专题05 椭圆、双曲线、抛物线（选填）（考点清单）（解析版）.docx

1、专题05 椭圆、双曲线、抛物线（选填）（考点清单）目录一、思维导图3二、知识回归3三、典型例题讲与练6考点清单01：圆锥曲线定义辨析6【考试题型1】椭圆定义辨析6【考试题型2】双曲线定义辨析7【考试题型3】抛物线定义理解9考点清单02：利用定义求动点轨迹10【考试题型1】利用椭圆定义求动点轨迹10【考试题型2】利用双曲线定义求动点轨迹12【考试题型3】利用抛物线定义求动点轨迹15考点清单03：圆锥曲线上点到焦点距离（含最值）17【考试题型1】椭圆上点到焦点距离问题17【考试题型2】双曲线上点到焦点距离问题18【考试题型3】抛物线上点到焦点距离问题19考点清单04：椭圆、双曲线中的焦点三角形问题

2、20【考试题型1】焦点三角形中的周长问题20【考试题型2】焦点三角形中的面积问题22【考试题型3】焦点三角形中的其他问题23考点清单05：圆锥曲线中线段和，差最值问题26【考试题型1】椭圆中线段和，差最值问题26【考试题型2】双曲线中线段和，差最值问题28【考试题型3】抛物线中线段和，差最值问题31考点清单06：求椭圆方程33【考试题型1】求椭圆方程33考点清单07：求双曲线方程36【考试题型1】求共焦点的双曲线方程36【考试题型2】求渐近线37【考试题型3】求共渐近线的双曲线方程38考点清单08：求抛物线方程40【考试题型1】求抛物线方程40考点清单09：判断方程为椭圆、双曲线的条件41【考

3、试题型1】判断方程为椭圆、双曲线的条件41考点清单10：离心率43【考试题型1】离心率（定值）43【考试题型2】离心率（最值或范围）45一、思维导图二、知识回归知识点01：椭圆的定义1、椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数，这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距.说明：若，的轨迹为线段；若，的轨迹无图形2、定义的集合语言表述集合. 知识点02：椭圆的标准方程焦点位置焦点在轴上焦点在轴上标准方程（）（）图象焦点坐标，的关系知识点03：双曲线的定义1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的

4、轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.2、集合语言表达式双曲线就是下列点的集合:.3、说明若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小.(1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支;(2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支.知识点04：双曲线的标准方程焦点位置焦点在轴上焦点在轴上标准方程（）（）图象焦点坐标，的关系两种双曲线 ， （）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同.知识点05：抛物线的定义1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不

5、在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线2、抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离).知识点06：抛物线的标准方程 设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：方程（）（）（）（）图形焦点准线三、典型例题讲与练01：圆锥曲线定义辨析【考试题型1】椭圆定义辨析【解题方法】椭圆定义【典例1】（2023上内蒙古呼伦贝尔高二校考阶段练习）椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为（）AB8CD4【答案】B【详解】由椭圆方程可得，即，所以椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为.故选：B.【典例2】（多选）（2023上河北高二校联考期中）已知椭圆：的两个焦点为，是上任意一点

6、，则（）ABCD【答案】BCD【详解】设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为，因为，所以，所以，故A错误，B正确；设，则，即，当时取得最大值，故C正确；由椭圆定义及基本不等式可知：，故D正确故选：BCD【专训1-1】（2023上海南海口高二海口一中校考期中）已知点，分别是椭圆的左、右焦点，点P在此椭圆上，则的周长等于（）A16B20C18D14【答案】A【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，由椭圆定义知，焦距，所以的周长等于.故选：A【专训1-2】（2023上湖南常德高二校联考期中）已知，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，若，则（）A1B2C3D4【答案】D【详解】由方程可知，因为是椭圆

