专题06 图形的平移与旋转（解析版）-八年级数学下册压轴题专题精选汇编（北师大版）.docx

1、北师大版数学八年级下册压轴题专题精选汇编专题06 图形的平移与旋转一、选择题1（2021八上鄞州期末）如图，在RtABC中，ACB90，AC5，BC12，将ABC绕点B顺时针旋转60，得到BDE，连接DC交AB于点F，则ACF与BDF的周长之和为（） A44B43C42D41【答案】C【完整解答】解：BDE由BCA旋转得出，BDBC12.CBD60，BCD为等边三角形，CDBC12.在RtABC中，ACB90，AC5，BC12，AB 13，CACF+CBDFAC+CF+AF+BF+DF+BDAC+AB+CD+BD5+13+12+1242.故答案为：C.【思路引导】根据旋转的性质可得BDBC12

2、，推出BCD为等边三角形，得到CDBC12，利用勾股定理求出AB，进而可将ACF与BDF的周长之和转化为AC+AB+CD+BD，据此计算.2（2022八下）如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，将AOB平移至DPC的位置，连结OP，则图中平行四边形的个数为（）A1B2C3D4【答案】D【完整解答】解：四边形ABCD是平行四边形，OA=OC，将AOB平移至DPC的位置，OAPD，OA=PD，OCPD，OC=PD，四边形CODP和四边形AOPD是平行四边形；四边形CODP是平行四边形；OD=CP，ODCP，四边形ABCD是平行四边形，OB=OD，OBCP，OB=CP，四边形OBCP是平行

3、四边形；综上，图中是平行四边形的有4个.故答案为：D.【思路引导】根据平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD，结合平移的性质得出OAPD，OA=PD，根据平行四边形的判定定理分别分析，即可判断.3（2021八上秀洲月考）如图，在RtABC中，ABC=90，AC=10，AB=6，则图中五个小直角三角形的周长之和为（）A14B16C18D24【答案】D【完整解答】解：由图形可以看出：内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，故内部五个小直角三角形的周长为ACBCAB，BC，五个小直角三角形的周长之和为ACBCAB24.故答案为：D.【思路引导】由图形可以看出：内部小三角形直角边是大三角形直

4、角边平移得到的，故内部五个小直角三角形的周长为ACBCAB，利用勾股定理求出BC，从而求出结论.4（2021八下长沙开学考）如图，已知BCDE90，且BCDE8，EF2AB2CD，AB3，则A、F两点间的距离是（）A16B20C20D24【答案】B【完整解答】解：过F作FGAB，交AB的延长线于G，EF2AB2CD，AB3，CD3，EF6，利用平移的性质可得，AGABCDEF12，GFBCDE16，在RtAGF中，AF20.故答案为：B.【思路引导】过F作FGAB，交AB的延长线于G，由已知易得CD3，EF6，利用平移的性质可得AGABCDEF12，GFBCDE16，然后在RtAGF中，利用勾

5、股定理求解即可.5（2021八上东平月考）如图，在RtABC中，ACB=90，A=60，AC=6，将ABC绕点C按逆时针方向旋转得到ABC，此时点A恰好在AB边上，则点B与点B之间的距离为（）A12B6C6D【答案】D【完整解答】连接BB，将ABC绕点C按逆时针方向旋转得到ABC，AC=AC，AB=AB，A=CAB=60，AAC是等边三角形，AAC=60，BAB=180-60-60=60，将ABC绕点C按逆时针方向旋转得到ABC，ACA=BAB=60，BC=BC，CBA=CBA=90-60=30，BCB是等边三角形，CBB=60，CBA=30，ABB=30，BBA=180-60-30=90，A

6、CB=90，A=60，AC=6，AB=12，AB=AB-AA=AB-AC=6，BB=6，故答案为：D【思路引导】连接BB，利用旋转的性质和直角三角形的性质解答即可。6（2021八下江北期末）如图所示，正方形ABCD的边长为4，点E为线段BC上一动点，连结AE，将AE绕点E顺时针旋转90至EF，连结BF，取BF的中点M，若点E从点B运动至点C，则点M经过的路径长为（） A2BCD4【答案】B【完整解答】解：取BC、CD的中点G、H，连接GH，连接BDGH为BCD的中位线，将AE绕点E顺时针旋转90至EF，EFAE，当E点在B处时，M点在BC的中点G处，当E点在C点处时，M点在CD中点处，点M经过

