专题06 导数（解答题10种考法）讲义（解析版）.docx

1、专题06 导数（解答题10种考法）考法一 含参单调性的分类讨论【例1-1】（2023海南海口农垦中学校考模拟预测）已知函数(1)讨论的单调性；(2)求在上的最小值【答案】(1)答案见解析(2)【解析】（1）函数的定义域为，则当时，在上恒成立，故此时在上单调递减；当时，由，得,由，得，故此时在上单调递减，在上单调递增综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增（2）由（1）知，当时，在上单调递减，所以在上单调递减，所以；当时，(i)若，即时，在上单调递增，此时，；(ii)若，即时，在上单调递减，在上单调递增，此时，；(iii)若，即时，在上单调递减，此时，综上所述，【变式】1（20

2、23福建泉州统考模拟预测）已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)讨论的单调性.【答案】(1)(2)答案见解析【解析】（1）由已知，则，当时，则曲线在处的切线方程为，即（2）由（1）知，当时，当时，在单调递增；当时，在单调递减；当时，由，得，（）当时，当时，在，单调递增；当时，在单调递减；（）当时，在单调递增；（）当时，当时，在，单调递增；当时，在单调递减；综上可得：当时，在单调递增，在单调递减；当时，在，单调递增，在单调递减；当时，在单调递增；当时，在，单调递增，在单调递减.2（2023秋北京高三北师大实验中学校考阶段练习）已知函数 其中(1)若，求函数的单调区间和极值;(2)当时

3、，讨论函数的单调区间【答案】(1)的单调减区间为， 单调增区间为；极小值 （2） 答案见解析【解析】（1）函数的定义域为则，令，可得，当变化时，和的变化情况如下：单调递减单调递减单调递增故函数的单调减区间为; 单调增区间为当时，函数有极小值.（2）因为 ，所以，所以函数的定义域为，求导可得 令，可得，当时，因为(当且仅当时，)所以函数在单调递增当时，当变化时， 和的变化情况如下：单调递增单调递减单调递增故函数的单调减区间为单调增区间为当 时，当变化时，和的变化情况如下：单调递增单调递减单调递增故函数的单调减区间为单调增区间为，综上，当时，函数在单调递增；当时，函数的单调减区间为单调增区间为；当

4、 时，函数的单调减区间为单调增区间为，3（2023秋北京顺义高三杨镇第一中学校考阶段练习）已知函数.(1)当时，求函数的最小值；(2)当时，讨论的单调性.【答案】(1)(2)答案见解析【解析】（1）当时：，令解得，又因为当，此时函数单调递减；当，此时函数单调递增.所以的最小值为.（2），当时，由，得或.若，则，故在上单调递增；若，则.故当时，或；当时，.所以在，上单调递增，在上单调递减.若，则.故当时，或；当时，.所以在，上单调递增，在上单调递减.综上所述，当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减.当时，在，上单调递增，在上单调递减.考法二 讨论零点个数【例2】（2023河南信阳

5、信阳高中校考模拟预测）已知为实数，函数(1)当时，求函数的极值点；(2)当时，试判断函数的零点个数，并说明理由【答案】(1)有且仅有一个极小值点(2)零点个数为2，理由见解析【解析】（1）当a=0时，故，令，故，与在区间上的情况如下：0+极小值所以在区间上单调递减，在区间单调递增，所以函数有且仅有一个极小值点（2）函数的零点个数为2，理由如下：（1）当时，由于，所以，故函数在区间上单调递减，所以函数在区间上有且仅有一个零点；（2）当时，故，令，得，故，因此恒有，所以函数在区间上单调递增；又，所以函数在区间上有且仅有一个零点综上，函数的零点个数为2【变式】1（2023江西南昌南昌市八一中学校考三

6、模）设函数，其中，曲线在处的切线方程为(1)若的图象恒在图象的上方，求的取值范围；(2)讨论关于的方程根的个数【答案】(1)；(2)答案见解析【解析】（1），则，则,又因为，解得，所以；由题意得，对一切恒成立，分离参数得，对一切恒成立，令，则，令，则，所以函数过点，且在上单调递减，当时，；当时，又易知与同号，所以在上单调递增，在上单调递减，则，所以，故的取值范围为；（2）由题意，原方程等价于分离参数后的方程，令，由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，又当时，；当时，所以的大致图象如图.观察图象可知：当时，方程根的个数为；当时，根的个数为；当时，根的个数为2.(2022广东广州检测)已知a1，

