专题07 一次函数（5大考点）（原卷版）.docx

1、第三部分 函数专题07 一次函数（5大考点） 核心考点核心考点一 一次函数的概念核心考点二 一次函数的图象与性质核心考点三 一次函数图象的平移、旋转和对称核心考点四 一次函数与方程、不等式的关系核心考点五 一次函数的应用新题速递核心考点一 一次函数的概念例1 （2022山东济南统考中考真题）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为40m如图所示，设矩形一边长为xm，另一边长为ym，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（）A正比例函数关系B一次函数关系C反比例函数关系D二次函数关系例2 （2021江苏盐城统考中考真题

2、）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交、轴于点、，将直线绕点按顺时针方向旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是_例3 （2022北京统考中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，且与轴交于点(1)求该函数的解析式及点的坐标；(2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围知识点、定义一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k0)的函数叫做x的一次函数.特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k0）这时， y叫做x的正比例函数一次函数的一般形式的结构特征：（1）k0，（2）x的次数是1；（3）常数b可以为任意实数.注意：（1）正比例函数

3、是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.（2）一般情况下，一次函数的自变量的取值范围是全体实数.（3）如果一个函数是一次函数，则含有自变量x的式子是一次的，系数k不等于0，而b可以为任意实数（4）判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k0）的形式.（5）一次函数的一般形式可以转化为含x、y的二元一次方程.知识点、一次函数表达式的确定先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法。待定系数法求一次函数解析式的一般步骤设：设出含有待定系数k、b的函数解析式y=kx+b列：把两个已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关

4、于系数k，b的二元一次方程组解：解二元一次方程组，求出k，b还原：将求得的k，b的值代入解析式【变式1】（2022河南校联考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点在原点上，在轴上，为边的中点，将等边向右平移，当点落在直线：上时，点的对应点的坐标为（）ABCD【变式2】（2021湖南长沙长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考一模）定义：对于给定的一次函数（、为常数，且，把形如的函数称为一次函数的“相依函数”，已知一次函数，若点在这个一次函数的“相依函数”图象上，则的值是（）A1B2C3D4【变式3】（2022贵州遵义统考一模）在平面直角坐标系中，若一次函数的图象过点，则的值为_【变式4】（

5、2021山东东营二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC满足点O在原点，点A坐标为（2，0），AOC60，直线y3xb与菱形OABC有交点，则b的取值范围是_【变式5】（2022广东佛山校考三模）我们把一个函数图象上横坐标与纵坐标相等的点称为这个函数的不动点(1)请直接写出函数的不动点的坐标；(2)若函数有两个关于原点对称的不动点，求的值；(3)已知函数，若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，请直接写出的取值范围核心考点二 一次函数的图象与性质例1 （2022四川巴中统考中考真题）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将绕点逆时针旋转到如图的位置，的对应点恰好落在直线上，

6、连接，则的长度为（）ABC2D例2 （2022辽宁统考中考真题）如图，直线y2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点D为OB的中点，OCDE的顶点C在x轴上，顶点E在直线AB上，则OCDE的面积为_例3 （2022湖南益阳统考中考真题）如图，直线yx+1与x轴交于点A，点A关于y轴的对称点为A，经过点A和y轴上的点B（0，2）的直线设为ykx+b(1)求点A的坐标；(2)确定直线AB对应的函数表达式2、一次函数图象与性质一次函数y=kx+b(k0)k，b的符号k0k 0，向上平移b个单位长度；b0（或ax+b0）（a，b为常数，且a0）的形式从函数的角度看，解一元一次不等式就是寻求使一次函数

7、y=ax+b（a0）的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b（a0）在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件3一次函数与二元一次方程组一般地，二元一次方程mx+ny=p（m，n，p是常数，且m0，n0）都能写成y=ax+b（a，b为常数，且a0）的形式因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线进一步可知，一个二元一次方程对应两个一次函数，因而也对应两条直线从数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值；从形的角度看，解二元一次方程组

8、相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标【变式1】（2022陕西西安校考三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B若点在的内部，则m的取值范围是（）ABCD【变式2】（2022安徽模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知直线、所对应的函数表达式分别为、（k0且k1），若与x轴相交于点A，与、分别相交于点P、Q，则APQ的面积（）A等于8B等于10C等于12D随着k的取值变化而变化【变式3】（2022浙江宁波模拟预测）如图在边长为6的正方形中，点，分别在，上，且，垂足为，是对角线的中点，连

9、接、则的长为_【变式4】（2021四川成都统考三模）直线与直线在同一平面直角坐标系中的图形如图所示，两条直线相交于点，直线分别与两条直线交于，两点，若的面积不小于时，则的取值范围是_【变式5】（2021重庆綦江校考三模）在函数学习中，我们经历了“确定函数表达式画函数图象利用函数图象研究函数性质利用图象解决问题”的学习过程，小姚同学根据函数的学习经验，对函数的性质及其应用进行了探究，请你按要求完成下列问题(1)列表：下表为变量与的几组对应数值：则_，_；(2)描点、连线：在平面直角坐标中画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质；(3)观察函数图象：一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为_

