专题08 函数的应用（一）（含解析）-2021-2022学年高一数学重难点手册（函数的概念与性质篇人教A版2019必修第一册）.docx

1、专题08 函数的应用（一）题型一一次函数模型【学透用活】形如ykxb(k0)的函数模型是一次函数模型应用一次函数的性质及图象解题时，应注意：(1)一次函数有单调递增(一次项系数为正)和单调递减(一次项系数为负)两种情况；(2)一次函数的图象是一条直线【例1】某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本为25元，因为在生产过程中，平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，所以工厂设计两个方案进行污水处理，并准备实施方案1：工厂污水先净化后再排出，每处理1立方米污水所耗原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30 000元；方案2：工厂污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污

2、水需付14元排污费(1)若工厂每月生产3 000件产品，你作为厂长在不污染环境，又节约资金的前提下，应选择哪个处理污水的方案，请通过计算加以说明；(2)若工厂每月生产6 000件时，你作为厂长又该如何决策呢？【解析】设工厂生产x件产品时，依方案1的利润为y1，依方案2的利润为y2，则y1(5025)x20.5x30 00024x30 000，y2(5025)x140.5x18x.(1)当x3 000时，y142 000，y254 000.因为y1 y2，故应选择第1个方案处理污水【方法技巧】建立一次函数模型，常设为ykxb(k0)，然后用待定系数法求出k，b的值，再根据单调性求最值，或利用方程

3、、不等式思想解题【变式训练】车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有3 500辆次，其中电动车保管费是每辆一次0.5元，自行车保管费是每辆一次0.3元(1)若设自行车停放的辆次为x，总的保管费收入为y元，试写出y关于x的函数关系式；(2)若估计前来停放的3 500辆次自行车和电动车中，电动车的辆次数不小于25%，但不大于40%，试求该车管站这个星期日收入保管费总数的范围【解析】(1)由题意得y0.3x0.5(3 500x)0.2x1 750(xN*且0x3 500)(2)若电动车的辆次数不小于25%，但不大于40%，则3 500(140%)x3 500(125%)，即2 100x2 625.

4、画出函数y0.2x1 750(2 100x2 625)的图象，可得函数y0.2x1 750(2 100x2 625)的值域是1 225,1 330，即收入在1 225元至1 330元之间题型二二次函数模型【学透用活】形如yax2bxc(a0)的函数模型是二次函数模型二次函数模型是重要的数学模型之一，依据实际问题建立二次函数的解析式后，利用配方法求最值简单易懂，有时也可以依据二次函数的性质求最值，从而解决利润最大、用料最省等问题【例2】牧场中羊群的最大蓄养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际蓄养量不能达到最大蓄养量，必须留出适当的空闲率已知羊群的年增长量y只和实际蓄养量x只与空闲率的乘积成正比，

5、比例系数为k(k0)(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；(2)求羊群年增长量的最大值；(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围【解析】(1)据题意，由于最大蓄养量为m只，实际蓄养量为x只，则蓄养率为，故空闲率为1，由此可得ykx(0xm)(2)对原二次函数配方，得y(x2mx)2，即当x时，y取得最大值.(3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间，则有实际蓄养量与年增长量的和小于最大蓄养量，即0xym.因为当x时，ymax，所以0m，解得2k0，所以0k2.故k的取值范围为(0,2)【方法技巧】解决二次函数模型应用题的4个步骤【变式训练】某地预计明年从年初开始的前x

6、个月内，某种商品的需求总量f(x)(万件)与月份x的近似关系为f(x)x(x1)(352x)(xN，且x12)(1)写出明年第x个月的需求量g(x)(万件)与月份x的函数关系式；(2)求哪个月份的需求量最大？最大值为多少？(1)由题意知：g(x)f(x)f(x1)x(x1)(352x)(x1)x352(x1)x(x1)(352x)(x1)(372x)x(726x)x(12x)g(x)x(12x)(xN且x12)(2)g(x)(12x)(x212x3636)(x6)2，当x6时，g(x)有最大值.即第六个月需求量最大，为万件题型三幂函数模型的应用【学透用活】能用幂型函数f(x)axb(a，b，为

