专题06 【五年中考 一年模拟】二次函数压轴题-备战2023年上海中考数学真题模拟题分类汇编（解析版）.docx

1、专题06 二次函数压轴题1（2022上海）在平面直角坐标系中，抛物线过点，（1）求抛物线的解析式；（2）平移抛物线，平移后的顶点为，如果，设直线，在这条直线的右侧原抛物线和新抛物线均呈上升趋势，求的取值范围；点在原抛物线上，新抛物线交轴于点，且，求点的坐标【答案】（1）；（2）；，【详解】（1）将，代入，得：，解得：，抛物线的解析式为（2），抛物线的顶点坐标为，即点是原抛物线的顶点，平移后的抛物线顶点为，抛物线平移了个单位，即平移后的抛物线的对称轴为直线，在的右侧，两抛物线都上升，原抛物线的对称轴为轴，开口向上，；把代入，由题意得，新抛物线的解析式为，如图，过点作轴于，则，或（舍，点的坐标为，

2、2（2021上海）已知抛物线经过点、（1）求抛物线的解析式；（2）若点在直线上，过点作轴于点，以为斜边在其左侧作等腰直角三角形当与重合时，求到抛物线对称轴的距离；若在抛物线上，求的坐标【答案】（1）；（2）；【详解】（1）、代入得：，解得，抛物线的解析式为：；（2）过作于，交轴于，如图：当与重合时，是等腰直角三角形，和也是等腰直角三角形，而抛物线的对称轴是轴，到抛物线对称轴的距离是；过作于，如图：设直线解析式为，将、代入得：，解得，直线为，设，则，当，时，将代入得：，解得或（与重合，舍去），当，时，由可知，此时、重合，舍去，3（2020上海）在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、（如图）

3、抛物线经过点（1）求线段的长；（2）如果抛物线经过线段上的另一点，且，求这条抛物线的表达式；（3）如果抛物线的顶点位于内，求的取值范围【答案】（1）；（2）；（3）【详解】（1）针对于直线，令，令，则，；（2）设点，点在线段上，将点，代入抛物线中，得，抛物线；（3）点在抛物线中，得，抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为，将代入中，得，顶点位于内，；4（2019上海）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线，其顶点为（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点的坐标，并说明它的变化情况；（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”试求抛物线的“不动点”的坐标；平移抛物线，使所得

4、新抛物线的顶点是该抛物线的“不动点”，其对称轴与轴交于点，且四边形是梯形，求新抛物线的表达式【答案】（1）见解析；（2）或；【详解】（1），故该抛物线开口向上，顶点的坐标为，当，随的增大而增大，当，随增大而减小；（2）设抛物线“不动点”坐标为，则，解得：或3，故“不动点”坐标为或；当时，新抛物线顶点为“不动点”，则设点，新抛物线的对称轴为：，与轴的交点，四边形是梯形，直线在轴左侧，与不平行，又点，点，故新抛物线是由抛物线向左平移2个单位得到的；当时，同理可得：抛物线的表达式为：，当四边形是梯形，字母顺序不对，故舍去，综上，新抛物线的表达式为：5（2018上海）在平面直角坐标系中（如图）已知抛物

5、线经过点和点，顶点为，点在其对称轴上且位于点下方，将线段绕点按顺时针方向旋转，点落在抛物线上的点处（1）求这条抛物线的表达式；（2）求线段的长；（3）将抛物线平移，使其顶点移到原点的位置，这时点落在点的位置，如果点在轴上，且以、为顶点的四边形面积为8，求点的坐标【答案】（1）；（2）2；（3）或【详解】（1）把和点代入得，解得，抛物线解析式为；（2），抛物线的对称轴为直线，如图，设，则，线段绕点按顺时针方向旋转，点落在抛物线上的点处，把代入得，整理得，解得（舍去），线段的长为2；（3）点坐标为，点坐标为，抛物线平移，使其顶点移到原点的位置，抛物线向左平移2个单位，向下平移个单位，而点向左平移2