7、上一点，由椭圆定义可知，所以.故选：D【考试题型2】双曲线定义辨析【解题方法】双曲线定义【典例1】（2023上内蒙古呼伦贝尔高二校考阶段练习）平面内动点到两定点的距离之差为，若动点的轨迹是双曲线，则的取值范围是（）ABCD【答案】D【详解】由双曲线的定义可得，且，解得.故选：D.【典例2】（2023上浙江高二校联考期中）若双曲线上一点与它的一个焦点的距离为，则点与另一个焦点的距离为 【答案】或【详解】因为，所以，设点与另一个焦点的距离为，则由双曲线的定义得，解得或.故答案为：或【专训1-1】（多选）（2023上浙江台州高二校联考期中）已知、，则下列命题中正确的是（）A平面内满足的动点P的轨迹为

8、椭圆B平面内满足的动点P的轨迹为双曲线的一支C平面内满足的动点P的轨迹为抛物线D平面内满足的动点P的轨迹为圆【答案】AD【详解】对于选项A,有、，且,由椭圆定义可知选项A正确;对于选项B,有、，且,轨迹为射线，不符合双曲线的定义可知选项B错误;对于选项C,有、，且,轨迹为线段的垂直平分线，不符合抛物线的定义可知选项C错误;对于选项D,有、，且,设点，则，化简可得，可知选项D正确;故选：AD【专训1-2】（2023上广西玉林高二校联考阶段练习）是双曲线上一点，点，分别是双曲线左右焦点，若，则 .【答案】9【详解】是双曲线上一点，所以，所以，由双曲线定义可知，所以或者，又，所以，故答案为：9.【考

9、试题型3】抛物线定义理解【解题方法】抛物线定义【典例1】（2023上江苏常州高二统考期中）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则点到轴的距离为（）ABC2D1【答案】B【详解】由题意得，抛物线中，所以，所以所求距离为.故选：B【典例2】（2023上黑龙江哈尔滨高二哈师大附中校考期中）已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（）A直线B椭圆C双曲线D抛物线【答案】D【详解】因为，得，即动点到定点的距离与到定直线的距离相等，且点不在直线上，则由抛物线定义知，动点的轨迹为抛物线.故选：D.【专训1-1】（2023上黑龙江高二统考期中）若抛物线上的点到直线的距离等于，则点到焦点的距离（）ABCD【

10、答案】D【详解】抛物线的准线为，由抛物线的定义知，点到焦点的距离等于其到准线的距离，即故选：D.【专训1-2】（2023上辽宁抚顺高二校联考期中）若抛物线上一点到焦点的距离是2m，则（）ABC2D【答案】B【详解】设焦点为F，则，即，又点在抛物线上，代入方程可得，所以故选：B02：利用定义求动点轨迹【考试题型1】利用椭圆定义求动点轨迹【解题方法】椭圆定义【典例1】（2023上内蒙古赤峰高二校考期中）设，若，则点的轨迹方程为 .【答案】【详解】可以看作是点到点和点的距离和为8，由于,所以在以为焦点的椭圆，且，故，故椭圆方程为，故答案为：【典例2】（2023上湖北襄阳高二襄阳市第一中学校考阶段练习

11、）(1)若动圆与圆内切，与圆外切.求动圆圆心的轨迹的方程；(2)若动圆与圆圆都外切.求动圆圆心的轨迹的方程.【答案】(1)(2)【详解】（1）设动圆的半径为，动圆与圆内切，与圆外切，于是，所以动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆.从而，且焦点在轴上，所以.故动圆圆心的轨迹的方程为.（2）圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，因为，则圆与圆外离，设圆的半径为，由题意可得，所以，所以，圆心的轨迹是以点分别为左右焦点的双曲线的右支，设圆心的轨迹方程为，由题意可得，则，因此，圆心的轨迹方程为.【专训1-1】（2023上天津高二天津市瑞景中学校考期中）已知椭圆的两个焦点坐标分别是，椭圆上一点到两

