专题09 二次函数的图象与性质（6大考点）（原卷版）.docx

1、第三部分 函数专题09 二次函数的图象与性质（6大考点） 核心考点核心考点一 二次函数的图象与性质核心考点二 与二次函数图象有关的判断核心考点三 与系数a、b、c有关的判断核心考点四 二次函数与一元二次方程的关系核心考点五 二次函数图象与性质综合应用核心考点六 二次函数图象的变换新题速递核心考点一 二次函数的图象与性质例1 （2022浙江宁波统考中考真题）点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上若y1y2，则m的取值范围为（）ABCD例2 （2021江苏常州统考中考真题）已知二次函数，当时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（）ABCD例3 （2022江

2、苏徐州统考中考真题）若二次函数的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为_知识点：二次函数的概念及表达式1.一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）的函数，叫做二次函数2.二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a0）（2）顶点式：y=a（xh）2+k（a，h，k为常数，a0），顶点坐标是（h，k）（3）交点式：，其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a0知识点：二次函数的图象及性质1二次函数的图象与性质解析式二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）对称轴x=顶点（，）a的符号a0a0图象开口方向开口向上开

3、口向下最值当x=时，y最小值=当x=时，y最大值=最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性当x时，y随x的增大而增大当x时，y随x的增大而减小【变式1】（2022浙江宁波统考二模）如图，抛物线过点，顶点在第四象限，记，则P的取值范围是（）ABCD不能确定【变式2】（2022浙江宁波统考二模）如图，抛物线过点，顶点在第四象限，记，则P的取值范围是（）ABCD不能确定【变式3】（2022江苏盐城滨海县第一初级中学校考三模）如图1，对于平面内的点A、P，如果将线段PA绕点P逆时针旋转90得到线段PB，就称点B是点A关于点P的“放垂点”如图2，已知点，点P是y轴上一点，点B是点A关于点P的“放垂点”，连

4、接AB、OB，则OB的最小值是_【变式4】（2022吉林长春校考模拟预测）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”如图，在正方形OABC中，点，点，则互异二次函数与正方形OABC有公共点时m的最大值是_【变式5】（2021湖北随州一模）如图，抛物线与轴交于A，B两点点B在点A的右侧，其顶点为C，点P为线段上一点，且过点P作，分别交抛物线于，两点点在点的右侧，连接，(1)直接写出A，B，C三点的坐标；用含，的式子表示(2)猜想线段与之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)若，求的值核心考点二 与二次函数图象有关的判断例1 （2021广西河池统考中考真题）点均在抛物线

5、上，下列说法正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则例2 （2021湖南娄底统考中考真题）用数形结合等思想方法确定二次函数的图象与反比例函数的图象的交点的横坐标所在的范围是（）ABCD例3 （2020广西贵港中考真题）如图，对于抛物线，给出下列结论：这三条抛物线都经过点；抛物线的对称轴可由抛物线的对称轴向右平移1个单位而得到；这三条抛物线的顶点在同一条直线上；这三条抛物线与直线的交点中，相邻两点之间的距离相等其中正确结论的序号是_知识点、抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.平行于轴(或重合)的直线

6、记作.特别地，轴记作直线.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.知识点、求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：，顶点是，对称轴是直线.(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失知识点、直线与抛物线的交点(1)轴与抛物线得交点为() (2)与轴平行的直线与抛物线有且只有一个

7、交点(,). (3)抛物线与轴的交点二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点抛物线与轴相交；有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切；没有交点抛物线与轴相离.(4)平行于轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.(5)一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时与有两个交点; 方程组只有一组解时与只有一个交点；方程组无解时与没有交点.(6)抛物线与轴两交

8、点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故 【变式1】（2022四川泸州校考模拟预测）二次函数（）的自变量与函数的部分对应值如下表： 0123483003则这个函数图像的顶点坐标是（）ABCD【变式2】（2022山东日照校考一模）设，是抛物线上的三点，则，的大小关系为（）ABCD【变式3】（2021陕西西安校考模拟预测）在同一坐标系中，二次函数，的图象如图，则，的大小关系为_（用“”连接）【变式4】（2022广西统考二模）如图，抛物线与x轴的一个交点A在点（-2，0）和（-1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则a的取值范围是_【变式