6、个单位，向下平移个单位得到点，点坐标为，设，当时，解得，此时点坐标为；当时，解得，此时点坐标为；综上所述，点的坐标为或6（2022静安区二模）在平面直角坐标系中，已知点坐标是，点在轴上，（如图所示），二次函数的图象经过点、三点，顶点为（1）求点与点的坐标；（2）求二次函数图象的对称轴与线段的交点的坐标；（3）二次函数的图象经过平移后，点落在原二次函数图象的对称轴上，点落在线段上，求图象平移后得到的二次函数解析式【答案】（1），；（2），；（3）【详解】（1）设，坐标是，解得，设二次函数解析式为，将代入得：，解得，顶点，；（2）由（1）知二次函数图象的对称轴是直线，设直线解析式为，将，代入得：，

7、解得，直线解析式为，令得，；（3）二次函数图象的对称轴是直线，点向右平移个单位，也向右平移个单位后点的横坐标为3，平移后的点在线段上，平移后点坐标为，平移后的函数解析式为7（2022闵行区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，与轴交于点将抛物线的对称轴沿轴的正方向平移，平移后交轴于点，交线段于点，交抛物线于点，过点作直线的垂线，垂足为点（1）求抛物线的表达式；（2）以点为圆心，为半径画；以点为圆心，为半径画当与内切时试证明与的数量关系；求点的坐标【答案】（1）；（2）见解析；，【详解】（1）点坐标为，点坐标为设抛物线，抛物线经过点，解得抛物线的表达式是；（2）由于与内切，当时，则

8、，设，则，点在线段的延长线上又已知点在线段上，矛盾，因此不存在当时，则，又，；，设，则；在中，由勾股定理得，坐标为，点在抛物线上，解得，（点与点重合，舍去）坐标为，8（2022黄浦区二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，顶点为，对称轴与轴交于点，点、是抛物线上的点，且都在第一象限内（1）求抛物线的表达式；（2）当点位于对称轴左侧，求点的坐标；（3）在（2）的条件下，已知点位于对称轴的右侧，过点作，交对称轴于点，且，求直线的表达式【答案】（1）；（2）；（3）或【详解】（1）设抛物线的解析式为，将代入，可得，；（2）过点作交于，过点作轴交于，令，则或，设，解得或，点在第一象限，；（3）设直

9、线的解析式为，解得，设直线的解析式为，过点作的平行线，则解析式为，过点作，则解析式为，过点作交于点，交于点，当点在直线下方时，在中，的解析式为；当点在直线上方时，在中，的解析式为；综上所述：的解析式为或9（2022长宁区二模）如图，已知菱形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，点的坐标为，抛物线经过点、，对称轴为直线（1）求抛物线的表达式；（2）求证：菱形是正方形；（3）联结，如果是轴上一点，且它的横坐标大于点的横坐标，求点的坐标【答案】（1）；（2）见解析；（3），【详解】（1）解：抛物线对称轴为直线，抛物线经过点，；（2）证明：令，则，令，则，解得或（舍，菱形是正方形；（3）过点作轴交于点，过点

10、作交于点，连接，10（2022金山区二模）已知：在直角坐标系中直线与轴、轴相交于点、，抛物线经过点和点（1）求抛物线的解析式；（2）如果直线与抛物线的对称轴相交于点，求的长；（3）是线段上一点，过点作直线的平行线，与轴相交于点，把沿直线翻折，点的对应点是点，如果点在抛物线上，求点的坐标【答案】（1）；（2）；（3），【详解】（1）直线与轴、轴相交于点、，、，代入抛物线得：，抛物线的解析式为：（2）由，可得抛物线的对称轴为直线，当时，（3）如图，设点的坐标为，又，四边形为矩形，四边形为正方形，四边形为正方形，解得：，（不合题意，舍去），点是坐标为：，11（2022宝山区二模）已知抛物线经过点、，

11、与轴交于点（1）求抛物线的表达式；（2）将抛物线向左平移个单位，平移后点、的对应点分别记作、，过点作轴，垂足为点，点在轴负半轴上，使得以、为顶点的三角形与相似，求点的坐标；（用含的代数式表示）如果平移后的抛物线上存在点，使得四边形为平行四边形，求的值【答案】（1）；（2）点坐标为或；或【详解】（1）将点、代入，解得，；（2），平移先后抛物线解析式为，令，则，平移后，、，轴，设，或，当，；当，；综上所述：点坐标为或；设，当时，四边形为平行四边形，四边形为平行四边形的对角线，平移先后抛物线解析式为，解得（舍或，当时，；当时，四边形为平行四边形，四边形为平行四边形的对角线，平移先后抛物线解析式为，或

