专题04 点到平面的距离(典型题型归类训练)(解析版）.docx

1、专题04 点到平面的距离(典型题型归类训练)目录一、必备秘籍1二、典型题型2题型一：等体积法求点到平面的距离2题型二：利用向量法求点到平面的距离10三、专项训练16一、必备秘籍1、等体积法求点到平面的距离（1）当点到面的距离那条垂线不好作或找时，利用等体积法可以间接求点到面的距离，从而快速解决体积问题，是一种常用数学思维方法 （2）在用变换顶点求体积时，变换顶点的原则是能在图象中直接找到求体积所用的高，有时单一靠棱锥四个顶点之间来变换顶点无法达到目的时，还可以利用平行关系（线面平行，面面平行）转换顶点，如当线面平行时，线上任意一点到平面的距离是相等的，同理面面平行也可以变换顶点2、利用向量法求

2、点到平面的距离如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度.二、典型题型题型一：等体积法求点到平面的距离1（2324高二上上海黄浦阶段练习）如图，边长为1的正方形中，分别是的中点，沿把这个正方形折成一个四面体使三点重合，重合后的点记为.则在四面体中，点到平面的距离为 .【答案】【详解】由题意，折叠后的四面体如图所示，因为正方形边长为，分别是的中点，所以，即，又平面，所以平面，同时由，得，又，所以，设到平面的距离为，则，即，解得.故答案为：.2（2324高二上上海虹口期中）如图，已知点P在圆

3、柱的底面圆O的圆周上，圆O的直径，圆柱的高(1)求圆柱的体积；(2)求点A到平面的距离【答案】(1)(2)【详解】（1）由已知可得，圆柱的底面半径，圆柱的高，圆柱体积为：；（2）设点到平面的距离为，在等腰中，由，则，为直径，在中，则，由底面，底面,所以，又，平面，所以平面，平面，故， ，由等体积法，得，解得：即点到平面的距离为3（1718高二下河北唐山期末）如图，已知长方体中，连接，过B点作的垂线交于E，交于F(1)求证：平面；(2)求点A到平面的距离；【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：根据题意，平面，平面，得，又（已知），平面，平面，所以平面，得.同理，平面，得.因为平面，平

4、面，所以平面.（2）因为平面，所以点A到平面的距离等于点B到平面的距离，设为d，因为，即，所以，.故点A到平面的距离等于.4如图，在正方体中，.(1)求证：平面；(2)求点到面的距离.【答案】(1)答案见详解(2)【详解】（1）, 平面，平面，平面（2）连接,设点到面的距离为，由已知可得,由正方体的性质可知平面,则,，解得，即点到面的距离为.5（2324高二上江西九江阶段练习）如图所示的五边形中是矩形，沿折叠成四棱锥.(1)从条件；中任选两个作为补充条件，证明：平面平面：(2)在（1）的条件下，求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）选条件：证明：由题意知，所以，在中，则

5、，又因为为矩形，则，所以，在中，由余弦定理可得，解得，所以，即，又因为，、平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.选条件：证明：由题意知，所以，在中，则，又因为为矩形，则，所以，又，所以，即，又因为，、平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.选条件：证明：由题意知，所以，在中，由余弦定理可得，解得，所以，即，又因为，、平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（2）因为，平面，平面，所以平面，又，所以点到平面的距离等于点到平面的距离.由（1）知，平面，又，所以，所以，即，所以，在中，则，所以在中，由余弦定理得，则，所以，设点到平面的距离为，则点到平面的距离也为，由可得，即，解得，故点到平面

6、的距离为.6（2324高三上上海浦东新阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是矩形，其中，底面，为的中点，为的中点.(1)证明：直线平面；(2)求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：如上图，取中点，连接、，为的中点，为的中点，为的中点，在矩形中，在中，又平面，平面，平面，平面，平面，平面，又平面，平面，平面平面，又平面，平面.（2）解：如上图，连接，由题意，底面，平面，平面，则是等腰直角三角形，矩形中，平面，平面，平面，又平面，则是直角三角形，.底面，是三棱锥的高.底面是矩形，.点到平面的距离就是三棱锥的高，由得：，即，解得：，即点到平面的距离为.7（2324高二上上海