9、5】（2022河南南阳统考三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线(1)抛物线的对称轴为直线_，抛物线与y轴的交点坐标为_；(2)若当x满足时，y的最小值为，求此时y的最大值核心考点三 与系数a、b、c有关的判断例1 （2022湖北黄石统考中考真题）已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，有以下结论：；若t为任意实数，则有；当图象经过点时，方程的两根为，（），则，其中，正确结论的个数是（）A0B1C2D3例2 （2022山东日照统考中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的部分图象如图所示，对称轴为，且经过点（-1，0）下列结论：3a+b=0；若点，（3，y2）是抛物线上的两点，则

10、y10开口向上a0（a与b同号）对称轴在y轴左侧ab0与y轴正半轴相交c0与x轴有两个交点b24ac0方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；（2）b24ac=0方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；（3）b24ac0方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点 【变式1】（2022云南楚雄云南省楚雄第一中学校考模拟预测）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，下列说法：方程是倍根方程；若是倍根方程，则或；若方程是倍根方程，且相异两点，都在抛物线上，则方程的一个根为2其中，正确说法的个数是（）ABCD【变式2】（202

11、2浙江舟山校联考三模）二次函数图象与x轴有两个交点，关于x的方程有两个非零实数根，则下列关系式一定成立的是（）ABCD【变式3】（2022浙江宁波校考模拟预测）已知关于的方程的两个根分别是，若点是二次函数的图象与轴的交点，过作轴交抛物线于另一交点，则的长为 _【变式4】（2022贵州遵义统考二模）已知二次函数（a，b，c为常数，）的部分图像如图所示，m，是关于x的一元二次方程的两根，则下列结论正确的有_（填序号即可）存在实数x，使得若时，则【变式5】（2022浙江宁波校考一模）已知二次函数的图象经过点，与轴交于点(1)求该二次函数的解析式；(2)点在该二次函数上当时，求的值；当时，的最小值为，

12、求的取值范围核心考点五 二次函数图象与性质综合应用例1 （2022青海西宁统考中考真题）如图，ABC中，BC=6，BC边上的高为3，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且EFBC设点E到BC的距离为x，DEF的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（）ABCD例2 （2022山东济南统考中考真题）抛物线与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点，为图形G上两点，若，则m的取值范围是（）A或BCD例3 （2022湖北荆门统考中考真题）如图，函数y的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线ym（m为常数）相交于三个不同的点

13、A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1x2x3）设t，则t的取值范围是 _知识点：二次函数的综合1、函数存在性问题解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在2、函数动点问题（1）函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题（2）解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动

14、时对应的函数表达式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案（3）解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算【变式1】（2022山东淄博山东省淄博第六中学校考模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点 、点B与y轴相交于点，下列结论：；B点坐标为；抛物线的顶点坐标为；直线与抛物线交于点D、E，若，则h的取值范围是；在抛物线的对称轴上存在一点Q，使的周长最小，则Q点坐标为其中正确的有（）A个B个C个D个【变

15、式2】（2022山东济南统考模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴的交点为A，过点A作直线垂直于轴将抛物线在轴左侧的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，组成图形点，为图形上任意两点若对于，都有，则的取值范围（）ABCD【变式3】（2022安徽合肥合肥38中校考模拟预测）已知抛物线yx2axa（a为常数，a0）（1）若a2，则此抛物线的对称轴为_（2）设M（x1，y1）、N（x2，y2）是抛物线上的两点，其中x1x2，当x1x24时，都有y1y2，则a的取值范围是_【变式4】（2022山东淄博统考二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点和将抛物线在A、B之间的部分记为图象M（含A、B两点

16、）将图象M沿直线翻折，得到图象N若过点的直线与图象M、图象N都相交，且只有两个交点，则b的取值范围_【变式5】（2022四川德阳模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点和点，与轴交于点，连接(1)求抛物线的解析式及点的坐标；(2)如图，点为线段上的一个动点（点不与点，重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段长度的最大值(3)动点以每秒个单位长度的速度在线段上由点向点运动，同时动点以每秒个单位长度的速度在线段上由点向点运动，在平面内是否存在点，使得以点，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由核心考点六 二次函数图象的变换例1 （202

17、2四川巴中统考中考真题）函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（） ；将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点ABCD例2 （2021江苏苏州统考中考真题）已知抛物线的对称轴在轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则的值是（）A或2BC2D例3 （2020湖北武汉中考真题）抛物线（，为常数，）经过，两点，下列四个结论：一元二次方程的根为，；若点，在该抛物线上，则；对于任意实数，总有；对于的每一个确定值，若一元二次方程（为常数，）的根为整数，则的值只有两个其中正确的结论是_（填写

