专题06实数的运算、分数指数幂（4大考点 7种题型）（原卷版）.docx

1、专题06实数的运算、分数指数幂（4大考点+7种题型） 思维导图核心考点与题型分类聚焦考点一：实数比较大小考点二：实数的运算考点三：近似数与有效数字考点四：分数指数幂题型一：实数的大小比较题型二：实数的混合运算题型三：新定义下的实数运算题型四：实数运算的实际应用题型五：与实数运算相关的规律题题型六：近似数与有效数字题型七：分数指数幂考点一：实数比较大小正数0负数；比较两数大小是中学数学中的基本类型基本技能，以下介绍几种常用的方法：1近似值法：借用两个数的不足和过剩近似值来判别两个数大小的方法；2平方法：将两个数先平方，再来判定两个数大小的方法；3求差法：先求两个数的差，用差与0作比较来判定两个数

2、大小的方法即大于、等于、小于0可判定大于、等于、小于；4求商法：先求两个数的商，用商与1作比较判定两个数大小的方法即大于、等于、小于1，可判定正数大于、等于、小于正数；5求倒数法：先求两个数的倒数，用倒数的大小来判定两个数大小的方法即对于符号相同的，两数，若，则；若，则考点二：实数的运算在实数范围内，可以进行加减乘除乘方等运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立实数混合运算的运算顺序与有理数运算顺序基本相同，先乘方开方再乘除，最后算加减，同级按从左到右顺序进行，有括号先算括号里的实数运算的结果是唯一的实数运算常用到的公式有：第一组：；第二组：；考点三：近似数与有效数字1准确数概念

3、：一般来说，完全符合实际地表示一个量多少的数叫做准确数2近似数概念：与准确数达到一定接近程度的数叫做近似数（或近似值）在很多情况下，很难取得准确数，或者不必使用准确数，而可使用近似数取近似数的方法：四舍五入法，进一法，去尾法（根据具体实际情况使用）3精确度概念：近似数与准确数的接近程度即近似程度，对近似程度的要求，叫做精确度近似数的精确度通常有两种表示方法：（1） 精确到哪一个数位；（2） 保留几个有效数字4有效数字概念：对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字考点四：分数指数幂把指数的取值范围扩大到分数，我们规定：，其中m、为正整数，

4、上面规定中的和叫做分数指数幂，是底数整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂题型一：实数的大小比较【例1】（2023下上海长宁七年级统考期末）比较下列两实数的大小： 【变式1】（2021下上海宝山七年级校考期中）比较大小： （填“”或“”或“=”）【变式2】（2022下上海嘉定七年级校考期末）比较大小： （填“”，“”或“”）【变式3】（2021下上海静安七年级上海市市西初级中学校考期中）如果，那么在；这四个数中，最大的是 题型二：实数的混合运算【例2】（2023下上海七年级阶段练习）计算：【变式1】（2023下七年级单元测试）计算：【变式2】（2023下上海徐汇七年级上海市第二初级中学校考阶

5、段练习）计算：【变式3】（2023下上海宝山七年级校考阶段练习）计算：【变式4】（2021下上海静安七年级上海市市北初级中学校考期中）计算：.【变式5】（2021下上海徐汇七年级校考期中）计算【变式6】（2023下上海浦东新七年级上海市进才中学校考期末）（1）；（2）题型三：新定义下的实数运算【例3】（2022上上海七年级期末）阅读下列材料，并解决后面的问题材料：一般地，n个相同的因数相乘：记为若，则n叫做以a为底b的对数，记作（即）例如：，此时3叫做以2为底8的对数，记作（即）；又如：，则4叫做以3为底81的对数，记作（即）问题：(1)计算以下各对数的值： ， ， ；(2)、之间满足怎样的关

6、系式： ；(3)由（2）的结果，你能猜测出一个一般化的结论吗？猜测： 且(4)设，请根据幂的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性【变式1】（2022上上海杨浦七年级统考期中）阅读下列材料：让我们来规定一种运算：，例如：，再如：按照这种运算的规定：请解答下列各个问题：(1)_(2)当时，求x的值(3)将下面式子进行因式分解：【变式2】（2021下上海徐汇七年级校考期中）阅读下列材料并解答问题对于实数a，我们规定用表示不小于的最小整数，称为a的根整数如表示不小于的最小整数，即，所以10的根整数为4(1)计算25的根整数，得_(2)现对12进行连续求根整数，第一次，再进行第二次求根整数，表示对

7、12连续求根整数2次可得结果为2若对2020进行连续求根整数，则第_次可得结果为2【变式3】（2022上上海七年级期末）如果正整数x能够写成两个正整数a与b的和与它们的乘积之和，即xabab，那么x叫做“和谐数”，其中abab叫做x的“表达式”例如，因为51212，244444，所以5与24都是“和谐数”(1)3与20都是“和谐数”，请分别写出它们的“表达式”：3 20 (2)如果正偶数y是两位数且y是“和谐数”，那么y的最小值是 ；(3)在小于20的正整数中，“和谐数”共有 个；(4)如果“和谐数”xabab，其中an2，b（n1）2，n是正整数，请说明“和谐数”x是一个完全平方数题型四：实

