专题04 整式的乘除与因式分解(原卷版).docx

1、专题04 整式的乘除与因式分解 【专题目录】技巧1：活用乘法公式进行计算的五种技巧技巧2：运用幂的运算法则巧计算的常见类型技巧3：因式分解的六种常见方法【题型】一、幂的运算法则 【题型】二、运用幂的运算法则比较大小【题型】三、单项式乘单项式 【题型】四、单项式乘多项式【题型】五、多项式乘多项式 【题型】六、利用平方差公式求解【题型】七、利用完全平方公式求解 【题型】八、整式的运算【题型】九、因式分解【考纲要求】1、同底数幂的乘法运算性质的过程，感受幂的意义，发展推理能力和表达能力，提高计算能力2、了解整式的概念和有关法则，会进行简单的整式加、减、乘、除运算3、会推导平方差公式和完全平方公式，会

2、进行简单的计算；会用提公因式法、公式法进行因式分解.【考点总结】一、整式的乘除运算整式运算幂的运算同底数幂乘法amanamn（a0）amnaman同底数幂除法amn(m，n是正整数)amn幂的乘方(am)namn（a0）amn(am)n积的乘方(ab)nanbnanbn(ab)n乘法公式平方差公式(ab)(ab)a2b2a2b2(ab)(ab)完全平方公式(ab)2a22abb2a22abb2(ab)2整式加减 整式的加减其实就是合并同类项； 整式加减的步骤：有括号，先去括号；有同类项，再合并同类项注意去括号时，如果括号前面是负号，括号里各项的符号要变号整式乘法 单项式与单项式相乘：把系数、同

3、底数幂分别相乘，作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 单项式与多项式相乘：m(abc)mambmC 多项式与多项式相乘：(mn)(ab)mambnanb整式除法 单项式除以单项式：把系数、同底数幂相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式 多项式除以单项式：(ab)mambm.【考点总结】二、因式分解因式分解概念把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。和的形式变积的形式因式分解方法提公因式法mambmcm(abc)（乘法分配律的运用）公式法 运用平方差公式：a2b2(ab)(ab) 运用完全平方公式：a2

4、2abb2(ab)2.【注意】1、因式分解的一般步骤（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。2、因式分解的定义注意事项 1.分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；2.因式分解必须是恒等变形； 3.因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，

5、而整式乘法是把积化为和差的形式3、提公因式法的注意事项1）定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。 2）定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母。 3）定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂。4）查结果：最后检查核实，应保证含有多项式的因式中再无公因式。 【技巧归纳】技巧1：活用乘法公式进行计算的五种技巧【类型】一、巧用乘法公式的变形求式子的值来源:学科网1已知(ab)27，(ab)24.求a2b2和ab的值2已知x3，求x4的值【类型】二、巧用乘法公式进行简便运算3计算：(1)1982；(2)2 0042；【类型】三、巧用乘法公式解决整除问题4试说明：(n7)

6、2(n5)2(n为正整数)能被24整除【类型】四、应用乘法公式巧定个位数字5试求(21)(221)(241)(2321)1的个位数字【类型】五、巧用乘法公式解决复杂问题(换元法)6计算的值技巧2：运用幂的运算法则巧计算的常见类型【类型】一、运用同底数幂的乘法法则计算题型1： 底数是单项式的同底数幂的乘法1计算：(1)a2a3a；(2)a2a5；(3)a4(a)5.题型2：底数是多项式的同底数幂的乘法2计算：(1)(x2)3(x2)5(x2)；(2)(ab)3(ba)4；(3)(xy)3(yx)5.题型3：同底数幂的乘法法则的逆用3(1)已知2m32，2n4，求2mn的值；(2)已知2x64，求

7、2x3的值【类型】二、运用幂的乘方法则计算题型1：直接运用幂的乘方法则求字母的值4已知273943x，求x的值题型2：逆用幂的乘方法则求字母式子的值来源:Z。xx。k.Com5已知10a2，10b3，求103ab的值题型3：运用幂的乘方解方程6解方程：.【类型】三、运用积的乘方法则进行计算题型1：逆用积的乘方法则计算7用简便方法计算：(1)0.255(4)5；(2)0.1252 017(82 018)题型2：运用积的乘方法则求字母式子的值8若|an|，|b|n3，求(ab)4n的值【类型】四、运用同底数幂的除法法则进行计算题型1：运用同底数幂的除法法则计算9计算：(1)x10x4x4；(2)(