12、（舍；综上所述：或12（2022徐汇区二模）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于，两点，经过，两点的抛物线与轴的正半轴相交于点，点为线段上的点，且点的横坐标为（1）求抛物线的解析式和直线的解析式；（2）过作轴的平行线交抛物线于，当是为腰的等腰三角形时，求点的坐标；（3）若顶点在以、为邻边的平行四边形的形内（不含边界），求的取值范围【答案】（1）抛物线的解析式为，直线的解析式为；（2），或；（3）【详解】（1）直线交轴于点，抛物线经过点，点，解得：，抛物线的解析式为，令，得，解得：，把点的坐标代入，得，解得：，直线的解析式为；（2）点为线段上的点，且点的横坐标为，且，过作轴的平行线交抛

13、物线于，且，是为腰的等腰三角形，或，是等腰直角三角形，当时，解得：（舍去）或，；当时，则，轴，即点的纵坐标为3，解得：（舍去），综上所述，点的坐标为，或；（3），抛物线的顶点，设经过点且平行直线的直线的解析式为，如图2，则，解得：，联立，得，解得：，点的横坐标为，顶点在以、为邻边的平行四边形的形内（不含边界），点必须在直线上方的抛物线上运动，的取值范围为：13（2022崇明区二模）如图在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，点的坐标为，对称轴为直线点为线段上的一个动点，过点作直线平行于轴交直线于点，交抛物线于点（1）求抛物线的解析式；（2）当以、为顶点的三角形与相似时，求线段的长度

14、；（3）如果将沿直线翻折，点恰好落在轴上点处，求点的坐标【答案】（1）；（2）或；（3）【详解】（1）由题意得：，解得：，所以，所求的抛物线的解析式是：；（2）由题意得：，直线的解析式为：，设，则，当以、为顶点的三角形与相似时，若，则，或（舍去），若，则，或（舍去），或；（3）是由沿直线翻折而得，解得：（舍去），所以，的的坐标是14（2022杨浦区二模）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，与轴相交于点，在轴上有一动点，过点作轴的垂线交线段于点，交抛物线于点，过作，垂足为点（1）求这条抛物线的表达式；（2）设的周长为，的周长为，如果，求点的坐标；（3）如果以为圆心，为半径的圆与以为

15、直径的圆内切，求的值【答案】（1）；（2）；（3）【详解】解，（1）抛物线与轴交于点，与轴交于点，抛物线的表达式为；（2）如图1，轴，又，即又，设直线，又直线经过点，点，点在抛物线上，设点，点在直线上，设点又，解得：，（不合题意，舍去）点的坐标是（3）如图2，设的中点为点，则点的坐标，又点，过点作轴于点，则，在中，当与内切时，解之得：当与内切时，15（2022松江区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点、与轴交于点，抛物线经过点、（1）求抛物线的表达式；（2）是抛物线上一点，且位于直线上方，过点作轴、轴，分别交直线于点、当时，求点的坐标；联结交于点，当点是的中点时，求的值【答案】（

16、1）；（2）；【详解】（1）直线与轴交于点、与轴交于点，令，则，令，则，抛物线经过点、，抛物线的表达式为：；（2）是抛物线上一点，且位于直线上方，过点作轴、轴，分别交直线于点、，设点的横坐标为，则，解得，；如图，连接交于点，轴，点的纵坐标为，令，则，解得：，点是的中点，由知：，又点是的中点，轴、轴，点是的中点，解得：，轴，故的值为16（2022嘉定区二模）在平面直角坐标系（如图）中，已知抛物线经过点、两点，与轴的交点为点（1）求抛物线的表达式；（2）求四边形的面积；（3）设抛物线的对称轴是直线，点与点关于直线对称，在线段上是否存在一点，使四边形是菱形，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说

