专题03任意角及其度量 （2大考点3种题型）（解析版）.docx

1、专题03任意角及其度量 （2大考点3种题型）思维导图核心考点聚焦考点一、任意角考点二、角的度量题型一任意角的三角函数的定义题型二三角函数值的符号题型三：角的度量考点一、任意角1. 正角、负角、零角：正角：一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角为正角，其度量值是正的；负角：一条射线绕端点按顺时针方向旋转所形成的角为负角，其度量值是负的. 零角：当一条射线没有旋转时，称为零角. 零角的始边与终边重合. 【小结】这样，我们可将角的概念推广到任意角，包括正角、负角与零角，也包括超过的角. 2. 象限角和轴线角：（1）为了便于研究角及与其相关的问题，可将角置于平面直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合

2、，角的始边与轴的正半轴重合，此时角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，或者说这个角属于第几象限. 如图，和都是第一象限角，和都是第二象限的角. （2）当角的终边在坐标轴上时，就说这些角不属于任一象限，这种角称为轴线角. 3. 终边相同的角：我们把所有所有与角终边重合的角（包括角本身）的集合表示为. 【小结】终边在轴正半轴上的角的集合为；终边在轴负半轴上的角的集合为；终边在轴上的角的集合为；终边在轴上的角的集合为；终边在坐标轴上的角的集合为；第二象限角的集合为. 【注意】后缀表示射线，表示直线. 考点二、角的度量1. 角度制在平面几何中，我们把周角的作为1度，用“度”作为单位来度量角的单

3、位制叫做角度制. 2. 弧度制（1）把弧长等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad. 用“弧度”作为单位来度量角的单位制叫做弧度制. 一般地说，如果一个半径为的圆的圆心角所对的弧长为，那么就是角的绝对值，即，这里的符号由它的始边旋转至终边的方向决定【逆正顺负】. 【注意】对于角，以顶点为圆心，分别以为半径画弧和，它们的长分别为和，则，因此一个角的弧度数仅与角的大小有关，而与所取弧的半径无关. 【心得】这种定义法我们称之为比值定义法，跟初中物理中类似. （2）在弧度制下，每个角都是一个确定的实数，而每个实数也可以表示一个确定的角，因此在角的集合与实数集合之间建立起一种一一对应的关

4、系. 【注意】在用弧度制表示角时，通常省略“弧度”两字，只写这个角所对应的弧度数. 例如，角和角的互补关系可以表示为，而则表示弧度的角的正弦. （3）角度与弧度的换算：弧度弧度，弧度（4）应熟记一些常用特殊角的角度和弧度的对应关系角度弧度（5）象限角的表示： 第一象限的角的集合： 第二象限的角的集合： 第三象限的角的集合： 第四象限的角的集合：【注意】角度和弧度不可混用，如“”和“”的写法都是不妥当的. （6）弧长公式和扇形面积公式 引入弧度制使得扇形的弧长和面积公式变得简洁漂亮. 当扇形的圆心角为，半径为时，扇形的弧长和面积的公式分别为及. 在使用弧度制后，圆心角相应的弧度为，因此上述公式可

5、分别简化为扇形的弧长，扇形的面积. 题型一任意角的三角函数的定义【例1】（2023春浦东新区校级月考）下列命题中，正确的是A第二象限角大于第一象限角B若，是角终边上一点，则C若，则、的终边相同D的解集为【分析】取特例可判断，根据三角函数的定义判断，利用周期解出三角方程的解集判断【解答】解：因为象限角不能比较大小，如是第二象限角，是第一象限角，故错误；因为，是角终边上一点，所以，所以，故错误；当时，满足，但、的终边不相同，故错误；当时，在一个周期上的解为，故在定义域上的解为，故正确故选：【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题【例2】（2023春浦东新区校级期中）“，”是“”的条件

6、A充分不必要B必要不充分C充要D既不充分也不必要【分析】根据充分条件、必要条件的概念及特殊角的正弦函数值求解即可【解答】解：“”能推出“”，充分性成立，反过来，“”不能推出“”，因为可能，故必要性不成立，所以“，”是“”的是充分不必要条件故选：【点评】本题主要考查充分条件、必要条件的概念及特殊角的正弦函数值，属于基础题【例3】（2023春青浦区校级月考）若角的终边上有一点，则实数的值为 【分析】利用终边上的点表示出，然后解方程即可【解答】解：角的终边上有一点，则，解得故答案为：【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，考查计算能力，是基础题【例4】（2023上海模拟）已知为角终边上一点，则【分析