8、x)7x2(x)3；(3)(mn)8(nm)3.题型2：运用同底数幂的除法求字母的值10已知(x1)x2(x1)1，求x的值技巧3：因式分解的六种常见方法【类型】一、提公因式法题型1：公因式是单项式的因式分解1若多项式12x2y316x3y24x2y2的一个因式是4x2y2，则另一个因式是()A3y4x1 B3y4x1C3y4x1 D3y4x2分解因式：2mx6my_3把下列各式分解因式：(1)2x2xy；(2)4m4n16m3n28m2n.题型2：公因式是多项式的因式分解4把下列各式分解因式：(1)a(bc)cb；(2)15b(2ab)225(b2a)2.【类型】二、公式法题型1：直接用公式

9、法5把下列各式分解因式：(1)16x4y4；(2)(x2y2)24x2y2；(3)(x26x)218(x26x)81.题型2：先提再套法6把下列各式分解因式：(1)(x1)b2(1x)；(2)3x724x548x3.题型3：先局部再整体法7分解因式：(x3)(x4)(x29)题型4：先展开再分解法8把下列各式分解因式：(1)x(x4)4；(2)4x(yx)y2.【类型】三、分组分解法9把下列各式分解因式：(1)m2mnmxnx；(2)4x22xyy2.【类型】四、拆、添项法10分解因式：x4.【类型】五、整体法题型1：“提”整体11分解因式：a(xyz)b(zxy)c(xzy)题型2：“当”整

10、体12分解因式：(xy)24(xy1)题型3：“拆”整体13分解因式：ab(c2d2)cd(a2b2)题型4：“凑”整体14分解因式：x2y24x6y5.【类型】六、换元法15分解因式：(1)(a22a2)(a22a4)9；(2)(b2b1)(b2b3)1.【题型讲解】【题型】一、幂的运算法则例1、下列运算正确的是（ ）ABCD【题型】二、运用幂的运算法则比较大小例2、已知则的大小关系是（ ）ABCD【题型】三、单项式乘单项式例3、计算的结果是()ABCD【题型】四、单项式乘多项式例4、计算的结果是（ ）A8m5B-8m5C8m6D-4m4+12m5【题型】五、多项式乘多项式例5、计算的结果，

11、与下列哪一个式子相同？（）ABCD【题型】六、利用平方差公式求解例6、若，则（ ）A12B10C8D6【题型】七、利用完全平方公式求解例7、若a+b3，a2+b27，则ab_【题型】八、整式的运算例8、先化简，再求值：(ab)(ab)(ab)22a2，其中a3，b.【题型】九、因式分解例9、分解因式：x32x2x_.整式的乘除与因式分解（达标训练）一、单选题1（2023河北唐山二模）若，则（）A3B4C6D82（2022福建省福州屏东中学三模）下列计算中，正确的是()ABCD3（2022山东菏泽三模）下列运算正确的是（）ABCD4（2022浙江杭州二模）分解因式结果正确的是（）ABCD5（20

12、22河北唐山一模）如图，边长为、的长方形周长为，面积为，则的值为（）ABCD二、填空题6（2022广东东莞市万江第三中学三模）若，则_7（2022广东广州市华师附中番禺学校三模）分解因式：=_三、解答题8（2020吉林模拟预测）先化简，再求值：，其中9（2022陕西交大附中分校模拟预测）计算：10（2022河南南阳一模）因式分解：整式的乘除与因式分解（提升测评）一、单选题1（2022广东北江实验学校三模）某同学做了四道题：；，其中正确的题号是（）ABCD2（2022湖南长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校三模）下列运算正确的是（）ABCD3（2022重庆市育才中学三模）我们经常利用完全平方公式以及

13、变形公式进行代数式变形已知关于的代数式，请结合你所学知识，判断下列说法正确的有（）个当时，；存在实数，使得；若，则；已知代数式A、B、C满足，则A4B3C2D14（2022山东淄博模拟预测）已知，都为实数，则式子的最大值是（）ABCD5（2022上海静安二模）如果把二次三项式分解因式得，那么常数的值是（）A3B-3C2D-2二、填空题6（2022山东淄博二模）已知，则_7（2022四川成都二模）如图1中的瓶子盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，那么一共需要_个这样的杯子（瓶子和杯子的厚度忽略不计）三、解答题8（2022广东佛山市南海外国语学校三模）先化简，再求值：，其中，9（2022河北育华中学三模）如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式(1)求整式M；(2)请将整式N分解因式；(3)若P4，求x的值