7、函数f(x)x ln xax1a(x1)2(1)若a1，求f(x)的单调区间；(2)讨论f(x)的零点个数【答案】见解析【解析】(1)若a1，则f(x)x ln xx1(x1)2，f(x)的定义域为(0，)，f(x)ln x2(x1)当0x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0所以f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，)(2)当a1时，f(x)x ln xx1(x1)2，因为f(1)0，且f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以f(x)有1个零点当a1时，f(x)1ln xa2a(x1)1ln x2ax3a，令g(x)1ln x2ax3a，因为a1，所以g(

8、x)在(0，)上单调递增，又f(1)g(1)1a0，fg1ln 0，所以存在实数x0，使得g(x0)0在(0，x0)上，f(x)0，f(x)是减函数；在(x0，)上，f(x)0，f(x)是增函数所以f(x)的最小值是f(x0)，其中x0满足f(x0)0，即1ln x02ax03a 0所以f(x0)x0ln x0ax01a(x01)2x0(3a12ax0)ax01a(x01)2(1x0)(aax01)，因为x0，所以f(x0)0，因为f10，f(3)3ln 3a10，所以f(x)有2个零点综上所述，当a1时，f(x)有1个零点；当a1时，f(x)有2个零点考法三 已知零点个数求参数【例3】（20

9、23陕西汉中校联考模拟预测）已知函数，其中.(1)若，求的单调区间；(2)若恰有2个不同的极值点，求的取值范围；(3)若恰有2个不同的零点，求的取值范围.【答案】(1)单调减区间为，无增区间.(2)(3)【解析】（1）解：若，则，可得，设，则，当时，递增；当时，递减，所以，即，所以在递减，即的单调减区间为，无增区间.（2）解：由函数，可得，由题意可得有两个不等的正根，设，若，则在递增，不符合题意；若，可得，令，可得，当时，单调递减；当时，单调递增，可得，因为有两个不等的正根，所以，解得，所以实数的取值范围是.（3）解：由，可得，即，设，则，当时，单调递减；当时，单调递增，所以，又时，时，因为恰

10、有2个不同的零点，所以，可得，所以实数的取值范围是.【变式】1（2023河南模拟预测）已知函数，且.(1)求在上的最大值；(2)设函数，若函数在上有三个零点，求的取值范围.【答案】(1)最小值为，最大值为.(2)【解析】（1）解：由函数，可得，因为，可得，解得，所以且，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增；当，函数取得极大值；当，函数取得极小值，又由，所以函数在区间上的最小值为，最大值为.（2）解：由函数和，可得，因为函数在上有三个零点，即有三个实数根，等价于与的图象有三个不同的交点，又由，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增，所以当，函数取得极小值；当，函数取得极小值，又

11、由当时，当时，要使得与的图象有三个不同的交点，可得，即实数的取值范围是.2（2022全国统考高考真题）已知函数(1)当时，求的最大值；(2)若恰有一个零点，求a的取值范围【答案】(1)(2)【解析】（1）当时，则，当时，单调递增；当时，单调递减；所以；（2），则，当时，所以当时，单调递增；当时，单调递减；所以，此时函数无零点，不合题意；当时，在上，单调递增；在上，单调递减；又，由（1）得，即，所以，当时，则存在，使得，所以仅在有唯一零点，符合题意；当时，所以单调递增，又，所以有唯一零点，符合题意；当时，在上，单调递增；在上，单调递减；此时，由（1）得当时，所以，此时存在，使得，所以在有一个零点