7、的路径长为GH的长，正方形ABCD的边长为4， ，故答案为：B.【思路引导】取BC、CD的中点G、H，连接GH，连接BD，利用三角形的中位线定理可证得，再利用旋转的性质可证得EFAE；当E点在B处时，M点在BC的中点G处，当E点在C点处时，M点在CD中点处，可得到点M经过的路径长为GH的长；然后利用勾股定理求出BD的长，即可得到GH的长.7（2021八下宝安期末）如图，将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子，其中 ， 、 分别与 交于 、 两点，将 绕着点 顺时针旋转90得到 ； , 平分 ；若 ，CE=4,则 ；若 ，其中正确的个数有（） A1个B2个C3个D4个【答案】C【完整解答】

8、解：ABACAGFG，BACAGF90，ABCCFAG45，BC AB，由旋转性质可知ABHACE，ABHACE45，BHCE，AHAE，BAHCAE，HBDABH+ABC45+4590，BHBC，故符合题意；BAHCAE，BAH+BADCAE+BADBACFAG45，即DAH45，DAHDAE，在ADH和ADE中， ，AHDADE（SAS），DHDE，ADHADE，AD平分HDE，故符合题意；在RtBDH中，BD2+BH2DH2，BHCE，DH =DE，BD2+BH2DH2，当BD3，CE4时，32+42DE2，DE5，BC= BD+DE+CE12，BC AB12，AB6 ，故符合题意；BA

9、BE，ABC45，BAEBEA 67.5，DAE45，ADE180DAEBEA67.5，ADEBEA，ADB180ADE，AEC180BEA，ADBAEC，在ABD和ACE中， ，ABDACE（AAS），BDCE，BD2+CE2DE2，DE BD，设A到BC边距离为h， ， ， ， ，故不符合题意；综上符合题意，故答案为：C【思路引导】根据旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理，分别判断得到答案即可。8现有一张纸片， ， ， 有甲、乙两种剪拼方案，如图1，2所示将它们沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（） A甲、乙都不可以B甲不可以、乙可以乙C

10、甲、乙都可以D甲可以、乙不可以【答案】C【完整解答】因为AB=AF，所以可将AFE移动到AB左边，AF与AB边重合，,四边形等于四边形。所以面积相等。方案乙,因此两种均可。【思路引导】先求出AB=AF，再求出,最后求解即可。9（2021八下龙华期中）如图，等边三角形ABC的边长为2，点O是ABC的中心，FOG120，将FOG绕点O旋转，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：ODOE；S四边形ODBE SABC；SODESBDE；BDE周长的最小值为3上述结论中正确的个数是（） A1B2C3D4【答案】C【完整解答】连接OB、OC，如图，ABC为等边三角形，ABCACB6

11、0，点O是ABC的中心，OBOC，OB、OC分别平分ABC和ACB，ABOOBCOCB30，BOC120，即BOE+COE120，而DOE120，即BOE+BOD120，BODCOE，在BOD和COE中， ，BODCOE（ASA），BDCE，ODOE，符合题意；BODCOE，SBODSCOE，四边形ODBE的面积SOBC SABC，故符合题意；作OHDE于H，如图，则DHEH，DOE120，ODEOEH30，OH OE，HE OH OE，DE OE，SODE OE OE OE2，即SODE随OE的变化而变化，而四边形ODBE的面积为定值，SODESBDE；故不符合题意；BDCE，BDE的周长B

12、D+BE+DECE+BE+DEBC+DE2+DE2+ OE，当OEBC时，OE最小，BDE的周长最小，此时OE ，BDE周长的最小值2+13，故符合题意综上所述，正确的有共3个故答案为：C【思路引导】利用旋转的性质，再结合三角形全等的判定和性质逐项判定即可。二、填空题10（2022八下）如图，已知ABCD的面积为56，AC与BD相交于O点，则图中阴影部分的面积是 。【答案】28【完整解答】解：四边形ABCD为平行四边形，O为对称中心，SAOM=SCON，SHOM=SFON，SBOH=SFOD，SAOG=SEOC，SGOD=SBOE，S阴影=S四边形ABCD=28.故答案为：28.【思路引导】由

