专题1-1 集合、逻辑与复数（讲义）解析版.docx

1、专题1-1 集合、逻辑与复数01专题网络思维脑图（含基础知识梳理、常用结论与技巧）02考情分析解密高考03高频考点以考定法（五大命题方向+6道高考预测试题，高考必考（4-9）分）考点一集合 命题点1 元素与集合关系的判断 命题点2 集合相等 高考猜题考点二 充要条件 命题点 充要条件与函数综合 高考猜题考点三 复数 命题点1复数的运算 命题点2 共轭复数 高考猜题04创新好题分层训练（ 精选25道最新名校模拟试题+9道易错提升）真题多维细目表考点考向考题集合元素与集合关系的判断集合相等2023秋考第13题2023春考第1题充要条件充要条件与函数综合2024春考第21题复数复数的运算共轭复数20

2、24春考第3题，2023秋考第6题2023春考11题考点一 集合命题点1 元素与集合关系的判断典例01 1（2023上海）已知，若，则ABCD，2，【分析】根据题意及集合的概念，即可得解【解答】解：，故选：【点评】本题考查集合的基本概念，属基础题命题点2 集合相等典例01 （2023上海）已知集合，且，则2【分析】根据已知条件，结合集合相等的定义，即可求解【解答】解：集合，且，则故答案为：2【点评】本题主要考查集合相等的定义，属于基础题预计2024年高考仍会从集合之间的关系与基本运算方向进行命制.考点二 充要条件命题点充要条件与函数综合典例01 （2024上海）记（a）（a），（a）（a），（

3、1）若，求（1）和（1）；（2）若，求证：对于任意，都有（a），且存在，使得（a）（3）已知定义在上有最小值，求证“是偶函数“的充要条件是“对于任意正实数，均有（c）”【分析】（1）根据条件，直接求出（1）和（1）即可；（2）由题意知，（a），记，判断的单调性，求出极值，再对分类讨论，进一步证明结论成立即可；（3）必要性：若为偶函数，则，（c）（c），结合条件，得到（c）即可；充分性：若对于任意正实数，均有（c），其中，（c）（c），由有最小值，不妨设（a），进一步证明是偶函数即可【解答】解：（1）由题意，得（1），；（2）证明：由题意知，（a），记，则或202正0负0正极大值极小值现对分类讨

4、论，当，有，为严格增函数，因为（a），所以此时（a），符合条件；当时，先增后减，因为取等号），所以，则此时（a），也符合条件；当时，在，严格增，在，严格减，在，严格增，因为（a），当时，（a），则（a），则此时（a），成立；综上可知，对于任意，都有（a），且存在，使得（a）（3）证明：必要性：若为偶函数，则，（c）（c），当，（c），因为，故（c）；充分性：若对于任意正实数，均有（c），其中，（c）（c），因为有最小值，不妨设（a），由于任意，令，则，所以最小元素为（a）（c）中最小元素为（c），又（c）（c）对任意成立，所以（a），若，则（c）对任意成立是偶函数；若，此后取，综上，任意，（c

5、），即是偶函数【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，充分必要条件的证明，函数的奇偶性与集合间的关系，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题预计2024年高考大概率会出现其他知识结合以及充要条件应用问题.考点三 复数 命题点1 复数的运算典例01 （2024上海）已知，则【分析】利用复数的运算性质以及共轭复数的定义化简即可求解【解答】解：由题意可得，所以故答案为：【点评】本题考查了复数的运算性质，涉及到共轭复数的求解，属于基础题典例02（2023上海）已知复数为虚数单位），则【分析】根据复数的基本运算，即可求解【解答】解：，故答案为：【点评】本题考查复数的基本运算，属基础题命题点2 共