7、】由已知点的坐标求出到原点的距离，利用任意角的三角函数的定义求得，的值，然后求解即可【解答】解：（1）点为角终边上一点，则，故答案为：【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，是基础题【例5】（2023春宝山区校级月考）已知终边过点，若，则【分析】根据三角函数的定义即可求解【解答】解：依题意，因为终边过点，所以，解得：或（舍去），所以，所以故答案为：【点评】本题主要考查了诱导公式，三角函数函数的定义，属于基础题【例6】（2023春徐汇区校级期中）角是第四象限角，其终边与单位圆的交点为，把角顺时针旋转得角，则角终边与单位圆的交点的坐标为 【分析】利用三角函数的坐标定义，利用诱导公式进行计算即可【解

8、答】解：是第四象限角，其终边与单位圆的交点为，把角顺时针旋转得角，则，则，即角终边与单位圆的交点的坐标为，故答案为：，【点评】本题主要考查三角函数的定义，利用坐标公式以及诱导公式进行计算是解决本题的关键，是中档题题型二三角函数值的符号【例1】（2023春浦东新区期中）已知点在第四象限，则角的终边在A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】由题意得，结合三角函数的定义即可求解【解答】解：由题意得，所以为第三象限故选：【点评】本题主要考查了三角形函数值符号的判断，属于基础题【例2】（2023春宝山区校级月考）设是第三象限角，则下列函数值一定为负数的是ABCD【分析】对于，结合特殊值法，即可求

9、解；对于，先求出在第二象限或第四象限，再结合选项，即可求解【解答】解：对于，当时，满足是第三象限角，但，故错误；对于，则，故在第二象限或第四象限，所以符合题意故选：【点评】本题主要考查三角函数值的符号，属于基础题【例3】（2023春青浦区校级期中）点是第_象限角终边上的点A一B二C三D四【分析】利用诱导公式可得为第三象限的角，从而可得点的坐标的符号，进而可得答案【解答】解：为第三象限的角，故是第三象限角终边上的点，故选：【点评】本题考查诱导公式、象限角及三角函数符号的确定，属于基础题【例4】（2023春长宁区校级期中）若，则是第象限角A一B二C三D四【分析】根据已知条件，结合三角函数值的符号，

10、即可求解【解答】解：，则是第四象限故选：【点评】本题主要考查三角函数值的符号，属于基础题【例5】（2023春青浦区校级期中）为第三象限角，且，则在第象限【分析】利用角所在象限，列出不等式，然后转化求解即可【解答】解：因为第三象限角，即，得，则所在象限为第二象限或第四象限，又因，故所在象限为第二象限综上所述，在第二象限故答案为：二【点评】本题考查三角函数角所在象限的判断，三角函数值的符号的判断，是基础题题型三：角的度量【例1】（2023下上海杨浦高一上海市控江中学校考期末）半径为2，弧长为2的扇形的圆心角为 弧度.【答案】1【分析】根据弧长公式结合已知条件求解即可【详解】半径为2，弧长为2的扇形

11、的圆心角为弧度，故答案为：1【例2】（2023下上海长宁高一统考期末）将弧度化为角度：弧度= 【答案】【分析】根据角度制与弧度制的互化即可求解.【详解】.故答案为：【例3】（2023下上海嘉定高一校考期末）把化为弧度 .【答案】【分析】根据角度与弧度的换算关系，即可求得答案.【详解】由题意得，故答案为：【例4】（2023下上海嘉定高一校考期中）150度 （填弧度）；【答案】【分析】根据角度与弧度之间的换算关系计算即可.【详解】150度.故答案为：.【例5】（2023下上海浦东新高一校考期中）在单位圆中，圆心角为的弧长为 【答案】【分析】直接利用弧长公式求解即可【详解】在单位圆中，圆心角为的弧长

12、为，故答案为：【例6】（2023下上海闵行高一校考阶段练习）若扇形的圆心角为，面积为，则扇形的半径为 .【答案】【分析】利用扇形的面积公式可求得该扇形的半径.【详解】设扇形的半径为，则该扇形的面积为，解得，故该扇形的半径为.故答案为：.【例7】（2023上上海松江高一校考期末）若扇形的半径为2，弧长为3，则扇形的面积为 .【答案】3【分析】根据扇形的面积公式直接运算求解.【详解】由题意可得：扇形的面积为.故答案为：3.【例8】（2023上上海高一上海市建平中学校考阶段练习）已知一个扇形的圆心角大小为，弧长为，则其面积为 .【答案】【分析】利用扇形弧长公式求出半径，再用扇形面积公式求出其面积即可

