专题07 角平分线的基本模型（一）全等类（解析版）.docx

1、专题07 角平分线的重要模型（一）全等类角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。模型1.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段等）【模型解读与图示】已知如图1，为的角平分线、不具备特殊位置时，辅助线的作法大都为在上截取，连结即可.即有，利用相关结论解决问题. 图1 图21（2022湖北十堰九年级期末）在ABC中，ACB2B，如图，当C90，AD为BAC的角平分线时，在AB上截取AEAC，连结DE，易证ABACCD（1）如

2、图，当C90，AD为BAC的角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；（2）如图，当AD为ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明【答案】（1）；证明见解析；（2）；证明见解析【分析】（1）首先在AB上截取AEAC，连接DE，易证ADEADC（SAS），则可得AEDC，EDCD，又由AEDACB，ACB2B，所以AED2B，即BBDE，易证DECD，则可求得ABACCD；（2）首先在BA的延长线上截取AEAC，连接ED，易证EADCAD，可得EDCD，AEDACD，又由ACB2B，易证DEEB，

3、则可求得ACABCD【详解】（1）猜想：证明：如图，在上截取，连结，为的角平分线时，（2）猜想：证明：在的延长线上截取，连结平分，在与中，又，【点睛】此题考查三角形综合题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型2（2022山东烟台九年级期末）已知在中，满足，(1)【问题解决】如图1，当，为的角平分线时，在上取一点使得，连接，求证：(2)【问题拓展】如图2，当，为的角平分线时，在上取一点使得，连接，（1）中的结论还成立吗？若成立，请你证明：若不成立，请说明理由(3)【猜想证明】如图3，当为的外角平分

4、线时，在的延长线上取一点使得，连接，线段、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明【答案】(1)证明见解析(2)成立，证明见解析(3)猜想，证明见解析【分析】（1）先根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质可得，然后根据等腰三角形的判定可得，从而可得，最后根据线段和差、等量代换即可得证；（2）先根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质可得，然后根据等腰三角形的判定可得，从而可得，最后根据线段和差、等量代换即可得证；（3）先根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据三角形的外角性质可得，然后根据等腰三角形的判定可得，从而可

5、得，最后根据线段和差、等量代换即可得证（1）证明：为的角平分线，在与中，又，（2）解：（1）中的结论还成立，证明如下：为的角平分线时，在与中，又，（3）解：猜想，证明如下：平分，在与中,，如图，即，又，【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键3（2022浙江九年级期中）（1）如图1，在ABC中，ACB2B，C90，AD为BAC的平分线交BC于D，求证：ABACCD（提示：在AB上截取AEAC，连接DE）（2）如图2，当C90时，其他条件不变，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系，直接写出结果，不需要证明（3）如图3，当ACB90，

6、ACB2B ，AD为ABC的外角CAF的平分线，交BC的延长线于点D，则线段 AB、AC、CD又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明【答案】（1）见解析；（2）ABACCD；（3）ABCDAC【分析】（1）在AB上截取AE=AC，连接DE，根据角平分线的定义得到1=2推出ACDAED（SAS）根据全等三角形的性质得到AED=C=90，CD=ED，根据已知条件得到B=45求得EDB=B=45得到DE=BE，等量代换得到CD=BE即可得到结论；（2）在AC取一点E使AB=AE，连接DE，易证ABDAED，所以B=AED，BD=DE，又因为B=2C，所以AED=2C，因为AED是EDC的外角，

7、所以EDC=C，所以ED=EC，BD=EC，进而可证明AB+BD=AE+EC=AC；（3）在AB的延长线AF上取一点E，使得AE=AC，连接DE证明ACDAED，根据全等三角形的性质得到DE=BE，BE=CD，即可得出结论【详解】（1）证明：在AB上取一点E，使AE=ACAD为BAC的平分线BAD=CAD在ACD和AED中， ACDAED（SAS）AED=C=90，CD=ED，又ACB=2B，C=90，B=45EDB=B=45DE=BE，CD=BEAB=AEBE，AB=ACCD （2）证明：在AB取一点E使AC=AE，在ACD和AED中， ,ACDAED，C=AED，CD=DE，又C=2B，A

