专题06 向量专题（新定义）（原卷版）.docx

1、专题06 向量专题（新定义）一、单选题1（2023全国高三专题练习） 定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的令，下面说法错误的是（）A若与共线，则BC对任意的,D2（2022春湖南邵阳高一统考期中）定义.若向量，向量为单位向量，则的取值范围是（）ABCD3（2021春云南昆明高一云南师大附中校考期中）平面内任意给定一点和两个不共线的向量，由平面向量基本定理，平面内任何一个向量都可以唯一表示成，的线性组合，则把有序数组称为在仿射坐标系下的坐标，记为，在仿射坐标系 下，为非零向量，且，则下列结论中（） 若，则若，则一定成立的结论个数是（）A1B2C3D44（2022高一单元测试）若对于一些横

2、纵坐标均为整数的向量，它们的模相同，但坐标不同，则称这些向量为“等模整向量”，例如向量，即为“等模整向量”，那么模为的“等模整向量”有（）A4个B6个C8个D12个5（2017四川广元统考三模）对于个向量，若存在个不全为0的示数，使得：成立；则称向量是线性相关的，按此规定，能使向量，线性相关的实数，则的值为（）AB0C1D26（2022秋内蒙古鄂尔多斯高三统考期中）对任意两个非零的平面向量，定义，若平面向量满足，的夹角，且和都在集合中，则=（）AB1CD7（2023全国高三专题练习）互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标

3、系”如图，在斜坐标系中，过点P作两坐标轴的平行线，其在x轴和y轴上的截距a，b分别作为点P的x坐标和y坐标，记，则在x轴正方向和y轴正方向的夹角为的斜坐标系中，下列选项错误的是（）A当时与距离为B点关于原点的对称点为C向量与平行的充要条件是D点到直线的距离为8（2022春黑龙江大庆高三大庆实验中学校考阶段练习）如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为斜坐标系，若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为在的斜坐标系中，则下列结论中，错误的是（）；在上的投影为ABCD9（2021春上海浦东新高一华师大二附中校考阶段练习）如图，定义、

4、的向量积，为当、的起点相同时，由的方向逆时针旋转到与方向相同时，旋转过的最小角，对于，的向量积有如下的五个结论：；其中正确结论的个数为（）A1个B2个C3个D4个10（2022春山西朔州高一校考阶段练习）定义为两个向量，间的“距离”，若向量，满足下列条件：()；()；()对于任意的，恒有，现给出下面结论的编号，.则以上正确的编号为（）ABCD11（2018湖南统考一模）在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”，类似的，我们这平面向量集合上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”定义如下：对于任意两个向量，当且仅当“”或“且”，按上述定义的关系“”，给出下列四个命题：若，则；若

5、，则；若，则对于任意的，；对于任意的向量，其中，若，则其中正确的命题的个数为()A4B3C2D112（2017秋河南郑州高三郑州一中阶段练习）若非零向量的夹角为锐角，且，则称被“同余”.已知被“同余”，则在上的投影是（）ABCD13（2022春陕西榆林高一榆林市第一中学校考期中）设定义一种向量积：已知， ，点 在的图象上运动，点Q在的图象上运动，且满足 (其中O为坐标原点)，则的最大值A及最小正周期T分别为()A2，B2,4C，4D，14（2023河北衡水高三河北衡水中学校考阶段练习）设向量与的夹角为，定义.已知向量为单位向量，则（）ABCD15（2022春浙江金华高一浙江金华第一中学校考期中

6、）记，设，为平面内的非零向量，则（）ABCD16（2021全国高三专题练习）对于向量，把能够使得取到最小值的点称为的“平衡点”.如图，矩形的两条对角线相交于点，延长至，使得，联结，分别交于两点.下列的结论中，正确的是（）A的“平衡点”为.B的“平衡点”为的中点.C的“平衡点”存在且唯一.D的“平衡点”必为二、多选题17（2022春浙江高一期中）如图所示，在平面上取定一点O和两个以点O为起点的不共线向量，称为平面上的一个仿射坐标系，记作，向量与有序数组之间建立了一一对应关系，有序数组称为在伤射坐标系下的坐标，记作已知，是夹角为的单位向量，则下列结论中正确的有（）ABCD在方向上的投影向量为18（

7、2022春河南高一校联考阶段练习）对任意两个非零向量，定义新运算：.已知非零向量满足且向量的夹角，若和都是整数，则的值可能是（）A2BC3D419（2023全国高三专题练习）已知向量，是平面内的一组基向量，O为内的定点，对于内任意一点P，当时，则称有序实数对为点P的广义坐标若点A，B的广义坐标分别为，关于下列命题正确的是（）A线段A，B的中点的广义坐标为BA，B两点间的距离为C若向量平行于向量，则D若向量垂直于向量，则20（2022江苏南京统考模拟预测）设是大于零的实数，向量，其中，定义向量，记，则（）ABCD21（2022浙江温州高一永嘉中学统考竞赛）设、是平面上任意三点，定义向量的运算：，

8、其中由向量以点为旋转中心逆时针旋转直角得到（若为零向量，规定也是零向量）.对平面向量、，下列说法正确的是（）AB对任意，C若、为不共线向量，满足，则，D22（2023春湖北武汉高一华中师大一附中校考阶段练习）对任意两个非零的平面向量和，定义，若平面向量满足与的夹角，且和都在集合中给出以下命题，其中一定正确的是（）A若时，则B若时，则C若时，则的取值个数最多为7D若时，则的取值个数最多为23（2023全国高三专题练习）定义平面向量的一种运算“”如下：对任意的两个向量，令，下面说法一定正确的是（）A对任意的，有B存在唯一确定的向量使得对于任意向量，都有成立C若与垂直，则与共线D若与共线，则与的模相

