专题1.13 有理数章末九大题型总结（培优篇）（沪科版）（解析版）.docx

1、专题1.13 有理数章末九大题型总结（培优篇）【沪科版】【题型1 正负数表示的意义】1【题型2 有理数的相关概念】3【题型3 利用数轴比较有理数的大小】5【题型4 绝对值非负性的运用】8【题型5 化简绝对值】10【题型6 有理数的混合运算】13【题型7 倒数的运用】18【题型8 科学记数法表示较大的数】20【题型9 计算“24”点】21【题型1 正负数表示的意义】【例1】（2023春江苏无锡七年级统考期末）桌子上放有6枚正面朝上的硬币，每次翻转其中的4枚，至少翻转 次能使所有硬币都反面朝上【答案】3【分析】用“+”表示正面朝上，用“-”表示正面朝下，找出最少翻转次数能使硬币正面全部朝下的情况即

2、可【详解】解：用“+”表示正面朝上，用“-”表示正面朝下，开始时+ + + + + +，第一次- - - - + +，第二次- + + + - +，第三次- - - - - -，至少翻转3次能使所有硬币都反面朝上，故答案为：3【点睛】本题考查了正负数的应用，根据朝上和朝下的两种状态对应正负号，尝试满足题意的最次数是解题的关键【变式1-1】（2023春黑龙江哈尔滨六年级哈尔滨工业大学附属中学校校考期中）如果向北走10米记作10米，则8米表示()A向北走8米B向南走8米C向西走8米D向东走8米【答案】B【分析】利用相反意义的量的相反词即可判断【详解】解：向南走8米与向北走10米是具有相反意义的量，

3、向北走10米记作10米，8米表示向南走8米，故选B【点睛】本题考查相反意义的量问题，掌握相反意义的量，会用相反词识别相反意义的量的问题是解题关键【变式1-2】（2023春山东潍坊七年级统考期末）如图是加工零件的尺寸要求，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm），其中不合格的是（）A44.9B45.02C44.98D45.01【答案】A【分析】依据正负数的意义求得零件直径的合格范围为44.96零件的直径5.03，据此逐项判断即可解答【详解】解：45+0.03=45.03，45-0.04=44.96，零件的直径的合格范围是：44.96零件的直径5.03，不合格的是A，合格的是BCD故选A【点睛】本题主

4、要考查了正数和负数，解题关键在于依据正负数的意义求得零件直径的合格范围【变式1-3】（2023春辽宁沈阳七年级统考期中）以下的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，若表中给出的是国外四个城市与北京的时差，则这五个时钟对应的城市从左到右依次是（）城市时差/h纽约13悉尼+2伦敦8罗马7A纽约、悉尼、伦敦、罗马、北京B罗马、北京、悉尼、伦敦、纽约C伦敦、纽约、北京、罗马、悉尼D北京、罗马、伦敦、悉尼、纽约【答案】A【分析】根据纽约、悉尼、伦敦、罗马与北京的时差，结合钟表确定出对应的城市即可【详解】解：由表格，可知悉尼比北京时差为+2，所以北京时间是16点或18点，推理可得北京时间是16

5、点，则纽约时间为16133点，悉尼时间16+218点，伦敦时间1688点，罗马时间1679点，由钟表显示的时间可得对应城市为纽约、悉尼、伦敦、罗马、北京；故答案为纽约、悉尼、伦敦、罗马、北京故选：A【点睛】本题考查正负数的应用，熟练掌握正负数的意义是解题关键 【题型2 有理数的相关概念】【例2】（2023春河南新乡七年级统考期中）把下列各数填在相应的集合内：3，4，2，-15，0.58，0，-3.4，0.618，139，3.14整数集合： ；分数集合： ；负有理数集合： ；非正整数集合： 【答案】3，4，2，0；-15，0.58，-3.4 ，0.618，139，3.14；3，2，-15，0.5

6、8，-3.4；3，2，0【分析】按照有理数的分类填写：有理数分为整数和分数，整数分为正整数，0和负整数，分数分为正分数和负分数即可【详解】解： 整数集合：3，4，2，0；分数集合：-15，0.58，-3.4 ，0.618，139，3.14；负有理数集合：3，2，-15，0.58，-3.4；非正整数集合：3，2，0故答案为：3，4，2，0；-150.58，-3.4 ，0.618，139，3.14；3，2，-15，0.58，-3.4；3，2，0【点睛】此题考查了有理数的分类，掌握有理数的分类是解答本题的关键，注意0是整数，但不是正数【变式2-1】（2023春山东日照七年级统考期末）下列说法中：0是

7、最小的整数；有理数不是正数就是负数；非负数就是正数；整数和分数统称有理数，其中正确的是（ ）ABCD【答案】D【分析】根据有理数的分类依此作出判断，即可得出答案【详解】解：、0是最小的整数，说法错误，因为整数有正、负、0之分；、一个有理数不是正数就是负数，说法错误，0既不是正数也不是负数；、非负数指的是正数和0，说法错误；、整数和分数统称有理数，说法正确；故选：D【点睛】本题考查了有理数的分类以及正数负数的有关概念，正确理解有理数的分类是解题的关键【变式2-2】（2023春上海奉贤六年级校联考期末）在数轴上，位于2和2之间的点表示的有理数有（）A5个B4个C3个D无数个【答案】D【分析】根据有

