专题06 半角模型综合应用（知识解读）-备战2023年中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）.docx

1、专题06 半角模型综合应用（知识解读）【专题说明】角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法。【方法技巧】类型一：等腰直角三角形角含半角模型（1）如图，在ABC中，AB=AC，BAC=90，点D，E在BC上，且DAE=45，则：BD+CE=DE. 旋转法 翻折法 作法1：将ABD旋转90 作法2：分别翻折ABD,ACE（2）如图，在ABC中，AB=AC，BAC=90，点D在BC上，点E在BC延长线上，且DAE=45，则：BD+CE=DE.（3）如

2、图，将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时，亦可以进行两种方法的操作处理.任意等腰三角形类型二：正方形中角含半角模型（1）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，EAF=45，连接EF，过点A作AG于EF于点G，则：EF=BE+DF，AG=AD. 图示（1） 作法：将ABE绕点A逆时针旋转90（2）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CB，DC的延长线上，EAF=45，连接EF，则：EF=DF-BE. 图示（2） 作法：将ABE绕点A逆时针旋转90（3）如图，将正方形变成一组邻边相等，对角互补的四边形，在四方形ABCD中，AB=AD，BAD+C=180，点E，F分别在边BC

3、，CD上，EAF=BAD，连接EF，则：EF=BE+DF.图示（3） 作法：将ABE绕点A逆时针旋转BAD的大小类型三：等边三角形中120含60的半角模型 作辅助线：延长FC到G，使得CG=BE，连接DG结论：DEFDGF；EF=BE+CF【典例分析】【类型一：等腰直角三角形角含半角模型】【典例1】如图，四边形ABCD中，ABCD90，BCCD，若将ABC绕着点C逆时针旋转90得EDC（1）求证：ADC+CDE180；（2）若AB3cm，AC，求AD的长；（3）在（2）的条件下，求四边形ABCD的周长和面积【变式1-1】如图，RtABC中，BAC90，ABAC，D、E为BC边上两点，DAE45

4、，过A点作AFAE，且AFAE，连接DF、BF下列结论：ABFACE，AD平分EDF；若BD4，CE3，则AB6；若ABBE，SABD，其中正确的个数有（）A1个B2个C3个D4个【变式1-2】如图，等腰直角三角形ABC中，BAC90，ABAC，点M，N在边BC上，且MAN45若BM1，CN3，则MN的长为 【类型二：正方形中角含半角模型】【典例2】（2022春西山区校级月考）如图，已知正方形ABCD，点E、F分别是AB、BC边上，且EDF45，将DAE绕点D逆时针旋转90，得到DCM（1）求证：EDFMDF；（2）若正方形ABCD的边长为5，AE2时，求EF的长？【变式2-1】（2022春路

5、北区期末）如图，在边长为6的正方形ABCD内作EAF45，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将ADF绕点A顺时针旋转90得到ABG（1）求证：GEFE；（2）若DF3，求BE的长为 【变式2-2】（2021秋山西期末）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：从正方形的一个顶点引出夹角为45的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型半角模型可证出多个几何结论，例如：如图1，在正方形ABCD中，以A为顶点的EAF45，AE、AF与BC、CD边分别交于E、F两点易证得EFBE+FD大致证明思路：如图2，将ADF绕点A顺时针旋转90，得到ABH，由HBE1

6、80可得H、B、E三点共线，HAEEAF45，进而可证明AEHAEF，故EFBE+DF任务：如图3，在四边形ABCD中，ABAD，BD90，BAD120，以A为顶点的EAF60，AE、AF与BC、CD边分别交于E、F两点请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论EFBE+DF是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由【典例3】已知正方形ABCD中，MAN45，MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N，AHMN于点H（1）如图，当MAN绕点A旋转到BMDN时，请你直接写出AH与AB的数量关系： ；（2）如图，当MAN绕点A旋转到BMDN时，（1）中

7、发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图，已知MAN45，AHMN于点H，且MH2，AH6，求NH的长（可利用（2）得到的结论）【变式3-1】探究：（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且EAF45，试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果： ；（2）如图2，若把（1）问中的条件变为“在四边形ABCD中，ABAD，B+D180，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAFBAD”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（3）在（2）问中，若将AEF绕点A逆时针旋转，当点分