8、ED=2B，AED是EDC的外角，EDB=B，ED=EB，CD=EB，AB=AC+CD；（3）猜想：AB=CDAC证明：在BA的延长线上取一点E，使得AE=AC，连接DE，在ACD和AED中，ACDAED（SAS），ACD=AED，CD=DE，ACB=FED，又ACB=2B FED=2B，又FED=BEDB， EDB=B，DE=BE，BE=CD，AB=BE-AEAB=CDAC【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，关于线段和差关系的证明，通常采用截长补短法.4（2022北京九年级专题练习）在四边形中，是边的中点 （1）如图（1），若平分，则线段、的长度满足的数量关系为_；（直接写出答案）（2）

9、如图（2），平分，平分，若，则线段、的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明【答案】（1）AEABDE；（2）AEABDEBD，证明见解析【分析】（1）在AE上取一点F，使AFAB，由三角形全等的判定可证得ACBACF，根据全等三角形的性质可得BCFC，ACBACF，根据三角形全等的判定证得CEFCED，得到EFED，再由线段的和差可以得出结论；（2）在AE上取点F，使AFAB，连结CF，在AE上取点G，使EGED，连结CG，根据全等三角形的判定证得ACBACF和ECDECG，由全等三角形的性质证得CFCG，进而证得CFG是等边三角形，就有FGCGBD，从而可证得结论【详解】解：（1）如图（1

10、），在AE上取一点F，使AFABAC平分BAE，BACFAC在ACB和ACF中，ACBACF（SAS）BCFC，ACBACFC是BD边的中点，BCCDCFCDACE90，ACBDCE90，ACFECF90ECFECD在CEF和CED中，CEFCED（SAS）EFEDAEAFEF，AEABDE故答案为：AEABDE；（2）AEABDEBD证明：如图（2），在AE上取点F，使AFAB，连结CF，在AE上取点G，使EGED，连结CGC是BD边的中点，CBCDBDAC平分BAE，BACFAC在ACB和ACF中，ACBACF（SAS）CFCB，BCAFCA同理可证：ECDECGCDCG，DCEGCECB

11、CD，CGCFACE120，BCADCE18012060FCAGCE60FCG60FGC是等边三角形FGFCBDAEAFEGFG，AEABDEBD【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，能熟练应用三角形全等的判定和性质是解决问题的关键模型2.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）【模型解读与图示】已知如图1，为的角平分线、于点时，辅助线的作法大都为过点作即可.即有、等，利用相关结论解决问题. 图1 图2 图3邻等对补模型：已知如图2，AP是CAB的角平分线，EP=DP辅助线：过点P作PGAC、PFAB结论：（四点共圆）；1（2022北京中考真题）如图，在中，平分若则_【答案】1【分析】

12、作于点F，由角平分线的性质推出，再利用三角形面积公式求解即可【详解】解：如图，作于点F，平分，故答案为：1【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD中AC边的高是解题的关键2（2022山东泰安中考真题）如图，ABC的外角ACD的平分线CP与内角ABC的平分线BP交于点P，若BPC40，则CAP（）A40B45C50D60【答案】C【分析】根据外角与内角性质得出BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出CAPFAP，即可得出答案.【详解】解：延长BA，作PNBD，PFBA，PMAC，设PCDx，CP平分ACD，ACPPCDx，PMPN，BP平分ABC，AB

13、PPBC，PFPN，PFPM，BPC40，ABPPBCPCDBPC（x40），BACACDABC2x（x40）（x40）80，CAF100，在RtPFA和RtPMA中，RtPFARtPMA（HL），FAPPAC50故选C【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PMPNPF是解题的关键3（2022江苏扬州中考真题）如图，在中，分别平分，交于点(1)求证：；(2)过点作，垂足为若的周长为56，求的面积【答案】(1)见详解(2)84【分析】（1）由平行四边形的性质证即可求证；（2）作，由即可求解；（1）证明：在中，分别平分，在和中，（2）

14、如图，作，的周长为56，平分，【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、三角形的全等、角平分线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键4（2022河北九年级专题练习）已知OP平分AOB，DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G（1）如图1，若CDOA，CEOB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；（2）如图2，若AOB=120，DCE=AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由【答案】（1）CF=CG；（2）CF=CG，见解析【分析】（1）结论CF=CG，由角平分线性质定理即可判断（2）结论：CF=CG，作CMOA于M，CNOB于N，证明CMFCNG