7、常数，a0)表达的函数模型叫做幂函数模型，其增长情况随x中的取值而定，常见的有二次函数模型和反比例函数模型【例3】某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为yx(为常数)，其中x不超过5万元，已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为_万元【答案】125【解析】由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y x中，即327，解得3，故函数解析式为yx3，所以当x5时，y125.【方法技巧】解决幂函数模型的4步骤(1)认真阅读，理解题意；(2)用数学符号表示相关量，列出函数解析式；(3)

8、根据幂函数的性质推导运算，求得结果；(4)转化成具体问题，给出解答【变式训练】在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量R与管道半径r的四次方成正比(1)写出函数解析式；(2)假设气体在半径为3 cm的管道中的流量为400 cm3/s，求该气体通过半径为r cm的管道时，其流量R的函数解析式；(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5 cm，计算该气体的流量【解析】(1)由题意，得Rkr4(k是大于0的常数)(2)由r3 cm，R400 cm3/s，得k34400，k，流量R的函数解析式为Rr4.(3)Rr4，当r5 cm时，R543 086(cm3/s). 题型四分段函数模

9、型的应用【探究发现】什么是分段函数？分段函数的最值怎样求解？【提示】分段函数是自变量x在不同的取值范围内，函数有着不同的对应关系的函数求最值时应求出每个范围内的最值再比较取最大最小【学透用活】【例4】 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时研究表明：当20x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数(1)当0x200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(

10、单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)xv(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/时)【解析】(1)由题意，当0x20时，v(x)60；当20x200时，设v(x)axb，由已知得 解得故函数v(x)的表达式为：v(x)(2)依题意并结合(1)可得：f(x)当0x20时，f(x)为增函数，故当x20时，f(x)在区间0,20上取得最大值60201 200；当20x200时，f(x)x(200x)(x100)2，当且仅当x100时，等号成立所以当x100时，f(x)在区间(20,200上取得最大值.综上可得，当x100时，f(x)在区间0,200上取得最大值3 333.

11、即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时【方法技巧】(1)现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的，如出租车计费、个人所得税等，分段函数是刻画现实问题的重要模型(2)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其看成几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值. 【变式训练】某公司为提高员工的综合素质，聘请专业机构对员工进行专业技术培训，其中培训机构费用成本为12 000元公司每位员工的培训费用按以下方式与该机构结算：若公司参加培训的员工人数不超过30人时，每人的培训费用为850元；若公司参加培训的

12、员工人数多于30人，则给予优惠：每多一人，培训费减少10元已知该公司最多有60位员工可参加培训，设参加培训的员工人数为x人，每位员工的培训费为y元，培训机构的利润为Q元(1)写出y与x(x0，xN*)之间的函数解析式(2)当公司参加培训的员工为多少人时，培训机构可获得最大利润？并求最大利润【解析】 (1)由题知参加培训的员工人数为x人，每位员工的培训费为y元，培训机构的利润为Q元，当1x30且xN时，y850，当30x60且xN时，y85010(x30)1 15010x，所以y(2)当1x30且xN时，Q850x12 000，ymax8503012 00013 500(元)，当30x60且xN

13、时，Q10x21 150x12 000，其对称轴为x57.5，故当x57或58时，ymax21 060(元)，所以当公司参加培训的员工为57或58人时，培训机构可获得最大利润，最大利润21 060元 【课堂思维激活】一、应用性强调学以致用1氟利昂是一种重要的化工产品，它在空调制造业有着巨大的市场价值已知它的市场需求量y1(吨)、市场供应量y2(吨)与市场价格x(万元/吨)分别近似地满足下列关系：y1x70，y22x20.当y1y2时的市场价格称为市场平衡价格此时的需求量称为平衡需求量(1)求平衡价格和平衡需求量；(2)科学研究表明，氟利昂是地球大气层产生臭氧空洞的罪魁祸首，京都议定书要求缔约国

