专题06三角函数与解三角形B辑（教师版含解析）备战2021年高中数学联赛之1981-2020年高中数学联赛一试试题分专题训练.docx

1、备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2020)专题06三角函数与解三角形B辑历年联赛真题汇编1【2020高中数学联赛A卷(第01试)】在ABC中, AB=6,BC=4,边AC上的中线长为10,则sin6A2+cos6A2的值为.【答案】211256【解析】记M为AC的中点,由中线长公式得4BM2+AC2=2(AB2+BC2),可得AC=2(62+42)-410=8.由余弦定理得cosA=CA2+AB2-BC22CAAB=82+62-42286=78,所以sin6A2+cos6A2=(sin2A2+cos2A2)(sin4A2-sin2A2cos2A2+cos4A2)=(sin2

2、A2+cos2A2)2-3sin2A2cos2A2=1-34sin2A=14+34cos2A=211256.2【2020高中数学联赛B卷(第01试)】在三角形ABC中,BC=4,CA=5,AB=6,则sin6A2+cos6A2= .【答案】4364【解析】由余弦定理得cosA=CA2+AB2-BC22CAAB=52+62-42256=34,所以sin6A2+cos6A2=(sin2A2+cos2A2)(sin4A2-sin2A2cos2A2+cos4A2)=(sin2A2+cos2A2)2-3sin2A2cos2A2=1-34sin2A=14+34cos2A=4364.3【2019高中数学联赛

3、A卷(第01试)】对任意闭区间I，用MI表示函数y=sinx在I上的最大值.若正数a满足M0,a=2Ma,2a，则a的值为 .【答案】56或1312.【解析】假如0a2，则由正弦函数图象性质得02，此时M0,a=1，故Ma,2a=12.于是存在非负整数k，使得2k+56a2a2k+136 且中两处“”至少有一处取到等号.当k=0时，得a=56或2a=136.经检验，a=56或1312均满足条件.当k1时，由于2k+1360，从而sinsin=75.5【2018高中数学联赛B卷(第01试)】设,满足tan+3=-3,tan-6=5，则tan(-)的值为 .【答案】-74【解析】由两角差的正切公式

4、可知tan+3-6=-3-51+(-3)5=47，即tan-+2=47，从而tan(-)=-cot-+2=-74.6【2017高中数学联赛A卷(第01试)】在ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点若A=3，ABC的面积为3，则AMAN的最小值为 .【答案】3+1【解析】由条件知，AM=12(AB+AC),AN=34AB+14AC，故AMAN=12(AB+AC)34AB+14AC=183|AB|2+|AC|2+4ABAC.由于3=SBC=12|AB|AC|sinA=34|AB|AC|，所以|AB|AC|=4，进一步可得ABAC=|AB|AC|cosA=2.从而AMAN18(23|AB|2

5、|AC|2+4ABAC)=34|AB|AC|+12ABAC=3+1.当|AB|=243,|AC|=243时，AMAN的最小值为3+1.7【2017高中数学联赛B卷(第01试)】在ABC中，若sinA=2sinC，且三条边a、b、c成等比数列，则cosA的值为 .【答案】-24【解析】由正弦定理知，ac=sinAsinC=2，又b2=ac，于是a:b:c=2:2:1，从而由余弦定理得，cosA=b2+c2-a22bc=(2)2+12-22221=-24.8【2016高中数学联赛(第01试)】设函数f(x)=sinkx104+coskx104，其中k是一个正整数.若对任意实数a，均有f(x)|ax

6、a+1=f(x)|xR，则k的最小值为 .【答案】16【解析】由条件知，f(x)=sin2kx10+cos2kx102-2sin2kx10cos2kx10=1-12sin2kx5=14cos2kx5+34，其中当且仅当x=5mk(mZ)时，f(x)取到最大值.根据条件知，任意一个长为1的开区间(a，a+1)至少包含一个最大值点，从而5k5.反之，当k5时，任意一个开区间(a，a+1)均包含f(x)的一个完整周期，此时f(x)|axa+1=f(x)|xR成立.综上可知，正整数k的最小值为5+1=16.9【2015高中数学联赛(第01试)】若实数满足cos=tan，则1sin+cos4的值为 .【

