专题07 二次函数与直角三角形有关问题（专项训练）（解析版）.docx

1、专题07 二次函数与直角三角形有关问题（专项训练）1（2020徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数yax2+2ax+3a（a0）的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，它的对称轴交x轴于点E过点C作CDx轴交抛物线于点D，连接DE并延长交y轴于点F，交抛物线于点G直线AF交CD于点H，交抛物线于点K，连接HE、GK（1）点E的坐标为： ；（2）当HEF是直角三角形时，求a的值；【解答】解：（1）对于抛物线yax2+2ax+3a，对称轴x1，E（1，0），故答案为（1，0）（2）如图，连接EC对于抛物线yax2+2ax+3a，令x0，得到y3a，令y0，ax2+2ax+3a0，解得x1或3，A（1

2、，0），B（3，0），C（0，3a），C，D关于对称轴对称，D（2，3a），CD2，ECDE，当HEF90时，EDEC，ECDEDC，DCF90，CFD+EDC90，ECF+ECD90，ECFEFC，ECEFDE，EADH，FAAH，AEDH，AE2，DH4，HEDFEFED，FHDH4，在RtCFH中，则有4222+（6a）2，解得a或（不符合题意舍弃），a当HFE90时，OAOE，FOAE，FAFE，OFOAOE1，3a1，a，综上所述，满足条件的a的值为或2（2020通辽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C且直线yx6过点B，与y轴交于点D

3、，点C与点D关于x轴对称，点P是线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N（1）求抛物线的函数解析式；（2）当MDB的面积最大时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由【解答】解：（1）令y0，得yx60，解得x6，B（6，0），令x0，得yx66，D（0，6），点C与点D关于x轴对称，C（0，6），把B、C点坐标代入yx2+bx+c中，得，解得，抛物线的解析式为：yx2+5x+6；（2）设P（m，0），则M（m，m2+5m+6），N（m，m6），则MN

4、m2+4m+12，SMDB3m2+12m+363（m2）2+48，30，当m2时，MDB的面积最大，此时，P点的坐标为（2，0）；（3）由（2）知，M（2，12），N（2，4），当QMN90时，QMx轴，则Q（0，12）；当MNQ90时，NQx轴，则Q（0，4）；当MQN90时，设Q（0，n），则QM2+QN2MN2，即4+（12n）2+4+（n+4）2（12+4）2，解得，n42，Q（0，4+2）或（0，42）综上，存在以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形其Q点坐标为（0，12）或（0，4）或（0，4+2）或（0，42）3（2020广元）如图，直线y2x+10分别与x轴，y轴交于A，B

5、两点，点C为OB的中点，抛物线yx2+bx+c经过A，C两点（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为抛物线上一点，若APB是以AB为直角边的直角三角形，求点P到抛物线的对称轴的距离【解答】解：（1）直线y2x+10中，令x0，则y10，令y0，则x5，A（5，0），B（0，10），点C是OB中点，C（0，5），将A和C代入抛物线yx2+bx+c中，解得：，抛物线表达式为：yx26x+5；（3）抛物线表达式为：yx26x+5，APB是以AB为直角边的直角三角形，设点P（n，n26n+5），A（5，0），B（0，10），AP2（n5）2+（n26n+5）2，BP2n2+（n26n+510）2，AB

6、2125，当点A为直角顶点时，BP2AB2+AP2，解得：n或5（舍），当点B为直角顶点时，AP2AB2+BP2，解得：n或，而抛物线对称轴为直线x3，则3，3，3，综上：点P到抛物线对称轴的距离为：或或4（2022南岸区校级模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，连接AC、BC，其中A（2，0），C（0，6）（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC上方抛物线上一点，过点P作PEy轴交BC于点E，作PFx轴交BC于点F，求CF+BE的最小值，及此时点P的坐标；（3）如图2，x轴上有一点Q（1，0），将抛物线向x轴正方向平移，使得抛物