15、，利用全等三角形的性质即可解决问题【详解】解：（1）结论：CF=CG； 证明：OP平分AOB，CFOA，CGOB，CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）；（2）CF=CG理由如下：如图，过点C作CMOA，CNOB，OP平分AOB，CMOA，CNOB，AOB=120，CM=CN（角平分线上的点到角两边的距离相等），AOC=BOC=60（角平分线的性质），DCE=AOC，AOC=BOC=DCE=60，MCO=90-60 =30，NCO=90-60 =30，MCN=30+30=60，MCN=DCE，MCF=MCN-DCN，NCG=DCE-DCN，MCF=NCG，在MCF和NCG中，MCFNC

16、G（ASA），CF=CG（全等三角形对应边相等）【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等模型3.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）【模型解读与图示】已知如图1，为的角平分线，于点时，辅助线的作法大都为延长交于点即可。即可构造PONPOM，有是等腰三角形、是三线等，利用相关结论解决问题. 常见模型如图2。图1 图21（2022安徽合肥一模）如图，中，AD平分，E是BC中点，则DE的值为（）A1B2CD【答案】D【分析】延长BD交AC于点F，先证明，得到BD=DF，D是BF的中点，再由中位线的性质解答即可【详解】

17、解：延长BD交AC于点F，如图AD平分，D是BF的中点，E是BC中点，故选：D【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、中位线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键2（2022绵阳市九年级期中）在ABC中，AB=AC，BAC=90，BD平分ABC交AC于点D（1）如图1，点F为BC上一点，连接AF交BD于点E若AB=BF，求证：BD垂直平分AF（2）如图2，CEBD，垂足E在BD的延长线上试判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由（3）如图3，点F为BC上一点，EFC=ABC，CEEF，垂足为E，EF与AC交于点M直接写出线段CE与线段FM的数量关系【答案】（1）见解析；（2）BD=2

18、CE，理由见解析；（3）FM=2CE【分析】(1) 由BD平分ABC，可得ABE=FBE，可证ABEFBE（SAS），可得AE=FE，AEB=FEB=180=90即可；（2）延长CE，交BA的延长线于G，由CEBD，ABE=FBE，可得GE=2CE=2GE，可证BADCAG（ASA），可得BD=CG=2CE；（3）作FM的中垂线NH交CF于N，交FM于H，由FN=MN，MH=FH=FM，可得NMH=NBH，由EFC=ABC=22.5，可求ABC=ACB=MNC=45，可得NM=CM=FN，由外角EMC=MFC+MCF=22.5+45=67.5，可求ECM=90-EMC=22.5，可证FNHCM

19、E（AAS），可得FH=CE即可【详解】证明(1) BD平分ABC，ABE=FBE，BA=BF，BE=BE，ABEFBE（SAS），AE=FE，AEB=FEB= 180=90，BD垂直平分AF（2）BD=2CE，理由如下：延长CE，交BA的延长线于G，CEBD，ABE=FBE，GE=2CE=2GE，CED=90=BAD，ADB=EDC，ABD=GCA，又AB=AC，BAD=CAG，BADCAG（ASA），BD=CG=2CE，（3）FM=2 CE，理由如下：作FM的中垂线NH交CF于N，交FM于H，FN=MN，MH=FH=FM，NMH=NBH，EFC=ABC=22.5，MNC=2NFH=2ABC

20、=ABC，AB=AC，BAC=90，ABC=ACB=MNC=45，NM=CM=FN，EMC=MFC+MCF=22.5+45=67.5，ECM=90-EMC=22.5，NFH=MCE，又FHN=E=90，FNHCME（AAS），FH=CE，FM=2FH=2CE【点睛】本题考查角平分线性质，三角形全等判定与性质，直角三角形两锐角互余，线段垂直平分线，三角形外角性质，掌握角平分线性质，三角形全等判定与性质，直角三角形两锐角互余，线段垂直平分线是解题关键3（2022福建厦门九年级期中）如图，在中，（1）如图1,平分交于点，为上一点，连接交于点（i）若，求证：垂直平分；（ii）若,求证：（2）如图2，平

21、分交于点，垂足在的延长线上，试判断线段和的数量关系，并说明理由（3） 如图3，为上一点，垂足为，与交于点，写出线段和的数量关系（不要求写出过程）【答案】（1）（）见解析；（）见解析；（2）BD2CE，理由见解析；（3）CEFD【分析】（1）（）由等腰三角形的性质即可证得结论；（）过点C作CMAF交AF的延长线于点M，如图1，先根据AAS证明ABECAM，可得AECM，然后根据角平分线的定义、平行线的性质和等量代换可得FCMEAD，进而可根据ASA证明AEDCMF，于是可得结论；（2）延长BA、CE相交于点F，如图2，先利用ASA证明BCE和BFE全等，可得CEEF，根据余角的性质可得ABDAC