7、答案】2【解析】由条件知cos2=sin，反复利用此结论，并注意到cos2+sin2=1，得1sin+cos4=cos2+sin2sin+sin2=(1+sin)+1-cos2=2+sin-cos2=2.10【2015高中数学联赛(第01试)】设为正实数，若存在a,b(ab2)，使得sina+sinb=2，则的取值范围是 .【答案】94,52134,+【解析】由sina+sinb=2知sina=sinb=1，而a,b,2，故题目条件等价于：存在整数k，l(kl)，使得2k+22l+22 当4时，区间,2的长度不小于4，故必存在k，l满足式.当04时，注意到,2(0,8)，故仅需考虑如下几种情况

8、：(i)2522，此时12且54，无解；(ii)52922，此时有9452；(iii)921322，此时有13492，得1344.综合情形(i)，(ii)，(iii)，并注意到4亦满足条件，可知94,52134,+.11【2013高中数学联赛(第01试)】在ABC中，已知sinA=10sinBsinc，cosA=100cosBcosC，则tanA的值为 .【答案】11【解析】由于sinA-cosA=10(sinBsinC-cosBcosC)=-10cos(B+C)=10cosA，所以sinA=11cosA，故tanA=11.12【2012高中数学联赛(第01试)】设ABC的内角A，B，C的对边

9、分别为a，b，c，且满足acosBbcosA=35c，则tanAtanB的值是 .【答案】4【解析】解法一由题设及余弦定理，得ac2+a2-b22ca-bb2+c2-a22bc=35c，即a2-b2=35c2，故tanAtanB=sinAcosBsinBcosA=ac2+a2-b22cabb2+c2-a22bc=c2+a2-b2b2+c2-a2=85c225c2=4.解法二如图，过点C作CDAB，垂足为D，则acosB=DB,bcosA=AD，由题设得DB-AD=35c，又DB+DA=c，联立解得AD=15c,DB=45c.故tanAtanB=CDADCDDB=DBAD=4.解法三由射影定理，

10、得acosB+bcosA=c，又acosB-bcosA=35c，联立解得acosB=45c,bcosA=15c.故tanAtanB=sinAcosBsinBcosA=acosBbcosA=45c15c=4.13【2012高中数学联赛(第01试)】满足14sinn13的所有正整数n的和是 .【答案】33【解析】由正弦函数的凸性有，当x0,6时3xsinxx，由此得sin1313312=14，sin101039=13，所以sin1314sin12sin11sin1013sin9，故满足14sinn13的正整数n的所有值分别为10，11，12，它们的和为33.14【2011高中数学联赛(第01试)】

11、如果cos5-sin57sin3-cos3，0,2)，那么的取值范围是 .【答案】4,54【解析】不等式cos5-sin5cos3+17cos5，又f(x)=x3+17x5是(，+)上的增函数，所以sincos.故2k+42k+54(kZ).因为0,2)，所以的取值范围是4,5415【2010高中数学联赛(第01试)】已知函数y=acos2x-3sinx的最小值为3，则实数a的取值范围是 .【答案】-32a12【解析】令sinx=t，则原函数化为g(t)=-at2+a-3t，即g(t)=-at3+(a-3)t，由-at3+(a-3)t-3，即-att2-1-3(t-1)0，(t-1)(-at(

12、t+1)-3)0，及t-10知-at(t+1)-30，即at2+t-3 当t=0，1时，式总成立.对0t1，有0t2+t2，对1t0，有-14t2+t2，当cosx=1时，f(x)取最小值14a；若a2或a2时，f(x)的最小值不能为-12，故-12a2-2a-1=-12，解得a=-2+3,a=-2-3(舍去).17【2007高中数学联赛(第01试)】已知函数f(x)=sinx-cosx+2x14x54，则f(x)的最小值为 .【答案】455【解析】实际上f(x)=2sinx-4+2x14x54，设g(x)=2sinx-414x54，则g(x)0，g(x)在14,34上是增函数，在34,54上

