专题09阿氏圆问题-【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（原卷版）.docx

1、【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题09阿氏圆问题解题策略模型建立：已知平面上两点A、B，则所有符合k（k0且k1）的点P会组成一个圆这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆阿氏圆基本解法：构造三角形相似模型解读：如图1所示，O 的半径为 r，点 A、B 都在O 外，P 为O 上的动点， 已知 rkOB连接 PA、PB，则当“PAkPB”的值最小时，P 点的位置如何确定？1：连接动点至圆心0（将系数不为1的线段两端点分别与圆心相连接），即连接OP、OB；2：计算连接线段OP、OB长度；3：计算两线段长度的比值OPOB=k；4：在OB上截取一点C，使得OCOP=O

2、POB构建母子型相似：5：连接AC，与圆0交点为P，即AC线段长为PAK*PB的最小值本题的关键在于如何确定“kPB”的大小，（如图 2）在线段 OB上截取 OC 使 OCkr，则可说明BPO 与PCO 相似，即 kPBPC本题求“PAkPB”的最小值转化为求“PAPC”的最小值，即 A、P、C 三点共线时最小（如图 3），时AC线段长即所求最小值经典例题【例1】（2021全国九年级专题练习）如图1，在RTABC中，ACB90，CB4，CA6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，求：AP+12BP，2AP+BP，13AP+BP，AP+3BP的最小值【例2】（2022广东惠州一模）

3、如图1，抛物线y=ax2+bx4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为1,0，抛物线的对称轴是直线x=32(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是直线BC下方的抛物线上一个动点，是否存在点P使四边形ABPC的面积为16，若存在，求出点P的坐标若不存在，请说明理由；(3)如图2，过点B作BFBC交抛物线的对称轴于点F，以点C为圆心，2为半径作C，点Q为C上的一个动点，求24BQ+FQ的最小值【例3】（2019秋山西期末）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务已知平面上两点A、B，则所有符合k（k0且k1）的点P会组成一个圆这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆阿氏圆基本解

4、法：构造三角形相似【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x轴，y轴上分别有点C（m，0），D（0，n），点P是平面内一动点，且OPr，设k，求PC+kPD的最小值阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在OD上取点M，使得OM：OPOP：ODk；第二步：证明kPDPM；第三步：连接CM，此时CM即为所求的最小值下面是该题的解答过程（部分）：解：在OD上取点M，使得OM：OPOP：ODk，又PODMOP，POMDOP任务：（1）将以上解答过程补充完整（2）如图2，在RtABC中，ACB90，AC4，BC3，D为ABC内一动点，满足CD2，利用（1）中的结论，请直接写出AD+BD的最小值【例4】如图

5、，在每个小正方形的边长为1的网格中，OAB的顶点O，A，B均在格点上，点E在OA上，且点E也在格点上（I）的值为；（）是以点O为圆心，2为半径的一段圆弧在如图所示的网格中，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE，旋转角为（090）连接EA，EB，当EA+EB的值最小时，请用无刻度的直尺画出点E，并简要说明点E的位置是如何找到的（不要求证明） 培优训练一填空题（共13小题）1（2022南召县开学）如图，在ABC中，A90，ABAC4，点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，则的最小值为 2（2021秋龙凤区期末）如图，在RtABC中，C90，AC9，BC4，以

6、点C为圆心，3为半径做C，分别交AC，BC于D，E两点，点P是C上一个动点，则PA+PB的最小值为 3（2022春长顺县月考）如图，在RtABC中，ACB90，AC6，BC8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PA+PB的最小值为 4（2021秋梁溪区校级期中）如图，O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，O半径为3，点A（0，1），点B（2，0），点P在弧MN上移动，连接PA，PB，则3PA+PB的最小值为 5（2021碑林区校级模拟）如图，在ABC中，BC6，BAC60，则2AB+AC的最大值为 6（2020武汉模拟）【新知探究】新定义：

7、平面内两定点A，B，所有满足k（k为定值）的P点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”【问题解决】如图，在ABC中，CB4，AB2AC，则ABC面积的最大值为 7（2020秋天宁区校级月考）如图，已知菱形ABCD的边长为8，B60，圆B的半径为4，点P是圆B上的一个动点，则PDPC的最大值为 8（2020溧阳市一模）如图，在O中，点A、点B在O上，AOB90，OA6，点C在OA上，且OC2AC，点D是OB的中点，点M是劣弧AB上的动点，则CM+2DM的最小值为 9如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC的中点，以B为圆心，BE为半径作B，点P是B上一动点，连接PD、PC，则PD+PC的最

