专题06 二次函数与等腰三角形有关的问题（知识解读）-备战2023年中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）.docx

1、专题06 二次函数与等腰三角形有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数之等腰三角形存在性问题，主要指的是在平面直角坐标系下，已知一条边（或两个顶点）的等腰三角形存在，求第三个顶点的坐标的题型.主要考察学生对转化思想、方程思想、几何问题代数化的数形结合思想及分类讨论思想的灵活运用。【解题思路】等腰三角形的存在性问题【方法1 几何法】“两圆一线” （1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB注意：若有重合的情

2、况，则需排除以点 C1 为例，具体求点坐标： 过点A作AHx轴交x轴于点H，则AH=1，又类似可求点 C2 、C3、C4 关于点 C5 考虑另一种方法 【方法2 代数法】点-线-方程表示点：设点C5坐标为(m,0)，又A（1,1）、B（4,3），表示线段： 联立方程：，总结：【典例分析】【考点1 等腰角形的存在性】【典例1】（2020泰安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数yax2+bx+c交x轴于点A（4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，2），连接AE（1）求二次函数的表达式；（2）抛物线对称轴上是否存在点P，使AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点

3、的坐标，若不存在，请说明理由【变式11】（2022澄海区模拟）如图，抛物线yax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点A的坐标为（1，0），点C坐标为（0，3），对称轴为x1点M为线段OB上的一个动点（不与两端点重合），过点M作PMx轴，交抛物线于点P，交BC于点Q（1）求抛物线及直线BC的表达式；（2）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由【变式1-2】（2022荣昌区自主招生）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+x+c（a0）与x轴交于A（1，0），B（4，0），与y轴交于点C

4、（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线yax2+x+c沿射线BC平移，B，C的对应点分别为M，N，当以点A，M，N为顶点的三角形是以MN为腰的等腰三角形时，请直接写出点M的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程【典例2】（2020贵港）如图，已知二次函数yax2+bx+c的图象与x轴相交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，3）（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PHx轴于点H，与线段BC交于点M，连接PC当PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标【变式2-1】（2022东营）如图，抛物线yax2+bx3（a0）与x轴

5、交于点A（1，0），点B（3，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的表达式；（2）在对称轴上找一点Q，使ACQ的周长最小，求点Q的坐标；（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标【变式2-1】（2021大渡口区自主招生）如图，若抛物线yx2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线yx3经过点B，C（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作PHx轴于点H，交BC于点M，连接PC线段PM是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由；在点P运动的过程中，是否存

6、在点M，恰好使PCM是以PM为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由专题06 二次函数与等腰三角形有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数之等腰三角形存在性问题，主要指的是在平面直角坐标系下，已知一条边（或两个顶点）的等腰三角形存在，求第三个顶点的坐标的题型.主要考察学生对转化思想、方程思想、几何问题代数化的数形结合思想及分类讨论思想的灵活运用。【解题思路】等腰三角形的存在性问题【方法1 几何法】“两圆一线” （1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有

7、BA=BC；（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB注意：若有重合的情况，则需排除以点 C1 为例，具体求点坐标： 过点A作AHx轴交x轴于点H，则AH=1，又类似可求点 C2 、C3、C4 关于点 C5 考虑另一种方法 【方法2 代数法】点-线-方程表示点：设点C5坐标为(m,0)，又A（1,1）、B（4,3），表示线段： 联立方程：，总结：【典例分析】【考点1 等腰角形的存在性】【典例1】（2020泰安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数yax2+bx+c交x轴于点A（4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，2），连接AE（1）求

8、二次函数的表达式；（2）抛物线对称轴上是否存在点P，使AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由【答案】（1） y， （2） m时，ADE的面积取得最大值为 （3）点P坐标为：（1，1），（1，），（1，2）【解答】解：（1）二次函数yax2+bx+c经过点A（4，0）、B（2，0），C（0，6），解得，所以二次函数的解析式为：y，（2）y的对称轴为x1，设P（1，n），又E（0，2），A（4，0），可求PA29+n2，PE21+（n+2）2，AE216+420，当PA2PE2时，9+n21+（n+2）2，解得，n1，此时P（1，1）；当PA2AE2时，9+n2

9、20，解得，n，此时点P坐标为（1，）；当PE2AE2时，1+（n+2）220，解得，n2，此时点P坐标为：（1，2）综上所述，P点的坐标为：（1，1），（1，），（1，2）【变式11】（2022澄海区模拟）如图，抛物线yax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点A的坐标为（1，0），点C坐标为（0，3），对称轴为x1点M为线段OB上的一个动点（不与两端点重合），过点M作PMx轴，交抛物线于点P，交BC于点Q（1）求抛物线及直线BC的表达式；（2）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由【

10、解答】解：（1）抛物线对称轴为x1，点B与A（1，0）关于直线x1对称，B（3，0），设ya（x3）（x+1），把C（0，3）代入得：3a3，解得：a1，y（x3）（x+1）x2+2x+3，设直线BC的解析式为ykx+d，则，解得：，直线BC的解析式为yx+3，故抛物线解析式为yx2+2x+3，直线BC的解析式为yx+3；（2）存在，设Q（m，m+3）（0m3），A（1，0），C（0，3），AC2OA2+OC212+3210，AQ2（m+1）2+（m+3）22m24m+10，CQ2m2+m22m2，以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，ACAQ或ACCQ或AQCQ，当ACAQ时，102m24