6、轭复数典例01 （2023上海）已知，且为虚数单位），满足，则的取值范围为 【分析】引入复数的三角形式，将问题转化为三角函数的值域问题求解【解答】解：设，则，因为，所以，所以，显然当时，原式取最小值0，当时，原式取最大值，故的取值范围为，故答案为：，【点评】本题考查复数的三角形式以及三角恒等变换，同时考查了复数的模长公式，属于中档题预计2024年高考必然会出现复数的运算. （精选25道最新名校模拟考试题+9道易错提升）A新题速递一、单选题1（2023上海浦东新华师大二附中校考模拟预测）设点满足，则“”是“为定值”的（）.A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B

7、【分析】根据几何意义，将所求式转化为点到直线的距离，进而研究图像求解.【详解】若为定值，即点到直线两条直线距离之和为定值，显然，这两条直线平行，如图，所以当点在与这两条直线平行的直线上时，此时直线满足且，即，且，为定值，所以“”是“为定值”的必要不充分条件.故选：B2（2023上海闵行上海市七宝中学校考三模）已知集合，若“”是“”的充分非必要条件，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】B【分析】首先解一元二次不等式求出集合，依题意可得，即可得到，再求出集合，即可求出参数的取值范围.【详解】由，解得，所以，因为，所以不等式，等价于，因为“”是“”的充分非必要条件，所以，所以，则，所以不等式，即，

8、解得，所以，又，所以.故选：B3（2023上海宝山上海交大附中校考三模）已知，集合，若集合恰有8个子集，则的可能值有几个（）A1B2C3D4【答案】B【分析】根据子集个数可得集合元素个数，再由正弦函数性质即可确定n的取值.【详解】由题意易知，均是集合中的元素，又集合恰有8个子集，故集合只有三个元素，有，则结合诱导公式易知，可取的值是4或5.故选：B二、填空题4（2023上海普陀曹杨二中校考模拟预测）已知为虚数单位，则复数的虚部是 【答案】【分析】根据复数虚部的定义即可求解.【详解】根据复数虚部的定义可知，复数的虚部是.故答案为：5（2023上海黄浦上海市大同中学校考三模）若复数为纯虚数，则实数

9、 【答案】【分析】根据给定条件，利用复数的乘法运算结合复数的概念求解作答.【详解】复数，依题意，解得，所以实数.故答案为：6（2023上海模拟预测）已知当，则 ；【答案】【分析】直接根据复数的乘法运算以及复数模的定义即可得到答案.【详解】，.故答案为：.7（2023上海金山统考一模）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数= .【答案】/【分析】根据复数的几何意义可得，结合共轭复数的概念即可求解.【详解】由题意知，该复数为，则.故答案为：.8（2023上海长宁上海市延安中学校考三模）已知集合，则 .【答案】【分析】直接计算交集得到答案.【详解】集合，则.故答案为：.9（2023上海虹口上

10、海市复兴高级中学校考模拟预测）已知集合，若，则实数 .【答案】1【分析】根据元素与集合的关系，将代入方程中，即可求得答案.【详解】由，可得，故答案为：110（2023上海浦东新华师大二附中校考模拟预测）已知全集，集合，则 .【答案】【分析】根据补集的定义求解即可.【详解】由全集，集合，则.故答案为：11（2023上海闵行统考一模）已知集合，若，则实数 【答案】【分析】利用元素与集合的关系可得出关于的等式，解之即可.【详解】因为集合，若，则，解得.故答案为：.12（2023上海杨浦复旦附中校考模拟预测）已知复数在复平面内对应的点是A， 其共轭复数在复平面内对应的点是是坐标原点， 若A在第一象限，

11、 且， 则 .【答案】【分析】设点A坐标，根据共轭复数的概念得B坐标，再由得A横纵坐标的关系式，根据复数的除法运算求值即可.【详解】设，则由共轭复数的概念可得：，由得：，因为，所以，故，故.故答案为：.13（2023上海普陀上海市宜川中学校考模拟预测）复数（为虚数单位）是实系数方程的一个解，则实数 【答案】13【分析】由实系数方程复数根的性质及根与系数的关系即可求得【详解】由题意，方程的另一个根为，则，故答案为：14（2023上海虹口华东师范大学第一附属中学校考三模）若复数满足，则 【答案】【分析】设，依题意可得，根据复数代数形式的乘法运算及复数相等的充要条件得到方程，即可求出、的值，从而求出