12、个焦点的距离之和为26，则该椭圆方程为 .【答案】【详解】由题意，椭圆的两个焦点坐标分别是，则椭圆的焦点在y轴上，且，又椭圆上一点到两个焦点的距离之和为26，所以，即，所以，所以该椭圆方程为.故答案为：【专训1-2】（2023全国高三专题练习） 已知，是圆上一动点，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为 .【答案】【详解】由题意，可知圆的标准方程为，圆心为，半径为6线段的垂直平分线交于点，如图，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，其轨迹方程为故答案为：【考试题型2】利用双曲线定义求动点轨迹【解题方法】双曲线定义【典例1】（2023全国高三专题练习）在平面直角坐标系中，一动圆与轴切于点，分别过点作圆

13、的切线并交于点(点不在轴上)，则点的轨迹方程为（）ABC或D【答案】A【详解】设分别与圆相切于点，则，所以，且，所以点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支(除去与轴交点)，这里，则，故点的轨迹方程为.故选：A【典例2】（2023上福建三明高二统考期末）已知圆，圆，若动圆E与，都外切，则圆心E的轨迹方程为 .【答案】【详解】圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径，由于动圆E与圆，都外切，设动圆E的半径为，则，所以，所以点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，设方程为，则，所以E的轨迹方程为.故答案为：.【专训1-1】（2023上重庆高二重庆巴蜀中学校考期中）已知，圆，动圆经过点且与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程

14、是（）ABCD【答案】C【详解】圆，即，圆心为，半径，设动圆的半径为，若动圆与圆相内切，则圆在圆内，所以，所以，所以动点是以、为焦点的双曲线的右支，且、，所以，所以动圆圆心的轨迹方程是，若动圆与圆相外切，所以，所以，所以动点是以、为焦点的双曲线的左支，且、，所以，所以动圆圆心的轨迹方程是，综上可得动圆圆心的轨迹方程是.故选：C【专训1-2】（2023全国高二课堂例题）如图，在中，已知，且三内角A，B，C满足，建立适当的平面直角坐标系，则顶点C的轨迹方程为 .【答案】【详解】以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则，.由正弦定理，得，（R为的外接圆半径）

15、.，即.由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支（除去与x轴的交点）. 由题意，设所求轨迹方程为，.故所求轨迹方程为.故答案为：【考试题型3】利用抛物线定义求动点轨迹【解题方法】抛物线定义【典例1】（2023下江西高三校联考阶段练习）设圆与y轴交于A，B两点（A在B的上方），过B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为（）ABCD【答案】A【详解】因为圆与轴交于，两点（在的上方），所以，又因为过作圆的切线，所以切线的方程为，因为动点到的距离等于到的距离，所以动点的轨迹为抛物线，且其焦点为，准线为，所以的轨迹方程为故选：A.【典例2】（2023全国高三专题练习）

16、过点且与直线相切的动圆圆心的轨迹方程为 【答案】【详解】由题意可得，动圆的圆心到直线的距离与到点的距离相等，所以动圆的圆心是以点为焦点，直线为准线的抛物线，则其方程为故答案为：【专训1-1】（2023上高二课时练习）若动圆与圆外切，又与直线相切，求动圆圆心的轨迹方程.【答案】【详解】设动圆圆心为，半径为，由已知可得圆的圆心为，半径因为两圆外切，所以又动圆与已知直线相切，所以圆心到直线的距离，所以，即动点到定点的距离等于它到定直线的距离由抛物线的定义可知，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，且，故动圆圆心的轨迹方程为.【专训1-2】（2023全国高三专题练习）已知点，过点且与y轴垂直的直线为，轴

17、，交于点N，直线l垂直平分FN，交于点M. 求点M的轨迹方程；【答案】【详解】由题意得，即动点M到点的距离和到直线的距离相等，所以点M的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，根据抛物线定义可知点M的轨迹方程为；03：圆锥曲线上点到焦点距离（含最值）【考试题型1】椭圆上点到焦点距离问题【解题方法】椭圆定义【典例1】（2023上安徽高二校联考期中）已知椭圆的左焦点为，若点P在椭圆C上，则的最大值为（）A1B5C7D【答案】C【详解】依题意，则，设，所以：，又因为：，所以：，因为：，所以当时，有最大值：，故C项正确.故选：C【典例2】（多选）（2023上安徽亳州高二校考阶段练习）已知椭圆C：的左焦点为