17、明理由【答案】（1）；（2）；（3）存在一点，使四边形是菱形，点的坐标为【详解】（1）抛物线经过，两点，解得，抛物线的关系式为；（2）如图，连接，与轴的交点为点，、，；（3）如图，抛物线的对称轴是直线，点与点关于直线对称，设直线的解析式为，解得，直线的解析式为，同理：直线的解析式为，直线的解析式为，当时，四边形是菱形，设直线的解析式为，解得，直线的解析式为，联立直线得，解得，点的坐标为存在一点，使四边形是菱形，点的坐标为17（2022奉贤区二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、抛物线经过点、，顶点为（1）求该抛物线的表达式；（2）将抛物线沿轴向上平移，平移后所得新抛物线顶点为

18、，如果，求平移的距离；（3）设抛物线上点的横坐标为，将抛物线向左平移三个单位，如果点的对应点落在内，求的取值范围【答案】（1）；（2）；（3）【详解】（1）直线与轴、轴分别交于点，抛物线经过、两点，可得，解得，抛物线解析式为；（2），对称轴为，过点作于，由题意得，平移后所得新抛物线的顶点在抛物线的对称轴上，的长即平移的距离，对称轴为，平移的距离为；（3）如图，对称轴为，点关于对称轴对称的点的坐标为，将抛物线向左平移三个单位，点的对应点和点重合，将抛物线向左平移三个单位，点的对应点为，时，点的对应点落在内，的取值范围为18（2022虹口区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴

19、交于点，顶点为，联结交抛物线的对称轴于点（1）求抛物线的表达式；（2）联结、，点是射线上的一点，如果，求点的坐标；（3）点是线段上的一点，点是对称轴右侧抛物线上的一点，如果是以为腰的等腰直角三角形，求点的坐标【答案】（1）；（2）；（3）或，【详解】（1）将，代入，得：，解得：，二次函数的解析式为；（2）如图：，、，是直角三角形，；（3），直线的解析式为，对称轴为，当时，设，且，当，时，过点作于，轴，解得或（不合题意，舍去），；当，时，轴，点的纵坐标为4，当时，解得或（不合题意，舍去），；综上所述，点的坐标为或，19（2022普陀区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点、，与轴交

20、于点，顶点为（1）求抛物线的表达式和点的坐标；（2）点是第一象限内抛物线的一个动点，其横坐标为，直线交轴于点用的代数式表示直线的截距；在的面积与的面积相等的条件下探究：在轴右侧存在这样一条直线，满足：以该直线上的任意一点及点、三点为顶点的三角形的面积都等于面积，试用规范、准确的数学语言表达符合条件的直线【答案】（1）抛物线的表达式为，顶点的坐标为；（2）直线的截距为；或【详解】（1）抛物线与轴交于点、，解得：，抛物线的表达式为，顶点的坐标为；（2）设点，直线的解析式为，则，解得：，直线的解析式为，直线的截距为；抛物线顶点的坐标为，抛物线对称轴为直线，当点在对称轴右侧时，设抛物线对称轴交直线于点

21、，如图1，则，由知：直线的截距为，即，又，由题意：，解得：或，根据同底等高的三角形面积相等可得：过点且平行轴的直线上任意一点及点、三点为顶点的三角形的面积都等于面积，符合条件的直线为；当点在轴与对称轴之间时，过点作平行轴的直线交于点，如图2，、，直线的解析式为，解得：或（舍去），符合条件的直线为，综上所述，符合条件的直线为或20（2022浦东新区二模）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点（1）求抛物线的表达式；（2）已知点在轴上，且在点的右侧，联结、，如果，求点的坐标；（3）在（2）的条件下，如果点在线段上，求的长度【答案】（1）；（2）；（3）【详解】（1）将，代入得：，解得，答：抛物线的

22、表达式为；（2）在中，令得或，设，解得，；（3）过作于，如图：由，得，设，则，即，解得，答：的长度为21（2022杨浦区三模）如图，已知在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，点在第二象限内，且（1）求点的坐标；（2）将沿轴向右平移，点、的对应点分别是点、，如果点、都落在双曲线上，求的值；（3）如果直线与第（2）小题中的双曲线有两个公共点和，求的值【答案】（1）；（2）6；（3）【详解】（1）过点作轴于点，如图所示：则，当时，当时，点坐标为；（2）设沿轴向右平移距离为，则，点、都落在双曲线上，解得，点，；（3）联立，解得或，点坐标为，点坐标为，22（2022徐汇区模拟）如图，在平面直角