13、平行四边形的性质得出O为对称中心，再根据中心对称图形的特点得出有关三角形面积相等，则可解答.11（2020八上萍乡期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，三角板的直角顶点P的坐标为(2，2)，一条直角边与x轴的正半轴交于点A，另一直角边与y轴交于点B，三角板绕点P在坐标平面内转动的过程中，当POA为等腰三角形时，请写出所有满足条件的点B的坐标 【答案】(0，2)，(0，0)，(0，42)【完整解答】解：P坐标为(2,2)，AOP=45，如图1,若OA=PA,则AOP=OPA=45，OAP=90，即PAx轴，APB=90，PBy轴，点B的坐标为：(0,2)；如图2,若OP=PA,则AOP=OAP=

14、45，OPA=90，BPA=90，点B与点O重合，点B的坐标为(0,0)；如图3,若OA=OP,则OPA=OAP=(180AOP)=67.5，过点P作PCy轴于点C，过点B作BDOP于点D，则PCOA，OPC=AOP=45，APB=90，OPB=APBOPA=22.5，OPB=CPB=22.5，BC=BD，设OB=a，则BD=BC=2a，BOP=45，在RtOBD中,BD=OBsin45，即2a=a，解得：a=42.综上可得：点B的坐标为：(0,2),(0,0),(0, 42).故答案为(0,2),(0,0),(0, 42).【思路引导】如图1,若OA=PA,则AOP=OPA=45，如图2,若

15、OP=PA,则AOP=OAP=45，如图3,若OA=OP,则OPA=OAP=(180AOP)=67.5，分类讨论即可。12（2021八上长春月考）如图，将ABC沿射线BC方向移动，使点B移动到点C，得到DCE，连接AE，与DC交于点F，若ABC的面积为6，则ACF的面积为 【答案】3【完整解答】解：将ABC沿射线BC方向移动，使点B移动到点C，得到DCE，BC=CE，CDAB，ACE和ABC底边和高都相等，ACE的面积等于ABC的面积，将ABC沿射线BC方向移动，使点B移动到点C，得到DCE，AC=DE，ACDE，ACF=EDF，在AFC和EFD中，AFCEFD(AAS)，AF=FE，ACF的

16、面积等于ACE的面积的一半，又ABC的面积为6，ACF的面积为3故答案为：3【思路引导】由平移的性质可得BC=CE，CDAB，AC=DE，ACDE，从而得出ACE的面积等于ABC的面积.证明AFCEFD(AAS)，可得AF=FE，从而得出ACF的面积等于ACE的面积的一半，据此即可求解.13（2021八上东平月考）如图，将n个边长都为1的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，An分别是正方形的中心，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为 【答案】【完整解答】解：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的，即是，n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：故答案为：【思路引导】根据题意可得阴

17、影部分的面积是正方形面积的，已知两个正方形可得出一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为（n-1）阴影部分的和。14（2021八上磐石期中）如图，在ABC中，AB4，BC6，B60，将ABC沿射线BC的方向平移2个单位后，得到 ，连接 ，则 的周长为 【答案】12【完整解答】 平移两个单位得到的 ， ， ， ， ， ， ， ，又 ， ， 是等边三角形， 的周长为 故答案为：12【思路引导】因为 平移两个单位得到的 ，得出 ， ，根据 ， ，得出AB、BC的值，由此得出AB=BC，推出 是等边三角形，由此即可得出答案。15（2021八上秀洲月考）如图，在平面直角坐标系中，将沿x轴向右滚动到的

18、位置，再到的位置依次进行下去，若已知点，则点的坐标为 .【答案】（300，3）【完整解答】解：AOB=90，点A（3，0），B（0，4），根据勾股定理，得AB=5，根据旋转可知：OA+AB1+B1C2=3+5+4=12，所以点B2 （12，4），A1 （12，3）；继续旋转得，B4 （212，4），A3 （24，3）；B6 （312，4），A5 （36，3）发现规律：B50 （2512，4），A49 （300，3）.所以点A49 的坐标为（300，3）.故答案为：（300，3）.【思路引导】由勾股定理求出AB=5，根据旋转可知OA+AB1+B1C2=3+5+4=12，即得点B2 （12，4），

19、A1 （12，3）；继续旋转得，B4 （212，4），A3 （24，3）；B6 （312，4），A5 （36，3） 发现规律：B50 （2512，4），A49 （300，3）.16（2021八上温州期中）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB、BC可分别绕点A、B转动，当AB、BC转别到BAE=60，ABC=45时，连结BE，ABE =70，延长BC交射线AE于DAB不动，当BC绕点B顺时针转动 度或逆时针转动 度时，BDE是等腰三角形【答案】25或40；50【完整解答】解：如图，AEB=180-ABE-BAE=180-70-60=50，DBE=ABE-ABC=7045=25，当BC绕

