专题04 二次根式（解析版）.docx

1、主题一 数与式专题04 二次根式目录一览知识目标（新课程标准提炼）中考解密（分析中考考察方向，厘清命题趋势，精准把握重难点）考点回归（梳理基础考点，清晰明了，便于识记）重点考向（以真题为例，探究中考命题方向）考向一 二次根式有意义的条件考向二 二次根式的性质与化简考向三 二次根式的乘除法考向四 分母有理化考向五 同类二次根式考向六 二次根式的加减法考向七 二次根式的混合运算考向八 二次根式的化简求值考向九 二次根式的应用最新真题荟萃（精选最新典型真题，强化知识运用，优化解题技巧）1.了解二次根式、最简二次根式的概念；2. 了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的

2、简单四则运算；3.能用有理数估计一个无理数的大致范围二次根式是历年中考的考察重点，年年考查，分值为10分左右。预计2024年各地中考还将继续重视对二次根式的有关概念、二次根式的性质和二次根式的混合运算等的考查，且考查形式多样，为避免丢分，学生应扎实掌握. 二次根式的定义二次根式的定义：一般地，我们把形如（a0）的式子叫做二次根式“”称为二次根号a（a0）是一个非负数；二次根式有意义的条件判断二次根式有意义的条件：（1）二次根式的概念形如（a0）的式子叫做二次根式（2）二次根式中被开方数的取值范围二次根式中的被开方数是非负数（3）二次根式具有非负性（a0）是一个非负数二次根式的基本性质1.0；

3、a0（双重非负性）2. （a0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）3.|a|（算术平方根的意义）二次根式的化简1.二次根式的化简：（1）利用二次根式的基本性质进行化简；（2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简（a0，b0）（a0，b0）2.化简二次根式的步骤：（1）把被开方数分解因式；（2）利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；（3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2最简二次根式1.最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式我们把满足上述两个条件的

4、二次根式，叫做最简二次根式2.最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a0）、x+y等；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、 、 、 等二次根式的乘除法1.积的算术平方根性质：（a0，b0）2.二次根式的乘法法则：（a0，b0）3.商的算术平方根的性质：（a0，b0）4.二次根式的除法法则：（a0，b0）规律方法总结：在使用性质（a0，b0）时一定要注意a0，b0的条件限制，如果a0，b0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）（）49；同样的在使

5、用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此分母有理化1.分母有理化是指把分母中的根号化去分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式例如：；2.两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式一个二次根式的有理化因式不止一个例如：的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数同类二次根式1.同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式2.同类二次根式的理解：同类二次根式类似于整式中的同类项几个同类二次根式在没有化简之前

6、，被开方数完全可以互不相同判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同2.合并同类二次根式的方法：只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变二次根式的加减法1.法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变2.步骤：（1）如果有括号，根据去括号法则去掉括号（2）把不是最简二次根式的二次根式进行化简（3）合并被开方数相同的二次根式3.合并被开方数相同的二次根式的方法：二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，

7、被开方数和根指数不变二次根式的化简求值二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰二次根式的应用把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法考向一 二次根式有意义的条件解题技巧/易错易混/特别提醒如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，

8、还必须保证分母不为零1（2023江西）若有意义，则a的值可以是（）A1B0C2D6【思路点拨】直接利用二次根式的定义得出a的取值范围，进而得出答案【规范解答】解：有意义，则a40，解得：a4，故a的值可以是6故选：D【真题剖析】此题主要考查了二次根式的有意义的条件，正确得出a的取值范围是解题关键2（2023济宁）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）Ax2Bx0Cx2Dx0且x2【思路点拨】根据分式的分母不能为0和二次根式的被开平方数大于等于0进行求解【规范解答】解：由题意得x0且x20，解得x0且x2，故选：D【真题剖析】此题考查了分式和二次根式定义的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知

