专题05 一次方程（组）及其应用（12个高频考点）（举一反三）（全国版）（原卷版）.docx

1、专题05 一次方程（组）及其应用（12个高频考点）（举一反三） 【考点1 方程的相关概念】1【考点2 方程的解】2【考点3 等式的性质】2【考点4 解一元一次方程】3【考点5 含绝对值符号的一元一次方程】4【考点6 解二元一次方程（组）】5【考点7 同解方程（组）】5【考点8 解三元一次方程组】5【考点9 由实际问题抽象出一次方程】6【考点10 一元一次方程的应用】6【考点11 二元一次方程（组）的应用】7【考点12 三元一次方程组的应用】8【要点1 方程的相关概念】1.含有未知数的等式叫做方程。2.只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。使方程中等

2、号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。3.含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。4.方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，这样的方程组叫做二元一次方程组。二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。【考点1 方程的相关概念】【例1】（2022云南曲靖一模）若方程x2ab3ya+b=2是关于x、y的二元一次方程，则ab的值为（）A29B2C32D1【变式1-1】（2022浙江杭州模拟预测）下列方程组是二元一次方程组的是（）A4xy=1y=2x+3B

3、1x1=y3x+y=0Cxy=1xy=2Dx2x2=0y=x+1【变式1-2】（2022上海杨浦二模）下列方程中，二元一次方程的是（）Axy=1Bx21=0Cxy=1Dx+1y=1【变式1-3】（2022贵州一模）已知关于x的方程k24x2+k2x=k+6是一元一次方程，则方程的解为（）A-2B2C-6D-1【考点2 方程的解】【例2】（2022山东聊城中考真题）关于x，y的方程组2xy=2k3x2y=k的解中x与y的和不小于5，则k的取值范围为（）Ak8Bk8Ck8Dk8【变式2-1】（2022广西中考真题）方程3x2x7的解是（）Ax4Bx4Cx7Dx7【变式2-2】（2022广西中考真题

4、）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法例如“已知3ab=2，求代数式6a2b1的值”可以这样解：6a2b1=23ab1=221=3根据阅读材料，解决问题：若x=2是关于x的一元一次方程ax+b=3的解，则代数式4a2+4ab+b2+4a+2b1的值是_【变式2-3】（2022浙江宁波外国语学校一模）若x=ay=b是二元一次方程组x+y=2xy=4的解，则一次函数y=ax+b的图象不经过第_象限【要点2 等式的性质】性质1：若a=b，则ac=bc。等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等。性质2：若a=b，则ac=bc；ac=bc(c0)。等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果

5、仍相等。【考点3 等式的性质】【例3】（2022青海中考真题）下列说法中，正确的是（）A若ac=bc，则a=bB若a2=b2，则a=bC若ac=bc，则a=bD若13x=6，则x=2【变式3-1】（2022山东滨州中考真题）在物理学中，导体中的电流跟导体两端的电压U，导体的电阻R之间有以下关系：I=UR去分母得IR=U，那么其变形的依据是（）A等式的性质1B等式的性质2C分式的基本性质D不等式的性质2【变式3-2】（2022四川梓潼县教育研究室二模）有8个球编号是至，其中有6个球一样重，另外两个都轻1克，为了找出这两个轻球，用天平称了三次：第一次+比+重，第二次+比+轻，第三次+和+一样重那么

6、，两个轻球的编号是（）ABCD【变式3-3】（2022福建中考真题）推理是数学的基本思维方式、若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下：设任意一个实数为x，令x=m，等式两边都乘以x，得x2=mx等式两边都减m2，得x2m2=mxm2等式两边分别分解因式，得x+mxm=mxm等式两边都除以xm，得x+m=m等式两边都减m，得x0.所以任意一个实数都等于0.以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是_【要点3 解方程的一般步骤】1.解一元一次方程的一般步骤去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1。2、解二元一次方程组的方法代入消

7、元法；加减消元法。代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这种方法叫做代入消元法，简称代入法。加减消元法：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。这种方法叫做加减消元法，简称加减法。【考点4 解一元一次方程】【例4】（2022贵州黔西中考真题）小明解方程x+121=x23的步骤如下：解：方程两边同乘6，得3x+11=2x2去括号，得3x+31=2x2移项，得3x2x=23+1合并同类项，得x=4以上解

8、题步骤中，开始出错的一步是（）ABCD【变式4-1】（2022海南中考真题）若代数式x+1的值为6，则x等于（）A5B5C7D7【变式4-2】（2022云南昆明二模）某校图书阅览室按如图所示的规律摆放桌椅（矩形表示桌子，圆点表示椅子），八年级（3）班42人到这个阅览室参加读书活动恰好坐满，需要桌子_张【变式4-3】（2022河北邯郸三模）嘉淇在解关于x的一元一次方程3x12+#3时，发现正整数#被污染了；(1)嘉淇猜#是2，请解一元一次方程3x12+2=3；(2)若老师告诉嘉淇这个方程的解是正整数，则被污染的正整数是多少？【考点5 含绝对值符号的一元一次方程】【例5】（2022江苏扬州一模）若