12、，在无零点，所以有唯一零点，符合题意；综上，a的取值范围为.3（2023贵州遵义统考三模）已知函数，其中(1)讨论函数的单调性；(2)若方程有三个根，求的取值范围【答案】(1)答案见解析(2)【解析】（1）解：由题意得函数的定义域为，当时，即在上单调递增；当时，由，得或，由，得，在上单调递减，在和上单调递增；当时，由得或，由得，在上单调递减，在和上单调递增，综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在和上单调递增；当时，在上单调递减，在和上单调递增；（2）方程有三个根，即有三个根，有三个根，显然不是方程的根，则有三个根，即与函数的图象有三个交点，令，可得，由，可得或，由，可得，则在和上

13、单调递增，在上单调递减，在处取得极大值为，当时，当时，当时，当时，如图所示：要使与函数的图象有三个交点，只需，的取值范围是考法四 恒成立与能成立问题【例4-1】（2023广东佛山统考模拟预测）已知函数，其中.(1)讨论函数极值点的个数；(2)对任意的，都有，求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)【解析】（1）由题意知：定义域为，令，则，令，则，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，又，当时，恒成立，大致图象如下图所示，则当时，恒成立，即恒成立，在上单调递减，无极值点；当时，与有两个不同交点，此时有两个变号零点，有两个极值点；当时，与有且仅有一个交点，此时有且仅有一个变号零点，有

14、且仅有一个极值点；综上所述：当时，无极值点；当时，有两个极值点；当时，有且仅有一个极值点.（2）由题意知：当时，恒成立；设，则，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，即，又恒成立，即实数的取值范围为.【例4-2】（2022北京统考高考真题）已知函数(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，讨论函数在上的单调性；(3)证明：对任意的，有【答案】(1)(2)在上单调递增.(3)证明见解析【解析】（1）解：因为，所以，即切点坐标为，又，切线斜率切线方程为：（2）解：因为，所以，令，则， 在上单调递增，在上恒成立，在上单调递增.（3）解：原不等式等价于，令，即证，由（2）知在上单调递增，在上单调递

15、增，又因为，所以命题得证.【变式】1（2023浙江模拟预测）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)【解析】（1），当时，在上单调递减；当时，所以时，单调递增，时，单调递减，综上所述，当时，单调递减；当时，在上单调递增；在上单调递减.（2）若对任意恒成立，可得，即对任意恒成立，令，令，因为，所以，所以在上单调递减，在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递减，所以当时，单调递增，当时，单调递减，所以，可得.2（2023秋四川遂宁高三四川省蓬溪中学校校考阶段练习）设，.(1)当时，求的极值；(2)讨论函数的单调性；(3)若有恒成立，求的

16、取值范围.【答案】(1)，(2)答案见解析(3)【解析】（1）的定义域为，因为，时，单调递增，时，单调递增，时，单调递减，；（2）由题：，1当时：，时，单调递减，时，单调递增；2当时：，时，单调递减，时，单调递增；3当时：若即，所以时，单调递增，时，单调递减；时，单调递增，若即，则在单调递增；若即，所以时，单调递增，时，单调递减；时，单调递增；（3）欲使恒成立，只需，根据(2)的结论，1，当时：时，单调递增；时，单调递减，令，得，此时，；2当时：若即，所以时，单调递增，时，单调递减；时，单调递增；若即，时，单调递增；若即，所以时，单调递增，时，单调递减；时，单调递增；不论上述哪种情况，均有时，

17、因此，不可能有恒成立，舍去.综上：的取值范围为.3（2023秋江西高三临川一中校联考阶段练习）已知函数(1)讨论的单调性；(2)若时，恒成立，求实数的取值范围【答案】(1)答案见解析(2)【解析】（1）因为，所以，因为，当时，所以当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，当时，由，得或，当即时，在上单调递增，当时，时，在上单调递减，或时，在上单调递增，当时，时，在上单调递减；或时，在上单调递增综上可得，时，在上单调递减，在上单调递增；时，在上单调递增；时，在上单调递减，在，上单调递增；时，在上单调递减，在，上单调递增（2）由题可得，所以，由（1）得当时，在上单调递增，则时，不满足题意，当时，在上