14、逐年减少其使用量某政府从宏观调控出发，决定对每吨征税3万元，求新的市场平衡价格和平衡需求量【解析】(1)由y1y2得x702x20，x30，此时y1y240，平衡价格为30万元/吨，平衡需求量为40吨(2)设新的平衡价格为t万元/吨，则y1t70，y22(t3)202t26，由y1y2得t702t26，t32，此时y1y238，即新的平衡价格为32万元/吨，平衡需求量为38吨二、创新性强调创新意识和创新思维2某市有甲，乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2

15、元某公司准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时 (1)设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15x40)，在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15x40)，试求f(x)和g(x)；(2)选择哪家比较合算？为什么？【解析】(1)f(x)5x,15x40；g(x)(2)当15x30时，5x90，x18，即当15x18时，f(x)g(x)；当x18时，f(x)g(x)；当18g(x)当30g(x)，当15x18时，选甲家比较合算；当x18时，两家一样合算；当18x40时，选乙家比较合算1一定范围内，某种产品的购买量y与单价

16、x之间满足一次函数关系如果购买1 000吨，则每吨800元，购买2 000吨，则每吨700元，那么一客户购买400吨，其价格为每吨()A820元B840元C860元D880元【答案】C【解析】设ykxb(k0)，则1 000800kb，且2 000700kb，解得k10，b9 000，则y10x9 000.解40010x9 000，得x860(元)2把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是()A. cm2B4 cm2C3 cm2D2 cm2【答案】D【解析】设一段长为x cm，则另一段长为(12x)cm，两个正三角形的面积之和为S cm2.分

17、析知0x10，不合题意；若2x1060，则x25，满足题意；若1.5x60，则x4010，所以2mx10m16m，解得x13.故选A.6端午节期间，某商场为吸引顾客，实行买100送20活动，即顾客购物每满100元，就可以获赠商场购物券20元，可以当作现金继续购物如果你有1 460元现金，在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计_元【答案】360【解析】由题意可知，1 4601 4002040,1 400元现金可送280元购物券，把280元购物券当作现金加上20元现金可送60元购物券，再把60元购物券当作现金加上40元现金可获送20元购物券，所以最多可获赠购物券2806020360(元)7

18、某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与售价x(元/件)之间的关系满足一次函数：m1623x.若要使每天获得最大的销售利润，则该商品的售价应定为_元/件【答案】42【解析】设每天获得的销售利润为y元，则y(x30)(1623x)3(x42)2432，所以当x42时，获得的销售利润最大，故该商品的售价应定为42元/件8统计某种水果在一年中四个季度的市场价格及销售情况如下表.季度1234每千克售价(单位：元)19.5520.0520.4519.95某公司计划按这一年各季度“最佳近似值m”收购这种水果，其中的最佳近似值m这样确定，即m与上表中各售价差的平方和最小

19、时的近似值，那么m的值为_【答案】20【解析】设y(m19.55)2(m20.05)2(m20.45)2(m19.95)24m22(19.5520.0520.4519.95)m19.55220.05220.45219.952，则当m20时，y取最小值9为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(单位：分)与通话费用y(单位：元)的关系如图所示(1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式；(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜【解析】(1)由图象可设y1k1x29，y2k2x，把

20、点B(30,35)，C(30,15)分别代入y1k1x29，y2k2x，得k1，k2.y1x29(x0)，y2x(x0)(2)令y1y2，即x29x，则x96.当x96时，y1y2，两种卡收费一致；当xy2，使用“便民卡”便宜；当x96时，y1y2，使用“如意卡”便宜10通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间一段时间，学生保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f(t)表示学生注意力随时间t(min)的变化规律(f(t)越大，表明学生注意力越集中)，经实验分析得知：f(t)(1)讲课开始多少分钟，学生的注意力最集中？能