8、别E、F运动到BC、CD延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明【变式3-2】已知：如图边长为2的正方形ABCD中，MAN的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且MAN45求证：MNBM+DN；若AM、AN交对角线BD于E、F两点设BFy，DEx，求y与x的函数关系式【类型三：等边三角形中120含60的半角模型】【典例4】已知在ABC中，ABAC，D，E是BC边上的点，将ABD绕点A旋转，得到ACD，连接DE（）如图1，当BAC120，DAE60时，求证：DEDE；（）如图2，当DEDE时，请写出DAE与BAC的数量关系，并说明理由（）

9、当BAC90，DEDE，ECCD时，请直接写出BD与DE的数量关系（不必说明理由）【变式4-1】（2017秋锦江区期末）在ABC中，ABAC，点E，F是边BC所在直线上与点B，C不重合的两点（1）如图1，当BAC90，EAF45时，直接写出线段BE，CF，EF的数量关系；（不必证明）（2）如图2，当BAC60，EAF30时，已知BE3，CF5，求线段EF的长度；（3）如图3，当BAC90，EAF135时，请探究线段CE，BF，EF的数量关系，并证明【变式4-2】等边ABC，D为ABC外一点，BDC120，BDDC，MDN60，射线DM与直线AB相交于点M，射线DN与直线AC相交于点N，当点M、

10、N在边AB、AC上，且DMDN时，直接写出BM、NC、MN之间的数量关系当点M、N在边AB、AC上，且DMDN时，猜想中的结论还成立吗？若成立，请证明当点M、N在边AB、CA的延长线上时，请画出图形，并写出BM、NC、MN之间的数量关系专题06 半角模型（知识解读）【专题说明】角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法。【方法技巧】类型一：等腰直角三角形角含半角模型（1）如图，在ABC中，AB=AC，BAC=90，点D，E在BC上，且DAE=45

11、，则：BD+CE=DE. 旋转法 翻折法 作法1：将ABD旋转90 作法2：分别翻折ABD,ACE（2）如图，在ABC中，AB=AC，BAC=90，点D在BC上，点E在BC延长线上，且DAE=45，则：BD+CE=DE.（3）如图，将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时，亦可以进行两种方法的操作处理.任意等腰三角形类型二：正方形中角含半角模型（1）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，EAF=45，连接EF，过点A作AG于EF于点G，则：EF=BE+DF，AG=AD. 图示（1） 作法：将ABE绕点A逆时针旋转90（2）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CB，DC的延长

12、线上，EAF=45，连接EF，则：EF=DF-BE. 图示（2） 作法：将ABE绕点A逆时针旋转90（3）如图，将正方形变成一组邻边相等，对角互补的四边形，在四方形ABCD中，AB=AD，BAD+C=180，点E，F分别在边BC，CD上，EAF=BAD，连接EF，则：EF=BE+DF.图示（3） 作法：将ABE绕点A逆时针旋转BAD的大小类型三：等边三角形中120含60的半角模型 作辅助线：延长FC到G，使得CG=BE，连接DG结论：DEFDGF；EF=BE+CF【典例分析】【类型一：等腰直角三角形角含半角模型】【典例1】如图，四边形ABCD中，ABCD90，BCCD，若将ABC绕着点C逆时针

13、旋转90得EDC（1）求证：ADC+CDE180；（2）若AB3cm，AC，求AD的长；（3）在（2）的条件下，求四边形ABCD的周长和面积【解答】（1）证明：如图，在四边形ABCD中，ABCD90，则B+ADC180将ABC绕着点C逆时针旋转90得EDC，ABCEDC，CDECBA，ADC+CDE180；（2）解：将ABC绕着点C逆时针旋转90得EDC，ACEC，ABED3cm，ACE90，AEAC8cm，ADAEECAEAB5cm；（3）解：如图，连接BD由（2）知，AD5cm则在直角ABD中，由勾股定理得到：BD又BCCD，BCD90，BCCD，四边形ABCD的周长为：AB+AD+2BC

