专题06 全等三角形的性质与判定篇（解析版）.docx

1、专题06 全等三角形的判定与性质知识回顾1. 三角形的三边关系： 三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 三角形的三边一旦确定，这三角形就固定了，这是三角形具有稳定性。2. 三角形的内角和定理：三角形的三个内角之和等于180。3. 三角形的外角定理： 三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和。大于它不相邻的任意一个内角。4. 全等三角形的性质：若两个三角形全等，则他们的对应边相等；对应角相等；对应边上的中线相等，高线相等，角平分线也相等；且这两个三角形的周长和面积均相等。5. 全等三角形的判定：边边边（SSS）：三条边分别对应性相等的两个三角形全等。边角边（SAS）：两边及

2、其这两边的夹角对应相等的两个三角形全等。角边角（ASA）：两角及其这两角的夹边对应相等的两个三角形全等。角角边（AAS）：两角及其其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。直角三角形判定（HL）：直角三角形中斜边与其中任意一直角边分别对应相等的两个直角三角形全等。全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件。在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形。微专题1已知：如图，12，34求证：ABAD【分析】根据邻补角的定义得出ACBACD，利用ASA证明ACBACD，根据全等三角形的性质即可

3、得解【解答】证明：34，ACBACD，在ACB和ACD中，ACBACD（ASA），ABAD2如图，ABC是等腰三角形，点D，E分别在腰AC，AB上，且BECD，连接BD，CE求证：BDCE【分析】根据等腰三角形的性质得出EBCDCB，进而利用SAS证明EBC与DCB全等，再利用全等三角形的性质解答即可【解答】证明：ABC是等腰三角形，EBCDCB，在EBC与DCB中，EBCDCB（SAS），BDCE3如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，ABAE，ACAD，BADEAC，C50，求D的大小【分析】由BADEAC可得BACEAD，根据SAS可证BACEAD，再根据全等三角形的性

4、质即可求解【解答】解：BADEAC，BAD+CADEAC+CAD，即BACEAD，在BAC与EAD中，BACEAD（SAS），DC504如图，AC平分BAD，CBAB，CDAD，垂足分别为B，D（1）求证：ABCADC；（2）若AB4，CD3，求四边形ABCD的面积【分析】（1）由AC平分BAD，得BACDAC，根据CBAB，CDAD，得B90D，用AAS可得ABCADC；（2）由（1）ABCADC，得BCCD3，SABCSADC，求出SABCABBC6，即可得四边形ABCD的面积是12【解答】（1）证明：AC平分BAD，BACDAC，CBAB，CDAD，B90D，在ABC和ADC中，ABCA

5、DC（AAS）；（2）解：由（1）知：ABCADC，BCCD3，SABCSADC，SABCABBC436，SADC6，S四边形ABCDSABC+SADC12，答：四边形ABCD的面积是125如图，在ABC中，点D在边BC上，CDAB，DEAB，DCEA求证：DEBC【分析】利用平行线的性质得EDCB，再利用ASA证明CDEABC，可得结论【解答】证明：DEAB，EDCB，在CDE和ABC中，CDEABC（ASA），DEBC6如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CNAM，连接MN交AC于点P，MHAC于点H（1）求证：MPNP；（2）若ABa，求线段PH的长（结

6、果用含a的代数式表示）【分析】（1）过点M作MQBC，交AC于点Q，根据等边三角形的性质以及平行线的性质可得AMQAQMA60，可得AMQ是等边三角形，易证QMPCNP（AAS），即可得证；（2）根据等边三角形的性质可知AHHQ，根据全等三角形的性质可知QPPC，即可表示出HP的长【解答】（1）证明：过点M作MQBC，交AC于点Q，如图所示：在等边ABC中，ABACB60，MQBC，AMQB60，AQMACB60，QMPN，AMQ是等边三角形，AMQM，AMCN，QMCN，在QMP和CNP中，QMPCNP（AAS），MPNP；（2）解：AMQ是等边三角形，且MHAC，AHHQ，QMPCNP，Q

7、PCP，PHHQ+QPAC，ABa，ABAC，PHa7如图，点A，D，C，F在同一条直线上，ABDE，BCEF有下列三个条件：ACDF，ABCDEF，ACBDFE（1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得ABCDEF你选取的条件为（填写序号） （只需选一个条件，多选不得分），你判定ABCDEF的依据是 （填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；（2）利用（1）的结论ABCDEF求证：ABDE【分析】（1）根据SSS即可证明ABCDEF，即可解决问题；（2）根据全等三角形的性质可得AEDF，再根据平行线的判定即可解决问题【解答】（1）解：在ABC和DEF中，ABCDEF（SSS），在