21、持续多少分钟？(2)讲课开始后5 min与讲课开始后25 min比较，何时学生的注意力更集中？(3)一道数学难题，需要讲解24 min，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需要的状态下讲完这道题目？【解析】(1)当0t10时，f(t)t224t100是增函数，当20t40时，f(t)7t380是减函数，且f(10)f(20)240，所以讲课开始10 min，学生的注意力最集中，能持续10 min.(2)因为f(5)195，f(25)205，所以讲课开始后25 min比讲课开始后5 min学生的注意力更集中(3)当0t10时，令f(t)t224t100180

22、，得t4，当20t40时，令f(t)7t380180，得t28.57，又28.57424.5724，所以经过适当的安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲完这道题目. 11(多选)如图是反映某条公交线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差)y与乘客量x之间关系的图象由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图所示则下列说法中，正确的有()A图的建议：提高成本，并提高票价B图的建议：降低成本，并保持票价不变C图的建议：提高票价，并保持成本不变D图的建议：提高票价，并降低成本【答案】BC【解析】根据题意和图知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0

23、但是支出变少了，即说明此建议是降低成本而保持票价不变，故B正确；由图可以看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明此建议是提高票价而保持成本不变，故C正确12某公园要建造一个直径为20 m的圆形喷水池，计划在喷水池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头，使喷出的水柱在离池中心2 m处达到最高，最高的高度为8 m另外还要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷来的水柱在此处汇合，则这个装饰物的高度应该为()A5 mB3.5 mC5.5 mD7.5 m【答案】D【解析】根据题意易知，水柱上任意一个点距水池中心的水平距离为x，与此点的高度y之间的

24、函数关系式是：ya1(x2)28(10x0)或ya2(x2)28(0x10)，由x10，y0，可得a1；由x10，y0，可得a2，于是所求函数解析式是y(x2)28(10x0) 或y(x2)28(0x10)当x0时，y7.5，装饰物的高度为7.5 m故选D.13(一题两空)某市居民生活用水收费标准如下：用水量x/t每t收费标准/元不超过2 t部分m超过2 t不超过4 t部分3超过4 t部分n已知某用户1月份用水量为8 t，缴纳的水费为33元；2月份用水量为6 t，缴纳的水费为21元设用户每月缴纳的水费为y元(1)若某用户3月份用水量为3.5 t，则该用户需缴纳的水费为_元；(2)若某用户希望4

25、月份缴纳的水费不超过24元，则该用户最多可以用水_ t.【答案】(1)7.5(2)6.5【解析】(1)由题设可得y当x8时，y33；当x6时，y21，代入得解得所以y关于x的函数解析式为y当x3.5时，y33.537.5.故该用户3月份需缴纳的水费为7.5元(2)令6x1524，解得x6.5.故该用户最多可以用6.5 t水14某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润S(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和S与t之间的关系)根据图象提供的信息解答下列问题：(1)由已知图象上的三点坐标，求累积

26、利润S(万元)与时间t(月)之间的函数关系式；(2)求截止到第几个月末公司累积利润可达到30万元；(3)求第八个月公司所获得的利润【解析】(1)设S与t的函数关系式为Sat2btc(a0)由题中函数图象过点D(1，1.5)，C(2，2)，A(5,2.5)，得解得所求函数关系式为S0.5t22t(t0)(2)把S30代入，得300.5t22t，解得t110，t26(舍去)，截止到第十个月末公司累积利润可达到30万元(3)第八个月公司所获得的利润为0582280.572275.5(万元)，第八个月公司所获得的利润为5.5万元15食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人类的健康造成了一

27、定的危害，为了给消费者提供放心的蔬菜，某农村合作社将每年投入200万元，搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位：万元)分别满足P804，Qa120，设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)(1)求f(50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？【解析】(1)因为甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，所以f(50)804150120277.5.(2)f(x)804(200x)120x4250，依题意得20x180，故f(x)x4250(20x180)令t2，6，则f(x)t24t250(t8)2282，当t8，即x128时，f(x)max282，所以甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，为282万元