专题06 二次函数与等腰三角形有关问题（专项训练）（解析版）.docx

1、专题06 二次函数与等腰三角形有关问题（专项训练）1（2022榆阳区一模）如图，已知抛物线ymx2+4x+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C直线yx3经过B，C两点（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的顶点为M，在该抛物线的对称轴l上是否存在点P，使得以C，M，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）yx3中，令x0，则y3，C（0，3），令y0，则x3，B（3，0），将C（0，3），B（3，0）代入ymx2+4x+n中，解得，yx2+4x3；（2）存在点P，使得以C，M，P为顶点的三角形是等腰三角形，理由如下：yx2+

2、4x3（x2）2+1，M（2，1），对称轴为直线x2，设P（2，t），MP|t1|，MC2，CP，当MPMC时，|t1|2，t2+1或t2+1，P（2，2+1）或（2，2+1）；当MPCP时，|t1|，解得t，P（2，）；当MCCP时，2，解得t1（舍）或t7，P（2，7）；综上所述：P点坐标为（2，2+1）或（2，2+1）或（2，）或（2，7）2（2022岚山区一模）已知抛物线yax2+bx+8与x轴交于A（3，0），B（8，0）两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一个动点，且点P的横坐标为m（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，将直线BC沿y轴向下平移5个单位，交x轴于点M，交y轴于点N过点

3、P作x轴的垂线，交直线MN于点D，是否存在一点P，使BMD是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的m的值；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）抛物线yax2+bx+8与x轴交于A（3，0），B（8，0）两点，解得，抛物线的解析式为yx2+x+8；（3）易证线BC的解析式为yx+8，向下平移5个单位得到yx+3，当y0时，x3，M（3，0），当x0时，y3，N（0，3），由题意得PDMB，MB835，D（m，m+3），MD2（m3）2+（m+3）2，BD2（8m）2+（m+3）2，若BMD是等腰三角形，可分三种情况：当MBMD时，（m3）2+（m+3）225，解得m13+，m23，当MBBD

4、时，（8m）2+（m+3）225，解得，m13（舍去），m28（舍去），当MD+BD时，（8m）2+（m+3）2（m3）2+（m+3）2，解得，m5.5综上所述，m的值为3+或3或5.5时，BMD是等腰三角形3（2022兴宁区校级模拟）如图，抛物线yx2+bx+c过点A、B，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线yx+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，且（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上是否存在点P，使得PDC为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由【解答】解：（1）对于直线yx+3，令y0，即x+30，解得：x3，令x0，得y3，B（3，0），C（0，3），A为x轴负半轴上

5、一点，且OAOB，A（1，0）将点A、B的坐标分别代入yx2+bx+c中，得，解得，抛物线的解析式为yx2+2x+3；（3）存在如图2，点P在x轴上，设P（m，0）C（0，3），D（1，0），由勾股定理，得：CD2OC2+OD232+1210，PD2（m1）2，CP2OP2+OC2m2+32m2+9，分为三种情况讨论：当CDPD时，CD2PD2，即10（m1）2，解得m11+，m21，此时点P的坐标为（1+，0）或（1，0）；当CDCP时，CD2CP2，即10m2+9，解得m11，m21（不符合题意，舍去），此时点P的坐标为（1，0）；当PCPD时，PC2PD2，即m2+9（m1）2，解得m4

6、，此时点P的坐标为（4，0）综上所述，在x轴上存在点P，使得PDC为等腰三角形，满足条件的点P的坐标为（1+，0）或（1，0）或（1，0）或（4，0）4（2022百色）已知抛物线经过A（1，0）、B（0，3）、C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F（1）求抛物线的表达式；（2）求证：BOFBDF；（3）是否存在点M，使MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长【解答】（1）解：设抛物线的表达式为yax2+bx+c，把A（1，0）、B（0，3）、C（3，0）代入得：，解得，抛物线的表达式为：yx2+2

