专题07 分式方程及其应用【八大题型】（举一反三）（原卷版）.docx

1、专题07 分式方程及其应用【八大题型】【题型1 由分式方程的解求参数】2【题型2 解分式方程】2【题型3 由分式方程无解或存在增根求参数】3【题型4 由分式方程的取值范围求参数】3【题型5 由实际问题抽象出分式方程】4【题型6 分式方程的应用与函数的综合运用】4【题型7 中考最热考法之以真实问题情境为背景考查分式方程的实际应用】6【题型8 中考最热考法之以数学文化为背景考查分式方程的实际应用】8【知识点 分式方程及其应用】1.定义分母中含有未知数的方程叫做分式方程。2.分式方程的解法将分式方程化成整式方程（去分母，即等号两边同乘以最简公分母）；解整式方程（去括号；移项；合并同类项；系数化为1或

2、其它解法）；检验：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。3.分式方程与实际问题解有关分式方程的实际问题的一般步骤：第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程。第4步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法。第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意。第6步：答。【题型1 由分式方程的解求参数】【例1】（2023浙江模拟预测）已知关于x的方程2kx+3x-1-7x2-x=4kx的方程恰好有一个实数解，求k的值及方程的解【变式1-1】（2023山东淄博统考

3、中考真题）已知x=1是方程m2-x-1x-2=3的解，那么实数m的值为（）A-2B2C-4D4【变式1-2】（2023黑龙江统考中考真题）下列分式方程中，解为x=-1的是（）A4x-1=1xBx+1x2-1=0C2x-1+1x+2=0D2x+1-1x+2=0【变式1-3】（2023重庆渝中重庆巴蜀中学校考一模）若关于x的不等式组3x+54x+32x+12x+a2无解，且关于y的分式方程5-ay2-y-1=3y-2有整数解，则满足条件的所有整数a的和为（）A10B12C16D14【题型2 解分式方程】【例2】（2023河北统考中考真题）根据下表中的数据，写出a的值为 b的值为 x结果代数式2n3

4、x+17b2x+1xa1【变式2-1】（2023四川中考真题）关于x的分式方程2x-1-1x+1=11-x的解是 【变式2-2】（2023西藏统考中考真题）解分式方程：xx+1-1=3x-1【变式2-3】（2023浙江嘉兴统考中考真题）小丁和小迪分别解方程xx-2-x-32-x=1过程如下：小丁：解：去分母，得x-(x-3)=x-2去括号，得x-x+3=x-2合并同类项，得3=x-2解得x=5原方程的解是x=5小迪：解：去分母，得x+(x-3)=1去括号得x+x-3=1合并同类项得2x-3=1解得x=2经检验，x=2是方程的增根，原方程无解你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“”

5、；若错误，请在框内打“”，并写出你的解答过程【题型3 由分式方程无解或存在增根求参数】【例3】（2023黑龙江统考中考真题）若分式方程xx-1-m1-x=2有增根，则m的值为（）A1B-1C2D-2【变式3-1】（2023河北石家庄校联考一模）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：?x-2+3=12-x.（1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x=2，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？【变式3-2】（2023黑龙江鸡西校考二模）若关于x的分式方程1x-2+ax-22-x=1有解，则

6、a的取值范围是（）Aa32Ba-1Ca=-1Da32且a-1【变式3-3】（2023重庆九龙坡重庆市育才中学校联考二模）若关于y的分式方程2y+ay-4+2a4-y=5有解，且关于x的一元一次不等式组x+332+3x63x-2x+a有解且至多有2个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 【题型4 由分式方程的取值范围求参数】【例4】（2023黑龙江牡丹江统考中考真题）若分式方程ax+2=1-3x+2的解为负数，则a的取值范围是（）Aa-1且a-2Ba0且a-2Ca-2且a-3Da-1且a-3【变式4-1】（2023黑龙江鸡西校考模拟预测）若关于x的分式方程x+mx-2+2m2-x=3的解为正

7、实数，则实数m的取值范围是（）Am6且m1Bm3且m2Cm6Dm6且m2【变式4-2】（2023河北统考模拟预测）已知关于x的分式方程mx+6=1，对于方程的解，甲、乙两人有以下说法：甲：当m6时，方程的解是正数下列判断正确的是（）A只有甲对B只有乙对C甲、乙都对D甲、乙都错【变式4-3】（2023重庆统考中考真题）若关于x的不等式组x+23x2+14x+ax-1的解集为x-2，且关于y的分式方程a+2y-1+y+21-y=2的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为 【题型5 由实际问题抽象出分式方程】【例5】（2023四川内江统考中考真题）用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室