13、.【详解】因扇形的圆心角大小为，弧长为，设扇形半径为，则由解得：故其面积为.故答案为：.【例9】（2023下上海静安高一统考期末）已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为，则该扇形的弧长为 .【答案】【分析】直接利用弧长公式即可求解.【详解】因为一个扇形的弧所对的圆心角为，所以圆心角的弧度数为，所以该扇形的弧长为.故答案为：.【例10】（2023下上海黄浦高一上海市大同中学校考期末）已知圆O上的一段圆弧长等于该圆的内接正方形的边长，则这段圆弧所对的圆心角的弧度为 【答案】【分析】设该圆的半径为，则可得圆的内接正方形的边长为，然后根据题意利用弧长公式可求得结果.【详解】设该圆的半径为，则该圆的内接正

14、方形的边长为，即这段弧的长度为，则其所对的圆心角的弧度数为，故答案为：【例11】（2023下上海奉贤高一校考期中）已知半径为的扇形的圆心角为，则扇形的面积为 【答案】【分析】根据弧度制的定义，求得弧长，根据扇形的面积公式，可得答案.【详解】因为半径扇形的圆心角为，则圆心角，所以弧长，面积.故答案为：.【例12】（2023上上海高一上海市行知中学校考阶段练习）已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为，则该扇形的面积为 【答案】【分析】把圆心角的度数化为弧度制，结合扇形的面积公式进行求解即可.【详解】，半径为，所以该扇形的面积为，故答案为：【例13】（2022上上海徐汇高一上海市第二中学校考期末）“数

15、摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号如图是折扇的示意图，其中，M为的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是 【答案】【分析】利用扇形面积公式去求扇环部分的面积即可.【详解】设线段的中点为，则.故答案为：一、填空题1（2023下上海嘉定高一校考期中）与角终边重合的角的集合是 .【答案】【分析】根据终边相同角的概念直接求解即可.【详解】与角终边重合的角的集合是.故答案为：2（2023上上海高一上海市行知中学校考阶段练习）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴正半轴重合，其终边经过，则 .【答案】/【分析】根据正弦的定

16、义进行求解即可.【详解】因为角的顶点为坐标原点，始边与轴正半轴重合，其终边经过，所以，故答案为：3（2023上上海高一上海市行知中学校考阶段练习）若，则是第 象限角.（填“一”、“二”、“三”或“四”）【答案】三【分析】直接根据象限角的定义判断即可.【详解】由题意，所以是第三象限角.故答案为：三.4（2023下上海高一上海市七宝中学校考期中）已知2弧度的圆心角所对的弧长为4厘米，则此圆心角所夹的扇形面积为 .【答案】4【分析】运用扇形的弧长公式求得扇形的半径，再运用扇形的面积公式计算即可.【详解】由题意知，所以扇形的半径，所以扇形的面积.故答案为：4.5（2023下上海奉贤高一上海市奉贤中学校

17、考期中）已知扇形的半径为10，圆心角为，则扇形的弧长为 【答案】20【分析】根据弧长公式计算.【详解】弧长；故答案为：20.6（2023下上海青浦高一上海市朱家角中学校考期中）已知扇形的弧长为2cm，半径为2cm，则该扇形的圆心角 【答案】【分析】根据弧长公式直接求解.【详解】设弧长为，半径为,则cm，2cm，.故答案为:.7（2023下上海青浦高一上海市青浦高级中学校考期中）已知，若与的终边相同，且，则 【答案】【分析】根据已知条件，结合终边相同的角的定义，即可求解.【详解】因为与的终边相同，且，即，所以，故答案为：或8（2023下上海徐汇高一上海市第二中学校考期中）一个扇形的圆心角为弧度，

18、扇形面积是1平方厘米，扇形半径是1厘米，则圆心角是 弧度.【答案】2【分析】由扇形的面积公式求解即可.【详解】已知扇形面积是1平方厘米，扇形半径是1厘米，所以，即，即，故圆心角是弧度.故答案为：.9（2023上上海高一上海市建平中学校考阶段练习）已知角的终边经过点，其中，则角的余弦值为 .【答案】【分析】根据余弦的定义进行求解即可.【详解】由题意知，故答案为：10（2023下上海黄浦高一上海市大同中学校考期末）若，则点必在第 象限【答案】三【分析】由可求出的正负，从而可求得结果.【详解】因为，所以，所以，所以点必在第三象限故答案为：三11（2022上上海徐汇高一上海市第二中学校考期末）将角的终