7、杨浦期中）如图,为菱形外一点,平面,为棱的中点.(1)求证:平面;(2)若,求到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）连接,如图:因为,四边形为菱形,所以,又为棱的中点,所以,因为,所以,因为平面,平面,所以,又平面,平面,所以平面.（2）因为平面,平面,所以平面,则到平面的距离即为点到平面的距离,设点到平面的距离为,因为,平面,四边形为菱形,所以,解得,即到平面的距离为.题型二：利用向量法求点到平面的距离1（2324高二上广东东莞阶段练习）已知三棱柱的侧棱与底面垂直，M是的中点，N是的中点，P是的中点，则点A到平面的距离为（）ABCD【答案】D【详解】解：如图，以A为原点，

8、所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量，则，令，则，所以平面的一个法向量，所以，即点A到平面的距离为故选：D.2（2324高二上广东佛山阶段练习）如图，在四棱锥中，平面面，.(1)证明：平面；(2)求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）取中点，连接，由题意可知：，则，且，则为为平行四边形，由，所以四边形为矩形，可知，则，又因为，可知，即，且平面平面，平面平面，平面，所以平面.（2）如图所示，以为原点，分别为轴、轴，过作垂直平面的直线，为轴，建立空间直角坐标系.则，可得，设平面的法向量为，则，令，则，可得，所以到平面的距离为.3（2

9、324上沧州阶段练习）如图所示，四棱锥的底面是矩形，且底面，若边上存在异于的一点，使得直线(1)求的最大值；(2)当取最大值时，求异面直线与所成角的余弦值；(3)当取最大值时，求点到平面的距离【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）建立如图空间直角坐标系，设，则，则，因为，所以，即即，当时，的最大值为（2）由（1）可知，当取最大值时，所以所以异面直线与所成角的余弦值为（3）设平面的法向量为，则，因为，所以，取，则，所以，所以，因为到平面的距离等于在上的射影长，所以4（2324上北辰期中）如图，且且且平面(1)若为的中点，为的中点，求证：平面；(2)求平面和平面夹角的正弦值；(3)若点在线段上，

10、且直线与平面所成的角为，求点到平面的距离【答案】(1)证明见解析；(2)；(3).【详解】（1）取GD中点为Q，连接NQ，MQ.因为的中点，为的中点，Q为GD中点，由三角形及梯形中位线定理，可得.又注意到，平面EDC，平面EDC，平面MNQ，则平面平面.又平面MQN，则平面.（2）因平面ABCD，平面ABCD，则，又，则如图建立以D为原点的空间坐标系.则.设平面和平面的法向量分别为.则，取；，取.设平面和平面夹角为，则.则平面和平面夹角的正弦值为.（3）由（2），设，其中，则又由题可得，平面的一个法向量可取.结合直线与平面所成的角为，则.则，.设平面法向量为，则.取，则点到平面的距离.5（重庆

11、市部分区2022-2023学年高二上学期期末联考数学试题）如图，在正方体中，(1)求证：；(2)求点到平面的距离【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：以A为坐标原点，AD为x轴，AB为y轴，为z轴建立如图所示的坐标系，；（2），设面的法向量为，令，则，设到面的距离为d，.三、专项训练一、单选题1（2324高二上陕西阶段练习）如图，在正四棱柱中，点，分别在棱，上，则点到平面的距离为（）ABCD【答案】D【详解】以为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则令，得点到平面的距离为故选：D.2（2324高二上广东东莞阶段练习）如图，在棱长为