9、识3（2023丹东）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 x2，且x1【思路点拨】要使代数式有意义，则根式里面需要大于等于0，且分母不能为0【规范解答】解：由题可知，x+20，即x2，又知分母不能等于0，即x10，则x1故答案为：x2，且x1【真题剖析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键考向二 二次根式的性质与化简解题技巧/易错易混/特别提醒（1）把被开方数分解因式(或因数) ；（2）把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积；（3）如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式()2a(a0)把这个因式(或因数)开出来，将二

10、次根式化简。4（2023泰州）计算等于（）A2B2C4D【思路点拨】直接利用二次根式的性质化简得出答案【规范解答】解：2故选：B【真题剖析】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键5（2023台湾）化简的结果为下列何者（）A3BCD【思路点拨】直接利用二次根式的性质化简得出答案【规范解答】解：3故选：C【真题剖析】此题主要考查了算术平方根，正确化简二次根式是解题关键6（2023内蒙古）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，化简：2m【思路点拨】根据二次根式的非负性进行化简去绝对值即可【规范解答】解：由数轴可知：1m2，m20，|m2|2m故答案为：2m【真题剖析】本题考查了

11、二次根式的化简，熟练掌握二次根式的非负性是解本题的关键考向三 二次根式的乘除法7（2023衡阳）对于二次根式的乘法运算，一般地，有该运算法则成立的条件是（）Aa0，b0Ba0，b0Ca0，b0Da0，b0【思路点拨】根据二次根式的乘法法则，即可解答【规范解答】解：对于二次根式的乘法运算，一般地，有该运算法则成立的条件是a0，b0，故选：D【真题剖析】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关键8（2022呼和浩特）下列运算正确的是（）A2B（m+n）2m2+n2CD3xy【思路点拨】利用二次根式的乘法的法则，完全平方公式，分式的减法的法则，分式的除法的法则对各项进行运算即

12、可【规范解答】解：A、，故A不符合题意；B、（m+n）2m2+2mn+n2，故B不符合题意；C、，故C不符合题意；D、3xy，故D符合题意；故选：D【真题剖析】本题主要考查二次根式的乘法，完全平方公式，分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握9（2023益阳）计算：10【思路点拨】根据二次根式的乘法法则和性质进行运算即可【规范解答】解：10，故答案为：10【真题剖析】本题主要考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法运算法则并能利用二次根式的性质化简是解题的关键考向四 分母有理化10（2023阜新）在下列计算中，正确的是（）A5+（6）1BC3（2）6Dsin30【思路点拨】根据有

13、理数的混合运算法则、分母有理化及特殊角的三角函数值进行计算即可【规范解答】解：A、5+（6）561，正确，符合题意；B、，原计算错误，不符合题意；C、3（2）6，原计算错误，不符合题意；D、sin30，原计算错误，不符合题意故选：A【真题剖析】本题考查的是分母有理化及有理数的混合运算、特殊角的三角函数值，熟知以上知识是解题的关键11（2021娄底）计算：（）0+（）12cos45【思路点拨】根据零指数幂，分母有理化，负整数指数幂，特殊角的三角函数值计算即可【规范解答】解：原式1+221+1+22【真题剖析】本题考查了零指数幂，分母有理化，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，考核学生的计算能力，正

14、确进行分母有理化是解题的关键考向五 同类二次根式12（2023烟台）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）ABCD【思路点拨】先根据二次根式的性质化成最简二次根式，再根据同类二次根式的定义得出答案即可【规范解答】解：A2，和不是同类二次根式，故本选项不符合题意；B和不是同类二次根式，故本选项不符合题意；C2，和是同类二次根式，故本选项符合题意；D2，和不是同类二次根式，故本选项不符合题意；故选：C【真题剖析】本题考查了同类二次根式的定义，能熟记同类二次根式的定义是解此题的关键，几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式13（2020上海）下列二次根式

15、中，与是同类二次根式的是（）A6BCD【思路点拨】根据同类二次根式的定义解决此题【规范解答】解：A根据同类二次根式的定义，6与不是同类二次根式，那么A不符合题意B根据算术平方根以及同类二次根式，3与不是同类二次根式，那么B不符合题意C根据二次根式的性质以及同类二次根式的定义，与是同类二次根式，那么C符合题意D根据二次根式的性质以及同类二次根式的定义，与不是同类二次根式，那么D不符合题意故选：C【真题剖析】本题主要考查同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解决本题的关键考向六 二次根式的加减法解题技巧/易错易混/特别提醒二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式