8、安排两名程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完这两名操作员每分钟各能输入多少个数据？设乙每分钟能输入x个数据，根据题意得方程正确的是（）A26402x=2640x+2B26402x=2640x-2C26402x=2640x+260D26402x=2640x-260【变式5-1】（2023广东广州统考中考真题）随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速60kmh，动车提速后行驶480km与提速前行驶360km所用的时间相同设动车提速后的平均速度为xkmh，则下列方程正确的是（）A360x=480x+60B36

9、0x-60=480xC360x=480x-60D360x+60=480x【变式5-2】（2023湖北十堰统考中考真题）为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的价格比每个足球的价格多20元，用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个，如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（）A1500x+20-800x=5B1500x-20-800x=5C800x-1500x+20=5D800x-1500x-20=5【变式5-3】（2023黑龙江绥化统考中考真题）某运输公司，运送一批货物，甲车每天运送货物总量的14在甲车运送1天货物后，公司增派乙车

10、运送货物，两车又共同运送货物12天，运完全部货物求乙车单独运送这批货物需多少天？设乙车单独运送这批货物需x天，由题意列方程，正确的是（）A14+12x=1B14+1214+1x=1C141+12+1x=1D14+14+121x=1【题型6 分式方程的应用与函数的综合运用】【例6】（2023湖北武汉统考中考真题）我国古代数学经典著作九章算术记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程s（单位：步）关于善行者的行走时间t的函数图象，则两图象交点P的纵坐标是 【变式6-1】（2023广东深圳校联考模拟预测）按要求解答(1

11、)某市计划修建一条隧道，已知隧道全长2400米，一工程队在修了1400米后，加快了工作进度，每天比原计划多修5米，结果提前10天完成，求原计划每天修多长？(2)隧道建成后的截面图如图所示，它可以抽象成如图所示的抛物线已知两个车道宽度OC=OD=4米，人行道地基AC，BD宽均为2米，拱高OM=10.8米建立如图所示的直角坐标系此抛物线的函数表达式为_（函数表达式用一般式表示）按规定，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少0.5米，则此隧道限高_米已知人行道台阶CE，DF高均为0.3米，按照国家标准，人行道宽度不得低于1.25米，该隧道的人行道宽度设计是否达标？说明理由+【变式6-2】（2023

12、内蒙古统考中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗市场上豆沙粽礼盒的进价比肉粽礼盒的进价每盒便宜10元，某商家用2500元购进的肉粽和用2000元购进的豆沙粽盒数相同(1)求每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价；(2)商家计划只购买豆沙粽礼盒销售，经调查了解到有A，B两个厂家可供选择，两个厂家针对价格相同的豆沙粽礼盒给出了不同的优惠方案：A厂家：一律打8折出售B厂家：若一次性购买礼盒数量超过25盒，超过的部分打7折该商家计划购买豆沙粽礼盒x盒，设去A厂家购买应付y1元，去B厂家购买应付y2元，其函数图象如图所示：分别求出y1，y2与x之间的函数关系；若该商家只在一个厂家购买，怎样买划算？【变式6-3】

13、（2023四川凉山统考一模）某班家委会讨论决定购买A，B两种型号的口罩供班级学生使用，已知A型口罩每包价格a元，B型口罩每包价格比A型少4元，180元钱购买的A型口罩比B型口罩少12包(1)求a的值(2)经与商家协商，购买A型口罩价格可以优惠，其中每包价格y（元）和购买数量x（包）的函数关系如图所示，B型口罩一律按原价销售求y关于x的函数解析式；若家委会计划购买A型、B型共计100包，其中A型不少于30包，且不超过60包问购买A型口罩多少包时，购买口罩的总金额最少，最少为多少元？【题型7 中考最热考法之以真实问题情境为背景考查分式方程的实际应用】【例7】（2023河南南阳统考一模）2023春节

14、档电影满江红热映，进一步激发观众爱国之情帝都南阳与名将岳飞有着一段传颂至今的历史公元1138年，岳飞统军过南阳到武侯祠敬拜诸葛亮，雨夜含泪手书前后出师表，为南阳留下了千古绝唱“三绝碑”某超市采购了两批同样的出师表纪念品挂件，第一批花了3300元，第二批花了4000元，已知第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进25个(1)求第二批每个挂件的进价；(2)两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得