8、上述三个条件中选取一个条件，使得ABCDEF，选取的条件为，判定ABCDEF的依据是SSS故答案为：，SSS；（答案不唯一）（2）证明：ABCDEFAEDF，ABDE8在ABC中，ACB90，D为ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CEDC（1）如图1，延长BC到点F，使得CFBC，连接AF，EF若AFEF，求证：BDAF；（2）连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2若AB2AE2+BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明【分析】（1）证明BCDFCE（SAS），由全等三角形的性质得出DBCEFC，证出BDEF，则可得出结论；（2）由题意画出图形，延长

9、BC到F，使CFBC，连接AF，EF，由（1）可知BDEF，BDEF，证出AEF90，得出DHE90，由直角三角形的性质可得出结论【解答】（1）证明：在BCD和FCE中，BCDFCE（SAS），DBCEFC，BDEF，AFEF，BDAF；（2）解：由题意补全图形如下：CDCH证明：延长BC到F，使CFBC，连接AF，EF，ACBF，BCCF，ABAF，由（1）可知BDEF，BDEF，AB2AE2+BD2，AF2AE2+EF2，AEF90，AEEF，BDAE，DHE90，又CDCE，CHCDCE9如图，在ABC和ADE中，ABAC，ADAE，BACDAE90，且点D在线段BC上，连CE（1）求证

10、：ABDACE；（2）若EAC60，求CED的度数【分析】（1）可利用SAS证明结论；（2）由全等三角形的性质可得ACEABD，利用等腰直角三角形的性质可求得ACEABDAED45，再根据三角形的内角和定理可求解AEC的度数，进而可求可求解【解答】（1）证明：BACDAE90，BACCADDAECAD，即BADCAE，在ABD和ACE中，ABDACE（SAS）；（2）解：ABDACE，ACEABD，ABC和ADE都是等腰直角三角形，ACEABDAED45，EAC60，AEC180ACEEAC180456075，CEDAECAED75453010如图，在ABC中（ABBC），过点C作CDAB，在

11、CD上截取CDCB，CB上截取CEAB，连接DE、DB（1）求证：ABCECD；（2）若A90，AB3，BD2，求BCD的面积【分析】（1）由CDAB得ABCECD，而CDCB，CEAB，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明ABCECD；（2）由A90，根据全等三角形的对应角相等证明BEDCEDA90，设BEx，由BD2BE2CD2EC2DE2，列方程（2）2x2（3+x）232，解方程求得符合题意的x的值为2，则BC5，再根据勾股定理求出DE的长，即可求出BCD的面积【解答】（1）证明：CDAB，CDCB，CEAB，ABCECD，在ABC和ECD中，ABCECD（SAS）（2）解：A9

12、0，CEDA90，BED180CED90，设BEx，ECAB3，BD2，CDBC3+x，BD2BE2CD2EC2DE2，（2）2x2（3+x）232，整理得x2+3x100，解得x12，x25（不符合题意，舍去），BE2，BC3+25，DE4，SBCDBCDE5410，BCD的面积为1011如图，在RtABC中，BAC90，ABAC1，D是BC边上的一点，以AD为直角边作等腰RtADE，其中DAE90，连接CE（1）求证：ABDACE；（2）若BAD22.5时，求BD的长【分析】（1）由“SAS”可证ABDACE；（2）由等腰三角形三角形的性质可得BC的长，由角度关系可求ADC67.5CAD，

13、可得ACCD1，即可求解【解答】（1）证明：BAC90DAE，BADCAE，在ABD和ACE中，ABDACE（SAS）；（2）解：BAC90，ABAC1，BC，BACB45，BAD22.5，ADC67.5CAD，ACCD1，BD112如图，已知矩形ABCD中，AB8，BCx（0x8），将ACB沿AC对折到ACE的位置，AE和CD交于点F（1）求证：CEFADF；（2）求tanDAF的值（用含x的式子表示）【分析】（1）根据矩形的性质得到BD90，BCAD，根据折叠的性质得到BCCE，EB90，等量代换得到ED90，ADCE，根据AAS证明三角形全等即可；（2）设DFa，则CF8a，根据矩形的性

14、质和折叠的性质证明AFCF8a，在RtADF中，根据勾股定理表示出DF的长，根据正切的定义即可得出答案【解答】（1）证明：四边形ABCD是矩形，BD90，BCAD，根据折叠的性质得：BCCE，EB90，ED90，ADCE，在CEF与ADF中，CEFADF（AAS）；（2）解：设DFa，则CF8a，四边形ABCD是矩形，ABCD，ADBCx，DCABAC，根据折叠的性质得：EACBAC，DCAEAC，AFCF8a，在RtADF中，AD2+DF2AF2，x2+a2（8a）2，a，tanDAF13如图，ABC和DEF，点E，F在直线BC上，ABDF，AD，BF如图，易证：BC+BEBF请解答下列问题