16、（即同类二次根式）进行合并。（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。14（2023内蒙古）下列运算正确的是（）A+22B（a2）3a6C+D【思路点拨】根据二次根式的加法、幂的乘法与积的乘方以及分式的运算的计算方法解题即可【规范解答】解：A+232，故该选项不正确，不符合题意；B（a2）3a6a6，故该选项不正确，不符合题意；C+，故该选项不正确，不符合题意；D.，故该选项正确，符合题意；故选：D【真题剖析】本题考查二次根式的加法、幂的乘法与积的乘方以及分式的运算，掌握二次根式的加法、幂的乘法与积的乘方以及分式的运算的计算方法是解题的关键15（2023十堰）下列计

17、算正确的是（）A+B（2a）38a3Ca8a4a2D（a1）2a21【思路点拨】直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则、二次根式的加减、完全平方公式分别判断得出答案【规范解答】解：A+无法合并，故此选项不合题意；B（2a）38a3，故此选项符合题意；Ca8a4a4，故此选项不合题意；D（a1）2a22a+1，故此选项不合题意故选：B【真题剖析】此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的除法运算、二次根式的加减、完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键16（2023哈尔滨）计算的结果是 2【思路点拨】根据二次根式的性质将和7进行化简，再合并同类二次根式即可【规范解答】解：原式32，

18、故答案为：2【真题剖析】本题考查二次根式的加减法，二次根式的性质，掌握二次根式的性质以及合并同类二次根式的方法是正确解答的前提考向七 二次根式的混合运算解题技巧/易错易混/特别提醒二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用学习二次根式的混合运算应注意以下几点：与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“二次根式的运算结果要化为最简二次根式在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍17（2023青岛）

19、下列计算正确的是（）ABCD【思路点拨】根据二次根式的运算法则将各式计算后进行判断即可【规范解答】解：与无法合并，则A不符合题意；2，则B不符合题意；，则C符合题意；3，则D不符合题意；故选：C【真题剖析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键18（2023潍坊）从，中任意选择两个数，分别填在算式 （+）2里面的“”与“”中，计算该算式的结果是 2（答案不唯一）（只需写出一种结果）【思路点拨】根据二次根式的乘除法法则进行计算，即可解答【规范解答】解：若“”是，“”是，则 （+）2（52）2；若“”是，“”是，则 （+）2（82）42；若“”是，“”是，则 （+）2（9+2）+

20、6；故答案为：2（答案不唯一）【真题剖析】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键19（2023金昌）计算：26【思路点拨】直接利用二次根式的乘除运算法则计算，进而得出答案【规范解答】解：原式3261266【真题剖析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键考向八 二次根式的化简求值解题技巧/易错易混/特别提醒常见二次根式化简求值的九种技巧一、估算法二、公式法三、拆项法四、换元法五、整体代入法六、因式分解法七、配方法八、辅元法九、先判后算法20（2023河北）若，则（）A2B4CD【思路点拨】把a、b的值代入原式，根据二次根式的性质化简即可【规范解答

21、】解：a，b，21（2022内蒙古）已知x，y是实数，且满足y+，则的值是【思路点拨】根据负数没有平方根求出x的值，进而求出y的值，代入计算即可求出值【规范解答】解：y+，x20，2x0，x2，y，则原式，故答案为：【真题剖析】此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键考向九 二次根式的应用22（2023内蒙古）不等式x1的正整数解的个数有（）A3个B4个C5个D6个【思路点拨】根据二次根式以及一元一次不等式的解法解题即可【规范解答】解：x1，即x+1，又知2.236，即x+13.236，故正整数解为3，2，1故选：A【真题剖析】本题考查二次根式以及一元一次不等式，掌握二次根