20、点B顺时针转动时，当BD1=ED1，EBD1=E=50，DBD1=EBD1-EBD=50-25=25；当ED2=EB，EBD2=65，DBD2=EBD2-EBD=65-25=40；当BC绕点B逆时针转动时，BED3=180-AEB=130，BE=BD3，EBD2=25，DBD3=EBD+EBD2=25+25=50. 故答案为： 25或40 ，50.【思路引导】根据题意作图，先根据三角形内角和定理求出AEB的度数，根据角的和差关系求出DBE的度数，当BC绕点B顺时针转动时，分两种情况讨论，即当BD1=ED1，当ED2=EB，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质分别求出EBD1和EBD2的度数，

21、然后根据角的和差关系求旋转角即可；当BC绕点B逆时针转动时，先根据邻补角的性质求出BED3，然后根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质分别求出EBD3度数，再求旋转角即可.17（2021八下苏州期末）如图，在 中， ， ， .将 绕点 按逆时针方向旋转后得 ，直线DA、BE相交于点F.取BC的中点G，连接GF，则GF长的最大值为 cm.【答案】4【完整解答】解：取 的中点 ，连接 、 ，如图： 是由 绕 点旋转得到， ， ， ，设 ，则 ，在四边形 中， ，在 中， ， ， ， ， 中， ， 是 中位线， ，而 ， 当 、 、 在一条直线上时， 最大，最大值为 ，故答案为：4.【思路引导】取A

22、B的中点H，连接HG，HF，利用旋转的性质可证得CE=CB，CD=AC，BCE=ACD，设BCE=ACD=，可表示出CBE；再利用四边形的内角和定理可求出BFA的度数，利用勾股定理求出AB的长；利用直角三角形的性质可求出HF的长；然后利用三角形的中位线定理可求出HG的长，利用三角形的三边关系定理可知当点F，H，G在同一直线上时，FG最大，最大值是HF+HG的长，即可求解.18（2021八上台州期末）如图，已知 中， ， ，将 绕点A顺时针方向旋转 到 的位置，连接 ，则 . 【答案】【完整解答】解：如图，连接 ， 绕点A顺时针方向旋转 得到 ， ， ， 是等边三角形， ，在 和 中， ， ，

23、，延长 交 于D，则 ， ， ， ， ， ， .故答案为 ： .【思路引导】 连接 ，根据旋转的性质可得 ，判断出 是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得 ，然后利用“边边边”证明 和 全等，根据全等三角形对应角相等可得 ，延长 交 于D，根据等边三角形的性质可得 ，利用勾股定理列式求出AB，然后根据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质求出BD、 ，然后根据 计算即可得解.19（2021八下成华期末）将两个全等的等腰直角三角形纸片的斜边重合，按如图位置放置，其中ABCD90，ABADCBCD2，将ABD沿射线BD平移，得到EGF，连接EC，GC.则ECGC的最小值为 .【答案】【完整

24、解答】解：如图，连接DE，直线AE，作点C关于直线AE的对称点H，连接DH，将ABD沿射线BD平移，得到EGF， GE=CD且GECD，四边形GEDC为平行四边形，ED=CG，EC+GC=EC+ED=HE+EDDH，CHAE，AEBD，CHBD，BAD=BCD=90，AB=AD=CB=CD=2，四边形ABCD为正方形，ACBD，H、A、C三点共线，记HC与BD相交于M，MD= BD，HM=3AM=3MD，BD= ，HD= ，EC+GC的最小值为 ，故答案为： .【思路引导】连接DE，直线AE，作点C关于直线AE的对称点H，连接DH，利用平移的性质可证得GE=CD且GECD，利用平行四边形的判定

25、定理可得到四边形GEDC为平行四边形；利用平行四边形的性质及三角形三边关系定理可证得EC+GCDH；再证明四边形ABCD为正方形，利用正方形的性质可推出ACBD，由此可得到H、A、C三点共线，记HC与BD相交于M；然后利用勾股定理求出BD，HD的长，即可得到EC+GC的最小值.三、解答题20（2021八上济宁月考）如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为多少【答案】解：由题意可得，空白部分是矩形，长为，宽为，阴影部分的面积；【思路引导】根据平移的性质可得：空白部分是矩形，长为，宽为，再利用矩形的面积公式求出空白的面积，最后利用两个矩形的面积之和减去2个空

