专题09倍长中线模型综合应用（专项训练）（解析版）.docx

1、 专题09 倍长中线线模型综合应用（专项训练）1如图，点D、E、F分别是ABC三边的中点，则下列判断错误的是（）A四边形AEDF一定是平行四边形B若AD平分A，则四边形AEDF是正方形C若ADBC，则四边形AEDF是菱形D若A90，则四边形AEDF是矩形【答案】B【解答】解：A、点D、E、F分别是ABC三边的中点，DE、DF为ABC得中位线，EDAC，且EDACAF；同理DFAB，且DFABAE，四边形AEDF一定是平行四边形，正确B、若AD平分A，如图，延长AD到M，使DMAD，连接CM，由于BDCD，DMAD，ADBCDM，ABDMCD（SAS），CMAB，又DABCAD，DABCMD，C

2、MDCAD，CACMAB，AD平分BAC，ADBC，则ABDACD；ABAC，AEAF，结合（1）四边形AEDF是菱形，因为BAC不一定是直角不能判定四边形AEDF是正方形；C、若ADBC，则ABDACD；ABAC，AEAF，结合（1）四边形AEDF是菱形，正确；D、若A90，则四边形AEDF是矩形，正确故选：B2如图，在RtABC中，ACB90，ACBC，分别以ABC的三边为边向外作三个正方形ABHL，ACDE，BCFG，连接DF过点C作AB的垂线CJ，垂足为J，分别交DF，LH于点I，K若CI5，CJ4，则四边形AJKL的面积是 【答案】80【解答】解：过点D作DMCI，交CI的延长线于点

3、M，过点F作FNCI于点N，ABC为直角三角形，四边形ACDE，BCFG为正方形，过点C作AB的垂线CJ，CJ4，ACCD，ACD90，AJCCMD90，CAJ+ACJ90，BCCF，BCF90，CNFBJC90，FCN+CFN90，ACJ+DCM90，FCN+BCJ90，CAJDCM，BCJCFN，ACJCDM（AAS），BCJCFN（AAS），AJCM，DMCJ4，BJCN，NFCJ4，DMNF，DMIFNI（AAS），DIFI，MINI，DCF90，DIFICI5，在RtDMI中，由勾股定理可得：MI3，NIMI3，AJCMCI+MI5+38，BJCNCINI532，ABAJ+BJ8+2

4、10，四边形ABHL为正方形，ALAB10，四边形AJKL为矩形，四边形AJKL的面积为：ALAJ10880，故答案为：803在ABC中，AB5，AC3，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是 【答案】1AD4【解答】解：如图，延长AD到E，使DEAD，AD是BC边上的中线，BDCD，在ABD和ECD中，ABDECD（SAS），CEAB，AB5，AC3，53AE5+3，即2AE8，1AD4故答案为：1AD44如图，ABC中，ABAC，点D在AC上，连接BD，ABD的中线AE的延长线交BC于点F，FAC60，若AD5，AB7，则EF的长为 【答案】【解答】解：延长AE至点G，使得AEEG，E是

5、BD的中点，BEDE，在ADE和GBE中，ADEGBE（SAS），ADGB5，GFAC60，过点B作BHGE于点H，在RtBGH中，GBH180906030，GH，BH，在RtABH中，AH，AGAH+GH8，AEGE4，过点D作DMEF，交BC于点M，设EFx，则DM2x，DMEF，AF7x，AE7xx6x4，x，EF，故答案为：5阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且BAECDE求证：ABCD分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个

6、三角形也不全等因此，要证ABCD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明【解答】证明：方法一：作BFDE于点F，CGDE于点GFCGE90又BEFCEG，BECE，BFECGEBFCG在ABF和DCG中，FDGC90，BAECDE，BFCG，ABFDCGABCD方法二：作CFAB，交DE的延长线于点FFBAE又ABED，FDCFCDFBAE，AEBFEC，BECE，ABEFCEABCFABCD方法三：延长DE至点F，使EFDE又BECE，BEFCED，BEFCEDBFCD，DF又BAED，BAEFABBFABCD6【问