15、：（1）如图，如图，请猜想BC，BE，BF之间的数量关系，并直接写出猜想结论；（2）请选择（1）中任意一种结论进行证明；（3）若AB6，CE2，F60，SABC12，则BC ，BF 【分析】（1）根据图形分别得出答案；（2）利用AAS证明ABCDFE，得BCEF，再根据图形可得结论；（3）首先利用含30角的直角三角形的性质求出BH和AH的长，从而得出BC，再对点E的位置进行分类即可【解答】解：（1）图：BC+BEBF，图：BEBCBF；（2）图：ABDF，AD，BF，ABCDFE（ASA），BCEF，BEBC+CE，BC+BEEF+BC+CEBF；图：ABDF，AD，BF，ABCDFE（ASA

16、），BCEF，BEBF+EF，BEBCBF+EFBCBF+BCBCBF；（3）当点E在BC上时，如图，作AHBC于H，BF60，BAH30，BH3，AH3，SABC12，12，BC8，CE2，BFBE+EF82+814；同理，当点E在BC延长线上时，如图，BFBC+BE8+1018，故答案为：8，14或1814ABC和ADE都是等边三角形（1）将ADE绕点A旋转到图的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有PA+PBPC（或PA+PCPB）成立（不需证明）；（2）将ADE绕点A旋转到图的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系

17、？并加以证明；（3）将ADE绕点A旋转到图的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明【分析】（2）证明ABDACE（SAS）和BAFCAP（SAS），得AFAP，BAFCAP，再证明AFP是等边三角形，最后由线段的和可得结论；（3）如图，在PC上截取CMPB，连接AM，同理可得结论【解答】解：（2）PBPA+PC，理由如下：如图，在BP上截取BFPC，连接AF，ABC、ADE都是等边三角形，ABAC，ADAE，BACDAE60，BAC+CADCAD+DAE，即DABEAC，ABDACE（SAS），ABDACE，ABAC，

18、BFCP，BAFCAP（SAS），AFAP，BAFCAP，BACPAF60，AFP是等边三角形，PFPA，PBBF+PFPC+PA；（3）PCPA+PB，理由如下：如图，在PC上截取CMPB，连接AM，同理得：ABDACE（SAS），ABDACE，ABAC，PBCM，AMCAPB（SAS），AMAP，BAPCAM，BACPAM60，AMP是等边三角形，PMPA，PCPM+CMPA+PB15【情境再现】甲、乙两个含45角的直角三角尺如图放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图位置小莹用作图软件Geogebra按图作出示意图，并连接AG，BH，如图所示，AB交H

19、O于E，AC交OG于F，通过证明OBEOAF，可得OEOF请你证明：AGBH【迁移应用】延长GA分别交HO，HB所在直线于点P，D，如图，猜想并证明DG与BH的位置关系【拓展延伸】小亮将图中的甲、乙换成含30角的直角三角尺如图，按图作出示意图，并连接HB，AG，如图所示，其他条件不变，请你猜想并证明AG与BH的数量关系【分析】【情境再现】由OBEOAF，得BEAF，OEOF，BEOAFO，可证明BHEAGF（SAS），得BHAG；【迁移应用】由BHEAGF，得BHEAGF，可得AGF+GPO90，从而BHE+HPD90，HDP90，故DGBH；【拓展延伸】设AB交OH于T，OG交AC于K，根据

20、ABC，HOG是含30角的直角三角形，AOBC，可得OBAO，OBAOAC30，BOT90AOTAOK，即得BOTAOK，有，BTOAKO，又OHGO，可得，故BTHAKG，即得，BHAG【解答】【情境再现】证明：由阅读材料知OBEOAF，BEAF，OEOF，BEOAFO，BEHAFG，OHOG，OHOEOGOF，即EHGF，在BHE和AGF中，BHEAGF（SAS），BHAG；【迁移应用】解：猜想：DGBH；证明如下：由【情境再现】知：BHEAGF，BHEAGF，HOG90，AGF+GPO90，BHE+GPO90，GPOHPD，BHE+HPD90，HDP90，DGBH；【拓展延伸】解：猜想：BHAG，证明如下：设AB交OH于T，OG交AC于K，如图：由已知得：ABC，HOG是含30角的直角三角形，AOBC，AOB90，OBAO，OBAOAC30，BOT90AOTAOK，BOTAOK，BTOAKO，OTOK，BTAK，BTHAKG，OHGO，HTOHOTGOOK（GOOK）KG，BTHAKG，BHAG