18、单调递减，在上单调递增，当，即时在上单调递减，时，满足题意，当，即时，在上单调递减，在上单调递增，由时，恒成立，则，即，因为，所以，综上得实数的取值范围为考法五 不等式的证明【例5-1】（2023陕西西安校联考模拟预测）已知函数，(1)求的极值；(2)证明：当时，（参考数据：）【答案】(1)极大值为，无极小值(2)证明见解析【解析】（1）的定义域为，当时，当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减，故在处取得极大值，所以的极大值为，无极小值；（2）设，则，令，当时，单调递减，当时，单调递增，又，所以存在，使得，即当时，即，单调递减，当时，即，单调递增，所以当时，在处取得极小值，即为最小值，故，设

19、，因为，由二次函数的性质得函数在上单调递减，故，所以当时，即【例5-2】（2023河南校联考模拟预测）已知函数(1)当时，求的单调区间；(2)当时，若不等式恒成立，求的取值范围；(3)设，证明：【答案】(1)递增区间为，递减区间为(2)(3)证明见解析【解析】（1）当时，则，令，得；令，得，所以的单调递增区间为，单调递减区间为（2）由，得，设，当时，所以当时，不符合题意当时，设，其图象为开口向下的抛物线，对称轴为，当，即时，因为，所以当时，即，此时单调递增，所以，不符合题意当，即时，在上单调递减，所以，所以，所以在上单调递减，所以，符合题意综上所述，的取值范围为（3）由（2）可得当时，即，令，

20、则，所以，以上各式相加得，即，所以【变式】1（2023全国统考高考真题）已知函数(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【解析】（1）因为，定义域为，所以，当时，由于，则，故恒成立，所以在上单调递减；当时，令，解得，当时，则在上单调递减；当时，则在上单调递增；综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）方法一：由（1）得，要证，即证，即证恒成立，令，则，令，则；令，则；所以在上单调递减，在上单调递增，所以，则恒成立，所以当时，恒成立，证毕.方法二：令，则，由于在上单调递增，所以在上单调递增，又，所以当时，；当时，；所以在上单调递减，在

21、上单调递增，故，则，当且仅当时，等号成立，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以要证，即证，即证，令，则，令，则；令，则；所以在上单调递减，在上单调递增，所以，则恒成立，所以当时，恒成立，证毕.2（2023吉林长春东北师大附中校考一模）已知函数(1)讨论函数的单调性；(2)若函数，求证：当时，【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【解析】（1）由题意知：的定义域为，；当时，在上恒成立，在上单调递增；当时，令，解得：，当时，；当时，；在上单调递增；在上单调递减；综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增；在上单调递减.（2）要证，只需证，又，则只需证；当时，恒成立；当时，则只需证，即证，令

22、，则，令，则，令，则，在上单调递增，即在上单调递增，使得，且当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，又，又，当时，即；当时，即；在上单调递减，在上单调递增，即；综上所述：当时，恒成立，即.考法六 三角函数型【例6】（2023全国统考高考真题）已知函数(1)当时，讨论的单调性；(2)若，求的取值范围【答案】(1)在上单调递减(2)【解析】（1）因为，所以，则，令，由于，所以，所以，因为，所以在上恒成立，所以在上单调递减.（2）法一：构建，则，若，且，则，解得，当时，因为，又，所以，则，所以，满足题意；当时，由于，显然，所以，满足题意；综上所述：若，等价于，所以的取值范围为.法二：因为，因为，

23、所以，故在上恒成立，所以当时，满足题意；当时，由于，显然，所以，满足题意；当时，因为，令，则，注意到，若，则在上单调递增，注意到，所以，即，不满足题意；若，则，所以在上最靠近处必存在零点，使得，此时在上有，所以在上单调递增，则在上有，即，不满足题意；综上：.【变式】1（2023四川成都校联考模拟预测）设函数(1)求的单调区间；(2)设函数，求在的零点个数【答案】(1)递增区间为，递减区间为.(2)答案见解析【解析】（1）解：由函数，可得，令，即，可得，解得；令，即，可得，解得，所以的递增区间为，递减区间为.（2）解：由（1）知，因为，可得，当时，即时，单调递增；当时，即时，单调递减；当时，即时