23、坐标系中，二次函数的图象与轴交于和点（点在点的左侧），与轴交于点，且（1）求这个函数的解析式，并直接写出顶点的坐标；（2）点是二次函数图象上一个动点，作直线轴交抛物线于点（点在点的左侧），点关于直线的对称点为，如果四边形是正方形，求点的坐标；（3）若射线与射线相交于点，求的大小【答案】（1），点的坐标为；（2）；（3）【详解】（1）二次函数的图象与轴交于和点（点在点的左侧），设点，的横坐标分别为，则，是的两个根，即，解得，点的坐标为（2）由题意可知，且和相互平分，则四边形是菱形，若四边形是正方形，则只需要满足，设点的横坐标为，解得（舍或，（3）如图，连接，由（1）知，令，则，；令，则或，直线的

24、解析式为：，直线的解析式为：，令，解得；，23（2022黄浦区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点、两点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴与轴交于点，直线经过点，交抛物线的对称轴于点（1）求的面积；（2）联结，交轴于点，联结，若，求抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，点是直线上一点，且，求点的坐标【答案】（1）的面积是；（2）；（3）或，【详解】（1）将代入得：，解得，抛物线的对称轴为直线，在中，令得，抛物线与轴交于点、两点，关于对称轴直线对称，答：的面积是；（2）过作轴于，如图：，由（1）知，把，代入得：，解得，抛物线的表达式为；（3）过作交直线于，以为圆心，为半径

25、作圆与直线另一交点为，如图：由（1）（2）知直线为，设直线为，将代入得：，解得，直线为，四边形是平行四边形，是满足题意的点，由平移至与平移至方式相同，可得，是满足题意的点，设，解得（与重合，舍去）或，综上所述，点的坐标为或，24（2022宝山区模拟）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点（点在轴的正半轴上），与轴交于点，已知（1）求顶点和点的坐标；（2）将抛物线向右平移2个单位，得到的新抛物线与轴交于点，求点的坐标和的面积；（3）如果点在原抛物线的对称轴上，当与相似时，求点的坐标【答案】（1）顶点，；（2），；（3）或【详解】（1）根据题意可画出函数图象，令可得，即在中，将点的坐标代入抛物线

26、解析式可得，解得抛物线的解析式为：顶点，令，即，或，（2）将（1）中抛物线向右平移2个单位，得到的新抛物线令，则连接并延长交轴于点，直线的解析式为：，（3）在中，如图，过点作垂直于原抛物线的对称轴，若与相似，则或，设，则，或，解得或或25（2022普陀区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与交于点，与轴交于点（1）求抛物线的对称轴及点的坐标；（2）如果，求抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，已知点是该抛物线对称轴上一点，且在线段的下方，求点的坐标【答案】（1）抛物线的的对称轴是直线，点；（2）；（3）点，【详解】（1）抛物线解析

27、式为，抛物线的的对称轴是直线，抛物线与轴交于、两点，点；（2）当时，点，抛物线，与轴交于点，点，又点，直线的解析式为，当时，点，抛物线的解析式为；（3）如图，点，点，点，又，点，点，点，点四点共圆，是直径，点是圆心，点，方法二，点，点，点，点，26（2022宝山区模拟）已知一个二次函数的图象经过、三点，顶点为（1）求这个二次函数的解析式；（2）求经过、两点的直线的表达式；（3）设为直线上一点，且以、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标【答案】（1）；（2）；（3）或【详解】（1）设，将点、代入，解得，；（2），设直线的解析式为，解得，；（3）设，当为平行四边形的对角线时，；当为平行四边形的对

28、角线时，；当为平行四边形的对角线时，此时，不符合题意；综上所述：点的坐标为或27（2022徐汇区模拟）如图所示，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点（1）当时，求点、的坐标；如果点是抛物线上一点，点是该抛物线对称轴上的点，当是以为斜边的等腰直角三角形时，求出点的坐标；（2）点是抛物线的顶点，连接、，当四边形是圆的内接四边形时，求的值【答案】（1）点、的坐标分别为、；，或或或，；（2）【详解】对于，令，解得或，令，则，故点、的坐标分别为、，当时，顶点的坐标为（1）当时，函数的表达式为，则点、的坐标分别为、；过点作轴的平行线交过点与轴的平行线于点，交轴于点，设点的坐标为，则，解得或4或0或，故点