11、m+10，解得：m0（舍去）或m2，Q（2，1）；当ACCQ时，102m2，解得：m（舍去）或m，Q（，3）；当AQCQ时，2m24m+102m2，解得：m，Q（，）；综上所述，点Q的坐标为（2，1）或（，3）或（，）【变式1-2】（2022荣昌区自主招生）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+x+c（a0）与x轴交于A（1，0），B（4，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线yax2+x+c沿射线BC平移，B，C的对应点分别为M，N，当以点A，M，N为顶点的三角形是以MN为腰的等腰三角形时，请直接写出点M的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程【解答】解：（1）将

12、A（1，0），B（4，0）代入yax2+x+c，解得，yx2+x+2；（2）设抛物线沿x轴负方向平移2m个单位，则沿y轴正方向平移m个单位，B点平移对应点M（42m，m），C的对应点N（2m，2+m），AM，AN，MN2，当MNAM时，2，解得m2+或m2，M（2，2+）或（2，2）；当MNAN时，2，解得m或m（舍），M（42，）；综上所述：M点坐标为（2，2+）或（2，2）或（42，）【典例2】（2020贵港）如图，已知二次函数yax2+bx+c的图象与x轴相交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，3）（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象

13、上任意一点，PHx轴于点H，与线段BC交于点M，连接PC当PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标【答案】（1）yx22x3 （2）n时，PM最大P（3，24）或（2，3）【解答】解：（1）将A，B，C代入函数解析式，得，解得，这个二次函数的表达式yx22x3；（2）解法一：当PMPC时，（n2+3n）2n2+（n22n3+3）2，解得n1n20（不符合题意，舍），n32，n22n33，P（2，3）当PMMC时，（n2+3n）2n2+（n3+3）2，解得n10（不符合题意，舍），n23，n33+（不符合题意，舍），n22n324，P（3，24）综上所述：P（3，24）或（2，3）解法二

14、：当PMPC时，BC：yx3ABC45PHABBMHCMP45PMPC时，CPM为等腰直角三角形，CPx轴设P（n，n22n3），则CPnMPn2+3nnn2+3n解得n0（舍去）或n2，P（2，3）当PMCM时，设P（n，n22n3），则n2+3nn2+3nn0nn2+3n解得n3P（3，24）综上所述：P（3，24）或（2，3）【变式2-1】（2022东营）如图，抛物线yax2+bx3（a0）与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的表达式；（2）在对称轴上找一点Q，使ACQ的周长最小，求点Q的坐标；（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的

15、一点，当PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标【解答】解：（1）将点A（1，0），点B（3，0）代入yax2+bx3，解得，yx22x3；（2）连接CB交对称轴于点Q，yx22x3（x1）24，抛物线的对称轴为直线x1，A、B关于对称轴x1对称，AQBQ，AC+AQ+CQAC+CQ+BQAC+BC，当C、B、Q三点共线时，ACQ的周长最小，C（0，3），B（3，0），设直线BC的解析式为ykx+b，解得，yx3，Q（1，2）；（3）当BPM90时，PMPB，M点与A点重合，M（1，0）；当PBM90时，PBBM，如图1，当P点在M点上方时，过点B作x轴的垂线GH，过点P

16、作PHGH交于H，过点M作MGHG交于G，PBM90，PBH+MBG90，PBH+BPH90，MBGBPH，BPBM，BPHMBG（AAS），BHMG，PHBG2，设P（1，t），则M（3t，2），2（3t）22（3t）3，解得t2+或t2，M（1，2）或（1+，2），M点在对称轴的左侧，M点坐标为（1，2）；如图2，当P点在M点下方时，同理可得M（3+t，2），2（3+t）22（3+t）3，解得t2+（舍）或t2，M（1，2）；综上所述：M点的坐标为（1，2）或（1，2）或（1，0）【变式2-1】（2021大渡口区自主招生）如图，若抛物线yx2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点

17、C，直线yx3经过点B，C（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作PHx轴于点H，交BC于点M，连接PC线段PM是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由；在点P运动的过程中，是否存在点M，恰好使PCM是以PM为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由【解答】解：（1）对于yx3，令x0，y3，y0，x3，故点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，3），将点B、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：yx22x3；（2）设：点M（x，x3），则点P（x，x22x3），有，理由：PM（x3）（x22x3）（x）2+，10，故PM有最大值，当x时，PM最大值为：；存在，理由：PM2（x3x2+2x+3）2（x2+3x）2；PC2x2+（x22x3+3）2；MC2（x3+3）2+x2；（）当PMPC时，则（x2+3x）2x2+（x22x3+3）2，解得：x0或2（舍去0），故x2，故点P（2，3）；（）当PMMC时，则（x2+3x）2（x3+3）2+x2，解得：x0或3（舍去0和3+），故x3，则x22x324，故点P（3，24）综上，点P的坐标为：（2，3）或（3，24）