12、1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（）ABCD【答案】D【详解】由题意易知直线面，所以到面的距离即为直线到平面的距离.建立如图所示坐标系，则：，,所以设面的法向量，则：，即取，则，所以所以到面的距离.故选：D3（2324高二上湖南邵阳阶段练习）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ）ABCD【答案】D【详解】如图建立空间直角坐标系，则，所以,设平面的法向量为，则，令，则，因为，平面，平面，所以平面，所以直线到平面的距离即为点到平面的距离，所以直线到平面的距离为 .故选：D.4（2324上邯郸阶段练习）在正三棱柱中，点分别为棱的中点，则点到平面的

13、距离为（）ABCD【答案】C【详解】取的中点，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，所以令，解得，所以平面的一个法向量为，所以点到平面的距离.故选：C.5（2324上绍兴阶段练习）在棱长为1的正方体中，E为的中点，F为的三等分点靠近C点，则点E到平面BDF的距离为（）ABCD【答案】A【详解】在棱长为1的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量，则，令，得，所以点到平面的距离为.故选：A6（2324高二上北京阶段练习）如图，在长方体中，点B到平面的距离为（）ABCD【答案】C【详解】由题意得点到平面距离为三棱锥的高，设点到平

14、面距离为，取中点，连接，因为为长方体，所以，所以，所以，解得.故选：C.7（2324高二上湖南益阳阶段练习）如图所示，在直三棱柱中，为棱的中点，则点到平面的距离是（）ABCD【答案】C【详解】如图，连接，因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，因为平面，所以，又因为，平面，所以平面，所以点到平面的距离为，因为，所以，因为为棱的中点，且平面，则易知，则，则，设点到平面的距离为，则，即，即，解得故选：C.8（2324高二上吉林长春阶段练习）我国古代数学名著九章算术对立体几何问题有着深入的研究，从其中的一些数学用语可见譬如“堑堵”指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面是矩形且有一侧棱垂直

15、于底面的四棱锥，“鳖臑”指四个面都是直角三角形的三棱锥现有一如图所示的“堑堵”，其中，若，则到平面的距离为（）ABCD【答案】B【详解】取中点，连结，根据题意，平面，平面，所以平面平面，因为，所以，又平面平面，平面所以平面，且由题意可知，则，即为直角三角形，设到平面的距离为，且，即，.故选：B9（2324高三上河北沧州阶段练习）在三棱柱中，平面，点D是的中点，点E是平面的中心，则点E到平面的距离为（）ABCD【答案】C【详解】如图所示，连接，则点在上，再连接交于点，则为的中点，因为为的中点，可得，因为平面，平面，所以平面，所以点到平面的距离等价于点到平面的距离，设点到平面的距离为，由，即，由，

16、可得,又由，所以，所以为直角三角形，所以，所以，即点到平面的距离为.故选：C.二、填空题10（2324高二上宁夏固原阶段练习）在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为 .【答案】/【详解】如图所示，设到平面的距离为h，由得，所以，因为正方体的棱长为1，所以，所以是等边三角形，所以，所以，即到平面的距离为.故答案为：.11（2324高二上山西太原阶段练习）如下图所示，在平行六面体中，各棱长均为2，已知，则点A到平面的距离 .【答案】/【详解】取的中点，记为，连接，如下图：在中，且为中点，所以，同理可得：，由，则，且，因为，平面，所以平面在中，由余弦定理可得：，由，解得，在中，所以，易知，三棱锥的体

17、积，在中，由余弦定理可得：，则，设到平面的距离为，.故答案为：.12（2324高二上安徽阶段练习）如图，四棱锥P-ABCD中，平面平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，是等边三角形，M，N分别为AB和PC的中点，则平面DMN上任意一点到底面ABCD中心距离的最小值为 .【答案】【详解】连接相交于点，点为底面的中心，取中点为，连接，则，因为平面平面ABCD，则平面，以点为原点，分别以为轴正半轴，建立如图所示空间直角坐标系，且底面ABCD边长为2，是等边三角形，则，则，则，设平面的法向量为，则，解得，取，则，所以，且平面DMN上任意一点到底面ABCD中心距离的最小值即为点到平面的距离，则.