7、线恰好经过点Q，得到新抛物线y1，点D是新抛物线y1与原抛物线的交点，点E是新抛物线y1上一动点，连接DQ，当DQE是以DQ为直角边的直角三角形时，直接写出所有符合条件的点E的坐标【解答】解：（1）将A（2，0），C（0，6）代入yx2+bx+c，解得，yx2+x+6；（2）令y0，则x2+x+60，解得x3或x2，B（3，0），设直线BC的的解析式为ykx+b，解得，直线BC的解析式为y2x+6，设P（m，m2+m+6），则E（m，2m+6），PEm2+3m，PEy轴，PFx轴，PFECBO，PEFBCO，PEFOBC，PF：PE：FEOB：OC：BC1：2：，EFPE（m2+3m），BE+

8、CFCBEF3（m2+3m）（m）2+，当m时，BE+CF有最小值，此时P（，）；（3）yx2+x+6（x）2+，设平移后的抛物线解析式为y（xt）2+，平移后抛物线经过Q（1，0），（1t）2+0，解得t1或t4（舍），平移后的抛物线解析式为y（x）2+，联立方程组，解得，D（1，6），设E（n，n2+3n+4），DQ240，DE2（n1）2+（n2+3n2）2，QE2（n+1）2+（n2+3n+4）2，当EQ2DE2+DQ2时，（n+1）2+（n2+3n+4）2（n1）2+（n2+3n2）2+40，解得n1（舍）或n，E（，）；当ED2EQ2+DQ2时，（n1）2+（n2+3n2）240+

9、（n+1）2+（n2+3n+4）2，解得n1（舍）或n，E（，）；综上所述：E点坐标为（，）或（，）5（2022辽宁）如图，抛物线yax23x+c与x轴交于A（4，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF（1）求抛物线的解析式；（2）当ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标【解答】解：（1）将点A（4，0），C（0，4）代入yax23x+c，解得，yx23x+4；（2）设F（t，t+4），当FDO90时，过点D作MNy轴交于点N，过点F作FMMN交于点M，DOF

10、45，DFDO，MDF+NDO90，MDF+MFD90，NDOMFD，MDFNOD（AAS），DMON，MFDN，DN+ONt，DNON+（t4），DNt2，ON2，D点纵坐标为2，x23x+42，解得x或x，D点坐标为（，2）或（，2）；当DFO90时，过点F作KLx轴交于L点，过点D作DKKL交于点K，KFD+LFO90，KFD+KDF90，LFOKDF，DFFO，KDFLFO（AAS），KDFL，KFLO，KLt+4t4，D点纵坐标为4，x23x+44，解得x0或x3，D（0，4）或（3，4）；综上所述：D点坐标为（，2）或（，2）或（0，4）或（3，4）6（2022雁峰区校级模拟）如图

11、，抛物线yx2+bx+c经过A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线yx+1与x轴交于点E，与y轴交于点D（1）求抛物线的解析式；（2）M在直线DE上，当CDM为直角三角形时，求出点M的坐标【解答】解：（1）抛物线yx2+bx+c经过A（1，0），B（3，0）两点，解得：，抛物线的解析式是yx2+2x+3；（3）令x0，则yx2+2x+33，OC3，CDOCOD2，设M（a，a+1），CM2a2+（3a1）2a22a+4，DM2a2+（a+11）2a2，当CMD90时，CD2CM2+DM2，22a22a+4+a2，解得：a1，a20（舍去），当a时，a+1，M（，）；当DCM90时

12、，CD2+CM2DM2，22+a22a+4a2，解得：a4，当a4时，a+13，M（4，3）；解法二：DCM90，CMx轴，a+13，解得a4，M（4，3）；综上所述：点M的坐标为（，）或（4，3）7（2022平南县二模）如图，二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且A（1，0），对称轴为直线x2（1）求该抛物线的表达式；（2）直线l过点A与抛物线交于点P，当PAB45时，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得BCQ是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）设y（x2）2+k，把A（1，0）代入得：（12