14、3+5+28+2；ABCEDC，四边形ABCD的面积ACE的面积ACCE4416（cm2）综上所述，四边形ABCD的周长为（8+2）cm，面积为16cm2【变式1-1】如图，RtABC中，BAC90，ABAC，D、E为BC边上两点，DAE45，过A点作AFAE，且AFAE，连接DF、BF下列结论：ABFACE，AD平分EDF；若BD4，CE3，则AB6；若ABBE，SABD，其中正确的个数有（）A1个B2个C3个D4个【答案】C【解答】解：AFAE，FAE90，BAC90，FAEBAEBACBAE，FABEAC，ABAC，AFAE，ABFACE（SAS），故正确；DAE45，FAE90，FAD

15、FAEDAE45，FADDAE，ADAD，AFAE，FADEAD（SAS），FDAEDA，AD平分EDF，故正确；在RtABC中，BAC90，ABAC，ABCC45，BCAB，ABFACE，ABFC45，BFCE3，FBDABF+ABD90，DF5，FADEAD，FDED5，BCBD+DE+CE4+5+312，AB6，故正确；ABBE，ABE45，BAEBEA67.5，DAE45，ADE180DAEAED67.5，ADBAEC，ABAC，ABEC45，ABDACE（AAS），BDCE，BFCE，BDBF，FBD90，DFBD，DEBD，SADESABD，故错误；综上所述，正确的个数有3个，故选

16、：C【变式1-2】如图，等腰直角三角形ABC中，BAC90，ABAC，点M，N在边BC上，且MAN45若BM1，CN3，则MN的长为 【解答】解：将AMB逆时针旋转90到ACF，连接NF，CFBM，AFAM，BACF23，ABC是等腰直角三角形，ABAC，BAC90，BACB45，MAN45，NAF1+31+2904545NAF，在MAN和FAN中MANFAN，MNNF，ACFB45，ACB45，FCN90，CFBM1，CN3，在RtCFN中，由勾股定理得：MNNF，故答案为：【类型二：正方形中角含半角模型】【典例2】（2022春西山区校级月考）如图，已知正方形ABCD，点E、F分别是AB、B

17、C边上，且EDF45，将DAE绕点D逆时针旋转90，得到DCM（1）求证：EDFMDF；（2）若正方形ABCD的边长为5，AE2时，求EF的长？【解答】（1）证明：四边形ABCD是正方形，ABDCF90，ADABBC5，由旋转得：ADCM90，DEDM，EDM90，DCF+DCM180，F、C、M三点在同一条直线上，EDF45，FDMEDMEDC45，EDFFDM，DFDF，EDFMDF（SAS）；（2）设CFx，BFBCCF5x，由旋转得：AECM2，BEABAE3，FMCF+CM2+x，EDFMDF，EFFM2+x，在RtEBF中，BE2+BF2EF2，9+（5x）2（2+x）2，x，EF

18、2+x，EF的长为【变式2-1】（2022春路北区期末）如图，在边长为6的正方形ABCD内作EAF45，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将ADF绕点A顺时针旋转90得到ABG（1）求证：GEFE；（2）若DF3，求BE的长为 【解答】（1）证明：将ADF绕点A顺时针旋转90得到ABG，ADFABG，DFBG，DAFBAG，DAB90，EAF45，DAF+EAB45，BAG+EAB45，EAFEAG，在EAG和EAF中，EAGEAF（SAS），GEFE，（2）解：设BEx，则GEBG+BE3+x，CE6x，EF3+x，CD6，DF3，CF3，C90，（6x）2+32（3+x）2，解

19、得，x2，即BE2，【变式2-2】（2021秋山西期末）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：从正方形的一个顶点引出夹角为45的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型半角模型可证出多个几何结论，例如：如图1，在正方形ABCD中，以A为顶点的EAF45，AE、AF与BC、CD边分别交于E、F两点易证得EFBE+FD大致证明思路：如图2，将ADF绕点A顺时针旋转90，得到ABH，由HBE180可得H、B、E三点共线，HAEEAF45，进而可证明AEHAEF，故EFBE+DF任务：如图3，在四边形ABCD中，ABAD，BD90，BAD120，以A为顶点的EAF6