18、故答案为：.13（2324高二上天津西青阶段练习）如图，棱长为2的正方体，点是棱的中点，点到直线的距离为 【答案】/【详解】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体的棱长为2，所以，所以直线方向向量 ，又 ，所以在上的投影长为 ，所以点到直线的距离为故答案为：.三、解答题14（2324高三上四川成都阶段练习）已知正方形的边长为2，为等边三角形（如图1所示）沿着折起，点折起到点的位置，使得侧面底面是棱的中点（如图2所示）(1)求证：；(2)求点与平面的距离【答案】(1)见解析(2)【详解】（1）如图，取AB中点O，连接交于,为等边三角形，又平面平面，平面，平面平面，故平面，而平面，

19、又,，.，又平面,平面,，平面，平面，.（2）设点与平面的距离为，ABCD是正方形，PAB为等边三角形，,，又平面平面，平面，平面平面，故平面，而平面，所以，在中，,则易得，由（1）知，平面，为三棱锥的高，又，得.故点与平面的距离为.15（2324高二上广东东莞阶段练习）如图，已知一个组合体由一个圆锥与一个圆柱构成（圆锥底面与圆柱上底面重合.平面为圆柱的轴截面），已知圆锥高为3，圆柱高为5，底面直径为8.(1)求这个组合体的体积(2)设为半圆弧的中点，求到面的距离.【答案】(1)；(2).【详解】（1）依题意，圆锥的底面圆半径为4，而其高为3，则圆锥的体积，圆柱的底面圆半径为4，高为5，则圆柱

20、的体积，所以这个组合体的体积为.（2）连接，由为半圆弧的中点，得，而平面，平面，则，平面，于是平面，显然圆锥与圆柱有共同的旋转轴，即点在平面内，因此三棱锥的高为，且，设到平面的距离为，由，得，即，从而，故到平面的距离为.16（2324高三上广东佛山阶段练习）如图，在正三棱柱中，点为侧棱的中点，且.(1)证明：平面平面(2)若二面角的大小为，求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析；(2)【详解】（1）法一：取中点的中点，连接与，则，且又为中点，且，四边形是平行四边形，.在正三棱柱中，平面平面，又为等边三角形，又平面，平面，又平面，平面平面，法二如图，以原点，垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标

21、系，设，则，设平面的一个法向量为，则，取，则又平面的法向量为，平面平面（2）方法一：取中点，连接，在正三棱柱中，是二面角的平面角，又平面，设点到平面的距离为，则，即点到平面的距离为.方法二：由（1）得，设平面的一个法向量为，则，取，则又平面的法向量为，二面角的大小为，由于，又，点到平面的距离为.17（2324高二上辽宁阶段练习）如图，六面体中，面且面，.(1)求证：平面；(2)若二面角的余弦值为，求点到直线的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：因为面且面，面且面，所以且，在面中，同理，在面中,，因为，所以，又，所以，所以，所以，由面，面，知，又因为，面，面,所以面.（2）取

22、中点，由题可知，且，所以四边形为平行四边形，所以，因为面，故面，又因为为正三角形，所以，两两垂直，以为坐标原点，以的方向分别为，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，设面的法向量为，则有，不妨设，得，又面，故面的法向量不妨设为，由题意，解得，于是，所以点到到直线的距离为.18（2324高二上北京通州期中）如图，在正方体中，分别是棱，的中点.(1)求证：四点共面；(2)求与平面所成角的正弦值；(3)求点到平面的距离.【答案】(1)证明见详解(2)(3)【详解】（1）如图，取的中点连接,因为分别是棱，的中点，易得,所以,所以四点共面，又,所以，则四点共面，而过不共线的的三点的平面具有唯一性，则平面与平面重合，故四点共面.（2）以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形的的边长为则则，设是平面的法向量，则，取,则所以，所以与平面所成角的正弦值为（3）由（2）知平面的法向量，又所以点到平面的距离为，即到平面的距离为