9、|x|x4|8，则x的值为（）A2B6C2或6D以上都不对【变式5-1】（2022重庆南开中学三模）若关于x的方程|x|=ax+1只有一个负根，则a的取值范围是_【变式5-2】（2022河北邢台模拟预测）对关于x的方程x1+x+2=a（1）考虑如下说法：当a取某些值时，方程（1）有两个整数解；对某个有理数a，方程（1）有唯一的整数解；当a不是整数时，方程（1）没有整数解；不论a为何值时，方程（1）至多有4个整数解其中正确的说法的序号是 _【变式5-3】（2022广东佛山市南海外国语学校三模）已知c为实数，讨论方程|x1|x2|+2|x3|=c解的情况【考点6 解二元一次方程（组）】【例6】（2

10、022湖南株洲中考真题）对于二元一次方程组y=x1x+2y=7，将式代入式，消去y可以得到（）Ax+2x1=7Bx+2x2=7Cx+x1=7Dx+2x+2=7【变式6-1】（2022山东淄博中考真题）解方程组：x2y=312x+34y=134【变式6-2】（2022河北唐山一模）对于任意的实数x，y，规定运算“”如下：xy=ax+by(1)当a=3，b=4时，求1（2）的值；(2)若53=16，2（3）=2，求a与b的值【变式6-3】（2022四川绵阳二模）若整数x，y满足方程组ym=x2xm=y2，且2x4，xy，则m的最大值为（）A0B-1C-2D-3【考点7 同解方程（组）】【例7】（2

11、022浙江杭州模拟预测）若关于x，y的二元一次方程组2x+5y=26axby=4和3x5y=36bx+ay=8有相同的解，求：（1）这两个方程组的解；（2）代数式(2a+b)2020的值【变式7-1】（2022上海杨浦二模）若关于x的方程4m+x=20的解与方程2x3=x+1的解相同，则m的值为 _【变式7-2】（2022河北模拟预测）若方程x+122x15=0与方程x+6ax2=a3的解相同，则a的值为()A2116B6316C2116D6316【变式7-3】（2022浙江杭州模拟预测）已知方程组a1x+y=c1a2x+y=c2的解是x=5y=10，则关于x，y的方程组a1x1+y=c1a2

12、x1+y=c2的解是_【考点8 解三元一次方程组】【例8】（2022江苏南京中考模拟）已知 4x3y3z=0x3yz=0 ，那么x：y：z为（ ）A2：（1）：3B6：1：9C6：（1）：9D23:(19):1【变式8-1】（2022广东东莞中考模拟）已知x+4y3z=04x5y+2z=0，xyz0，求3x2+2xy+z2x2+y2的值【变式8-2】（2022仁寿县长平初级中学校（四川省仁寿第一中学校南校区初中部）一模）已知：aba+b=23，cac+a=34，bcb+c=65求代数式abc的值【变式8-3】（2022河北模拟预测）设a1,a2,.,a2014是从1,0,1这三个数中取值的一列

13、数，若a1+a2+.+a2014=69，(a1+1)2+(a2+1)2+.+(a2014+1)2=4001，则a1,a2,.,a2014中为0的个数_【考点9 由实际问题抽象出一次方程】【例9】（2022贵州六盘水中考真题）我国“DF41型”导弹俗称“东风快递”，速度可达到26马赫（1马赫340米/秒），则“DF41型”导弹飞行多少分钟能打击到12000公里处的目标？设飞行x分钟能打击到目标，可以得到方程（）A2634060x=12000B26340x=12000C26340x1000=12000D2634060x1000=12000【变式9-1】（2022江苏南通中考真题）九章算术中记载：“

14、今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱。问人数、羊价各是多少？若设人数为x，则可列方程为_【变式9-2】（2022山东日照中考真题）孙子算经是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（）Ayx=4.52xy=1 Bxy=4.52xy=1Cxy=4.5y2x

15、=1 Dyx=4.5xy2=1【变式9-3】（2022广东深圳中考真题）张三经营了一家草场，草场里面种植上等草和下等草他卖五捆上等草的根数减去11根，就等于七捆下等草的根数；卖七捆上等草的根数减去25根，就等于五捆下等草的根数设上等草一捆为x根，下等草一捆为y根，则下列方程正确的是（）A5y11=7x7y25=5x B5x+11=7y7x+25=5y C5x11=7y7x25=5yD7x11=5y5x25=7y 【考点10 一元一次方程的应用】【例10】（2022湖南岳阳中考真题）我国古代数学著作孙子算经中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何