20、0，AE、AF与BC、CD边分别交于E、F两点请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论EFBE+DF是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由【解答】解：成立证明：将ADF绕点A顺时针旋转120得到ABM，ABMADF，ABMD90，MABFAD，AMAF，MBDF，MBEABM+ABE180，M、B、E三点共线，MAEMAB+BAEFAD+BAEBADEAF60，MAEFAE，AEAE，AMAF，MAEFAE（SAS），MEEF，EFMEMB+BEDF+BE【典例3】已知正方形ABCD中，MAN45，MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N，

21、AHMN于点H（1）如图，当MAN绕点A旋转到BMDN时，请你直接写出AH与AB的数量关系： ；（2）如图，当MAN绕点A旋转到BMDN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图，已知MAN45，AHMN于点H，且MH2，AH6，求NH的长（可利用（2）得到的结论）【解答】解：（1）正方形ABCD，ABAD，BDBAD90，在RtABM和RtADN中，RtABMRtADN（SAS），BAMDAN，AMAN，MAN45，BAM+DAN45，BAMDAN22.5，MAN45，AMAN，AHMNMAHNAH22.5，BAMMAH，在RtABM和R

22、tAHM中，RtABMRtAHM（AAS），ABAH，故答案为：ABAH；（2）ABAH成立，理由如下：延长CB至E，使BEDN，如图：四边形ABCD是正方形，ABAD，DABE90，RtAEBRtAND（SAS），AEAN，EABNAD，DAN+BAM45，EAB+BAM45，EAM45，EAMNAM45，又AMAM，AEMANM（SAS），AB，AH是AEM和ANM对应边上的高，ABAH（3）分别沿AM，AN翻折AMH和ANH，得到ABM和AND，分别延长BM和DN交于点C，如图：沿AM，AN翻折AMH和ANH，得到ABM和AND，ABAHAD6，BAD2MAN90，BAHM90AHND，

23、四边形ABCD是正方形，AHABBCCDAD6由（2）可知，设NHx，则MCBCBMBCHM4，NCCDDNCDNH6x，在RtMCN中，由勾股定理，得MN2MC2+NC2，（2+x）242+（6x）2，解得x3，NH3【变式3-1】探究：（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且EAF45，试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果： ；（2）如图2，若把（1）问中的条件变为“在四边形ABCD中，ABAD，B+D180，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAFBAD”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（3）

24、在（2）问中，若将AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明【解答】解：（1）如图1，将ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到ABF，EAF45，EAFEAF45，在AEF和AEF中，AEFAEF（SAS），EFEF，又EFBE+BFBE+DF，EFBE+DF；（2）结论EFBE+DF仍然成立理由如下：如图2，将ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到ABF，则ADFABF，BAFDAF，AFAF，BFDF，ABFD，又EAFBAD，EAFDAF+BAEBAE+BAF，E

25、AFEAF，又ABC+D180，ABF+ABE180，F、B、E三点共线，在AEF与AEF中，AEFAEF（SAS），EFEF，又EFBE+BF，EFBE+DF；（3）发生变化EF、BE、DF之间的关系是EFBEDF理由如下：如图3，将ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，点F落在BC上点F处，得到ABF，ADFABF，BAFDAF，AFAF，BFDF，又EAFBAD，且BAFDAF，FAEBAD（BAF+EAD）BAD（DAF+EAD）BADFAEFAE，即FAEFAE，在FAE与FAE中，FAEFAE（SAS），EFEF，又BEBF+EF，EFBEBF，即EFBEDF【变式3-2】已知

