E，F分别在和的延长线上时，连接，若，则(2)如图3，若，两边分别交边于E，交的延长线于F，连接，若，试求的长【答案】(1)见解析；18(2)2【分析】（1）由“”可证，可得；由“”可证，可得，即可求解；（2）由“”可证，可得，由“”可证，可得，即可求解【详解】（1）证明：如图1，连接，.点O为的中点，和是等

5、腰直角三角形， ，；解：如图2，连接，同理可证：，故答案为：18；（2）解：如图3，连接，过点O作，交的延长线于点H，点O为的中点，又，【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键【题型二 底边无中点时，作高】例题：（2022春江苏八年级期末）如图，点D、E在的边上，求证：【答案】见解析【分析】过点A作于P，根据等腰三角形三线合一，即可得到答案【详解】证明：如图，过点A作于P， ，；，【点睛】本题考查等腰三角形性质：三线合一，解题的关键是作辅助线【变式训练】1（2022春北京门头沟八年级统考期末）已知：如图，在中，求边上的高的长【答案

6、】边上高的为【分析】过作于，根据等腰三角形三线合一的性质，得出，再根据勾股定理，得出，即可得出边上高的长【详解】解：如图，过作于，在中，在中，边上高的为【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质、勾股定理，解本题的关键在熟练掌握等腰三角形三线合一的性质2（2022春辽宁大连八年级统考期末）如图，与均为等腰三角形，且，为延长线上一点，(1)若，求的度数；(2)求证：；(3)若，求的面积（用含，的式子表示）【答案】(1)20(2)见解析(3)【分析】（1）先，是等腰三角形性质与三角形内角和定理求出，即可由求解；（2）过点作于点，过点作于点，证明，得出，进而求得，即可得出，从而得出结论；（3）由（2

7、）可知，从而有，再根据，则有，即可求解【详解】（1）解：，又，（2）证明：过点作于点，过点作于点，又，在和中，设、交于点，则又，（3）解：由（2）可知，【点睛】本题考查等腰三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形内角和，三角形外角性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积，属三角形综合题目，难度适中3（2022春北京海淀八年级统考期末）已知在中，且=作，使得(1)如图1，若与互余，则=_(用含的代数式表示)；(2)如图2，若与互补，过点作于点，求证：；(3)若由与的面积相等，则与满足什么关系？请直接写出你的结论数【答案】(1)；(2)见解析；(3)与相等或互补【分析】（1）根据等腰三角形

8、两底角相等得，根据与互余得 ，由即可求出的度数；（2）作根据AAS证明,则，由等腰三角形三线合一可得，因此，问题得证；（3）由与的面积相等得高相等.情况：作于,于,根据可得，则可得=；情况:是钝角三角形，作于，作垂直于的延长线于，根据可得，则可得，由于与互补，因此与互补【详解】（1）解：中，且=,（2）如图，过点作于E点， 中，中，,=，在和中，,，（3）如图，作于，于，与的面积相等，又 , (HL)即=如图，作于，作垂直于的延长线于则，与的面积相等，综上，与相等或互补【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，同底等高的两个三角形面积相等，综合能力较强，有一定难度.熟练掌

9、握以上知识是解题的关键【题型三 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】例题：（2022春上海普陀八年级校考期中）如图，在中，平分，是的中点，过点作交的延长线于，交于，交的延长线于求证：(1)；(2)【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据证明，即可得出；（2）过点C作交于点M，由可得，根据平行线的性质得出，可得，进而得出，再根据据证明，得出，等量代换即可得到【详解】（1）证明：平分，在和中，；（2）证明：过点C作交于点M，E是的中点，在和中，【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，平行线的性质，熟记全等三角形的判定定理、性质定理及作出合适的辅助线是解此题的关键【变式

10、训练】1（2022春河北石家庄八年级校考期中）(1)【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可根据 证明，则，（即点C为的中点）(2)【类比解答】如图2，在中，平分 ，于E，若，通过上述构造全等的办法，可求得(3)【拓展延伸】如图3，中，平分，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论(4)【实际应用】如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：用量角器取的角平分线；过点A作于D已知，面积为20，则划出的的面积是多少？请直接写出答案【答案

11、】(1)(2)(3)，证明见解析(4)的面积是【分析】（1）证（），得，即可；（2）延长交于点F，由问题情境可知，再由等腰三角形的性质得，然后由三角形的外角性质即可得出结论；（3）拓展延伸延长、交于点F，证（），得，再由问题情境可知，即可得出结论；（4）实际应用延长交于E，由问题情境可知，则，再由三角形面积关系得，即可得出结论【详解】（1）解：平分，（），故答案为：；（2）解：如图2，延长交于点F，由可知，故答案为：；（3）解：，证明如下：如图3，延长、交于点F，则，又，（），由问题情境可知，；（4）解：如图4，延长交于E，由问题情境可知，答：的面积是【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、角平分线定义以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型