13、是减函数，且y=g(x)的图像关于直线x=34对称，则对任意x114,34，存在x234,54，使gx2=gx1，于是fx1=gx1+2x1=gx2+2x1gx2+2x2=fx2，而f(x)在34,54上是减函数，所以f(x)f54=455，而f(x)在14,54上的最小值是455.18【2006高中数学联赛(第01试)】设f(x)=sin4x-sinxcosx+cos4x，则f(x)的值域是 .【答案】0f(x)98【解析】由已知得f(x)=sin4x-sinxcosx+cos4x=1-12sin2x-12sin22x，令t=sin2x，则f(x)=g(t)=1-12t-12t2=98-12

14、t+122，因此min-1t1g(t)=g(1)=98-1294=0，max-1i1g(t)=g-12=98-120=98，即得0f(x)98.19【2006高中数学联赛(第01试)】若对一切R，复数z=(a+cos)+(2a-sin)i的模不超过2，则实数a的取值范围为 .【答案】-55,55【解析】依题意，得|z|2(a+cos)2+(2a-sin)242a(cos-2sin)3-5a2-25asin(-)3-5a2=arcsin15,(对任意实数成立)故a的取值范围为-55,55.20【2005高中数学联赛(第01试)】设,满足02，若对于任意xR，cos(x+)+cos(x+)+cos

15、(x+)=0，则-= .【答案】43【解析】设f(x)=cos(x+)+cos(x+)+cos(x+)，由xR,f(x)0，知f(-)=0,f(-)=0,f(-)=0，即cos(-)+cos(-)=-1，cos(-)+cos(-)=-1，cos(-)+cos(-)=-1，所以cos(-)=cos(-)=cos(-)=-12，因为02，所以-,-,-23,43，又-,-0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数g(x)=a2+1的图像所围成的封闭图形的面积是 .【答案】2aa2+1【解析】由题意知f(x)=a2+1sin(ax+)，其中=arctan1a.它的最小正周期为2a，振幅为a2+1.由

16、f(x)的图像与g(x)的图像围成的封闭图形的对称性，可将这图形割成长为2a、宽为a2+1的长方形，故它的面积是2aa2+1.22【2002高中数学联赛(第01试)】使不等式sin2x+acosx+a21+cosx对一切xR恒成立的负数a的取值范围是 .【答案】a2【解析】原不等式可化为cosx-a-122a2+(a-1)24，因为-1cosx1，a0,a-120，所以当cosx=1时，函数y=cosx-a-122有最大值1-a-122，从而有1-a-122a2+(a-1)24，整理得a2+a-20，所以a1或a2.又a0，所以a2.23【2000高中数学联赛(第01试)】arcsinsin2

17、000= .【答案】-20【解析】由题意，有2000=18011+20，所以sin2000=sin18011+20=sin-20，所以arcsin2000=-20.24【1999高中数学联赛(第01试)】在ABC中，记BC=a，CA=b，AB=c，若9a2+9b219c2=0，则cotCcotA+cotB= .【答案】59【解析】解法一由题意得cotCcotA+cotB=cosCsinCcosAsinA+cosBsinB=sinAsinBsin2CcosC=abc2a2+b2-c22ab=a2+b2-c22c2=9a2+b2-c218c2=19c2-9c218c2=59.解法二事实上，在ABC

18、中，我们有cotC=a2+b2-c24S，类似有cotA，cotB的表达式，将它们代入cotCcotA+cotB，并利用条件9a2+9b2-19c2=0立得cotCcotA+cotB=a2+b2-c22c2=59.25【1994高中数学联赛(第01试)】已知x,y-4,4,aR，且x3+sinx-2a=04y3+sinycosy+a=0，则cos(x+2y)= .【答案】1【解析】由已知得x3+sinx=2a=(-2y)3+sin(-2y)，令f(t)=t3+sint，有f(x)=(-2y)，由于函数f(t)=t3+sint在-2,2上是增函数，所以x=-2y，x+2y=0.故cos(x+2y

19、)=1.26【1994高中数学联赛(第01试)】设0，则sin2(1+cos)的最大值是 .【答案】439【解析】由题意得sin2(1+cos)=2sin2cos22=22sin22cos2222sin22+cos22+cos2233=2232=22323=439.其中等号成立当且仅当2sin22=cos22，即=2arccot2.故应填439.27【1992高中数学联赛(第01试)】在区间0,中，三角方程cos7x=cos5x的解的个数是 .【答案】7【解析】原方程可化为-2sin6xsinx=0，其解为x=k,x=l6(k,lZ)，故所给方程的全部解可表为x=l6(lZ).当l=0，1，2