26、：如图边长为2的正方形ABCD中，MAN的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且MAN45求证：MNBM+DN；若AM、AN交对角线BD于E、F两点设BFy，DEx，求y与x的函数关系式【解答】（1）证明：将ABM绕点A逆时针旋转90至ADM，MANDAN+MAB45，AMAM，BMDM，MANMAN45，ANAN，AMNAMN，MNNM，MNMD+DNBM+DN，MNBM+DN（2）解：AED45+BAE，FAB45+BAE，AEDFAB，ABFADE，BFADAE，y【类型三：等边三角形中120含60的半角模型】【典例4】已知在ABC中，ABAC，D，E是BC边上的点，将ABD绕点A旋转，

27、得到ACD，连接DE（）如图1，当BAC120，DAE60时，求证：DEDE；（）如图2，当DEDE时，请写出DAE与BAC的数量关系，并说明理由（）当BAC90，DEDE，ECCD时，请直接写出BD与DE的数量关系（不必说明理由）【解答】（I）证明：将ABD绕点A旋转，得到ACD，ADAD，CADBAD，BAC120，DAE60，DAECAD+CAEBAD+CAEBACDAE1206060，DAEDAE，在ADE与ADE中，ADEADE（SAS），DEDE；（）解：DAE，理由如下：在ADE与ADE中，ADEADE（SSS），DAEDAE，BAD+CAECAD+CAEDAEDAE，DAE；（

28、）解：DEBD，理由如下：BAC90，ABAC，BACD45，ECD90，ECCD，ECD是等腰直角三角形，DECDBD，DEDE，DEBD【变式4-1】（2017秋锦江区期末）在ABC中，ABAC，点E，F是边BC所在直线上与点B，C不重合的两点（1）如图1，当BAC90，EAF45时，直接写出线段BE，CF，EF的数量关系；（不必证明）（2）如图2，当BAC60，EAF30时，已知BE3，CF5，求线段EF的长度；（3）如图3，当BAC90，EAF135时，请探究线段CE，BF，EF的数量关系，并证明【解答】解：（1）结论：EF2BE2+CF2理由：BAC90，ABAC，将ABE绕点A逆时

29、针旋转90得ACG，连接FG，如图1中，AGAE，CGBE，ACGB，EAG90，FCGACB+ACGACB+B90，FG2FC2+CG2BE2+FC2；又EAF45，而EAG90，GAF904545，EAFGAF，AFAF，AEAG，AEFAGF（SAS），EFFG，EF2BE2+CF2（2）如图2中，BAC60，ABAC，将ABE绕点A逆时针旋转60得ACG，连接FG，作GHBC交BC的延长线于HBAC60，EAF30，BAE+CAFCAG+CAFFAG30，EAFFAG，AFAF，AEAG，AEFAGF（SAS），EFFG，在RtCGH中，CGBE3，GCH60，CGH30，CHCG，G

30、HCH，在RtFGH中，FG7，EFFG7（3）结论：EF2EC2+BF2理由：如图3中，将AEC绕点A顺时针旋转90，得到ABG，连接FGABAC，BAC90，ABCACB45，ACEABG，CAEBAG，ECBG，ACEABG45，CABEAG90，GBF90，FAG360EAFEAG36013590135，FAEFAG，FAFA，AGAE，FAEFAG（SAS），EFFG，在RtFBG中，FBG90，FG2BG2+BF2，FGEF，BGEC，EF2EC2+BF2【变式4-2】等边ABC，D为ABC外一点，BDC120，BDDC，MDN60，射线DM与直线AB相交于点M，射线DN与直线AC

31、相交于点N，当点M、N在边AB、AC上，且DMDN时，直接写出BM、NC、MN之间的数量关系当点M、N在边AB、AC上，且DMDN时，猜想中的结论还成立吗？若成立，请证明当点M、N在边AB、CA的延长线上时，请画出图形，并写出BM、NC、MN之间的数量关系【解答】解BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NCMN猜想：结论仍然成立证明：在CN的反向延长线上截取CM1BM，连接DM1MBDM1CD90，BDCD，DBMDCM1，DMDM1，MBDM1CD，M1CBM，MDN60，BDC120，M1DNMDN60，MDNM1DN，MNM1NM1C+NCBM+NC，证明：在CN上截取CM1BM，连接DM1可证DBMDCM1，DMDM1，可证M1DNMDN60，MDNM1DN，MNM1N，NCBMMN