29、的坐标为，或或或，；（2）点、的坐标分别为、，顶点的坐标为当四边形是圆的内接四边形时，则的中点为该圆的圆心，设的中点为点，由中点坐标公式得，点，则，即，解得28（2022松江区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点、点分别在的正半轴和的正半轴上，抛物线经过、两点，顶点为（1）求抛物线的表达式；（2）将绕点顺时针旋转后，点落到点的位置，求四边形的面积；（3）将该抛物线沿轴向上或向下平移，使其经过点，若点在平移后的抛物线上，且满足，求点的坐标【答案】（1）；（2）7；（3）或【详解】（1）抛物线经过点，将代入抛物线，得，解得：，抛物线的表达式为（2）将绕点顺时针旋转后，得到，又，且，即四边形的面积

30、为7（3）当时，可知抛物线经过点，将原抛物线沿轴向下平移2个单位过点，平移后得抛物线解析式为：；若点在轴上方时，作轴，交抛物线于点，易证，点与点关于抛物线的对称轴直线对称，；若点在轴下方时，如图2，作的中垂线，与轴交与点，联结并延长，交抛物线于点，根据线段的垂直平分线的性质可得，轴，作轴，垂足为，则，设，则，在中，解得，设直线的解析式为，则，解得：，直线的解析式为，解得：（舍去），当时，综上所述，满足条件得点坐标为或29（2022浦东新区校级模拟）如图1，将矩形置于平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在边上，将沿折叠压平，使点落在坐标平面内，设点的对应点为点（1）如图2，当时，抛物线过

31、点、，求抛物线解析式；（2）如图3，随着的变化，点正好落在轴上，求的余切值；（3）若点横坐标坐标为1，抛物线且为常数）的顶点落在的内部，求的取值范围【答案】（1）；（2）；（3）【详解】（1）如图，当时，点的坐标为，点，点的坐标为，四边形是矩形，将沿折叠压平，点的对应点在轴上，设过点、的抛物线解析式为，解得，抛物线解析式为；（2）当点正好落在轴上，如图：由折叠得，；（3）如图，过点作轴于，延长交延长线于，则，点横坐标坐标为1，由折叠得，在中，设直线的解析式为，解得，直线的解析式为，抛物线，顶点为，当时，抛物线且为常数）的顶点落在的内部，30（2022嘉定区校级模拟）已知平面直角坐标系（如图），

32、一次函数的图象与轴交于点，点在正比例函数的图象上，且二次函数的图象经过点、（1）求线段的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点在轴上，且位于点下方，点在上述二次函数的图象上，点在一次函数的图象上，且四边形是菱形，求点的坐标【答案】（1）；（2）；（3）【详解】（1）在一次函数中，当时，为垂直平分线上的点，可求垂直平分线上的解析式为，又点在正比例函数，又；（2）二次函数的图象经过点、可得，解得；（3）点在一次函数的图象上，则可设，设，四边形是菱形，解得，（舍去），将，代入，即：满足条件的点坐标为31（2022青浦区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点（1）求该

33、抛物线的表达式及点的坐标；（2）点为抛物线上一点，且在轴下方，联结当时，求点的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿平行于轴的方向平移，平移后点的对应点为点，当平分时，求抛物线平移的距离【答案】（1）抛物线的表达式为，；（2），；（3）抛物线向下平移了个单位【详解】（1）抛物线与轴交于点和点，解得：，该抛物线的表达式为，当时，；（2）设，如图1，过点作轴于点，连接、，则，又，即，解得：（舍去），当时，；（3）如图2，连接、，过点作交于点，过点作于点，由（2）知：，将抛物线沿平行于轴的方向平移，平移后点的对应点为点，、在同一条直线上，平分，又，是等腰直角三角形，设直线的解析式为，则，解得：，直线的解析式为，当时，抛物线向下平移了个单位