7、题情境】学完探索全等三角形的条件后，老师提出如下问题：如图，ABC中，若AB12，AC8，求BC边上中线AD的取值范围通过分析、思考，小丽同学形成两种解题思路思路1：将ADC绕着点D旋转180，使得CD和BD重合，得到EDB思路2：延长AD到E，使得DEAD，连接BE，根据SAS可证得ADCEDB根据上面任意一种解题思路，再结合三角形三边关系，我们都可以得到AD的取值范围为 【类比探究】如图，DBDE，DCDA，BDC+ADE180，DF是ADE的边AE上的中线，试探索DF与BC的数量关系，并说明理由【迁移应用】【应用1】如图，已知O的半径为6，四边形ABCD是O的圆内接四边形AD8，AOD+

8、BOC180，求BC的长【应用2】如图，DBDE，DCDA，BDC+ADE180，BDDE，AEa，BCb（ab），AB、CE相交于点G，连接DG，若BDC的度数发生改变，请问DG是否存在最小值？如果存在，则直接写出其最小值（用含a和b的式子表示），如果不存在，请说明理由【解答】解：【问题情境】延长AD到E，使得DEAD，连接BE，如图，在ADC和EDB中，ADCEDB（SAS），BEAC8ABBEAEAB+BE，1282AD12+8，2AD10故答案为：2AD10；【类比探究】DF与BC的数量关系为：BC2DF理由：延长DF至点G，使FGDF，连接AG，如图，则DG2DFDF是ADE的边AE

9、上的中线，EFAF，在DEF和GAF中，DEFGAF（SAS），DEAG，EGAF，DEAG，EDA+DAG180BDC+ADE180，BDCGADDBDE，DBAG在BDC和GAD中，BDCGAD（SAS），BCDGBC2DF【应用1】过点O作OEBC于点E，OFAD于点F，如图，则BEECBC，AFDFAD4OBOC，OEBC，BOEBOC，OAOD，OFAD，AOFAODAOD+BOC180，AOF+BOE90OBE+OBE90OBEAOF在BOE和OAF中，BOEOAF（AAS），OEAF4，BE2BC2BE4；【应用2】DG存在最小值，其最小值为ab，理由：取AE的中点F，连接FG，

10、延长DF至点H，使FHDF，连接EH，AH，如图，BDDE，BDE90BDC+ADE180，ADC+BDE180，BDEADC90，BDE+BDCADC+BDC，即EDCBDA在EDC和BDA中，EDCBDA（SAS），DECDBA，点E，D，GB四点共圆，EGBEDB90，AGE90，F为AE的中点，GFAEaAFFE，DFFH，四边形ADEH为平行四边形，ADEH，ADEH，HED+ADE180BDC+ADE180，HEDBDCDADC，EHDC在EHD和DCB中，EHDDCB（SAS），DHBCb，DFDHb若BDC的度数发生改变，当点G，D，F三点在一条直线上时，DG的值最小为：FGF

11、Dab7阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，ABC中，若AB5，AC3，求BC边上的中线AD的取值范围小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DEAD，再连接BE（或将ACD绕点D逆时针旋转180得到EBD），把AB、AC、2AD集中在ABE中，利用三角形的三边关系可得2AE8，则1AD4感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中（1）问题解决：受到（1）的启发，请你证明下面命题：如图2，在ABC中，D是BC边上的中点，DEDF，DE交AB于点E，D

12、F交AC于点F，连接EF求证：BE+CFEF；若A90，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明；（2）问题拓展：如图3，在四边形ABDC中，B+C180，DBDC，BDC120，以D为顶点作一个60角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明【解答】解：延长FD到G，使得DGDF，连接BG、EG（或把CFD绕点D逆时针旋转180得到BGD），CFBG，DFDG，DEDF，EFEG在BEG中，BE+BGEG，即BE+CFEF（4分）若A90，则EBC+FCB90，由知FCDDBG，EFEG，EBC+DBG90，即EBG90，在

13、RtEBG中，BE2+BG2EG2，BE2+CF2EF2；（3分）（2）将DCF绕点D逆时针旋转120得到DBGC+ABD180，4C，4+ABD180，点E、B、G在同一直线上31，BDC120，EDF60，1+260，故2+360，即EDG60EDFEDG60，DEDE，DFDG，DEGDEF，EFEGBE+BG，即EFBE+CF（4分）8（1）阅读理解：如图，在ABC中，若AB5，AC3，求BC边上的中线AD的取值范围解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DEAD，再连接BE（或将ACD绕着点D逆时针旋转180得到EBD），把AB，AC，2AD集中在ABE中，利用三角形三边的关系即可

