专题05 与函数的对称性相关的零点问题-2023年高考数学优拔尖核心压轴题（选择、填空题）（新高考地区专用）.docx

1、专题05 与函数的对称性相关的零点问题【方法点拨】1. 若单调奇函数f(x)满足f(a)f(b)0，则ab0.一般的，若单调函数f(x)关于点(m，n)对称，且满足f(a)f(b)2n，则ab2m.2. 对于具有对称性的函数零点问题，要注意检验充分性，以防增解.3. 对称性的三个常用结论：(1)若函数f(x)满足f(ax)f(bx)，则yf(x)的图象关于直线x对称.(2)若函数f(x)满足f(ax)f(bx)，则yf(x)的图象关于点对称.(3)若函数f(x)满足f(ax)f(bx)c，则函数f(x)的图象关于点对称.【典型题示例】例1 若函数存在个零点，则所有这些零点的和等于_.【答案】【

2、解析】设，则为奇函数，其图象关于坐标原点对称所以的图象关于点（1,0）对称，故其与x轴的交点也关于点（1,0）对称所以的所有零点的和等于.例2 设函数，数列是公差不为0的等差数列，则（ ）A0 B7 C14 D21【答案】D【分析】根据函数值之和求自变量之和，很自然会去考虑函数的性质，而等式常常考查对称性，从而尝试去寻求函数的对称中心. 函数可以视为由与构成，它们的对称中心不一样，可以考虑对函数的图象进行平移, 比如，引入函数，则该函数是奇函数，对称中心是坐标原点，由图象变换知识不难得出的图象关于点中心对称.【解析】是公差不为0的等差数列，且例3 函数，是自然对数的底数，存在唯一的零点，则实数

3、的取值范围为A，BC，D【答案】A【分析】分离函数，零点问题转化为两函数图象有唯一交点问题，再使用函数的对称性解决.【解析】函数，是自然对数的底数，存在唯一的零点等价于：函数 与函数只有唯一一个交点，（1），（1），函数 与函数唯一交点为，又，且，在上恒小于零，即在上为单调递减函数，又 是最小正周期为2，最大值为的正弦函数，可得函数 与函数的大致图象如下图：要使函数 与函数只有唯一一个交点，则（1）（1），（1），（1），解得，又，实数的范围为，故选：例4 已知函数有唯一零点，则a=（ ）A B CD1【答案】C 【分析】如果利用导数研究的零点，就会小题大做，容易陷入困难.由函数与方程思想，函

4、数的零点满足.设，显然是由函数向右平移一个单位而得到，易知是偶函数且在上是增函数.故关于直线对称，且在上是增函数，在上是减函数，. 设，显然关于直线对称，顶点为.若，则函数关于直线对称，且在上是减函数，在上是增函数，最大值为，.若的图象与的图象有一个公共点A，根据对称性必有另一个公共点B.所以，不合题意；若，函数关于直线对称，且在上是增函数，在上是减函数，最小值为.若的图象与的图象只有一个公共点，必有，得.【解析一】，令则易知是偶函数，所以图象关于直线对称，欲使有唯一零点， 必有，即，所以.【解析二】x22xa(ex1ex1)，设g(x)ex1ex1，g(x)ex1ex1ex1，当g(x)0时

5、，x1，当x1时，g(x)1时，g(x)0，函数g(x)单调递增，当x1时，函数g(x)取得最小值g(1)2，设h(x)x22x，当x1时，函数取得最小值1，作出ag(x)与h(x)的大致图象如图所示.若a0，结合选项A，a时，函数h(x)和ag(x)的图象没有交点，排除选项A；当a0时，f(x)=lnxax，若函数f(x)恰有5个零点，则实数a的取值范围是 .2.若函数的零点有且只有一个，则实数 .3.若函数f(x)x2mcosxm23m8有唯一零点，则满足条件的实数m组成的集合为 4.已知函数， ，则函数零点的个数所有可能值构成的集合为 5.函数的图象与函数的图像所有交点的横坐标之和等于（

6、 ） A.2 B. 4 C.6 D.86.已知函数满足，若函数与图象的交点为 则 （ ）A. 0 B. m C. 2m D. 4m7.已知实数x、y满足，则 的值是 .8.圆与曲线相交于点四点，为坐标原点，则_.9.已知函数，函数有唯一零点，则实数的值为_.10.函数的所有零点之和为( ).A 0 B. 2 C. 4 D. 611. 已知函数有唯一零点，则a=（ ）A 4 B. 2 C. 2 D. 412.(2022江苏常州模拟)已知函数f(x)(xR)满足f(x)2f(x)，若函数y与yf(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)，则 (xiyi)等于()A.0 B.m

7、 C.2m D.4m【答案与提示】1.【答案】（0，e）【提示】分离函数，问题即为x0时，h(x)=lnx与g(x)=ax的图象恰有2个交点，利用导数求出当a= e时，相切为临界值.2.【答案】【提示】同例4，利用f(x)=0，求得，而当时，不满足题意，应舍去.3. 【答案】m=2【提示】发现f(x)是偶函数，故得到f(0)=0，立得m=2或m=4，难点在于对m=4的取舍问题.思路有二，一是“分离函数”，利用“形”助数；二是利用导数知识，只需当x0时，函数恒增或恒减即可.4.【答案】0,1,2,4【提示】见例3.5.【答案】B【提示】根据对称性易得答案.6.【答案】B【分析】该题设计抽象函数关

8、于点成中心对称，函数由奇函数向上平移一个单位得到，也关于点成中心对称，因而两函数图象的交点为也关于点成中心对称，考虑倒序相加法，可得，故.7.【答案】2020【提示】两边取自然对数得设，则易得其为上的单增奇函数所以，故.8.【答案】【分析】注意发现圆与一次分式函数的图象均关于点(3, 2)对称，利用三角形中线的向量表示，将所求转化即可.【解析】由圆方程，可得，圆心坐标为(3, 2) ，其对称中心为(3, 2).在同一直角坐标系中，画出圆和函数图像如右图所示：数形结合可知，圆和函数都关于点M(3, 2)对称，故可得其交点A和C，B和 D 都关于点M(3, 2)对称. 故，所以.9.【答案】或10.【答案】A11.【答案】C 【提示】函数关于直线x=2对称，故必有f(2)=0.12.【答案】B【解析】f(x)f(x)2，y1.函数yf(x)与y的图象都关于点(0，1)对称，xi0，yi2m.