8、小值为 10如图，扇形AOB中，AOB90，OA6，C是OA的中点，D是OB上一点，OD5，P是上一动点，则PC+PD的最小值为 11如图所示的平面直角坐标系中，A（0，4），B（4，0），P是第一象限内一动点，OP2，连接AP、BP，则BP+的最小值是 12如图所示，ACB60，半径为2的圆O内切于ACBP为圆O上一动点，过点P作PM、PN分别垂直于ACB的两边，垂足为M、N，则PM+2PN的取值范围为 13如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆O，P为圆O上一动点，则PA+PB的最小值为 二解答题14（2022从化区一模）已知，AB是O的直径，AB，ACBC（1）求弦BC的长；（2）若点D是

9、AB下方O上的动点（不与点A，B重合），以CD为边，作正方形CDEF，如图1所示，若M是DF的中点，N是BC的中点，求证：线段MN的长为定值；（3）如图2，点P是动点，且AP2，连接CP，PB，一动点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度沿线段CP匀速运动到点P，再以每秒1个单位的速度沿线段PB匀速运动到点B，到达点B后停止运动，求点Q的运动时间t的最小值15（2021渝中区校级自主招生）如图，在ABC 与DEF中，ACBEDF90，BCAC，EDFD，点D在AB上（1）如图1，若点F在AC的延长线上，连接AE，探究线段AF、AE、AD之间的数量关系，并证明你的结论；（2）如图2，若点D与点A重合

10、，且AC3，DE4，将DEF绕点D旋转，连接BF，点G为BF的中点，连接CG，在旋转的过程中，求CG+BG的最小值；（3）如图3，若点D为AB的中点，连接BF、CE交于点M，CE交AB于点N，且BC：DE：ME7：9：10，请直接写出的值16（2021九龙坡区校级模拟）在ABC中，CAB90，ACAB若点D为AC上一点，连接BD，将BD绕点B顺时针旋转90得到BE，连接CE，交AB于点F（1）如图1，若ABE75，BD4，求AC的长；（2）如图2，点G为BC的中点，连接FG交BD于点H若ABD30，猜想线段DC与线段HG的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，若AB4，D为AC的中点，将AB

11、D绕点B旋转得ABD，连接AC、AD，当AD+AC最小时，求SABC17（2021沙坪坝区校级模拟）如图1，在四边形ABCD中，AC交BD于点E，ADE为等边三角形（1）若点E为BD的中点，AD4，CD5，求BCE的面积；（2）如图2，若BCCD，点F为CD的中点，求证：AB2AF；（3）如图3，若ABCD，BAD90，点P为四边形ABCD内一点，且APD90，连接BP，取BP的中点Q，连接CQ当AB6，AD4，tanABC2时，求CQ+BQ的最小值18（2021全国九年级专题练习）如图，RtABC，ACB90，ACBC2，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可

12、以绕点C自由转动，且CD2，连接AF，BD（1）求证：BDCAFC（2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BD22AD的值；（3）直接写出正方形CDEF旋转过程中，BD22AD的最小值19（2022四川隆昌市蓝天育才学校一模）问题提出：如图，在RtABC中，C=90，CB=4，CA=6，C的半径为2，P为圆上一动点，连接AP、BP，求AP+12BP的最小值（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图，连接CP，在CB上取一点D，使CD=1，则CDCP=CPCB=12又PCD=BCP，所以PCDBCP所以PDBP=CDCP=12所以PD=12PB，所以AP+12BP=

13、AP+PD请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+12BP的最小值为_；（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求13AP+BP的最小值；（3）拓展延伸：如图，已知在扇形COD中，COD=90，OC=6，OA=3，OB=5，P是CD上一点，求2PA+PB的最小值20（2019山东中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，直线y5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线yx2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B（1）求抛物线解析式及B点坐标；（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形A

14、MBC的面积；（3）如图2，若P点是半径为2的B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+12PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由21（2018广西柳州中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(3，0)，B两点（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，且OB=3OA=3OC，OAC的平分线AD交y轴于点D，过点A且垂直于AD的直线l交y轴于点E，点P是x轴下方抛物线上的一个动点，过点P作PFx轴，垂足为F，交直线AD于点H（1）求抛物线的解析式；（2）设点P的横坐标为m，当FH=HP时，求m的值；（3）当直线PF为抛物线的对称轴时，以点H为圆心，12HC为半径作H，点Q为H上的一个动点，求14AQ+EQ的最小值