14、判断中线AD的取值范围是 ；（2）问题解决：如图，在ABC中，D是BC边上的中点，DEDF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CFEF；（3）问题拓展：如图，在四边形ABCD中，B+D180，CBCD，以C为顶点作ECF，使得角的两边分别交AB，AD于E、F两点，连接EF，且EFBE+DF，试探索ECF与A之间的数量关系，并加以证明【解答】解：（1）阅读理解：ADDE，CDBD，ADCBDE，ADCEDB（SAS）ACBE3，在ABE中，ABBEAEAB+BE22AD8，1AD4，故答案为：1AD4；（2）问题解决：解：（1）延长FD到G，使得DGDF，连接BG、

15、EGCDDB，DFDG，CDFBDG，CDFBDG（SAS）CFBG，DEDF，EFEG在BEG中，BE+BGEG，即BE+CFEF；（3）问题拓展：A+2ECF180，理由如下：延长AB至点N，使BNDF，连接CN，ABC+D180，ABC+CBN180，DCBN，且CDCB，DFBN，CDFCBN（SAS）CFCN，EFBE+DF，EFBE+BNEN，在CEF和CEN中，CEFCEN（SSS）FCENCEFCNDCB，ABC+D180，A+2ECF1809小明遇到这样一个问题，如图1，ABC中，AB7，AC5，点D为BC的中点，求AD的取值范围小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问

16、题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长AD到E，使DEAD，连接BE，构造BEDCAD，经过推理和计算使问题得到解决请回答：（1）小明证明BEDCAD用到的判定定理是： （用字母表示）（2）AD的取值范围是 小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG2，BF4，GEF90，求GF的长【解答】解：（1）如图2中，延长AD到E，使DEAD，连接BE

17、在BED和CAD中，BEDCAD（SAS）（2）BEDCAD，BEAC5，AB7，2AE12，22AD12，1AD6故答案分别为SAS，1AD6解决问题：如图3中，解：延长GE交CB的延长线于M四边形ABCD是正方形，ADCM，AGEM，在AEG和BEM中，AEGBEM（AAS），GEEM，AGBM2，EFMG，FGFM，BF4，MFBF+BM2+46，GFFM610问题探究：小红遇到这样一个问题：如图1，ABC中，AB6，AC4，AD是中线，求AD的取值范围她的做法是：延长AD到E，使DEAD，连接BE，证明BEDCAD，经过推理和计算使问题得到解决请回答：（1）小红证明BEDCAD的判定定

18、理是： ；（2）AD的取值范围是 ；方法运用：（3）如图2，AD是ABC的中线，在AD上取一点F，连接BF并延长交AC于点E，使AEEF，求证：BFAC（4）如图3，在矩形ABCD中，在BD上取一点F，以BF为斜边作RtBEF，且，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：EGCG【解答】解：（1）AD是中线，BDCD，又ADCBDE，ADDE，BEDCAD（SAS），故答案为：SAS；（2）BEDCAD，ACBE4，在ABE中，ABBEAEAB+BE，22AD10，1AD5，故答案为：1AD5；（3）如图2，延长AD至H，使ADDH，连接BH，AD是ABC的中线，BDCD，又ADCBDH，AD

19、DH，ADCHDB（SAS），ACBH，CADH，AEEF，EAFAFE，HBFH，BFBH，ACBF；（4）如图3，延长CG至N，使NGCG，连接EN，CE，NF，点G是DF的中点，DGGF，又NGFDGC，CGNG，NGFCGD（SAS），CDNF，CDBNFG，tanADB，tanEBF，ADBEBF，ADBC，ADBDBC，EBFDBC，EBC2DBC，EBF+EFB90，DBC+BDC90，EFBBDCNFG，EBF+EFB+DBC+BDC180，2DBC+EFB+NFG180，又NFG+BFE+EFN180，EFN2DBC，EBCEFN，且CDNF，BECFEN，BECFEN，BEFNEC90，又CGNG，EGNC，EGGC