26、白矩形的面积即可。21（2021八上济宁月考）学校准备在升旗台的台阶上铺设一种红色的地毯（含台阶最上层），已知这种地毯的批发价为每平方米40元，升旗台的台阶宽为3米，其侧面如图所示，请你测算一下，买地毯至少需要多少元？【答案】解：利用平移线段，得地毯的长度是6.4+2.8+2.8=12（米）地毯的面积是123=36（米2）买地毯至少需要3640=1440（元）【思路引导】先利用平移的性质可得：地毯的长度是6.4+2.8+2.8=12，再求出地毯的面积，最后利用3640计算即可。22（2021八下秦都期末）如图，在 中， ， 平分 交 于点 ，将 绕点 逆时针旋转到 的位置，点 在 上，连接 交

27、 于点 .求证： 垂直平分 . 【答案】证明： ， 平分 交 于点 ， .将 绕点 逆时针旋转到 的位置， ， ， ，在等腰 中， ， 平分 ， ， ， 垂直平分 .【思路引导】 由角平分线的定义可得， 由旋转的性质可得，即得，根据等腰三角形三线合一的性质可得 垂直平分 .23（2020八上徐汇月考）如图，在等腰ABC中，AB=AC=5，BC=6，D是BC中点，将ABD绕点A旋转后得到ACE，求线段DE的长.【答案】解：等腰ABC中，AB=AC，D是BC中点 BD=CD=3，ADBCAD= 将ABD绕点A旋转后得到ACE，CE=BD=CD=3，AD=AEAC垂直平分DE，设DE、AC交于G点，

28、SACD= ACDG= ADCD，即 5DG= 43，解得DG= DE=2DG= .【思路引导】先利用 等腰ABC 的性质求出AD，再利用旋转的性质得到 CE=BD=CD=3，AD=AE ，最后利用ACD的面积列出方程求解即可。24（2020八下城固期末）已知：如图，将ADE绕点A顺时针旋转得到ABC，点E对应点C恰在D的延长线上，若BCAE.求证：ABD为等边三角形.【答案】解：由旋转知：ADEABC， ACBE，ACAE，EACE，又BCAE，BCE+E180，即ACB+ACE+E180，E60，又ACAE，ACE 为等边三角形，CAE60又BACDAEBADCAE60又ABADABD为等

29、边三角形.【思路引导】由旋转的性质可得 ， ，可得 ，由平行线的性质可得 ，可得 ，则可求 ，可得结论.25（2022八下）如图所示，在ABC中，点D是AB边上的中点，已知AC=4，BC=6。（1）画出BCD关于点D的中心对称图形；（2）根据图形说明线段CD的取值范围。【答案】（1）解：所画图形如图所示， AED就是所作的图形.（2）解：由（1）知，ADEBDC， 则CD=DE，AE=BC，AE-AC2CD即BC-AC2CD22CD10，解得15.【思路引导】（1）利用中心对称图形的定义，延长CD使DE=CD，连接AE，即可得到BCD关于点D的中心对称图形.（2）利用画图可知ADEBDC，利用

30、全等三角形的性质可证得CD=DE，AE=BC，再利用三角形的三边关系定理，可得到关于CD的不等式组，然后求出不等式组的解集.26（2021八上瓯海月考）如图，已知点P是等边ABC内一点，连结PA，PB，PC，D为ABC外一点，且DACPAB，ADAP，连结DP，DC.（1）求证：ADCAPB.（2）若PA4，PB3，PC5，求APB的度数.【答案】（1）证明：是等边三角形，；（2）解：，是等边三角形，是等边三角形，.【思路引导】(1)由等边三角形性质得AB=AC，结合已知条件即可证明 ADCAPB （SAS）;(2)由（1）可知，CD=PB,APB=ADC，又 ABC是等边三角形，利用“手拉手

31、模型”进行等量代换可得PAD=60,PD=PA=4，所以PAD也是等边三角形；再由CD+PD=PC知PDC=90，进而求得ADC，即可求出APB.27（2021八上衢江月考）定义：两个顶角相等且顶角顶点重合的等腰三角形组合称为”相似等腰组”.如图1，等腰ABC和等腰ADE即为“相似等腰组”.（1）如图2，将上述“相似等腰组”中的ADE绕着点A逆时针旋转一定角度，判断ABD和ACE是否全等，并说明理由.（2）如图3，等腰ABC和等腰ADE是“相似等腰组”，且BAC90，DC和AE相交于点O，判断DC和BE的位置及大小关系，并说明理由.（3）如图4，在等边ABC中，D是三角形内部一点，且AD，BD