24、，单调递增；当时，即时，单调递减；且，则函数的图象，如图所示，又由的零点，即方程的解，即函数与的图象交点的个数，结合图象，可得：当或时，与的图象没有交点，即函数没有零点；当或时，与的图象一个交点，即函数有一个零点；当或时，与的图象有两个交点，即函数有两个零点；当时，与的图象有三个交点，即函数有三个零点；当时，与的图象有四个交点，即函数有四个零点.2（2023海南省直辖县级单位校考模拟预测）已知函数，的导函数为(1)若在上单调递减，求实数的取值范围；(2)当时，记函数的极大值和极小值分别为，求证：【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）依题意，根据题意知，在上恒成立，即在上恒成立令，则，令，

25、则，则时，时，故在上单调递减，在上单调递增而，故，当时，即在上单调递增，当时，即在上单调递减，故，则，故实数的取值范围为（2）令，则，设，分别为函数在上的极大值点与极小值点，所以，则，且所以，由，得，其中，故设，则，令，解得，故当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，故，即，故考法七 切线问题【例7】（2022全国统考高考真题）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线(1)若，求a；(2)求a的取值范围【答案】(1)3(2)【解析】（1）由题意知，则在点处的切线方程为，即，设该切线与切于点，则，解得，则，解得；（2），则在点处的切线方程为，整理得，设该切线与切于点，则，则切线方程为，整理得，则

26、，整理得，令，则，令，解得或，令，解得或，则变化时，的变化情况如下表：01000则的值域为，故的取值范围为.【变式】1（2023湖北武汉统考模拟预测）已知，函数(1)讨论的单调性；(2)求证：存在，使得直线与函数的图像相切【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【解析】（1）的定义域是，当时，恒成立，在单调递增；当时，令，则，显然成立，解得：，当时，；当时，的增区间是和，减区间是（2），则，设切点坐标为由直线与函数的图象相切，则，解得：显然直线过原点，则，所以整理得，即：，得：设，当时，递减，当时，递增又，所以存在，使得存在，使得直线与函数的图像相切2（2023河南襄城高中校联考三模）已知函数

27、，(1)若曲线在处的切线与曲线相交于不同的两点，曲线在A，B点处的切线交于点，求的值；(2)当曲线在处的切线与曲线相切时，若，恒成立，求a的取值范围【答案】(1)(2)【解析】（1）因为，所以，所以曲线在处的切线方程为由已知得，不妨设，又曲线在点A处的切线方程为，在点B处的切线方程为，两式相减得，将，代入得，化简得，显然，所以，所以，又，所以（2）当直线与曲线相切时，设切点为，则切线方程为，将点代入，解得，此时，根据题意得，即恒成立令，则，令，则，易知在上单调递增，所以，所以在上单调递增，所以若，则，即在上单调递增，则，所以在上恒成立，符合题意；若，则又，所以存在，使得，当时，单调递减，即，所

28、以此时存在，使得，不符合题意综上可得，a的取值范围为3（2023山西校联考模拟预测）已知，函数.(1)若是增函数，求的取值范围；(2)证明：当，且时，存在三条直线是曲线的切线，也是曲线的切线.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）的定义域为令，令，得；令，得，故在上单调递减，在上单调递增，从而，故的取值范围是.（2）设曲线的切点为，则曲线在点处的切线方程为.联立，得，必有，记函数，由题，故当时，.记，令，得；令，得，故在上单调递减，在上单调递增.当，且时，当时，故存在，使得，当，或时，；当时，故在上单调递增，在上单调递减.由，得，代入并整理得：同理，记，由（1）知为增函数，又，当时，有三

29、个零点，存在三条直线是曲线的切线，也是曲线的切线.考法八 极值点偏移【例8】（2022全国统考高考真题）已知函数(1)若，求a的取值范围；(2)证明：若有两个零点，则【答案】(1)(2)证明见的解析【解析】（1）方法一：常规求导的定义域为，则令,得当单调递减当单调递增，若,则,即所以的取值范围为方法二：同构处理由得：令，则即令，则故在区间上是增函数故，即所以的取值范围为（2）方法一：构造函数由题知,一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设要证,即证因为,即证又因为,故只需证即证即证下面证明时，设，则设所以,而所以,所以所以在单调递增即,所以令所以在单调递减即,所以；综上, ,所以.方法二：对数平