22、F，然后利用ASA可证明ABD和ACF全等，进而可得BDCF，进一步即得结论；（3）过点F作FGBA，交AC于H，交CE的延长线于点G，如图3，先利用ASA证明CEFGEF，可得CEGE，然后根据平行线的性质、等腰三角形的性质和ASA证明CGHFDH，于是可得CGDF，从而可得结论【详解】（1）（）证明：ABBF，BD平分ABC，BEAF，AEEF，即BD垂直平分AF；（）证明：过点C作CMAF交AF的延长线于点M，如图1，BAC90，AFBD，ABE+BAE=90，CAM+BAE=90，CAMABE，在ABE和CAM中，ABECAM（AAS），AECM，AFBD，AFCM，BDCM，FCMC

23、BD，BD平分ABC，ABDCBD，FCMABD，FCMEAD，在AED和CMF中，AEDCMF（ASA），ADCF；（2）解：BD2CE理由如下：如图2，延长BA、CE相交于点F，BD平分ABC，ABDCBD，在BCE和BFE中，BCEBFE（ASA），CEEF，BAC90，CEBD，ACF+F90，ABD+F90，ABDACF，在ABD和ACF中，ABDACF（ASA），BDCF，CFCE+EF2CE，BD2CE（3）解：CEFD过点F作FGBA，交AC于H，交CE的延长线于点G，如图3，FGAB，EFCB，EFCGFE，又CEFE，CEFGEF90，在CEF和GEF中，CEFGEF（AS

24、A），CEGE，即CECG，FGAB，A90，ABAC，CHGDHF90，CHFH又GCHDFH，CGHFDH（ASA），CGDFCEFD【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质以及等腰三角形的性质等知识，具有一定的难度，正确添加辅助线、熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键4（2022安徽黄山九年级期中）如图，在中，是边上一动点，于（1）如图（1），若平分时，求的度数；延长交的延长线于点，补全图形，探究与的数量关系，并证明你的结论；（2）如图（2），过点作于点，猜想线段，之间的数量关系，并证明你的猜想【答案】（1），BD=2EC，理由见详解；（2）BE=CE

25、+2AF，理由见详解【分析】（1）由题意易得ABC=ACB=45，则有CBD=ABD=22.5，进而可求ECD=DBA，则问题得解；由题意易得CE=EF，则可证ABDACF，进而可得BD=CF，最后根据线段的数量关系可求解；（2）在BE上截取BH=CE，连接AH，则易证BHACEA，则有AE=AH，BAH=CAE，进而可得HAE=90，然后根据线段的数量关系可求解【详解】解：（1），ABC=ACB=45，BD平分ABC，CBD=ABD=22.5，ABD+BDA=CDE+ECD=90，CDE=BDA，ABD=ECD=22.5；BD=2EC，理由如下：如图所示：，CEB=FEB=90，BE=BE，

26、CEBFEB（ASA），CE=FE，DBA+F=90，FCA+F=90，DBA=FCA，BAD=CAF=90，AB=AC，ABDACF（ASA），BD=CF，BD=2CE；（2）BE=CE+2AF，理由如下：在BE上截取BH=CE，连接AH，如图，由（1）易得HBA=ECA，AB=AC，BHACEA（SAS），AH=AE，BAH=CAE，BAH+HAC=90，EAC+HAC=90，即HAE=90，AFBE，AF=HF=FE，BE=BH+HF+FE，BE=CE+2AF【点睛】本题主要考查直角三角形斜边中线定理及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握直角三角形斜边中线定理及等腰直角三角形的性质与判定

27、是解题的关键课后专项训练1（2022江苏常州一模）如图，已知四边形的对角互补，且，过顶点C作于E，则的值为（）AB9C6D72【答案】B【分析】要求值，主要求出AE和BE的长即可，注意到AC是角平分线，于是作CFAD交AD的延长线于点F，可以证得两对全等三角形，结合已知数据可以求得AE和BE的长，从而解决问题【详解】解：作CFAD交AD的延长线于点F，则CFD=90，CEAB， CEB=90， CFD=CEB=90， BAC=DAC， AC平分BAD， CE=CF， 四边形ABCD对角互补， ABC+ADC=180， 又CDF+ADC=180， CBE=CDF， 在CBE和CDF中， CBEC

