专题08指数与指数函数-2021年新高考数学基础考点一轮复习.docx

1、专题08 指数与指数函数【考点总结】1根式来源:学科网(1)根式的概念若xna，则x叫做a的n次方根，其中n1且nN*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数a的n次方根的表示：xna(2)根式的性质()na(nN*，且n1)；2有理数指数幂(1)幂的有关概念正分数指数幂：a(a0，m，nN*，且n1)；负分数指数幂：a(a0，m，nN*，且n1)；0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义(2)有理数指数幂的运算性质arasars(a0，r，sQ)；(ar)sars(a0，r，sQ)；(ab)rarbr(a0，b0，rQ)3指数函数的图象与性质yax (a0且a1)a10a0时，

2、y1；当x0时，0y0时，0y1；当x1在R上是增函数在R上是减函数【常用结论】1指数函数图象的画法画指数函数yax(a0，且a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.2.指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为cd1ab0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数yax(a0，a1)的图象越高，底数越大3指数函数yax(a0，且a1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a1与0a1时，a2；当0a0且21.答案：(0，1)(1，)【考点解析】【考点】一、指数幂的

3、化简与求值例1化简(a0，b0)_解析：原式2213101.答案：例2计算：0.00210(2)10_解析：原式50011010201.答案：例3化简：_(a0)解析：原式a(a2b)a2.答案：a2指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数(3)底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答提醒运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一 【考点】二、指数函数的图象及应用例1、(1)函数f(x)21x

4、的大致图象为()(2)若函数y|3x1|在(，k上单调递减，则k的取值范围为_【解析】(1)函数f(x)21x2，单调递减且过点(0，2)，选项A中的图象符合要求(2)函数y|3x1|的图象是由函数y3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示由图象知，其在(，0上单调递减，所以k的取值范围为(，0【答案】(1)A(2)(，0【迁移探究1】(变条件)本例(2)变为：若函数f(x)|3x1|k有一个零点，则k的取值范围为_解析：函数f(x)有一个零点，即y|3x1|与yk有一个交点由本例(2)得y|3x1|的图象如图所示，故当k0或k1时，直线

5、yk与函数y|3x1|的图象有唯一的交点，所以函数f(x)有一个零点答案：01，)【迁移探究2】(变条件)若本例(2)的条件变为：函数y|3x1|m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是_解析：作出函数y|3x1|m的图象如图所示由图象知m1，即m(，1答案：(，1应用指数函数图象的4个技巧(1)画指数函数yax(a0，且a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.(2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除(3)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到特别地，当底数a与1的大

6、小关系不确定时应注意分类讨论(4)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解 【变式】1.函数f(x)axb的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()Aa1，b1，b0C0a0 D0a1，b0解析：选D.由f(x)axb的图象可以观察出函数f(x)axb在定义域上单调递减，所以0a1.函数f(x)axb的图象是在f(x)ax的基础上向左平移得到的，所以b0.【变式】2若关于x的方程|ax1|2a(a0，且a1)有两个不等实根，则a的取值范围是_解析：方程|ax1|2a(a0，且a1)有两个不等实根转化为函数y|ax1|与y2a有两个交点(1)当0a

7、1时，如图，所以02a1，即0a；(2)当a1时，如图，而y2a1不符合要求所以0a.答案：【考点】三、指数函数的性质及应用角度一指数函数单调性的应用例1、(1)已知a2，b4，c25，则()Abac BabcCbca Dcab(2)若f(x)exaex为奇函数，则满足f(x1)e2的x的取值范围是()A(2，) B(1，)C(2，) D(3，)【解析】(1)因为a2，b42，由函数y2x在R上为增函数知，ba；又因为a24，c255由函数yx在(0，)上为增函数知，ac.综上得ba0的解集为_解析：因为f(x)为偶函数，当x0，则f(x)f(x)2x4.所以f(x)当f(x2)0时，有或解得

8、x4或x4或x4或x0且a1)(1)求f(x)的定义域和值域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)讨论f(x)的单调性解：(1)f(x)的定义域是R，令y，得ax，因为1在定义域内恒成立，所以y1.因为ax0，所以0，解得1y1，所以f(x)的值域为(1，1)(2)因为f(x)f(x)，所以f(x)是奇函数(3)f(x)1.设x1，x2是R上任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2).因为x11时，a x2ax10，从而ax110，a x210，ax1a x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)为R上的增函数；当0aa x20，从而ax110，a x210，ax1a x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)为R上的减函数