12、其模.【详解】设，由，所以，即，所以，所以，所以，则.故答案为：15（2023上海浦东新华师大二附中校考模拟预测）复数满足，则 .【答案】【分析】设出，利用得到方程组，解方程组求出，的值，从而可求出.【详解】设，则，所以则，所以，解得：，所以，故.故答案为：16（2023上海奉贤统考一模）已知，则a ；【答案】【分析】利用复数相等即可求出结果.【详解】因为，则由复数相等可得：，即.故答案为：.17（2023上海闵行上海市七宝中学校考三模）已知，则 .【答案】3【分析】由二次方程的根只有一个，则，且根为1，代入即可求解.【详解】因为，所以二次方程有两个相等的实数根，则，且方程的根为1，所以，联立

13、解得：所以故答案为：.18（2023上海宝山上海交大附中校考三模）已知集合，则 .【答案】【分析】化简A，根据交集运算得解.【详解】因为，所以，故答案为：.19（2023上海嘉定上海市嘉定区第一中学校考三模）已知集合，集合，若，则 .【答案】【分析】由交集定义分类讨论可得答案.【详解】因为集合，则，所以或，则或或，当时，集合，集合，此时，符合题意；当时，集合，集合，此时，不合题意；当时，集合，集合，此时，不合题意；所以.故答案为：20（2023上海杨浦复旦附中校考模拟预测）已知集合中的最大元素为，则实数 .【答案】1【分析】依题意可得，解得，再检验即可.【详解】因为，所以，所以，解得或，显然不

14、满足集合元素的互异性，故舍去，经检验符合题意故答案为：21（2023上海虹口华东师范大学第一附属中学校考三模）已知集合，则 【答案】【分析】解分式不等式得到集合，求交集即可.【详解】对于集合，解不等式，所以，即，等价于，解得或，所以，则.故答案为：.三、解答题22（2023上海普陀统考一模）设函数的表达式为.(1)求证：“”是“函数为偶函数”的充要条件；(2)若，且，求实数的取值范围.【答案】(1)证明见解析；(2)或.【分析】（1）根据给定条件，利用偶函数的定义、结合充要条件的意义推理即得.（2）利用偶函数性质及在的单调性求解不等式即可.【详解】（1）函数的定义域为R，不恒为0，函数为偶函数

15、，所以“”是“函数为偶函数”的充要条件.（2）当时，求导得，函数在R上单调递增，当时，即函数在单调递增，又是偶函数，因此，即，解得或，所以实数的取值范围是或.23（2021上海统考一模）已知无穷数列的首项为，其前项和为，且（），其中为常数且（1）设，求数列的通项公式，并求的值；（2）设，是否存在正整数使得数列中的项成立？若存在，求出满足条件的所有值；若不存在，请说明理由（3）求证：数列中不同的两项之和仍为此数列中的某一项的充要条件为存在整数且，使得【答案】（1）（）；（2）存在；的值为；（3）证明见解析【解析】（1）利用已知条件得数列是以为首项、为公差的等差数列，求出通项公式，取极限即可；（2

16、）利用等差数列的前项和公式先得到，再求出，利用等差数列的前项和公式得到，即，即可求出满足条件的所有值；（3）先证必要性：存在，使得，利用等差数列的通项公式得到，故存在，使得，使得，运用反证法证明即可；再证充分性：当，任取等差数列中不同的两项和（），利用等差数列的通项公式得到满足题意.【详解】（1）由，得数列是以为首项、为公差的等差数列故（）；（2）是等差数列，得，又因为，所以故，所以（），当时，不等式成立；当时，不等式都不成立所以满足条件的所有的的值为（3）先证必要性：任取等差数列中不同的两项和（），存在，使得，则，得，故存在，使得，使得，再证：运用反证法假设当时，不成立，则恒成立对于不同的两