28、DF（AAS）， BE=DF， 在AEC和AFC中， AECAFC（AAS）， AE=AF， 设BE=a，则DF=a， AB=15，AD=12， 12+2a=15，得， AE=12+a=，BE=a=， ， 故选B【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解答本题的关键是巧妙构造全等三角形进而得出等量关系2（2021四川成都二模）已知，如图，BC=DC，B+D=180 连接AC，在AB，AC，AD上分别取点E，P，F，连接PE，PF 若AE=4，AF=6，APE的面积为4，则APF的面积是（）A2B4C6D8【答案】C【分析】作于点，于点，延长，取，连接，先证明，由全等三角形对应边

29、相等、对应角相等，得到，结合等边对等角得到，再由角平分线的性质证得，最后根据三角形面积公式解题即可.【详解】解：如图，作于点，于点，延长，取，连接，故选：C.【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边对等角、角平分线的性质等知识，是重要考点，难度一般，作出正确的辅助线、掌握相关知识是解题关键.3（2022福建福州立志中学一模）如图，ABC中，ABC=45，CDAB于点D，BE平分ABC，且BEAC于点B，交CD于点F，H是BC边的中点，连接DH交BE于点G，现给出以下结论：ACDFBD；AE=CE；DGF为等腰三角形；S四边形ADGE=S四边形GHCE其中正确的有_（写出所有正确结论序号）【

30、答案】【分析】证明ACDFBD（AAS），由全等三角形的性质得出ACBF则正确；证明ABECBE（ASA），由全等三角形的性质得出AECE，则可得出正确；证出DGFDFG，由等腰三角形的判定可得出正确过G作GMBD于点M，由直角三角形的性质及全等三角形的性质得出S四边形ADGES四边形GHCE，故错误【详解】解：CDAB，CDABDF90，DBFDFB180BDF90，又BEAC，BEA90，DBFDAC180BEA90，DACDFB，又ABC45，DCB180ABCBDF45，BCD是等腰直角三角形，BDCD，在ACD和FBD中，ACDFBD（AAS），故正确；BE平分ABC，BEAC，AB

31、ECBE，BEABEC90，在ABE和CBE中，ABECBE（ASA），AECE，故正确；HBGBGH180GHB90，DBFDFG180BDF90，HBGDBF，BGHDFG，BGHDGF，DGFDFG，DGF为等腰三角形故正确；如图所示，过G作GMBD于点M，H为等腰直角BCD斜边BC的中点，DHBC，即GHB90，又BE平分ABC，GMBD，GMGH，又BDBH，SBDGSBGH，又ABECBE，SABESCBE，S四边形ADGESABESBDG，S四边形GHCESCBESBGH，S四边形ADGES四边形GHCE，故错误；综上所述：正确的有故答案为：【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等

32、腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，证明ABECBE是解题的关键4（2020重庆市松树桥中学校八年级月考）如图，ABC的面积为9cm2，BP平分ABC，APBP于P，连接PC，则PBC的面积为_cm2【答案】4.5【分析】根据已知条件证得ABPEBP，根据全等三角形的性质得到AP=PE，得出SABP=SEBP，SACP=SECP，推出，代入求出即可【详解】解：延长AP交BC于E，BP平分ABC，ABP=EBP，APBP，APB=EPB=90，在ABP和EBP中， ，ABPEBP（ASA），AP=PE， cm2，故答案为4.5【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，三

33、角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等5（2020江苏省灌云高级中学城西分校八年级月考）如图，在ABC中，A90，ABAC，ABC的平分线BD交AC于点D，CEBD，交BD的延长线于点E，若BD4，则CE_【答案】2【分析】根据题意延长BA、CE相交于点F，利用“角边角”证明BCE和BFE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=EF，根据等角的余角相等求出ABD=ACF，然后利用“角边角”证明ABD和ACF全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=CF，然后求解即可【详解】解：如图，延长BA、CE相交于点F，BD平分ABC，ABD=CBD，在BCE和BFE中，BCEBFE（ASA），

34、CE=EF，BAC=90，CEBD，ACF+F=90，ABD+F=90，ABD=ACF，在ABD和ACF中，ABDACF（ASA），BD=CF，CF=CE+EF=2CE，BD=2CE=4，CE=2故答案为：2【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质和等角的余角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，难点在于作辅助线构造出全等三角形并得到与BD相等的线段CF6（2021四川眉山市八年级期末）在ABC中，AB=AC，BAC=90，BD平分ABC交AC于点D（1）如图1，点F为BC上一点，连接AF交BD于点E若AB=BF，求证：BD垂直平分AF（2）如图2，CEBD，垂足E在BD的延长线

