专题07 幂函数（含解析）-2021-2022学年高一数学重难点手册（函数的概念与性质篇人教A版2019必修第一册）.docx

1、专题07 幂函数知识点幂函数1.幂函数的概念一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量，是常数2.五个幂函数的图象与性质解析式yxyx2yx3yxy图象定义域RRR 解析式yxyx2yx3yxy值域RR奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在(，)上单调递增在(，0上单调递减，在(0，)上单调递增在(，)上单调递增在0，)上单调递增在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递减定点(1,1)【思考】通过5个幂函数图象的观察，哪个象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有幂函数的图象？【提示】第一象限一定有幂函数的图象，第四象限一定没有幂函数的图象【基础自测】1判断正误(正确的画“”，错误的画

2、“”)(1)幂函数的图象必过点(0,0)和(1,1)() (2)幂函数的图象都不过第二、四象限()(3)当幂指数取1,3，时，幂函数yx是增函数()(4)若幂函数yx的图象关于原点对称，则yx在定义域内y随x的增大而增大()【答案】（1）（2）（3）（4）2已知幂函数的图象过点(2,4)，则其解析式为()Ayx2Byx2 Cy Dyx3【答案】B【解析】设幂函数的解析式为yx，当x2时，y4，故24，即2.3在下列四个图形中， 的大致图象是 ()【答案】D【解析】函数的定义域为(0，)，是减函数故选D.4已知f(x)(m1)x是幂函数，则m_.【解析】2【解析】函数f(x)(m1)x是幂函数，

3、m11，即m2.5已知幂函数f(x)x图象过点，则f(4)_.【答案】 【解析】幂函数f(x)x的图象过点，2，.即f(x)x，f(4)4.题型一幂函数的概念【探究发现】幂函数的解析式有什么特征【提示】（1）指数为常数（2）底数是自变量，自变量的系数为1，（3）幂的系数为1（4）只有1项【学透用活】【例1】(1)下列函数：yx3；yx；y4x2；yx51；y(x1)2；yx；yax(a1)其中幂函数的个数为()A1B2 C3 D4【答案】B【解析】由幂函数的概念可知，只有是幂函数 (2) 若f(x)(m24m4)xm是幂函数，则m_.【答案】5或-1【解析】(2)因为f(x)(m24m4)xm

4、是幂函数，所以m24m41，即m24m50，解得m5或m1.【方法技巧】求幂函数解析式的依据和常用方法(1)依据：若一个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关问题的隐含条件(2)常用方法：设幂函数解析式为f(x)x，依据条件求出.【变式训练】1在函数y，y2x3，yx2x，y1中，幂函数的个数为 ()A0B1 C2 D3【解析】因为yx2，所以是幂函数；y2x3由于出现系数2，因此不是幂函数；yx2x是两项和的形式，不是幂函数；y1x0(x0)，可以看出，常数函数y1 的图象比幂函数yx0的图象多了一个点(0,1)，所以常数函数y1不是幂函数2已知幂函数f(

5、x)(m24m4)x在(0，)为增函数，则m的值为( ) A1或3 B3 C2 D1【答案】D【解析】由函数f(x)为幂函数，得m24m41，解得m1或m3.又幂函数f(x)单调递增，则m26m80，据此可得，m1.题型二幂函数的图象及应用【学透用活】(1)幂函数yx在第一象限内的图象特征：当1时，图象过点(1,1)，下凸递增，如yx3；当01时，图象过点(1,1)，上凸递增，如yx；当0时，图象过点(1,1)，下凸递减，且向两坐标轴无限地逼近，如yx1.(2)幂函数在第一象限内指数的变化规律：在第一象限内直线x1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x1的左侧，图象从下到上，相应的

6、指数由大变小(3)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点【例2】若点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，(1)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)；(3)f(x)g(x)【解析】设f(x)x，因为点(，2)在幂函数f(x)的图象上，所以将点(，2)代入f(x)x中，得2()，解得2，则f(x)x2.同理可求得g(x)x2.在同一坐标系中作出函数f(x)x2和g(x)x2的图象(如图所示)，观

7、察图象可得：(1)当x1或x1时，f(x)g(x)；(2)当x1或x1时，f(x)g(x)；(3)当1x1且x0时，f(x)g(x)【方法技巧】解决幂函数图象问题的原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)(2)当0时，幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点，在第一象限内，当01时，曲线上凸；当1时，曲线下凸；当0时，幂函数的图象都经过(1,1)点，在第一象限内，曲线下凸【变式训练】1函数yx1的图象关于x轴对称的图象大致是()【答案】B【解析】yx的图象