9、等三、填空题24（2023春江苏泰州高一靖江高级中学校考阶段练习）设向量与的夹角为，定义与的“向量积”，是一个向量，它的模等于，若，则_25（2018春安徽芜湖高一芜湖一中校考阶段练习）在平面斜坐标系中，平面上任一点关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若（其中，分别为，轴方向相同的单位向量），则的坐标为，若关于斜坐标系的坐标为，则_26（2019春安徽芜湖高一校联考期中）定义，若，则与方向相反的单位向量的坐标为_27（2022秋湖南长沙高三校考阶段练习）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量如图所示，顶角的等腰三角形PQR的顶点P、Q的坐标分别为、，则顶点R的坐标为_28（20

10、22春北京海淀高一校考期中）设平面中所有向量组成集合，为中的一个单位向量，定义.则下列结论中正确的有_（只需填写序号）.若，则；若，则；若，则有唯一解.29（2022春江苏南通高一海安市曲塘中学校考期中）小顾同学在用向量法研究解三角形面积问题时有如下研究成果：若，则.试用上述成果解决问题：已知，则_.30（2022春上海宝山高一上海交大附中校考阶段练习）关于任意平面向量可实施以下6种变换，包括2种v变换和4种w变换：模变为原来的倍，同时逆时针旋转90；：模变为原来的倍，同时顺时针旋转90；：模变为原来的倍，同时逆时针旋转45；：模变为原来的倍，同时顺时针旋转45；：模变为原来的倍，同时逆时针旋

11、转135；：模变为原来的倍，同时顺时针旋转135记集合，若每次从集合S中随机抽取一种变换.经过n次抽取，依次将第i次抽取的变换记为，即可得到一个n维有序变换序列，记为，则以下判断中正确的序号是_单位向量经过2022次v变换后所得向量一定与向量垂直；单位向量经过2022次w变换后所得向量一定与向量平行；单位向量经过变换后得到向量，则中有且只有2个v变换；单位向量经过变换后不可能得到向量；存在n，使得单位向量经过次变换后，得到31（2022春湖南株洲高一株洲二中校考阶段练习）设V是已知平面M上素有向量的集合，对于映射，记的象为若映射满足：对所有及任意实数都有，则f称为平面M上的线性变换，现有下列命

12、题：设f是平面M上的线性变换，则；若是平面M上的单位向量，对，设，则f是平面M上的线性变换；对，设，则f是平面M上的线性变换；设f是平面M上的线性变换，则对任意实数k均有其中的真命题是_（写出所有真命题的编号）32（2021春重庆南岸高一重庆第二外国语学校校考阶段练习）定义平面非零向量之间的一种运算“”，记，其中是非零向量的夹角，若，均为单位向量，且，则向量与的夹角的余弦值为_.33（2021春陕西宝鸡高一统考期末）设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做在坐标系中的坐标假设，则的大小为_34（2018春浙江台州高一台州中学校考期中）已知向量及

13、向量序列: 满足如下条件: ，且,当且时, 的最大值为_35（2017春北京东城高二统考期末）已知平面向量，平面向量，（其中）定义：若，则=_；若，且，则_，_（写出一组满足此条件的和即可）36（2014安徽高考真题）已知两个不相等的非零向量两组向量和均由2个和3个排列而成.记，表示所有可能取值中的最小值.则下列命题的是_（写出所有正确命题的编号）.有5个不同的值.若则与无关.若则与无关.若，则.若，则与的夹角为37（2021春重庆沙坪坝高一重庆南开中学校考阶段练习）定义：对于实数和两个定点、，在某图形上恰有个不同的点，使得，称该图形满足“度囧合”，若在边长为的正方形中，且该正方形满足“度囧合

14、”，则实数的取值范围是_.38（2022全国高三专题练习）定义两个向量组的运算，设为单位向量，向量组分别为的一个排列，则的最小值为_39（2022北京顺义统考二模）向量集合，对于任意，以及任意，都有，则称集合是“凸集”，现有四个命题：集合是“凸集”； 若为“凸集”，则集合也是“凸集”；若都是“凸集”，则也是“凸集”；若都是“凸集”，且交集非空，则也是“凸集”其中，所有正确的命题的序号是_四、解答题40（2022秋河北沧州高二校考开学考试）平面内一组基底及任一向量，若点在直线上或在平行于的直线上，我们把直线以及与直线平行的直线称为“等和线”，此时为定值，请证明该结论.41（2022秋上海嘉定高二

15、上海市嘉定区第一中学校考阶段练习）已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”；记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为(1)已知，若函数为集合中的元素，求其“相伴向量”的模的取值范围；(2)已知点满足条件：，若向量的“相伴函数”在处取得最大值，当在区间变化时，求的取值范围；(3)当向量时，“相伴函数”为，若，方程存在4个不相等的实数根，求实数的取值范围.42（2022春上海奉贤高一校考期末）对于一个向量组，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“好向量”(1)若是向量组的“好向量”，且，求实数的取值范围；(2)已知，均是向量组的“好向量”，试

16、探究的等量关系并加以证明43（2021春山西临汾高一统考阶段练习）如图，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的二等分点（1）EF，EG有什么关系？用向量方法证明你的结论（2）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针旋转角得到向量，叫做把点N绕点M沿逆时针方向旋转角得到点P已知正方形ABCD中，点，点，把点G绕点E沿顺时针方向旋转后得到点P，求点P的坐标44（2021春四川成都高一四川省成都市盐道街中学校考阶段练习）定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为(1)设，请问函数是否存在相伴向量，若存在，求出与共线的单位向量；若不存在，请说明理由(2)已知点满足：，向量的“相伴函数”在处取得最大值，求的取值范围