22、式以及一元一次不等式的解法是解题的关键23（2023常州）如图，小红家购置了一台圆形自动扫地机，放置在屋子角落（书柜、衣柜与地面均无缝隙）在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能自动从底座脱离后打扫全屋地面若这台扫地机能从角落自由进出，则图中的x至少为 74（精确到个位，参考数据：4.58）【思路点拨】连接AB，过点A作ACDE交DB的延长线于点C，利用勾股定理即可求得答案【规范解答】解：如图，连接AB，过点A作ACDE交DB的延长线于点C，则AC603030 （cm），BC（x60）cm，在RtABC中，BC334.5813.7414（cm），x6014，x74，故答案为：74【真题剖析】本题考查

23、了勾股定理和二次根式的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，另外要仔细审题，理解题意准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键1（2023金华）要使有意义，则x的值可以是（）A0B1C2D2【思路点拨】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求出x的范围，判断即可【规范解答】解：由题意得：x20，解得：x2，则x的值可以是2，故选：D【真题剖析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键2（2023通辽）二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（）ABCD【思路点拨】直接利用二次根式有意义的条件得出x的取值范围，进而在数轴上表示即可【规范

24、解答】解：二次根式在实数范围内有意义，则1x0，解得：x1，则实数x的取值范围在数轴上表示为：故选：C【真题剖析】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及在数轴上表示不等式的解集，正确掌握相关定义是解题关键3（2023上海）下列运算正确的是（）Aa5a2a3Ba3+a3a6C（a3）2a5Da【思路点拨】根据合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方法则，二次根式的性质进行计算，逐一判断即可解答【规范解答】解：A、a5a2a3，故A符合题意；B、a3+a32a3，故B不符合题意；C、（a3）2a6，故C不符合题意；D、|a|，故D不符合题意；故选：A【真题剖析】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，幂

25、的乘方与积的乘方，二次根式的性质与化简，准确熟练地进行计算是解题的关键4（2020荆州）若x为实数，在“（+1）x”的“”中添上一种运算符号（在“+，”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（）AB1CD【思路点拨】根据题意，添上一种运算符号后逐一判断即可【规范解答】解：A（+1）（+1）0，故本选项不合题意；B（+1）1，故本选项不合题意；C（+1）与2无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合题意；D（+1）（1）2，故本选项不合题意故选：C【真题剖析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟记二次根式的混合运算法则以及平方差公式是解答本题的关键（a+b）（ab）a2b

26、2（多选）5（2021潍坊）下列运算正确的是（）A（a）2a2a+B（a1）2CD2【思路点拨】根据完全平方公式判断A，根据负整数指数幂判断B，根据分式的基本性质判断C，根据二次根式的除法判断D【规范解答】解：A选项，原式a2a+，故该选项正确；B选项，原式（a1）2（）2，故该选项正确；C选项，根据分式的基本性质，分子，分母都乘或除以一个不为0的数，分式的值不变，不能分子，分母都加3，故该选项错误；D选项，原式，故该选项错误；故选：AB【真题剖析】本题考查了完全平方公式，负整数指数幂，分式的基本性质，二次根式的除法，考核学生的计算能力，注意（a0，b0）6（2021泰州）下列各组二次根式中，

27、化简后是同类二次根式的是（）A与B与C与D与【思路点拨】一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式先将各选项进行化简，再根据被开方数是否相同进行判断即可【规范解答】解：A、2和不是同类二次根式，本选项不合题意；B、2与不是同类二次根式，本选项不合题意；C、与不是同类二次根式，本选项不合题意；D、5，3是同类二次根式，本选项符合题意故选：D【真题剖析】本题考查了同类二次根式，解答本题的关键在于熟练掌握二次根式的化简及同类二次根式的概念7（2023西宁）下列运算正确的是（）ABCD【思路点拨】直接利用二次根式的混合运算法则分别计算，进而判断