18、序号）知识点：抛物线的平移1将抛物线解析式化成顶点式y=a（xh） 2+k，顶点坐标为（h，k）:2保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：3注意二次函数平移遵循“左加右减（自变量），上加下减（常数项）”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式知识点、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； 2. 关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于

19、轴对称后，得到的解析式是； 3. 关于原点对称 关于原点对称后，得到的解析式是； 关于原点对称后，得到的解析式是；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180） 关于顶点对称后，得到的解析式是；关于顶点对称后，得到的解析式是 5. 关于点对称 关于点对称后，得到的解析式是 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式【变式1】（2022山东滨

20、州阳信县实验中学校考模拟预测）已知两条抛物线和的解析式分别是关于与的关系式：与：对上述抛物线说法正确的序号是（）两条抛物线与轴的交点一定不在轴的上方；在抛物线、中，可以将其中一条抛物线经过向上或向下平移得到另一条抛物线；在抛物线、中，可以将其中一条抛物线经过向左或向右平移得到另一条抛物线；两条抛物线的顶点之间的距离为1ABCD【变式2】（2022广东佛山校考三模）已知抛物线与轴交于点，将该抛物线平移，使平移后的抛物线经过点，且与轴交于、两点，其中，点的坐标为若线段，那么的值为（）AB或CD或【变式3】（2022安徽合肥校联考三模）如图，抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点，其中点B坐标为，同时抛

21、物线还经过点（1）抛物线的解析式为_；（2）设抛物线的对称轴与抛物线交于点E，与x轴交于点H，连接，将抛物线向下平移n个单位，当平分时，则n的值为_【变式4】（2021四川乐山统考三模）对某一个函数给出如下定义：若存在实数M0，对于任意的函数值y，都满足MyM，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1（1）判断函数y（x0）是否为有界函数 _（填“是”或“否”）；（2）将函数yx2（1xm，m0）的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，若t1则m的取值范围是 _【变式5】（2023上海静安统考一模）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线

22、（）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，联结BC，的余切值为，点P在抛物线上，且.(1)求上述抛物线的表达式；(2)平移上述抛物线，所得新抛物线过点O和点P，新抛物线的对称轴与x轴交于点E求新抛物线的对称轴；点F在新抛物线对称轴上，且，求点F的坐标【新题速递】1（2022江苏无锡校考一模）将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（）ABCD2（2022辽宁盘锦统考二模）如图，直线的解析式为，它与轴和轴分别相交于，两点，点为线段上一动点，过点作直线的平行线，交轴于点，点从原点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动，运动时间为秒，以为斜边作等腰

23、直角三角形（，两点分别在两侧）若和的重合部分的面积为，则与之间的函数关系图象大致是（）ABCD3（2023广西玉林一模）如图，函数的图象过点和，请思考下列判断：；正确的是（）ABCD4（2022山东临沂模拟预测）已知二次函数及一次函数，将二次函数在轴下方的图像沿轴翻折到轴上方，图像的其余部分不变，得到一个新图像（如图所示），当直线与新图像有个交点时，的取值范围是（）ABCD5（2023上海静安统考一模）定义：把二次函数与（a0，m、n是常数）称作互为“旋转函数”如果二次函数与（b、c是常数）互为“旋转函数”，写出点的坐标_6（2022吉林长春模拟预测）将抛物线（其中a为实数）向上平移3个单位，

24、所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是 _7（2022吉林长春校联考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点、，若，则的值为 _8（2022山东济南统考模拟预测）如图，直线与y轴交于点A，与直线交于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰好与原点O重合抛物线的顶点在直线上移动若抛物线与菱形的边都有公共点，则h的取值范围是_9（2020新疆乌鲁木齐乌鲁木齐市第九中学校考三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线（m、b均为常数）交于点和点B(1)求m和b的值；(2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集；(3)点M是直线AB上的一个动点，点N在点M正下方（即轴），且，若线段MN与抛物线只有一个公共点，请直接写出点M的横坐标的取值范围10（2021湖北襄阳统考一模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线yax2+bx+c的顶点是A（1，3），点B（3，1）在抛物线上，OB与抛物线的对称轴交于点C(1)求抛物线的解析式；(2)P是线段AC上一动点，且不与点A、C重合，过点P作平行于x轴的直线，与OAB的边分别交于M，N两点，将AMN以直线MN为对称轴翻折，得到AMN，设点P的纵坐标为m当AMN在OAB内部时，求m的取值范围；(3)将（1）中的抛物线沿着x轴方向平移得到新的抛物线y（xh）2+3，当2hx2h+1时，y有最大值为2，结合函数图象求h的值