13、）2+k0，解得：k9，y（x2）29x24x5，答：抛物线的解析式为yx24x5；（2）过点P作PMx轴于点M，如图：设P（m，m24m5），则PM|m24m5|，A（1，0），AMm+1PAB45AMPM，|m24m5|m+1，即m24m5m+1或m24m5（m+1），当m24m5m+1时，解得：m16，m21（不合题意，舍去），当m24m5（m+1），解得m34，m41（不合题意，舍去），P的坐标是（6，7）或P（4，5）；（3）在抛物线的对称轴上存在一点Q，使得BCQ是直角三角形，理由如下：在yx24x5中，令x0得y5，令y0得x1或x5，B（5，0），C（0，5），由抛物线yx24

14、x5的对称轴为直线x2，设Q（2，t），BC250，BQ29+t2，CQ24+（t+5）2，当BC为斜边时，BQ2+CQ2BC2，9+t2+4+（t+5）250，解得t6或t1，此时Q坐标为（2，6）或（2，1）；当BQ为斜边时，BC2+CQ2BQ2，50+4+（t+5）29+t2，解得t7，此时Q坐标为（2，7）；当CQ为斜边时，BC2+BQ2CQ2，50+9+t24+（t+5）2，解得t3，此时Q坐标为（2，3）；综上所述，Q的坐标为（2，3）或（2，7）或（2，1）或（2，6）8（2022滕州市二模）抛物线yx2+2x+3与x轴交于A，B两点与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点（1）求A，

15、B，C，D的坐标；（2）点P为抛物线上的动点，当PAC是直角三角形时，求点P的坐标；【解答】解：（1）令x0，则y3，C（0，3），令y0，则x2+2x+30，解得x1或x3，A（1，0），B（3，0），yx2+2x+3（x1）2+4，顶点D（1，4）；（2）设P（t，t2+2t+3），如图1，当ACP90时，过点C作EFx轴，过点A作AEEF交于E点，过点P作PFEF交于F点，FCP+ECA90，ECA+EAC90，EACFCP，CEAPFC，EC1，EA3，PF3（t2+2t+3）t22t，CFt，t0（舍）或t，P（，）；如图2，当CAP90时，过点A作GHy轴，过点C作CGGH交于G点

16、，过点P作PHGH交于H点，GAC+HAP90，GAC+GCA90，HAPGCA，GACHPA，GC1，GA3，AHt22t3，PHt+1，解得t1（舍）或t，P（，）；当APC90时，在抛物线上不存在点P；综上所述：P点坐标为（，）或（，）；9（2022市中区二模）如图，抛物线yax2+bx+3交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上（1）求抛物线的关系式；（2）当以P，A，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及PAC的周长；（3）若点Q是直线BC上方抛物线上一点，当BCQ为直角三角形时，求出点Q的坐标【解答】解：（1）将A（1，0），B（3，0）代

17、入yax2+bx+3，解得：，yx2+2x+3；（2）在yx2+2x+3中，令x0，得y3，C（0，3），点A、B关于对称轴对称，连接BC交对称轴于点P，则点P为所求的点APBP，PAC的周长PA+PC+ACPB+PC+ACBC+AC，当B、P、C三点共线时，PAC周长的最小值是AC+BC，A（1，0），B（3，0），C（0，3），PAC周长的最小值是，yx2+2x+3（x1）2+4，对称轴为直线x1，设直线BC的解析式为ykx+c，解得，yx+3，P（1，2）；（3）设Q的坐标为（m，m2+2m+3），如图1，当BCQ90时，过点Q作QMy轴于点M，QCM+BCO90，QMCBOC90，QCM+MQC90，MQCOCB，MQCOCB，QMm，MCm2+2m，即，解得：m0（舍）或m1，Q（1，4）；如图2，当CQB90时，过点Q作QMy轴于点M，过点B作BNQM，交MQ的延长线于点N，CQM+BQN90，QNBCMQ90，BQN+QBN90，QBNCQM，QMCBNQ，QN3m，BNm2+2m+3，即，解得：或（舍），Q；当QBC90时，显然不成立；综上所述，点Q的坐标为（1，4）或