30、均不等式由题意得：令，则，所以在上单调递增，故只有1个解又因为有两个零点，故两边取对数得：，即又因为，故，即下证因为不妨设，则只需证构造，则故在上单调递减故，即得证【变式】1（2023安徽马鞍山统考一模）设函数.(1)若对恒成立，求实数的取值范围；(2)已知方程有两个不同的根、，求证：，其中为自然对数的底数.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）解：由，得.令，则，令，则.所以，函数在上单增，故.当时，则，所以在上单增，此时对恒成立，符合题意；当时，故存在使得，当时，则单调递减，此时，不符合题意.综上，实数的取值范围.（2）证明：由（1）中结论，取，有，即.不妨设，则，整理得.于是，即.

31、2（2023安徽合肥 ）已知函数有两个极值点，.(1)求实数的取值范围；(2)求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）由于，则.设，则，令，解得.所以当时，；当时，所以当时，所以函数在上单调递增，没有极值点.当时，此时，有两个零点、，不妨设，则,所以函数有2个极值点时，的范围时.（2）由（1）知，、为的两个实数根，不妨设，则，在上单调递减.下面先证，只需证.由于，所以，所以.设，则，所以在上单调递减，所以，所以.由于函数在上单调递减，所以.要证，只需证，即证.设函数,则.设，则,所以在上单调递增，即.所以在上单调递增，.故当时，,则,所以,即3（2023广东广州广州市从化区从化中学

32、校考模拟预测）已知函数.(1)讨论函数的单调性：(2)若是方程的两不等实根，求证：；【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【解析】（1）由题意得，函数的定义域为.由得：，当时，在上单调递增；当时，由得，由得，所以在上单调递增，在上单调递减.（2）因为是方程的两不等实根，即是方程的两不等实根，令，则，即是方程的两不等实根.令，则，所以在上递增，在上递减，当时，；当时，且.所以0，即0.令，要证，只需证，解法1（对称化构造）：令，则，令，则，所以在上递增，所以h，所以，所以，所以，即，所以.解法2（对数均值不等式）：先证，令，只需证，只需证，令，所以在上单调递减，所以.因为，所以，所以，即，所以

33、.考法九 交点或零点之间的关系【例9】（2023重庆统考模拟预测）已知函数和在同一处取得相同的最大值(1)求实数a；(2)设直线与两条曲线和共有四个不同的交点，其横坐标分别为（），证明：【答案】(1)(2)证明见详解【解析】（1）由题意可得：，显然，当时，令，解得；令，解得；则在上单调递增，在上单调递减，可得在处取到最大值；当时，令，解得；令，解得；则在上单调递增，在上单调递减，可得在处取到最小值，不合题意；综上所述：，在处取到最大值.因为的定义域为，且，令，解得；令，解得；则在上单调递增，在上单调递减，可得在处取到最大值；由题意可得：，解得.（2）由（1）可得：在上单调递减，在上单调递增，在

34、处取到最大值，且当x趋近于时，趋近于，当x趋近于时，趋近于，可得直线与曲线至多有两个交点；在上单调递增，在上单调递减，在处取到最大值，且当x趋近于时，趋近于，当x趋近于时，趋近于，可得直线与曲线至多有两个交点；若直线与两条曲线和共有四个不同的交点，则，此时直线与曲线、均有两个交点，构建，构建，且，则，可得在上单调递减，在上单调递增，在处取到最大值，构建，则，因为，令，解得；令，解得；则在上单调递增，在上单调递减，可得，即，当且仅当时，等号成立，可得：当时，则，所以；当时，且在上单调递增，则，可得，所以；当时，且在上单调递减，则，可得，所以；综上所述：当时，；当时，；当时，.结合题意可得：直线与