16、？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？在这个问题中，城中人家的户数为（）A25B75C81D90【变式10-1】（2022山东东营中考真题）植树节当天，七年级1班植树300棵，正好占这批树苗总数的35，七年级2班植树棵数是这批树苗总数的15，则七年级2班植树的棵数是（）A36B60C100D180【变式10-2】（2022江苏镇江中考真题）某公司专业生产某种产品，6月初（当月月历如图）接到一份求购5000件该产品的订单，要求本月底完成，7月1日按期交货日一二三四五六12345678910111213141516171819

17、2021222324252627282930经盘点目前公司已有该产品库存2855件，补充原材料后，从本月7日开始生产剩余数量的该产品，已知该公司除周六、周日正常休息外，每天的生产量相同但因受高温天气影响，从本月10日开始，每天的生产量比原来减少了25件，截止到17日生产结束，库存总量达3830件如果按照10日开始的生产速度继续生产该产品，能否按期完成订单？请说明理由如果不能，请你给该公司生产部门提出一个合理的建议，以确保能按期交货【考点11 二元一次方程（组）的应用】【例11】（2022浙江衢州中考真题）某班环保小组收集废旧电池，数据统计如下表问1节5号电池和1节7号电池的质量分别是多少？设1

18、节5号电池的质量为x克，1节7号电池的质量为y克，列方程组，由消元法可得x的值为（）5号电池（节）7号电池（节）总质量（克）第一天2272第二天3296A12B16C24D26【变式11-1】（2022黑龙江中考真题）国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费360元其中毛笔每支15元，围棋每副20元，共有多少种购买方案？（）A5B6C7D8【变式11-2】（2022黑龙江齐齐哈尔中考真题）端午节前夕，某食品加工厂准备将生产的粽子装入A、B两种食品盒中，A种食品盒每盒装8个粽子，B种食品盒

19、每盒装10个粽子，若现将200个粽子分别装入A、B两种食品盒中（两种食品盒均要使用并且装满），则不同的分装方式有（）A2种B3种C4种D5种【变式11-3】（2022内蒙古内蒙古中考真题）某商店决定购进A、B两种北京冬奥会纪念品若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元(1)求购进A、B两种纪念品的单价；(2)若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且购进B种纪念品数量不少于20件，那么该商店共有几种进货方案？(3)若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B

20、种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？求出最大利润【考点12 三元一次方程组的应用】【例12】（2022重庆市开州区德阳初级中学模拟预测）在刚刚结束的端午节中，商家为了实现销售额提升拓展途径某商家推出了三种礼盒进行售卖，某商家将甜味粽、肉馅粽、咸鸭蛋共22个，搭配为A，B，C三种礼盒各一个，其中A盒中有2个甜味粽，3个肉馅粽，1个咸鸭蛋；B盒中甜味粽与咸鸭蛋的数量之和等于肉馅粽的数量，甜味粽与咸鸭蛋的数量之比为3:2；C盒中有1个甜味粽，3个肉馅粽，2个咸鸭蛋经核算，A盒的成本为45元，B盒的成本为75元（每种礼盒的成本为该盒中甜味粽、肉馅粽、咸鸭蛋的成本之

21、和），则C盒的成本为_元【变式12-1】（2022北京平谷二模）明明和丽丽去书店买书，若已知明明买了A、B两本书共花费100.5元，丽丽买了A、C两本书共花费88.5元，则B书比C书贵_元；若又知B、C两本书的总价钱恰好等于A书的价钱，则A、B、C三本书的总价钱为_【变式12-2】（2022重庆南开中学三模）端午节将至，某商店推出“情有独粽”“我最出粽”“年年高粽”三种粽子，定价分别为7元/个、8元/个、9元/个；甲、乙、丙、丁四人分别去该商店采购了一些粽子，买完后发现，“情有独粽”买的数量甲、乙相同，丙、丁也相同；“我最出粽”买的数量甲、丁相同，乙、丙也相同；“年年高粽”买的数量甲、丙相同，乙、丁也相同，已知甲一共花了86元，乙一共花了100元，丙一共花了97元，若每人买的每种粽子数量都不超过10个，则丁花了_元【变式12-3】（2022重庆巴蜀中学三模）现有A、B、C三个容器装有不同浓度的三种盐水，其浓度之比为1:2:3若将A容器中的盐水取出20kg倒入B容器中，将C容器中的盐水取出10kg也倒入B容器中，再将A容器中剩下的的盐水倒入C容器中，这时发现B容器和C容器中的盐水浓度一样又若在原C容器盐水中加入与原C容器相同浓度的盐水25kg后，其溶质正好是原A容器盐水取出5kg盐水后溶质的3倍则原A容器盐水质量的3倍与原C容器盐水质量之和比原B容器盐水质量的4倍多_kg