17、项、，应存在，使得，即，故，又因为是小于的整数，故所以假设不成立，故再证充分性：当，任取等差数列中不同的两项和（），因为且，所以，综上可得，等差数列中不同的两项之和仍为此数列中的某一项的充要条件为存在整数且，使得得证【点睛】关键点睛：熟练掌握等差数列的通向公式以及等差数列的前项和公式是解决本题的关键，证明充要条件时要分别证明充分性和必要性两种情况.24（2021上海金山统考一模）若数列满足(，且为实常数)，则称数列为数列.（1）若数列的前三项依次为，且为数列，求实数的取值范围；（2）已知是公比为的等比数列，且，记.若存在数列为数列，使得成立，求实数的取值范围；（3）记无穷等差数列的首项为，公差

18、为，证明：“”是“为数列”的充要条件.【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.【分析】（1）由题意可得，可得的不等式组，解得的范围；（2）由题意可得或，分别讨论的范围，结合等比数列的通项公式和数列极限的公式，即可得到所求范围；（3）先证充分性，讨论是否为0，结合等差数列的通项公式和不等式的性质，以及数列的定义，可得证明；再证必要性，同样讨论是否为0，结合等差数列的通项公式和首项与公差的符号，即可得证【详解】（1）因为为（3）数列，所以，则，解得，即的取值范围是，；（2）由数列为（4）数列，可得或，当时，由，所以则，所以，即；当时，由，所以则，所以，即，所以，则的取值范围是；（3）先证充分性因

19、为，所以，为等差数列，所以当时，此时，由，所以成立，所以为数列；当时，因为，所以，所以，即有，因为，所以，所以恒成立，所以为数列，综上可得，为数列；再证必要性因为为数列，所以恒成立，所以，当时，显然成立；当时，因为，所以的每一项同号，所以与也同号，所以，因为恒成立，所以时，成立，因为为等差数列，所以，即为，综上可得，“”是“为数列”的充要条件【点睛】关键点睛：解答本题的关键是第3小问，证明“”是“为数列”的充要条件，先证明充分性，利用不等式证明恒成立，所以为数列；再证明必要性，证明成立.25（2022上海徐汇统考三模）对于数列，记(1)若数列通项公式为：，求；(2)若数列满足：，且，求证：的充

20、分必要条件是；(3)已知，若，求的最大值【答案】(1)4(2)证明见解析(3)2021.【分析】（1）直接求出，即可求；（2）用定义法，分充分性和必要性分别进行证明；（3）先计算出，利用放缩法和裂项求和法求出的最大值.【详解】（1）由通项公式得：.所以（2）充分性:若数列的前n项单调不增,即.此时有：.必要性：用反证法. 若数列不满足,则存在k(),使得,那么由于,所以.与已知矛盾所以,假设不成立,必要性得证.综上所述：的充分必要条件是（3）由，令，则.所以所以.（因为）当且仅当时, 取得最大值2021.【点睛】(1)数学中的新定义题目解题策略：仔细阅读，理解新定义的内涵；根据新定义，对对应知

21、识进行再迁移.(2)数列求和常用方法：公式法；倒序相加法；分组求和法；裂项相消法；错位相减法B易错提升一选择题（共3小题）1（2023浦东新区三模）设等比数列的前项和为，设甲：，乙：是严格增数列，则甲是乙的A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件【分析】举例说明充分性和必要性都不成立即可【解答】解：等比数列中，前项和为，当时，若，则，数列严格单调递减，充分性不成立；若数列严格递增，则数列是正项等比数列，只需满足，即可，若，则，必要性不成立；所以甲是乙的既不充分也不必要条件故选：【点评】本题考查了等比数列的定义与前项和性质应用问题，也考查了充分与必要条件的判断问题，是基础