18、F，点P是C上任意一点，则的值可能是（）A1B3C6D8【答案】ABC【详解】由题意可知，所以，即故选:ABC【专训1-1】（2023上新疆和田高二校考期中）已知椭圆方程为，点P为椭圆上一点，且点P到椭圆其中一个焦点距离为3，则 【答案】【详解】由椭圆的方程可得：，由椭圆的定义知：，因为点P到椭圆其中一个焦点距离为3，故.故答案为：【考试题型2】双曲线上点到焦点距离问题【解题方法】双曲线定义【典例1】（2023上天津高二天津市第一百中学校联考期中）双曲线C：（，）的一条渐近线过点，是C的左右焦点，且，若双曲线上一点M满足，则（）A或BCD【答案】B【详解】因为，所以，所以或（舍），又因为双曲线

19、的渐近线过点，所以，所以，所以，所以，所以，若在左支上，符合要求，所以，若在右支上，不符合要求，所以，故选：B.【典例2】（2023上江苏镇江高二统考期中）已知双曲线的左右两个焦点分别是、，焦距为8，点是双曲线上一点，且，则 .【答案】或【详解】由已知得，解得，当点是双曲线左支上一点时，则，当点是双曲线右支上一点时，则，或故答案为：或.【专训1-1】（2023上陕西西安高二校考期末）已知双曲线的两焦点分别为、，双曲线上一点到的距离为，则到的距离为（）ABC或D或【答案】A【详解】设双曲线的实半轴长为，半焦距长为，因为双曲线的方程为，所以，当点在双曲线的左支时，又，所以，当点在双曲线的右支时，解

20、得，矛盾，不存在点满足条件. 故选：A.【考试题型3】抛物线上点到焦点距离问题【解题方法】抛物线定义【典例1】（2023下河南焦作高二统考开学考试）已知点A是抛物线上的点，点，则的最小值为（）AB2CD【答案】A【详解】设，则，则，所以当时，取得最小值故选：A【典例2】（2022高二课时练习）求抛物线上与点距离最近的点的坐标.【答案】.【详解】设抛物线上任意一点.则，当时，取最小值.此时，抛物线上与点距离最近的点坐标为，1).【专训1-1】（2021全国高三专题练习）若点P为抛物线y2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为（）A2BCD【答案】D【详解】根据题意，设抛物线y2x2

21、上点P到准线的距离为d，则有|PF|d，抛物线的方程为y2x2，即x2y，其准线方程为y，当点P在抛物线的顶点时，d有最小值，即|PF|min.故选：D04：椭圆、双曲线中的焦点三角形问题【考试题型1】焦点三角形中的周长问题【解题方法】圆锥曲线定义+余弦定理【典例1】（2023全国模拟预测）已知椭圆的上、下焦点分别为，短半轴长为，离心率为，直线交该椭圆于两点，且的周长是的周长的3倍，则的周长为（）A6B5C7D9【答案】B【详解】由题意可得，由离心率为，得，得，易知的周长，的周长，由椭圆的定义得，则， 即，所以，故选：B【典例2】（2023全国高三专题练习）双曲线C的渐近线方程为，一个焦点为，

22、点，点为双曲线第一象限内的点，则当点的位置变化时，周长的最小值为 .【答案】【详解】因为焦点在纵轴上，设该双曲线的方程为，因为焦点为，所以，因为双曲线C的渐近线方程为，所以，由可解，即，双曲线的另一个焦点为，则有，周长为：，当三点共线时，有最小值，最小值为，所以周长的最小值为，故答案为：【专训1-1】（2023上江西高二浮梁县第一中学校联考期中）设椭圆：（）的左、右焦点为，.若点在上，则的周长为（）A4B6C8D10【答案】B【详解】由于点在上，所以，得，所以椭圆：，则，.由椭圆的定义，而，所以的周长为.故选：B.【专训1-2】（2023上辽宁葫芦岛高二校联考期中）已知，分别是双曲线的上、下焦