35、上试判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由（3）如图3，点F为BC上一点，EFC=ABC，CEEF，垂足为E，EF与AC交于点M直接写出线段CE与线段FM的数量关系【答案】（1）见解析；（2）BD=2CE，理由见解析；（3）FM=2CE【分析】(1) 由BD平分ABC，可得ABE=FBE，可证ABEFBE（SAS），可得AE=FE，AEB=FEB=180=90即可；（2）延长CE，交BA的延长线于G，由CEBD，ABE=FBE，可得GE=2CE=2GE，可证BADCAG（ASA），可得BD=CG=2CE；（3）作FM的中垂线NH交CF于N，交FM于H，由FN=MN，MH=FH=FM，可得NM

36、H=NBH，由EFC=ABC=22.5，可求ABC=ACB=MNC=45，可得NM=CM=FN，由外角EMC=MFC+MCF=22.5+45=67.5，可求ECM=90-EMC=22.5，可证FNHCME（AAS），可得FH=CE即可【详解】证明(1) BD平分ABC，ABE=FBE，BA=BF，BE=BE，ABEFBE（SAS），AE=FE，AEB=FEB= 180=90，BD垂直平分AF（2）BD=2CE，理由如下：延长CE，交BA的延长线于G，CEBD，ABE=FBE，GE=2CE=2GE，CED=90=BAD，ADB=EDC，ABD=GCA，又AB=AC，BAD=CAG，BADCAG（

37、ASA），BD=CG=2CE，（3）FM=2 CE，理由如下：作FM的中垂线NH交CF于N，交FM于H，FN=MN，MH=FH=FM，NMH=NBH，EFC=ABC=22.5，MNC=2NFH=2ABC=ABC，AB=AC，BAC=90，ABC=ACB=MNC=45，NM=CM=FN，EMC=MFC+MCF=22.5+45=67.5，ECM=90-EMC=22.5，NFH=MCE，又FHN=E=90，FNHCME（AAS），FH=CE，FM=2FH=2CE【点睛】本题考查角平分线性质，三角形全等判定与性质，直角三角形两锐角互余，线段垂直平分线，三角形外角性质，掌握角平分线性质，三角形全等判定与

38、性质，直角三角形两锐角互余，线段垂直平分线是解题关键7（2022北京西城二模）在ABC中，AB=AC，过点C作射线CB，使ACB=ACB（点B与点B在直线AC的异侧）点D是射线CB上一动点（不与点C重合），点E在线段BC上，且DAE+ACD=90(1)如图1，当点E与点C重合时，AD 与的位置关系是_，若，则CD的长为_；（用含a的式子表示）(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接DE用等式表示与之间的数量关系，并证明；用等式表示线段BE，CD，DE之间的数量关系，并证明【答案】(1)ADCB；(2)BAC=2DAE，理由见解析；BE=CD+DE，理由见解析【分析】（1）先证明ADC=90，再

39、过点A作AFBC于点F，根据角平分线的性质，证明ADCAFC(HL)，即可求解；（2）ACB=ACB=B，利用三角形内角和定理得到=90-BAC，再由DAE+ACD=90，推出ACD=90-DAE=，进一步计算即可求解；在BC上截取BG=CD，先后证明ABGACD(SAS)，GAEDAE (SAS)，即可求解（1）解：点E与点C重合，且DAE+ACD=90，ADC=90，ADCB；过点A作AFBC于点F，AB=AC，CF=BF=BC=，ACB=ACB，AFBC，ADCB，AF= AD，ADCAFC(HL)，CD=CF=，故答案为：ADCB；（2）解：BAC=2DAE，理由如下：设ACB=ACB

40、=B，ACB+B=180-BAC，即=90-BAC，DAE+ACD=90，ACD=90-DAE=，90-BAC=90-DAE，BAC=2DAE；BE=CD+DE，理由如下：在BC上截取BG=CD，在ABG和ACD中，ABGACD(SAS)，AG=AD，BAG=CAD，BAC=BAG+GAC，GAD=CAD+GAC，BAC=GAD，BAC=2DAE，GAD=2DAE，GAE=DAE，在GAE和DAE中，GAEDAE (SAS)，GE=DE，BE=BG+GC=CD+DE【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，作出合适的辅助线，构造全等三角形是解题的关键8（2022重庆二模）已知：