15、最大利润，最大利润是多少？【变式7-1】（2023山西吕梁统考一模）随着新能源汽车的普及，我国新能源汽车的保有量已经处于世界第一，解决汽车快速充电技术已经成为新能源汽车发展的主要研究方向，从2023年开始，4C甚至6C的快速充电方案已经开始逐步落地据测试数据显示，使用6C充电技术，每分钟充电量的续航里程（汽车所能行驶的路程）比采用4C技术提高了50%，若采用6C充电技术，续航里程480公里的充电时间，比采用4C充电技术续航里程400公里的充电时间节省2分钟，求采用6C充电技术，每分钟充电量的续航里程为多少公里？【变式7-2】（2023云南昭通统考一模）瑞兔迎春，福满万家吉祥物“兔圆圆”拉开20

16、23央视总台兔年春晚的帷幕竖直的耳朵、微昂的脑袋、挺起的胸脯等设计巧思，彰显出奋进向上的精气神，某商店用1500元购进了一批“兔圆圆”玩具，过了一段时间，又用3500元购进一批“兔圆圆”玩具，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每个“兔圆圆”玩具的价格比第一次购进的价格贵了5元(1)商店第一次购进“兔圆圆”玩具多少个？(2)若该商店两次购进的“兔圆圆”玩具按相同的标价销售，全部售完后利润不低于1150元，则每个“兔圆圆”玩具的标价至少是多少元？【变式7-3】（2023河南安阳统考一模）京东发布的2023春节假期消费趋势显示：消费者春节期间购物品类更加多元，也在节日之外更“日常化”，其中预制菜成交

17、额同比增长超6倍春节期间，某超市分别用2000元和1600元购进A，B两类同等数量的预制菜礼盒，已知B类预制菜礼盒每盒进价比A类预制菜礼盒每盒便宜20元，A，B两类预制菜礼盒每盒的售价分别是130元和120元(1)求A，B两类预制菜礼盒的进价各是多少元；(2)第一次进的货很快销售一空，该超市决定第二次购进A，B两类预制菜礼盒共30盒，且购进的A类预制菜礼盒数量不少于B类预制菜礼盒数量的2倍，该超市第二次如何进货才能在销售完该次所进预制菜礼盒后，获得最大利润？并求出最大利润（此处指销售第二次所进预制菜礼盒的利润）【题型8 中考最热考法之以数学文化为背景考查分式方程的实际应用】【例8】（2023安

18、徽校联考三模）我国古代著作四元玉鉴记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？【变式8-1】（2023江西萍乡校考模拟预测）九章算术是我国古代著名的数学专著之一它总结了我国战国、秦汉时期的数学成就其中有一题，原文：今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里问善行者几何里及之大意为：现今有不善行者先走10里，善行者再按同路追赶不善行者，当善行者走到100里时，超过不善行者20里问：

19、善行者走多少里时追上了不善行者？【变式8-2】（2023山东统考中考真题）欧拉是世界上著名的数学家、天文学家、物理学家在欧拉的著作代数引论中有这样一个有趣的题：两个农妇一共带了100个鸡蛋去集市，两人所带鸡蛋个数不等，但卖的钱数相同，第一个农妇说：“如果我有你那么多鸡蛋就可以卖15个克罗索（克罗索是古代欧洲的一种货币名称），”第二个农妇答道：“如果我有你那么多鸡蛋就只能卖得623个克罗索”(1)试问这两名农妇各带来多少个鸡蛋？(2)试问这两名农妇卖出的鸡蛋价格一样吗？【变式8-3】（2023下山西八年级统考阶段练习）张丘建，我国南北朝时期（约公元5世纪）著名的数学家，著有张丘建算经一次宴会上，张丘建出了一道题：“现有一只鹿向西跑，当猎人追至A处时，与鹿所在的B处还差36步（古代：1里=300步）；鹿突然向北跑，此时骑马的猎人就沿着AD追去，追了50步至D处与鹿所在的位置C处还差10步（点A、C、D在同一直线上）如果此鹿不向北转，而继续向西跑，猎人需要追多远才能追上此鹿？”，已知单位时间内鹿跑的路程和猎人骑马追赶的路程的比值是定值，请解答这个问题