22、题2（2023静安区校级开学）已知集合、，若不是的子集，则下列命题中正确的是A对任意的，都有B对任意的，都有C存在，满足，D存在，满足，【分析】根据子集的定义进行判断【解答】解：根据子集的定义，若，都有，则是的子集，不是的子集，有存在，满足，故选：【点评】本题考查了子集的定义简单应用3（2023秋徐汇区校级月考）对于集合、，定义集合运算且，给出下列三个结论：（1）；（2）；（3）若，则则其中所有正确结论的序号是A（1）（2）B（1）（3）C（2）（3）D（1）（2）（3）【分析】先画图，结合新定义依次判断即可【解答】解：对于结论（1），且，是图中的第1部分，且，是图中的第3部分，故正确；对于结

23、论（2），是图中的第1、3部分，也是图中的第1、3部分，故正确；对于结论（3），若，则且，故正确；故选：【点评】本题考查了集合的定义及运用，考查了数形结合的思想，属于中档题二填空题（共4小题）4（2023秋杨浦区校级期末）若全集，则用列举法表示集合，1，【分析】先用描述法求出，进而采用列举法求出【解答】解：因为，所以，所以，故答案为：，1，【点评】本题考查补集的计算，属于基础题5（2023秋上海期中）若，则集合的个数有4个【分析】根据题意知，再由子集的定义写出符合条件所有的集合【解答】解：，可能是，共有4个故答案为：4【点评】本题考查了子集的定义应用，难度不大，写子集时注意按一定的顺序，做到不

24、重不漏6（2023黄浦区校级开学）设，则是的充分不必要条件【分析】根据 由，一定能得到但当不能推出 （如时），从而得到结论【解答】解：由，一定能得到，但当时，不能推出 （如时），故是 的充分不必要条件，故答案为：充分不必要【点评】本题考查充分条件、必要条件的定义，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法7（2023浦东新区校级开学）已知复数满足，则的最大值为 【分析】设复数，由，得出，根据的几何意义求出最大值【解答】解：设复数，、由，得，化简得，所以的最大值为故答案为：【点评】本题考查了复数模的几何意义应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题三解答题（共2小题）8（

25、2023春虹口区校级期末）设复数，满足（1）若，满足，求，；（2）若，是实系数一元二次方程的两个虚根，求实数的值；（3）若，是否存在常数，使得等式恒成立，若存在，试求出；若不存在说明理由【分析】（1）设，由得到，从而代入化简求解；（2）由题意设，则，从而得到，从而解得；（3）由题意设，则，化简得，从而代入求模即可【解答】解：（1）设，则，解得，或，故，或，（2），是实系数一元二次方程的两个虚根，设，则，由题意得，解得，或，；故或（3）设，则，由得，；故【点评】本题考查了复数运算的常规方法，待定系数法，同时考查了学生的化简运算能力，属于中档题9（2023秋青浦区校级月考）设集合，且满足（1）；（

26、2）若，则（1）能否为单元集，为什么？（2）求出只含两个元素的集合（3）满足题设条件的集合共有几个？为什么？能否列举出来【分析】（1）不是为单元集，通过题意推出方程，直接求解推出的值即可说明；（2）通过，利用替换，求出只含两个元素的集合，说明不存在即可（3）满足题设条件的集合，通过所以必然是12的约数，然后一一列举出来，即可【解答】解：（1）不能，因为，且，而，如果是单元素集，必须，解得，其不属于非0自然数，所以不是为单元集（2）若，则，2与13重复出现，同理，7与3，4与5成对出现，（3）有7个理由如下：中的元素成对出现，有3对，认为为，3，4，5，2，的子集，但7与3，4与5，2与13分别绑在一起，认为有3个元素，而，则有个，则可能为：，13，7，13，4，3，4，13，7，3，4，所以满足条件的共有7个【点评】本题是中档题，考查集合的参数的讨论，集合中元素的性质，考查逻辑推理能力，计算能力