41、如图1，四边形ABCD中，连接AC、BD，交于点E，(1)求证：；(2)如图2，过点B作，交DC于点F，交AC于点G，若，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，若，求线段GF的长【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）过点A作APBD于点P，AFBC，交CB的延长线于点F，可证四边形APBF是正方形，可得APAF，根据“HL”可证，可得DAPFAC，即可得DAC90；（2）过点F作FMBC于点M，FNBD于点N，过点C作CPBF于点P，在BD上截取DHBC，连接AH，根据角平分线的性质可得FNFM，根据SDBF2SCBF，可得BD2BC，即BHDHBC，通过全等三角形的判定和性质

42、可得AGGC；（3）由全等三角形的性质可得BGPG，根据勾股定理可求GC，DC，PF的长，即可求GF的长(1)解：如图，过点A作APBD于点P，AFBC，交CB的延长线于点F， APBD，AFBC，BDBC四边形APBF是矩形ABC135，DBC90，ABP45，且APB90，APPB，四边形APBF是正方形APAF，且ADAC，DAPFAC，FAC+PAC90DAP+PAC90DAC90(2)如图，过点F作FMBC于点M，FNBD于点N，过点C作CPBF于点P，在BD上截取DHBC，连接AH， ABC135，ABF90，CBF45，且DBC90，DBFCBF，且FNBD，FMBC，FNFM，

43、SDBF2SCBF，2，BD2BC，BHBDDHBDBCBC，AEDBEC，DACDBC90，ADHACB，且ADAC，DHBC，ADHACB（SAS），AHDABC135，AHAB，AHBABD45，HAB90，BCBH，HABBPC，AHBFBC45，AHBPBC（AAS），ABPC，ABPC，且ABPBPC，AGBCGP，AGBCGP（AAS），AGGC(3)解：如图，AB3PC，PBC45，PCBF，BPPC=3，AGBCGP，BGPG，在中，CG，AGGCACAD2AG3在中，CD，SDBF2SCBF，DF2FCDF+FCDCFC在中，PF1FGPG+PF1+ 【点睛】本题是四边形综

44、合题，考查了正方形的判定和性质，全等三角形判定和性质，勾股定理，角平分线的性质等知识，解题的关键是添加恰当的辅助线构造全等三角形9（2022陕西西安一模）如图，ABD和BCE都是等边三角形，ABC105，AE与DC交于点F（1）求证：AEDC；（2）求BFE的度数；（3）若AF9.17cm，BF1.53cm，CF7.53cm，求CD【答案】（1）见解析；（2）60；（3）18.23cm【分析】（1）由等边三角形的性质可知DBAEBC60，BDAB，BCBE从而可证DBCABE即可利用“SAS”可证明DBCABE，得出结论AEDC（2）过点B作BNCD于N，BHAE于H由DBCABE可知BEHB

45、CN，BDFBAF再结合等边三角形的性质可求出FDA+DAF120，进而求出DFA180-12060，即求出DFE180-60120即可利用“AAS”证明BEHBCN，得出结论BHBN，即得出BF平分DFE，即可求出BFE60（3）延长BF至Q，使FQAF，连接AQ根据所作辅助线可知AFQBFE60，即证明AFQ是等边三角形，得出结论AFAQBQ，FAQ60又可证明DAFBAQ利用“SAS”可证明DAFBAQ，即得出DFBQBF+FQBF+AF，最后即可求出CDDF+CFBF+AF+CF1.53+9.17+7.5318.23cm【详解】（1）证明：ABD和BCE都是等边三角形，DBAEBC60

46、，BDAB，BCBE，DBA+ABCEBC+ABC，即DBCABE，在DBC和ABE中，DBCABE（SAS），AEDC；（2）解：如图，过点B作BNCD于N，BHAE于HDBCABE，BEHBCN，BDFBAF，ABD是等边三角形，BDA+BAD120，FDA+DAF120，DFA180-12060，DFE180-60120，在BEH和BCN中，BEHBCN（AAS），BHBN，BF平分DFE，BFEDFE12060；（3）解：如图，延长BF至Q，使FQAF，连接AQ则AFQBFE60，AFQ是等边三角形，AFAQBQ，FAQ60，ABD是等边三角形，ADAB，DAB60，DAB+BAFBA