19、边按顺时针方向旋转得角，写出所有终边与相同的角的集合 【答案】【分析】先求出，再由终边相同的角求解即可【详解】因为按顺时针方向旋转所得的角为负角，所以所求的角为则，故终边与相同的角的集合.故答案为：.12（2023下上海静安高一校考期中）角的顶点在直角坐标系的原点，始边与x轴的正半轴重合，点是角终边上一点，若，则 【答案】【分析】根据角的终边上的点的坐标，结合三角函数的定义，列式计算，即得答案.【详解】由题意得点到原点O的距离为，故由得，解得，故答案为：二、单选题13（2023下上海静安高一统考期末）在平面直角坐标系中，以下命题中所表述的角都是顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合的角.小于的角

20、一定是锐角；第二象限的角一定是钝角；终边重合的角一定相等；相等的角终边一定重合.其中真命题的个数是（）A1B2C3D4【答案】A【分析】对于举例判断，对于利用角的定义分析判断【详解】对于，的角是小于的角，但不是锐角，所以错误，对于，的角是第二象限的角，但不是钝角，所以错误，对于，的角和的角终边相同，但不相等，所以错误，对于，因为角都是顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合的角，所以若角相等，则终边一定重合，所以正确，所以真命题的个数是1，故选：A14（2020下上海静安高一统考期末）的值是（）ABCD【答案】D【分析】直接利用诱导公式化简计算【详解】，故选：D15（2023上上海高一上海市建平中

21、学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，给出下列命题：小于的角一定是锐角；钝角一定是第二象限的角；终边不重合的角一定不相等；第二象限角大于第一象限角.其中假命题的个数是（）A1个B2个C3个D4个【答案】B【分析】结合任意角的概念分析即可.【详解】因为锐角，所以小于的角不一定是锐角，故不成立；因为钝角，第二象限角，所以钝角一定是第二象限角，故成立；若两个角的终边不重合，则这两个角一定不相等，故成立；例如，但，故不成立.故选：B.16（2023下上海嘉定高一校考期中）若是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是（）ABCD【答案】C【分析】根据象限角的概念判断即可.【详解】若是第一象限角，则，则是第四

22、象限角，故D错误；，则是第一象限角，故A错误；，则是第二象限角，故B错误；，则是第三象限角，故C错误.故选：C.三、解答题17（2021下高一课时练习）已知角的集合为，回答下列问题：(1)集合M中有几类终边不相同的角？(2)集合M中大于360且小于360的角是哪几个？(3)求集合M中的第二象限角【答案】(1)四类(2)330，240，150，60，30，120，210，300(3)，【分析】集合M中的角分为第一、二、三、四象限的四类终边不相同的角；取适当的整数即可得到指定范围内的角；找到集合中的一个第二象限角，写出与它终边相同的角即可.【详解】（1）集合M中的角可以分成四类，即终边分别与150

23、，60，30，120的终边相同的角（2）令，得，又，所以终边不相同的角，所以集合M中大于360且小于360的角共有8个，分别是:330，240，150，60，30，120，210，300（3）集合M中的第二象限角与120角的终边相同，所以，.18（2023下上海浦东新高一上海市进才中学校考开学考试）已知角的终边经过点，且，求及的值【答案】答案见解析【分析】利用三角函数的定义求三角函数即可.【详解】因为角的终边经过点，且，所以，则，即，解得或，当时，则，；当时，则，；综上：，或，.19（2023下上海浦东新高一上海市进才中学校考开学考试）已知，求角的正弦和余弦值【答案】,或，【分析】利用同角三角

24、函数关系式联立方程组解出即可.【详解】由，又，由得：代入有，所以，即，当时，当时，.20（2023下上海宝山高一校考阶段练习）已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l(1)若，求扇形的弧长l；(2)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角【答案】(1)(2)扇形周长的最小值为，此时【分析】（1）先将圆心角化为弧度制，再根据弧长公式即可得解；（2）根据扇形的面积公式求得的关系，再利用基本不等式即可得出答案.【详解】（1）因为，所以扇形的弧长；（2）由扇形面积，得，则扇形周长为，当且仅当，即时，取等号，此时，所以，所以扇形周长的最小值为，此时.21（2023下上海浦东新高一校考阶段练习）在平面直角坐标系中用阴影部分表示角，其中【答案】图形见详解【分析】角为终边为所在的直线到所在的直线围成的阴影，不包含两条边界线.【详解】如图，由已知得角为终边为所在的直线到所在的直线围成的阴影，不包含两条边界线.22（2022上上海徐汇高一上海市第二中学校考期末）根据下列条件求、的值(1)已知；(2)已知【答案】(1),(2)当为第一象限的角时，,，当为第二象限的角时，.【分析】（1）由同角基本关系式及的象限求解；（2）由同角基本关系式，并分的象限求解.【详解】（1）由于，则，所以，;（2）由于，所以为第一象限或第二象限的角，当为第一象限的角时，当为第二象限的角时，.