10、核心考点五 一次函数的应用例1 （2020江苏宿迁统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90，得到点，连接，则的最小值为()ABCD例2 （2021山东济南统考中考真题）漏刻是我国古代的一种计时工具据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，下表是小明记录的部分数据，其中有一个的值记录错误，请排除后利用正确的数据确定当为时，对应的时间为_12352.42.83.44例3 （2022内蒙古中考真题）某商店决定购进A

11、、B两种北京冬奥会纪念品若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元(1)求购进A、B两种纪念品的单价；(2)若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且购进B种纪念品数量不少于20件，那么该商店共有几种进货方案？(3)若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？求出最大利润知识点4：一次函数的应用1、一次函数图象与图形面积解决这类问题的关键是根据一次函数解析式求出一次函数图象与坐标轴的交点

12、的坐标，或两条直线的交点坐标，进而将点的坐标转化成三角形的边长，或者三角形的高如果围成的三角形没有边在坐标轴上或者与坐标轴平行，可以采用“割”或“补”的方法2、一次函数的实际应用主要题型： （1）求相应的一次函数表达式；（2）结合一次函数图象求相关量、求实际问题的最值等用一次函数解决实际问题的一般步骤为：（1）设定实际问题中的自变量与因变量；（2）通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式；（3）确定自变量的取值范围；（4）利用函数性质解决问题；（5）检验所求解是否符合实际意义；（6）答【变式1】（2022山东潍坊统考二模）如图，张华、李颖两人沿同一条笔直的公路相向而行，张华从甲地前往乙地，

13、 李颖从乙地前往甲地 张华先出发3分钟后李颖出发，当张华行驶6分钟时发现重要物品忘带，立刻以原速的掉头返回甲地拿到物品后以提速后的速度继续前往乙地，二人相距的路程y（米）与张华出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（）A李颖速度是张华提速前速度的B李颖的速度为240m/ minC两人第一次相遇的时间是分钟D张华最终达到乙地的时间是分钟【变式2】（2022河北石家庄二模）为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部

14、分，下列选项错误的是（）A4月份的利润为50万元B治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元C治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元D9月份该厂利润达到200万元【变式3】（2022山东济南校考模拟预测）两辆车A和B，从相同标记处同时出发，沿直线同方向行驶，并且由出发点开始计时，行驶的距离x与行驶时间t的函数关系分别为：和，求：（1）它们刚离开出发点时，行驶在前面的一辆车是_；（2）它们出发后，B车相对A车速度为零的时刻是_【变式4】（2022山东济宁统考三模）如图1，在底面积为，高为20cm的长方体水槽内放入一个圆柱形烧杯，以恒定不变的速度先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至

15、注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置始终不变，水槽中水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系如图2，则烧杯的底面积是_【变式5】（2022吉林长春模拟预测）在某地，人们发现某种蟋蟀1min所叫次数与当地气温之间近似为一种函数关系某学校数学综合与实践小组从函数角度进行了蟋蟀所叫次数与气温变化情况进行如下探究：【观察测量】数学综合与实践小组通过观察测量，下面是蟋蟀所叫次数与气温变化情况对照表：温度x（）141620蟋蟀叫的次数y（次）7791119【探究发现】建立平面直角坐标系，如图，横轴表示温度x（），纵轴表示蟋蟀叫的次数y（次），描出以表格中数据为坐标的

16、各点观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由【结论应用】应用上述发现的规律计算：如果蟋蟀1min叫了63次，那么该地当时的气温大约为 能用所求出的函数模型来预测蟋蟀在时所鸣叫的次数为 次【新题速递】1（2022春江苏无锡八年级江苏省天一中学阶段练习）点A()和B()都在直线上，则和的大小关系是（）ABCD无法确定2（2021春广东佛山九年级校联考阶段练习）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）ABCD3（2021春陕西咸阳八年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，直线与在第二象限交于点A， 交x轴

17、于点B，且， ， ，则关于x，y的方程组的解为（）ABCD4（2021春山西太原九年级太原十二中校考阶段练习）为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克立方米）与药物点燃后的时间（分钟）成正比例，药物燃尽后，与成反比例（如图所示）已知药物点燃后4分钟燃尽，此时室内每立方米空气中含药量为8毫克研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于2毫克时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒有效时间是ABCD5（2021春陕西渭南八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与正比例函数的图象交于点若动点在射线上运动，当的面积是面