8、数运算的实际应用【例4】（2022下上海静安七年级统考期中）如图，在面积为2平方米的正方形ABCD的木料中，挖去以边BC为直径的半圆，则剩下的木料的面积为多少平方米？（，结果精确到 ）【变式1】（2022上上海七年级专题练习）已知小正方形的边长为1，在44的正方形网中（1）求_（2）在55的正方形网中作一个边长为的正方形【变式2】（2023下七年级单元测试）“说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题(1)到底有多大？下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整：我们知道面积是2的正方形边长是，且设，画出如下示意图由面积公式，可得_因为值很小，所以更小，略去，得方程_，解得_（保留到0

9、.001），即_(2)怎样画出？请一起参与小敏探索画过程现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形小敏同学的做法是：设新正方形的边长为依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形说明：直接画出图形，不要求写分析过程题型五：与实数运算相关的规律题

10、【例5】（2023下上海闵行七年级统考期中）观察等式：，按上述规律，若，则 【变式1】（2022上上海七年级专题练习）将实数按如图所示的方式排列，若用表示第m排从左向右数第n个数，则与表示的两数之积是 1（第1排） （第2排）1 （第3排）1（第4排）1（第5排）【变式2】（上海浦东新七年级校联考期中）先计算下列各式：=_，=_，=_，=_，=_(1)通过观察并归纳，请写出：_(2)计算：题型六：近似数与有效数字【例6】下列数据中，哪些是近似数?哪些是准确数?（1）上海科技馆的建筑面积约98000平方米；（2）我们班9位同学的身高为1.65米；（3）地球赤道的半径为6378千米；（4）据国家统

11、计局在2005年12月公布的经济普查结果，我国2005年GDP总量达到159878亿元【变式1】已知，按四舍五入法取近似值（1）_（保留五个有效数字）；（2）_（保留三个有效数字）；（3）0.045267_（保留三个有效数字）【变式2】月球沿一定的轨道绕地球运动，它在近地点时与地球相距363300km，在远地点时地球相距405500km按下列精确度要求，用科学记数法表示这两个数的近似数：（1）精确到万位；（2）保留三个有效数字【变式3】下列近似数各精确到哪一位?各有几个有效数字? （1）5691；（2）0.0589；（3）650000；（4）0.003亿；（5）【变式4】已知圆锥，其中为底边圆

12、半径，为圆锥的高.一圆锥形仓库，底边直径为，高为，若每立方米的货物重，则这个仓库堆有货物多少千克?（，结果精确到万千克）题型七：分数指数幂【例7】（2023下上海长宁七年级统考期末）计算： 【变式1】（2023下上海奉贤七年级校考期中）把化为底数为的幂的形式是 【变式2】（2023下上海黄浦七年级统考期末）计算： 【变式3】（2023下上海松江七年级统考期末）把写成方根的形式： 【变式4】（2023下上海七年级校考期中）计算：【变式5】（2023下上海嘉定七年级校考期末）计算：【变式6】（2023下上海嘉定七年级校考期末）利用幂的运算性质计算：【变式7】（2023下上海奉贤七年级校考期中）计算

13、：【变式8】（2023下上海嘉定七年级统考期末）用幂的运算性质计算：【变式9】（2023下上海奉贤七年级校考期中）计算：（结果表示为含幂的形式）一、单选题1（2024下全国七年级假期作业）下列各数中，比小的是（）A3B2C1.8D12（2023上浙江衢州七年级校联考期中）下列说法错误的是（）A的平方根是B两个无理数的和一定是无理数C 是最小的正整数D实数与数轴上的点一一对应3（2023上浙江金华七年级校联考阶段练习）按如图所示的程序计算，输入是（）时，始终无法输出A无理数B0C1D0或14（2024上河北石家庄七年级校考阶段练习）有一列数按一定规律排列：则第n个数是（）ABCD5（2021下全

14、国七年级专题练习）根式（ ，为正整数，1）用分数指数幂可表示为（）ABCD二、填空题6（2021下上海七年级校考期中）求值： 7（2021下上海静安七年级上海市市北初级中学校考期中）把化为幂的形式：_.8（2024下全国七年级假期作业）计算： 9（2023下上海徐汇七年级上海市第四中学校考期中）若，则 10（2023下上海黄浦七年级统考期末）计算： 11（2021下上海松江七年级校考期中）计算： 12（2023上上海奉贤七年级统考期末）将分式表示成不含分母的形式 三、解答题13（2021下上海宝山七年级校考期中）计算：（利用幂的运算性质计算）14（2022下上海嘉定七年级校考期末）计算：15（

15、2023下辽宁营口七年级统考期中）计算(1)计算：；(2)已知x是的立方根，y是13的算术平方根求的平方根16（2023上山东威海七年级统考期末）计算：(1)(2)17（2024下全国七年级假期作业）课堂上，老师出了一道题：比较与的大小小明的解法如下：解：我们把这种比较大小的方法称为作差法请仿照上述方法，比较下列各组数的大小：(1)和；(2)和；(3)和18（2023上山东济南七年级校联考阶段练习）观察下列各式：请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：(1)(2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式 (3)利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）19（2024下全国七年级假期作业）观察下列等式，利用你发现的规律解答下列问题：，,，(1)计算：；(2)试比较与的大小