47、F+FAQ，即DAFBAQ，在DAF和BAQ中，DAFBAQ（SAS），DFBQBF+FQBF+AF，CDDF+CFBF+AF+CF1.53+9.17+7.5318.23cm【点睛】本题为三角形综合题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及角平分线的判定和性质正确的作出辅助线也是解答本题的关键10（2021安徽九年级期末）如图，在中，平分（1）如图1，若，求证：；（2）如图2，若，求的度数；（3）如图3，若，求证：【答案】（1）见详解；（2）108；（3）见详解【分析】（1）如图1，过D作DMAB于M，由 CACB，得是等腰直角三角形，根据角平分线的性质得到CD

48、MD，ABC45，根据全等三角形的性质得到ACAM，于是得到结论；（2）如图2，设ACB，则CABCBA90，在AB上截取AKAC，连结DK，根据角平分线的定义得到CADKAD，根据全等三角形的性质得到ACDAKD，根据三角形的内角和即可得到结论；（3）如图3，在AB上截取AHAD，连接DH，根据等腰三角形的性质得到CABCBA40，根据角平分线的定义得到HADCAD20，求得ADHAHD80，在AB上截取AKAC，连接DK，根据全等三角形的性质得到ACBAKD100，CDDK，根据等腰三角形的性质得到DHBH，于是得到结论【详解】（1）如图1，过D作DMAB于M，在中， ABC45，ACB9

49、0，AD是角平分线，CDMD， BDMABC45，BMDM，BMCD，在RTADC和RTADM中，RTADCRTADM（HL），ACAM，ABAMBMACCD，即ABACCD；（2）设ACB，则CABCBA90，在AB上截取AKAC，连结DK，如图2，ABACBD，AB=AK+BKBKBD，AD是角平分线，CADKAD，在CAD和KAD中， CADKAD（SAS），ACDAKD，BKD180，BKBD，BDK180，在BDK中，18018090180，108，ACB108；（3）如图3，在AB上截取AHAD，连接DH，ACB100，ACBC，CABCBA40，AD是角平分线，HADCAD20，

50、ADHAHD80，在AB上截取AKAC，连接DK，由（1）得，CADKAD，ACBAKD100，CDDK，DKH80DHK，DKDHCD，CBA40，BDHDHK -CBA =40，DHBH，BHCD，ABAHBH，ABADCD【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形的内角和，正确的作出辅助线是解题的关键11（2022自贡市九年级月考）根据图片回答下列问题(1)如图，AD平分BAC，B+C=180，B=90，易知：DB_DC(2)如图，AD平分BAC，ABD+ACD=180，ABD90，求证：DB=DC 【答案】（1）=；（2）见解析； 【分析】（1）

51、利用HL判断出ADCADC，即可得出结论；（2）先构造出ACDAED，得出DC=DE，AED=C，在判断出DE=DB，即可得出结论；【详解】解：证明：（1）B+C=180，B=90，C=90，AD平分BAC，DAC=BAD，AD=AD，ACDABD（AAS），BD=CD；（2）如图，在AB边上取点E，使AC=AE，AD平分BAC，CAD=EAD，AD=AD，AC=AE，ACDAED（SAS），DC=DE，AED=C，C+B=180，AED+DEB=180，DEB=B，DE=DB，DB=DC；【点睛】本题是四边形综合题，考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键

52、是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型12（2022江苏一模）如图，已知，AE，BD是的角平分线，且交于点P（1）求的度数（2）求证：点在的平分线上（3）求证：；【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析，见解析【分析】（1）根据三角形的内角和定理和角平分线的性质即可得解；（2）根据角平分线上的点到两边的距离相等，作，分别垂直于，即可得解；（3）根据（2）所做图像，证明全等即可得解；在AB上取，证明，得到，证明，得到，证明，得到，再结合图像即可证明【详解】解：（1）已知，又 AE，BD是的角平分线，；（2）作，分别垂直于，如图， AE，BD是的角平分线，在的平分线上；（3）：如图所示，在四边形中，（对顶角），又，；：在AB上取，同理可证，又，又，又，【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质；掌握好相关的基本性质定理，熟练地使用全等三角形的性质是关键13（2022安徽芜湖九年级期中）如图，已知，是的平分线，且交的延长线于点E求证：【答案】见解析【分析】延长与的延长线相交于点F，可以证明，再证明，得到，即可得出结论【详解】证明：如图，延长与的延长线相交于点F，在和中，是的平分线，在和中，【点睛】本题主要考查了角平分线性质，全等三角形判定和性质，能够想到延长CE、BA相交于点F，构造全等三角形是解决本题的关键