8、位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数yx1的图象可看作由yx的图象向下平移一个单位得到的(如选项A中的图所示)，将yx1的图象关于x轴对称后即为选项B.2若四个幂函数yxa，yxb，yxc，yxd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是() Adcba BabcdCdcab Dabdc【答案】B【解析】令a2，b，c，d1，正好和题目所给的形式相符合在第一象限内，x1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以abcd.故选B.题型三利用幂函数的单调性比较大小【探究发现】幂函数的单调性如何判断？【提示】(1)幂函数yxa 的单调性主要通过a的正负判断，并且在

9、第一象限内单调性的规律体现的比较明显(2)a0时，幂函数yxa在第一象限内单调递增；a0 时，幂函数yxa在第一象限内单调递减【学透用活】【例3】比较下列各组数中两个数的大小(1)0.5与0.5；(2)1与1；(3) 与.【解析】(1)幂函数yx0.5在(0，)上是单调递增的，又，0.50.5.(2)幂函数yx1在(，0)上是单调递减的，又1.(3)函数y1x为(0，)上的增函数，又1，11.又函数y2x在(0，)上是增函数，且1，11，.【方法技巧】1.比较幂的大小的三种基本方法直接法当幂指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较转化法当幂指数不同时，可以先转化为相同幂指数，再运用单调性比较

10、大小中间量法当底数不同且幂指数也不同时，不能运用单调性比较大小，可选取适当的中间值，从而达到比较大小的目的2.利用幂函数单调性比较大小时的注意点比较大小的实数必须在同一函数的同一单调区间内，否则无法比较大小.【变式训练】1 (多选)下列不等式在ab0的条件下能成立的是() Aa1b1 Bab Cb2a2 Dab【答案】ABC【解析】分别构造函数yx1，yx，yx2，yx，其中函数yx1，yx2在(，0)上为减函数，故A、C成立而yx，yx为(，0)上的增函数，从而B成立，D不成立2比较下列各题中两个幂的值的大小： (1)1.1，0.9； (2)3，.【解析】(1)因为yx为(0，)上的减函数，

11、又1.10.9，所以1.10.9.(2)因为3，函数yx为0，)上的增函数，且，所以，即3.题型四幂函数性质的综合应用【学透用活】已知函数f(x)x(mN*)(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数图象经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2a)f(a1)的实数a的取值范围【解析】(1)m2mm(m1)，mN*，m与m1中必定有一个为偶数，该函数的定义域为0，)，由幂函数的性质知，该函数在定义域上单调递增(2)该函数图象过点(2，)，2，m2m2，m1(mN*)由f(2a)f(a1)，得解得1af(a1)的实数a的取值范围为.【方法技巧】解决幂函数的

12、综合问题，应注意以下两点：(1)充分利用幂函数的图象、性质解题，如图象所过定点、单调性、奇偶性等；(2)注意运用常见的思想方法解题，如分类讨论思想、数形结合思想【变式训练】已知幂函数f(x)(m25m7)xm1(mR)为偶函数(1)求f的值；(2)若f(2a1)f(a)，求实数a的值【解析】(1)函数f(x)(m25m7)xm1(mR)为幂函数，m25m71，解得m2或m3.当m2时，f(x)x3，不是偶函数，舍去；当m3时，f(x)x4，为偶函数，满足题意f(x)x4，f416.(2)由f(2a1)f(a)，可得(2a1)4a4，即解得a1或a.【课堂思维激活】一、综合性强调融会贯通1已知函

13、数f(x)(m2m1)xm是幂函数，且在(0，)上是减函数(1)求实数m的值；(2)请画出f(x)的大致图象；(3)若f(2a1)f(a)，aR成立，求a的取值范围【解析】(1)由函数f(x)是幂函数，则m2m11，解得m2或m1，又因为f(x)在(0，)上是减函数，所以m2.(2)由(1)知，f(x)x2，则f(x)的大致图象如图所示：(3)由(2)知，f(x)的图象关于y轴对称，且在(0，)上递减，则由f(2a1)f(a)，得|2a1|a|，即(2a1)2a2，可得(a1)(3a1)0，解得a1，又a，a的取值范围为.二、应用性强调学以致用2为了保证信息的安全传输须使用加密方式，有一种方式