32、2，DC，求ABC的面积.【答案】（1）解：全等，理由如下：等腰ABC和等腰ADE为“相似等腰组”，BACDAE，BADBACDAC，CAEEADDAC，BADCAE，在ABD与ACE中，ABDACE（SAS），（2）解：DCBE，DCBE，理由如下：等腰ABC和等腰ADE为“相似等腰组”，BACDAE90，BAEBAC+EAC，CADEADEAC，BAECAD，在ABE与ACD中，ABEACD（SAS），DCBE，ABEACD，ABE+EBC+ACB90，ACD+EBC+ACB90，EBC+DCB90，DCBE（3）解：将ABD绕点A逆时针旋转60得ACE，ADAE，DAE60，CEBD2，

33、ADE是等边三角形，DEAD，AED60，DE2+CE23+47，CD27，DE2+CE2CD2，CED90，AECAED+DEC150，过点C作CFAE，交AE的延长线于F，故CEF=30CFCE1，EF=，在RtACF中，AC，SABCAC2.【思路引导】（1） 根据SAS证明ABDACE；（2）证明ABEACD（SAS），可得DCBE，ABEACD，由ABE+EBC+ACB90可得ACD+EBC+ACB90， 从而可得 EBC+DCB90， 继而得出DCBE ；（3） 将ABD绕点A逆时针旋转60得ACE， 先证ADE是等边三角形， 可得DEAD，AED60， 利用勾股定理的逆定理可得

34、CED90， 从而得出 AECAED+DEC150，过点C作CFAE，交AE的延长线于F，故CEF=30 ，可求出CFCE1，EF， 在RtACF中，利用勾股定理求出AC，利用三角形的面积公式即可求解.28（2021八上彭州开学考）如图，已知正方形ABCD，MAN45，连接CB，交AM、AN分别于点P、Q，求证：CP2+BQ2PQ2.【答案】证明：将ABQ绕A点顺时针旋转90得到ACQ，连接PQ， AQAQ，CQBQ，BAQCAQ，ACQABC，四边形ABCD为正方形，ACQABCACB45，CAB90，MAN45，CAP+BAQ45，QAPCAQ+CAP45，QAPQAP，在QAP和QAP中

35、， ，QAPQAP（SAS），PQPQ，QCPACQ+ACB90，在RtQCP中，由勾股定理得，QP2QC2+CP2，CP2+BQ2PQ2.【思路引导】将ABQ绕A点顺时针旋转90得到ACQ，连接PQ，由旋转的性质可得AQAQ，CQBQ，BAQCAQ，ACQABC，由正方形的性质可得ACQABCACB45，CAB90，推出QAPQAP，证明QAPQAP，得到PQPQ，然后结合勾股定理进行证明.29（2018八上广东期中）如图，在等腰ABC中，ACB= 90，点D为CB延长线上一点，过A作AEAD，且AE= AD，BE与AC的延长线交于点P，求证：PB= PE.【答案】证明：解法1：过E作EFA

36、C，垂足为F，连接BF，CE AEAD，ACB = 90 EAF+CAD=90，D+CAD=90 EAF=D 又AFE=ACB=90，AE=AD AFE DCA（AAS） EF=AC=BC BCAC，EFAC EFBC EF BC 四边形BCEF为平行四边形 PB = PE. 解法2： AD = AE且ADAE 可将ADB绕点A逆时针旋转90至AEH， 由旋转性质得AH=AB且AHAB BAH为等腰直角三角形，ABH= 45 又 ACB中，ACB=90，AC=BC ABC=45 ABH = ABC，则B、C、H三点共线 AP垂直平分BH PH = PB PBH =PHB 又由旋转性质得EHBD，即EHBH PHE=90PHB，PEH=90-PBH， PEH=PHB PH=PE PB=PE.【思路引导】解法1： 过E作EFAC，垂足为F，连接BF，CE ，由互余性质可知EAF=D ，再结合条件利用AAS可得AFE DCA ，从而有EF=AC=BC ，此时易得四边形BCEF为平行四边形 ，根据平行四边形对角线互相平分即可得证；解法2：由条件可将ADB绕点A逆时针旋转90至AEH， 根据旋转性质易得BAH为等腰直角三角形，借助等腰三角形性质可知B、C、H三点共线，从而有AP垂直平分BH 、PH=PB，在RtBHE中利用等边对等角及互余性质又得PH=PE，据此即可得证。