20、，6时，x0,.因此，在区间x0,中的解的个数是7.28【1991高中数学联赛(第01试)】cos210+cos250-sin40sin80= .【答案】34【解析】原式=cos10-cos50+cos10cos50=sin220+cos10cos50=121-cos40cos60+cos40=34.29【1991高中数学联赛(第01试)】在ABC中，已知三个角A，B，C成等差数列，假设他们所对的边分别为a，b，c并且ca等于AC边上的高h，则sinC-A2= .【答案】12【解析】易见h=c-a=hsinA-hsinC，化简得sinC-sinA=sinAsinC.由条件知A+C=120，根据

21、上式得2sinC-A2cos1202=12cos(C-A)-cos120，即sinC-A22+sinC-A2-34=0，解得sinC-A2=12,sinC-A2=-32(舍去)30【1985高中数学联赛(第01试)】在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，B，C的大小构成等比数列，且b2a2=ac，则B的弧度数等于 .【答案】27【解析】因为A，B，C构成等比数列，所以不妨设A=1qB,C=qB，由A+B+C=，可得B=qq2+q+1，已知b2-a2=ac，又由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，所以ac=c2-2accosB，因为c0，所以a=c-2acosB，利用正弦定理

22、，得sinA=sinC-2sinAcosB，从而sinA=sinC-sin(A+B)+sin(A-B).所以sinA=sin(B-A)，求得A=12B，所以q=2,B=27.31【1984高中数学联赛(第01试)】方程cosx4=cosx的通解是 ，在(0，24)内，不相同的解有 个.【答案】x=8m5与x=8n3，m,nZ； 20【解析】很明显，方程的通解是x=8m5与x=8n3，m,nZ，当x=85m(0,24)时，0m15.m可取1,2,3,14，即14个解；当x=83n(0,24)时，0n9，n可取1,2,8，即8个解.但其中当m=5与n=3，m=10与n=6时，解相同，故在(0，24

23、)中不同的解有20个.32【1983高中数学联赛(第01试)】在ABC中，sinA=35,cosB=513，那么cosC的值等于 .【答案】1665【解析】在ABC中，因为cosB=51312，所以60B90且sinB=1213，又sinA=35，所以cosA=-45或cosA=45.(i)若cosA=-45，则有cosA=-45-12，120A180，180A+B270，这与已知条件相矛盾.(ii)若cosA=45，则cosC=cos180-A-B=cosAcosB-sinAsinB=351213-45513=1665.所以cosC=1665.优质模拟题强化训练1计算：1sin10-3cos

24、10=_.【答案】4【解析】1sin10-3cos10=2sin(30-10)12sin20=42已知函数y=(acos2x-3)sinx的最小值为-3.则实数a的取值范围是_.【答案】-32a12【解析】令sinx=t.于是，原函数化为g(t)=a(1-t)2-3t.由g(t)在-1,1内的最小值为-3得at(1-t)2+3(1-t)0，即(1-t)at(1+t)+30.故a(t2+t)-3. 当t=0,-1，时，式总成立；当0t1时，0t2+t2；当-1t0时，-14t2+t0.从而，-32a12.3已知函数f(x)=4sin2x+3cos2x+2asinx+4acosx的最小值为6，则实

25、数a的值为_ .【答案】2【解析】令sinx+2cosx=t，则t-5,5，2t2=4sin2x+3cos2x+5，f(x)=g(t)=2t2+2at-5,t-5,5，当-a2-5，a25时，函数的最小值为：g(-5)=2(-5)2+2(-5)a-5=-6，解得：a=1125，不合题意，舍去；当-a25，a-25时，函数的最小值为：g(5)=2(5)2+2(5)a-5=-6，解得：a=-1125，不合题意，舍去；当-5-a25，-25a25时，函数的最小值为：g(-a2)=2(-a2)2+2(-a2)a-5=-6，解得：a=2，满足题意.故答案为：24如果函数y=2sin(2x+)的图象关于点