14、其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)现在加密密钥为yx(为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是什么？【解析】由题目可知加密密钥yx(是常数)是一个幂函数模型，所以要想求得解密后得到的明文，就必须先求出的值由题意得24，解得，则yx.由x3，得x9.即解密后得到的明文是9.三、创新性强调创新意识和创新思维3已知幂函数yx的图象经过点A(0,0)，B(1,1)，C(1,1)，D(4,2)中的三点，写出满足条件的一个值【解析】当2时，yx2经过A，B，C三点当时，yx经过A，B，D三点，答案不唯一1如图给出四个幂函

15、数的图象，则图象与函数大致对应的是()Ayx；yx2；yx3；yx1Byx3；yx；yx2；yx1Cyx2；yx3；yx；yx1Dyx3；yx2；yx；yx1【答案】D【解析】yx3是奇函数，且在R上递增，对应题图；yx2是偶函数，对应题图；yx的定义域为0，)，对应题图；yx1的定义域为(，0)(0，)，对应题图.故选D.2已知幂函数f(x)(2n2n)xn1，若f(x)在其定义域上为增函数，则n等于()A1或B1CD1或【答案】C【解析】依题意得2n2n1，即2n2n10，解得n1或n.当n1时，f(x)x2，在R上不是增函数，不符合题意，舍去；当n时，f(x)x，在定义域0，)上是增函数

16、，符合题意故选C.3.如图所示，曲线C1与C2分别是函数yxm和yxn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是()Anm0Bmnm0Dmn0【答案】A【解析】由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m0，n0故选B.5已知幂函数f(x)xa的图象过点，则函数g(x)(x2)f(x)在区间上的最小值是()A1B2C3D4【答案】C【解析】由已知得2a，解得a1，g(x)1在区间上单调递增，则g(x)ming3.故选C.6已知幂函数f(x)x的部分对应值如表：x1f(x)1则f(x)的单调递增区间是_【答案】 0，)【解析】因为f ，所以，即，所以f(x)x的单调递增区间是0，)7设，则使f(x)x为

17、奇函数且在(0，)上单调递减的的值是_【答案】-1【解析】因为f(x)x为奇函数，所以1,1,3.又因为f(x)在(0，)上为减函数，所以1.8若f(x)是幂函数，且满足4，则f_.【答案】【解析】设f(x)x，则f(4)422，f(2)2.2422，2，f(x)x2，f 2.9已知函数f(x)(m22m)xm2m1，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数【解析】(1)若函数f(x)为正比例函数，则m1.(2)若函数f(x)为反比例函数，则m1.(3)若函数f(x)为幂函数，则m22m1，m1.10比较下列各组数的大小：(1)3和3.2；(2)和；(3)4

18、.1和3.8.【解析】(1)函数yx在(0，)上为减函数，又33.2，所以33.2.(2)，函数yx在(0，)上为增函数，而，所以.(3)4.111,03.811，所以4.13.8.11幂函数yx(0)，当取不同的正数时，在区间0,1上它们的图象是一簇曲线(如图)设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数yxm，yxn的图象三等分，即有BMMNNA，则mn等于()A1B2C3D无法确定【答案】A【解析】由条件知，M，N，m，n，mnnn，mn1.故选A.12(多选)已知实数a，b满足等式ab，则下列关系式中可能成立的是()A0ba1B1ab0C1abD1ba0【答

19、案】AC【解析】画出yx与yx的图象(如图)，设abm，作直线ym.从图象知，若m0或1，则ab；若0m1，则0ba1，则1af(a1)的实数a的取值范围【解析】(1)mN*，m2mm(m1)为偶数令m2m2k，kN*，则f(x)，f(x)的定义域为0，)，且f(x)在0，)上为增函数(2)由题意可得22，m2m2，解得m1或m2(舍去)，f(x)x.由(1)知f(x)在定义域0，)上为增函数，f(2a)f(a1)等价于2aa10，解得1a，故实数a的取值范围为.15已知幂函数f(x)x (m2)(mN)是偶函数，且在(0，)上是减函数，求函数f(x)的解析式，并讨论g(x)a的奇偶性【解析】由f(x)x (m2)(mN)在(0，)上是减函数，得(m2)0，m2.mN，m0,1.f(x)是偶函数，只有当m0时符合题意，故f(x)x.于是g(x)，g(x)，且g(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称当a0且b0时，g(x)既不是奇函数也不是偶函数；当a0且b0时，g(x)为奇函数；当a0且b0时，g(x)为偶函数；当a0且b0时，g(x)既是奇函数又是偶函数