35、曲线的两个交点横坐标为，与的两个交点横坐标为，且，当，可得，即，可得，即，因为在上单调递增，且，则，可得所以；当，可得，即，可得，即，因为在上单调递增，且，则，可得，所以；综上所述：，即.【变式】1（2023新疆统考三模）已知函数，(1)讨论的单调性；(2)若方程有两个不相等的实根，求实数的取值范围，并证明【答案】(1)答案见解析(2)；证明见解析【解析】（1）因为，所以，当时，所以在区间上单调递增，当时，令，得；令，得，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，综上当时，在区间上单调递增，当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减.（2）方程，即，等价于，令，其中，则，显然，令，则，所以在区间上

36、单调递减，且由时可得在区间上，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，因为方程有两个实根，所以关于的方程有两个实根，且，所以，要证，即证，即证，只需证，因为，所以，整理可得，不妨设，则只需证，即，令，其中，因为，所以在区间上单调递增，所以，故2（2023河南校联考二模）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若方程有两个不同的实数根，证明：.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【解析】（1）函数的定义域是，.当时，对任意恒成立，所以函数在上单调递增；当时，令，得，所以函数在上单调递减，令，得，所以函数在上单调递增.综上可得，时，函数在上单调递增；时，函数在上单调递减，在上单调递增.（2）

37、方程即，得，不妨设，则，得，所以.所以要证，即证，即证，即.设，因为，所以，即证（）.设，则当时，所以函数在上单调递增，所以，即，即，即.考法十 根据极值（点）求参数【例10】（2023新疆校联考模拟预测）已知函数，是的导函数.(1)若，求证：当时，恒成立；(2)若存在极小值，求的取值范围.【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】（1）的定义域为，.令，则.令，则.由，得，当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增，当时，即当时，在上单调递增.，当时，恒成立.（2）由（1）知，.设，则.当时，恒成立，在上单调递增.，当时，从而；当时，从而.又，都有，所以在上单调递增，此时无极值；当时，由，得，当

38、时，；当时，在上单调递减，在上单调递增，当时，取得最小值，且最小值为.令，当时，；当时，在上单调递增，在上单调递减.，当时，即当时，（当且仅当时等号成立）.（i）当时，且当时，都有，且当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值，符合题意.（ii）当时，且.，的图象大致如图（1）.图（1）由函数的单调性及零点存在定理，得在内存在唯一的实数，使得，当时，从而；当时，从而；当时，从而，在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值，符合题意.（iii）当时，且.，由（1）知，的图象大致如图（2）.图（2）由函数的单调性及零点存在定理，得在内存在唯一的实数，使，当时，从而；当时，从而；当时，

39、从而，在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值，符合题意.综上，当存在极小值时，的取值范围为.【变式】1.（2023河南校联考模拟预测）已知函数.(1)证明：恰有一个零点；(2)设函数.若至少存在两个极值点，求实数的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）证明：令，得.又，所以.令，则，所以在区间上单调递增.又，所以存在唯一的，使得，即在区间内恰有一个零点，故函数恰有一个零点.（2）由题意知，所以.因为函数至少存在两个极值点，所以方程至少有两个不等实根.令，则.令，则，所以函数在区间上单调递减.又，所以当时，即0，此时单调递增；当时，即，此时单调递减，且当时，；当时，；当时，.

40、要使在区间内至少有两个不等实根，则函数的图象与直线在区间上至少有两个交点.作出函数的图象，如图所示，则，解得.此时，在区间和区间内各有一个零点，分别设为，则当或时，；当时，故为的极小值点， 为的极大值点，符合题意.故实数的取值范围是.2（2023贵州黔东南凯里一中校考模拟预测）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若有两个极值点，证明：.【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】（1）由题得，其中，令，其中对称轴为， 若，则，此时，则，所以在上单调递增；若，则，此时在上有两个根，且，所以当时，则，单调递增；当,时，则，单调递减；当,时，则，单调递增，当时，当时，则，单调递增，当时，则，单调递减，当时，此时在上有两个根，所以当时，则，单调递减；当,时，则，单调递增，综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在，上单调递减，在，上单调递增当时，在上单调递减，在上单调递增，当时，在上单调递减，在，上单调递增（2）由（1）知，当时，有两个极值点，且，所以令，则，故在上单调递减，所以，所以，即