28、得出答案【规范解答】解：A+无法合并，故此选项不合题意；B5，故此选项不合题意；C（3）2116，故此选项符合题意；D69，故此选项不合题意故选：C【真题剖析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键8（2021包头）若x+1，则代数式x22x+2的值为（）A7B4C3D32【思路点拨】利用条件得到x1，两边平方得x22x1，然后利用整体代入的方法计算【规范解答】解：x+1，x1，（x1）22，即x22x+12，x22x1，x22x+21+23故选：C【真题剖析】本题考查了二次根式的化简求值：完全平方公式的灵活运用是解决问题的关键利用整体代入的方法可简化计算9（2023

29、常德）要使二次根式有意义，则x应满足的条件是 x4【思路点拨】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解【规范解答】解：根据二次根式有意义得：x40，解得：x4故答案为：x4【真题剖析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解决问题的关键10（2022随州）已知m为正整数，若是整数，则根据3可知m有最小值3721设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为 3，最大值为 75【思路点拨】先将化简为10，可得n最小为3，由是大于1的整数可得越小，越小，则n越大，当2时，即可求解【规范解答】解：10，且为整数，n最小为3，是大于1的整数，越小，越小，则n越大

30、，当2时，4，n75，故答案为：3；75【真题剖析】本题考查二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，解题的关键是读懂题意，根据关键词“大于”，“整数”进行求解11（2022山西）计算：的结果为 3【思路点拨】按照二次根式的乘法法则计算即可【规范解答】解：原式3故答案为：3【真题剖析】本题主要考查了二次根式的乘法运算二次根式的运算法则：乘法法则（a0，b0）12（2023杭州）计算：【思路点拨】直接化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案【规范解答】解：原式2故答案为：【真题剖析】此题主要考查了二次根式的加减，正确掌握相关运算法则是解题关键13（2023盘锦）计算：1【思路点拨】根

31、据3，2，可以计算【规范解答】解：321故答案为：1【真题剖析】本题考查了二次根式的加减法，掌握二次根式的加减运算法则是关键14（2022荆州）已知：a（）1+（）0，b（+）（），则2【思路点拨】先计算出a，b的值，然后代入所求式子即可求得相应的值【规范解答】解：a（）1+（）02+13，b（+）（）321，2，故答案为：2【真题剖析】本题考查二次根式的化简求值、平方差公式、零指数幂、负整数指数幂，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法15（2023陕西）计算：【思路点拨】利用有理数的乘法法则，二次根式的运算法则，零指数幂进行计算即可【规范解答】解：原式3+123+122【真题剖析】本题主要

32、考查有理数及二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键2，故选：A【真题剖析】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质是解题的关键16（2023张家界）阅读下面材料：将边长分别为a，a+，a+2，a+3的正方形面积分别记为S1，S2，S3，S4则S2S1（a+）2a2（a+）+a（a+）a（2a+）b+2a例如：当a1，b3时，S2S13+2根据以上材料解答下列问题：（1）当a1，b3时，S3S29+2，S4S315+2；（2）当a1，b3时，把边长为a+n的正方形面积记作Sn+1，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出Sn+1Sn等于多少吗？并证明你的猜想；（3）当a

33、1，b3时，令t1S2S1，t2S3S2，t3S4S3，tnSn+1Sn，且Tt1+t2+t3+t50，求T的值【思路点拨】（1）把a1，b3代入S3S2，S4S3，计算即可得到结论；（2）根据（1）的结论化简Sn+1Sn即可；（3）化简Tt1+t2+t3+t50后，代入数值计算即可【规范解答】解：S3S2（a+2）2（a+）2a2+4a+4ba22ab2a+3b，当a1，b3时，S3S29+2；S4S3（a+3）2（a+2）2a2+6a+9ba24a4b2a+5b，当a1，b3时，S4S315+2；故答案为：9+2；15+2；（2）Sn+1Sn6n3+2；证明：Sn+1Sn（1+n）21+（n1）22+（2n1）3（2n1）+26n3+2；（3）当a1，b3时，Tt1+t2+t3+t50S2S1+S3S2+S4S3+S51S50S51S1（1+50）217500+100【真题剖析】本题考查了二次根式的化简，正确地计算出结果是解题的关键.