7、x+3；（2）证明：正方形OBDC，OBCDBC，BDOB，BFBF，BOFBDF，BOFBDF；（3）解：抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，令y3，则3x2+2x+3，解得：x10，x22，E（2，3），如图，当M在线段BD的延长线上时，BDF为锐角，FDM为钝角，MDF为等腰三角形，DFDM，MDFM，BDFM+DFM2M，BMOC，MMOC，由（2）得BOFBDF，BDF+MOC3M90，M30，在RtBOM中，BM，MEBMBE32；如图，当M在线段BD上时，DMF为钝角，MDF为等腰三角形，MFDM，BDFMFD，BMOBDF+MFD2BDF，由（2）得BOFBDF，BMO2BO

8、M，BOM+BMO3BOM90，BOM30，在RtBOM中，BM，MEBEBM2，综上所述，ME的值为：32或25（2022山西）综合与探究如图，二次函数yx2+x+4的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m过点P作直线PDx轴于点D，作直线BC交PD于点E（1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；（2）当CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；【解答】解：（1）在yx2+x+4中，令x0得y4，令y0得x8或x2，A（2，0），B（8，0），C（0，4），设直线BC解析式为ykx+

9、4，将B（8，0）代入得：8k+40，解得k，直线BC解析式为yx+4；（2）过C作CGPD于G，如图：设P（m，m2+m+4），PDm2+m+4，CODPDOCGD90，四边形CODG是矩形，DGOC4，CGODm，PGPDDGm2+m+44m2+m，CPCE，CGPD，GEPGm2+m，GCEOBC，CGE90BOC，CGEBOC，即，解得m0（舍去）或m4，P（4，6）；6（2021攀枝花）如图，开口向上的抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，与y轴交于点C，且ACBC，其中x1，x2是方程x2+3x40的两个根（1）求点C的坐标，并求出抛物线的表达式；（2）垂直于线段BC

10、的直线l交x轴于点D，交线段BC于点E，连接CD，求CDE的面积的最大值及此时点D的坐标；（3）在（2）的结论下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使得PDE是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）由x2+3x40得x14，x21，A（4，0），B（1，0），OA4，OB1，ACBC，ACO90BCOOBC，AOCBOC90，AOCCOB，即，OC2，C（0，2），设抛物线解析式为ya（x+4）（x1），将C（0，2）代入得24a，a，抛物线解析式为y（x+4）（x1）x2+x2；（2）如图：由A（4，0），B（1，0），C（0，2）得：AB5，BC，AC2，

11、DEBC，ACBC，DEAC，ABCDBE，设D（t，0），则BD1t，DE（1t），BE（1t），SBDEDEBE（1t）2，而SBDCBDOC（1t）21t，SCDESBDCSBDE1t（1t）2t2t+（t+）2+，0，t时，SCDE最大为，此时D（，0）；（3）存在，由yx2+x2知抛物线对称轴为直线x，而D（，0），D在对称轴上，由（2）得DE1（），当DEDP时，如图：DP，P（，）或（，），当DEPE时，过E作EHx轴于H，如图：HDEEDB，DHEBED90，DHEDEB，即，HE1，DH2，E（，1），E在DP的垂直平分线上，P（，2），当PDPE时，如图：设P（，m），则m

12、2（）2+（m+1）2，解得m，P（，），综上所述，P的坐标为（，）或（，）或（，2）或（，）7（2021宿迁）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（4，0），与y轴交于点C连接AC，BC，点P在抛物线上运动（1）求抛物线的表达式；（2）如图，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作x轴的垂线交BC于点H，当PFH为等腰三角形时，求线段PH的长【解答】解：（1）A（1，0），B（4，0）是抛物线yx2+bx+c与x轴的两个交点，且二次项系数a，根据抛物线的两点式知，y（2）设PH与x轴的交点为Q1，P（a，），则H（a，），PH，若FPFH，则FPHFHPBHQ1BC