26、(23,0)中心对称，那么|的最小值为_ .【答案】3【解析】由f(23)=0，得sin(43+)=0,=k-43.当k=1，=-3时，满足题设条件.即|的最小值为3.故答案为：35在ABC中，若AC=2，AB=2，且3sinA+cosA3cosA-sinA=tan512，则BC=_ .【答案】2【解析】由3sinA+cosA3cosA-sinA=tan512，得2sin(A+6)2cos(A+6)=tan512，即tan(A+6)=tan512，所以A+6=512+k,kZ.结合0A，得A+6=512,A=4.所以由余弦定理，得：BC2=AC2+AB2-2ACABcosA=(2)2+22-2

27、22cos4=2所以BC=2.故答案为：26ABC的三个内角A、B、C满足：A=3B=9C，则cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA=_ .【答案】-14【解析】设C=,B=3,A=9，由+3+9=得=13，所以S=cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA=cos913cos313+cos313cos13+cos13cos913=12(cos1213+cos613)+(cos413+cos213)+(cos1013+cos813).注意括号中的诸角度构成公差为213的等差数列，两边同乘4sin13，得到4Ssin13=2sin13(cos213+cos413+cos6

28、13+cos813+cos1013+cos1213)=(sin313-sin13)+(sin513-sin313)+(sin713-sin513)+(sin913-sin713)+(sin1113-sin913)+(sin1313-sin1113)=-sin13.所以，S=-14.故答案为：-147若sin+cos=75，且tan1，则sin=_ .【答案】35【解析】将sin+cos=75两边平方可得2sincos=2425，由此可得(sin-cos)2=1-2sincos=1-2425=125.故sin-cos=15.所以sin+cos=75sin-cos=15或sin+cos=75sin

29、-cos=-15.解得sin=45cos=35或sin=35cos=45.因为tan1，所以sin=35.故答案为：358在三棱锥P-ABC中，三条棱PA、PB、PC两两垂直，且PA=1、PB=2、PC=2.若点Q为三棱锥P-ABC的外接球球面上任意一点，则Q到面ABC距离的最大值为_.【答案】32+66 【解析】三棱锥P-ABC的外接球就是以PA、PB、PC为长、宽、高的长方体的外接球，其直径为2R=12+22+22=3.又cosBAC=15，从而sinBAC=265，于是，ABC的外接圆半径为r=BC2sinBAC=536.故球心O到ABC面的距离为R2-r2=66.从而，点Q到面ABC距

30、离的最大值是32+66.故答案为：32+669已知函数f(x)=sinx和g(x)=2-x2的定义域都是-,，则它们的图像围成的区域面积是_【答案】32【解析】将y=2-x2的图象补充为完整的圆，则由中心对称性易知答案是圆面积的一半，为32.故答案为3210在ABC中，sin2A+sin2C=2018sin2B，则(tanA+tanC)tan2BtanA+tanB+tanC=_【答案】22017【解析】因为sin2A+sin2C=2018sin2B所以a2+c2=2018b2注意到：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC故(tanA+tanC)tan2BtanA+tanB+ta

31、nC=(tanA+tanC)tan2BtanAtanBtanC=(1tanA+1tanC)tanB=sin2BsinAsinC1cosB=b2ac(2aca2+c2-b2)=2b22018b2-b2=22017故答案为：2201711如果函数y=3cos(2x+)的图象关于点CM中心对称，那么|的最小值为_.【答案】6 【解析】由y=3cos(2x+)得图象关于点(43,0)中心对称知，f(43)=0，即83+=k+2(kZ)，即=k-83+2(kZ).因此，|的最小值为|min=|(k-2)-6|min=6.故答案为：612函数f(x)=sinx+2|sinx|，x0,2的图象与直线y=k有

32、且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是_.【答案】1k3 【解析】f(x)=3sinx,x0,.-sinx,x,2.作出其图像，可只有两个交点时k的范围为1k3.故答案为1k313若对任意的0,2，不等式4+2sincos-asin-acos0，tanB20，cotC2=tanA+B2=tanA2+tanB21-tanA2tanB20故tanA2tanB20cosA136，显然，C56.故C=6.20tan15+22sin15=_ .【答案】1【解析】tan15+22sin15=sin15cos15+22sin15=sin15+2sin30cos15=sin15+2sin(45-15)cos15=sin15+2(sin45cos15-cos45sin15)cos15=1.故答案为：1