23、点，过的直线交于A，B两点，若的长等于虚轴长的3倍，则的周长为 【答案】36【详解】由题意得，则，所以的周长为故答案为：36.【考试题型2】焦点三角形中的面积问题【解题方法】圆锥曲线定义+正、余弦定理+面积公式+基本不等式【典例1】（2023上重庆沙坪坝高三重庆八中校考期中）设双曲线的左右焦点分别为，点在的右支上，且，则的面积为（）A2BCD【答案】C【详解】由题意得，由双曲线定义可得，由余弦定理得，即，解得，又，解得，故.故选：C【典例2】（2023全国高三专题练习）已知是椭圆上的点，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为 【答案】【详解】椭圆中，则，有，是椭圆上的点，在中，由余弦定理得：，

24、即，得 ，所以.故答案为：【专训1-1】（2023上河北石家庄高二校联考期中）设，分别是双曲线的下、上焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ）ABCD【答案】D【详解】由题意可知，在中，由余弦定理可知，所以的面积等于.故选：D【考试题型3】焦点三角形中的其他问题【解题方法】圆锥曲线定义+正、余弦定理+基本不等式【典例1】（2023浙江宁波统考一模）设为坐标原点，为椭圆的焦点，点在上，则（）AB0CD【答案】C【详解】如下图所示：不妨设，根据椭圆定义可得，；由余弦定理可知；又因为，所以，又，即可得，解得；又，即；所以可得；故选：C【典例2】（2023上河北衡水高二衡水市第二中学校考阶段

25、练习）已知，分别是双曲线的左、右两个焦点，点在双曲线的右支上，且，则（）ABCD【答案】A【详解】由题意可得 ，由双曲线的定义得 ，而 ，解得 ， 由余弦定理得所以 .故选：A.【专训1-1】（2023四川绵阳绵阳南山中学实验学校校考二模）双曲线C：的左右焦点分别为，离心率为2，过斜率为的直线交双曲线于A，B，则 .【答案】/【详解】因为双曲线的离心率为2，则，因为过斜率为，所以，则，在中，设，则，由，解得，则，在中，设，则，由，解得，则，则，在中.故答案为：【专训1-2】（2023陕西汉中校联考模拟预测）设为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若，则 .【答案】2【详解】因椭圆方程为，则.因，则.又

26、由椭圆定义，可得，则.故答案为：205：圆锥曲线中线段和，差最值问题【考试题型1】椭圆中线段和，差最值问题【解题方法】椭圆定义【典例1】（2022上山西高二校联考期中）已知F是椭圆的左焦点，M是椭圆C上任意一点，Q是圆上任意一点，则的最小值为（）A-4B-3C-2D-1【答案】C【详解】依题意可知，对于椭圆，对于圆，圆心为，半径，设椭圆的右焦点为，根据椭圆的定义有，根据圆的几何性质有，当且仅当是线段与圆交点时等号成立，所以，其中，当且仅当三点共线，且是线段与椭圆的交点时等号成立，所以，此时四点共线，且分别是线段与圆、椭圆的交点.故选：C【典例2】（2022上湖北武汉高二华中师大一附中校考期中）

27、已知椭圆的右焦点F，P是椭圆E上的一个动点，点坐标是，则的最大值是 .【答案】13【详解】由可知 ，设椭圆左焦点，则，当且仅当，共线时且当在的延长线上时等号成立的最大值为，故答案为：.【专训1-1】（2023上辽宁大连高二大连二十四中校考期中）已知点是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点.则的取值范围为 .【答案】【详解】令是椭圆的右焦点，显然，长半轴长，由椭圆定义知，而，当且仅当共线时等号成立，于是，因此当在之间时，取得最大值，当在之间时，取得最小值，所以的取值范围为.故答案为：【专训1-2】（2022上四川成都高三树德中学校考开学考试）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为 .【答案】/【详解】由题意椭圆C：，M为椭圆C上任意一，N为圆E：上任意一点，故，当且仅当共线时等号成立，故，当且仅当共线时等号成立，而，故，即的最小值为，故答案为：【考试题型2】双曲线中线段和，差最值问题【解题方法】双曲线定义