13、O，tanAPQ1tanBCO2，AQ12PQ1，即a+12（），解得a3（1舍去），此时PH若PFPH，过点F作FMy轴于点M，PFHPHF，CFAPFH，Q1HBPHF，CFAQ1HB，又ACFBQ1H90，ACFBQ1H，CFAC，在RtCMF中，MF1，CM，F（1，），AF：，将上式和抛物线解析式联立并解得x（1舍去），此时 PH若HFHP，过点C作CEAB交AP于点E（见上图），CAF+CFA90，PAQ+HPF90，CFAHFPHPF，CAFPAQ1，即 AP平分CAB，CECA，E（，2），AE：，联立抛物线解析式，解得x5（1舍去）此时 PH当FPFH时，PH； 当PFPH时

14、，PH； 当HFHP时，PH；8（2020济南）如图1，抛物线yx2+bx+c过点A（1，0），点B（3，0），与y轴交于点C在x轴上有一动点E（m，0）（0m3），过点E作直线lx轴，交抛物线于点M（1）求抛物线的解析式及C点坐标；（2）当m1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若ACD是以DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标；【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为yx2+2x+3，当x0时，y3，故点C（0，3）；（2）当m1时，点E（1，0），设点D的坐标为（1，a），由点A、C、D的坐标得，AC，同理可得：AD，CD，当CDAD时，即，解得a1

15、；当ACAD时，同理可得a（舍去负值）；故点D的坐标为（1，1）或（1，）；9（2020桂林）如图，已知抛物线ya（x+6）（x2）过点C（0，2），交x轴于点A和点B（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为D，对称轴DE交x轴于点E，连接EC（1）直接写出a的值，点A的坐标和抛物线对称轴的表达式；（2）若点M是抛物线对称轴DE上的点，当MCE是等腰三角形时，求点M的坐标；【解答】解：（1）抛物线ya（x+6）（x2）过点C（0，2），2a（0+6）（02），a，抛物线的解析式为y（x+6）（x2）（x+2）2+，抛物线的对称轴为直线x2；针对于抛物线的解析式为y（x+6）（x2），令y0，则（x

16、+6）（x2）0，x2或x6，A（6，0）；（2）如图1，由（1）知，抛物线的对称轴为x2，E（2，0），C（0，2），OCOE2，CEOC2，CED45，CME是等腰三角形，当MEMC时，ECMCED45，CME90，M（2，2），当CECM时，MM1CM2，EM14，M1（2，4），当EMCE时，EM2EM32，M2（2，2），M3（2，2），即满足条件的点M的坐标为（2，2）或（2，4）或（2，2）或（2，2）；10（2020枣庄）如图，抛物线yax2+bx+4交x轴于A（3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BCM为线段OB上的一个动点，过点M作PMx轴，交抛物线于点P

17、，交BC于点Q（1）求抛物线的表达式；（2）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为：yx2+x+4；（2）存在，理由：点A、C的坐标分别为（3，0）、（0，4），则AC5，当ACCQ时，过点Q作QEy轴于点E，连接AQ，则CQ2CE2+EQ2，即m2+4（m+4）225，解得：m（舍去负值），故点Q（，）；当ACAQ时，则AQAC5，在RtAMQ中，由勾股定理得：m（3）2+（m+4）225，解得：m1或0（舍去0），故

18、点Q（1，3）；当CQAQ时，则2m2m（3）2+（m+4）2，解得：m（舍去）；综上，点Q的坐标为（1，3）或（，）11（2019本溪）抛物线yx2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（5，0）两点，顶点为C，对称轴交x轴于点D，点P为抛物线对称轴CD上的一动点（点P不与C，D重合）过点C作直线PB的垂线交PB于点E，交x轴于点F（1）求抛物线的解析式；（2）当PCF为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标【解答】解：（1）函数的表达式为：y（x+1）（x5）x2+x+；（32）由（2）确定的点F的坐标得：CP2（2m）2，CF2（）2+4，PF2（）2+m2，当CPCF时，即：（2m）2（）2+4，解得：m0或（0舍去），当CPPF时，同理可得：m，当CFPF时，同理可得：m2（舍去2），故点P（2，）或（2，2）或（2，）或（2，）