18、积的时，点的坐标为（）A或B或C或D或6（2022秋新疆乌鲁木齐八年级乌市八中校考期末）如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点在直线：上，直线分别交轴，轴于点，将正方形沿轴向下平移个单位长度后，点恰好落在直线上则的值为()A0.5B1C1.5D27（2022秋上海杨浦九年级校考阶段练习）如果直线是由正比例函数的图像向左平移1个单位得到，那么不等式的解集是_8（2022春安徽合肥八年级统考期中）甲、乙两人准备在一段长为的笔直公路上进行跑步，甲、乙跑步的速度分别为和，起跑前乙在起点，甲在乙前面处，两人同时同向起跑（1）两人出发后_乙追上甲；（2）从起跑至其中一人先到达终点的过程中，甲、乙两人之间的

19、距离与时间的函数关系为_9（2022秋上海奉贤八年级校考期末）当时，不论k取任何实数，函数的值为3，所以直线一定经过定点；同样，直线一定经过的定点为_11（2021春陕西咸阳八年级咸阳市实验中学校考阶段练习）已知一次函数与一次函数关于轴对称，则的值为_12（2022春陕西西安八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与坐标轴交于点A，B，点C为线段OA上一动点，过点C作于点D，过点D作轴，交y轴于点E，在直线DE上找一点F，使得，连接OF，则最小值为_13（2022春江苏无锡八年级江苏省天一中学阶段练习）已知与成正比例，且时，(1)求与的函数关系式(2)如果的取值范围为时，求的取值

20、范围14（2022全国八年级专题练习）一次函数的图象先向下平移4个单位，再向右平移2个单位，作关于x轴对称，对称后的直线的解析式为，求原函数图象的解析式15（2022春河北石家庄七年级期末）嘉琪要去甲或乙商店购买签字笔，设她购买该签字笔x支（）根据表中信息解答问题：商店名称标价（元/支）优惠办法甲1.50一次购买不超过10支，按标价付款；一次购买10支以上，则超过10支的部分按标价的60%付款乙1.50按标价的80%付款(1)嘉琪在甲店花 元，在乙店花 元（用含x的式子表示）；(2)嘉琪买多少支签字笔时，在甲、乙两店所花的钱一样多？(3)若嘉琪买签字笔30支，你认为她该去哪个店购买更省钱？通过

21、计算说明理由16（2022春江苏无锡八年级江苏省天一中学阶段练习）某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距2800米甲从小区步行去学校，出发11分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校又骑行若干米到达还车点后，立即步行走回学校已知乙步行的速度比甲步行的速度每分钟慢20米设甲步行的时间为x（分），图1中线段和折线分别表示甲、乙离开小区的路程y（米）与甲步行时间x（分）的函数关系的图像；图2表示甲、乙两人之间的距离S（米）与甲步行时间x（分）的函数关系的图像（不完整）根据图1和图2中所给信息，解答下列问题：(1)甲步行的速度 米/分，乙出发时甲离开小区的路程 米；(2)求乙骑自行车

22、的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；(3)当时，请直接写出S关于x的函数表达式；在图2中，画出当时S关于x的函数的大致图像17（2022春河北承德九年级期末）把在单向道路上行驶的汽车看成连续的流体，用流量、速度、密度三个概念描述车流的基本特征，其中流量q（辆/小时）指单位时间内通过道路指定断面的车辆数；速度v（千米/小时）指通过道路指定断面的车辆速度，密度k（辆/千米）指通过道路指定断面单位长度内的车辆数为配合大数据治堵行动，测得某路段流量q与速度v之间关系的部分数据如下表：速度v（千米/小时）51020324048流量q（辆/小时）55010001600179216001152(1)

23、根据上表信息，下列三个函数关系式中，刻画q，v关系最准确的是 ；（填序号）(2)请利用（1）中选取的函数关系式分析当该路段的车流速度为多少时，流量达到最大？最大流量是多少？已知q，v，k满足，市交通运行监控平台显示，当时道路出现轻度拥堵试分析当车流密度k在什么范围时，该路段将出现轻度拥堵；18（2022春山东青岛九年级青岛三十九中期末）阅读材料通过前面的学习我们已经知道了两点之间的距离，点到直线的距离和两条平行线间的距离，那么我们如何在平面直角坐标系中求这些距离呢？如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分为，由勾股定理得，所以A、B两点间的距离为这样就可以求出平面直角坐标系中任意两点间的距离.我们用下面的公式可以求出平面直角坐标系中任意一点到某条直线的距离：已知点和直线，则点P到直线的距离d可用公式计算：例如：求点到直线的距离解：因为直线可变形为，其中，所以点到直线的距离了为根据以上材料，解决下列问题：(1)已知，求线段AB的长度；(2)点到直线的距离，并说明点P与直线的位置关系；(3)点到直线的距离；(4)已知直线与平行，求这两条直线的距离