8、理数的定义解答问题即可【详解】解：有理数包括整数和分数，在2和2之间的有理数有无数个，如1，0，1，12，13等等故选：D【点睛】本题主要考查了有理数的定义，能够掌握有理数所指的数的范围是解答问题的关键【变式2-3】（2023春四川成都七年级校考期中）有六个数：5，0，312，-0.3，-14，-，其中分数有a个，非负整数有b个，有理数有c个，则a+b-c= 【答案】0【分析】根据分数、非负整数和有理数的定义得到a，b，c的值，即可求解【详解】解：分数有312，-0.3，-14，a=3，非负整数有0，5，b=2，有理数有5，0，312，-0.3，-14，c=5，a+b-c=3+2-5=0，故答

9、案为：0【点睛】本题考查有理数的定义，掌握分数、非负整数和有理数的定义是解题的关键【题型3 利用数轴比较有理数的大小】【例3】（2023春安徽芜湖七年级校考期中）在数轴上表示有理数a，b的点如图所示，则下列结论正确的是（）Aa+b0B-abCa-b0Dab0【答案】B【分析】先根据点在数轴上的位置，判断出a、b的正负，然后在比较出a、b的大小，最后结合选项进行判断即可【详解】解：由点在数轴上的位置可知：a0，ab，A、由于a0，ab，a+b0，故本选项错误，不符合题意；B、由于a0，ab，-ab，故本选项正确，符合题意；C、由于a0，-b0，a-b0，故本选项错误，不符合题意；D、由于a0，a

10、b0，故本选项错误，不符合题意故选：B【点睛】本题重点考查了数轴上的点和有理数的关系，正数，负数大小的比较，绝对值等知识点，读懂数轴的信息是解答本题的关键【变式3-1】（2023春四川攀枝花七年级统考期中）在数轴上表示下列各数：-(-4),-|-3.5|,+(-13),0,+(+2.5),114并用号把这些数连接起来【答案】数轴见解析，-|-3.5|+(-13)0114+(+2.5)-(-4)【分析】依题意，将各个数化简成小数，然后依据数轴的性质，对各数标记在数轴上，最后按照要求用“”连接即可；【详解】由题知：对已知数进行化简： -(-4)=4；-3.5=3.5；+(-13)-0.33；0=0

11、；+(+2.5)=2.5；114=1.25；依据数轴的性质：从左往右数依次增大；-3.5+(-13)0114+(+2.5)3Bm-nDmn【答案】C【分析】根据m，n在数轴上的位置，对选项逐个判断即可【详解】解：由题意可得：-1m02n3，即A、B选项错误，不符合题意；-3-n-2，-n-2-1-n，C选项正确，符合题意；0m1，2n3，mn，D选项错误，不符合题意；故选：C【点睛】此题考查了数轴与有理数，绝对值和相反数，解题的关键是掌握数轴的有关知识，正确确定出m，n的大小关系【变式3-3】（2023春全国七年级期中）有理数a在数轴上的位置如图所示，下列各数中，在0到1之间数的个数是（）-a

12、-1；|a+1|；2-|a|；12|a|A1B2C3D4【答案】D【分析】根据相反数的定义在数轴上表示出-a，得出-2-1，1-2,再逐个判断即可【详解】解：如图，根据数轴可以知道：-2-1，1-2,，.0-a-11，符合题意；-2-1，-1a+10，0|a+1|1，符合题意；-2a-1，1|a|2，-2-|a|-1，02-|a|1，符合题意；1|a|2，1212|a|2，则fx+gx=2x+1；式子fx-1+gx+1的最小值是2；式子fx-1-gx+1的最大值是7A2B3C4D1【答案】B【分析】利用题目的新规定和绝对值的意义对每个结论进行判断，即可得出结论【详解】解：fx=x-2，fx=4

13、，x-2=4，x-2=4或x-2=-4，x=6或x=-2，的结论正确；fx=x-2，gy=y+3，fx+gx=x-2+x+3，当x2时，fx+gx=x-2+x+3=x-2+x+3=2x+1，的结论正确；fx-1+gx+1=x-1-2+x+1+3=x-3+x+4，又当-4x3时，x-3+x+4有最小值7，的结论错误；fx-1-gx+1=x-1-2-x+1+3=x-3-x+4，又当x3时，x-3-x+4=-7，当-4x3时，x-3-x+4=-2x-1，当x-4时，x-3-x+4=7|，当x-4时，式子fx-1-gx+1的最大值是7，的结论正确，综上，正确的结论有：，故选：B【点睛】本题考查了绝对值

14、的意义，求代数式的值，应用新定义和绝对值的性质解题是解答本题的关键【变式5-1】（2023春河南南阳七年级校考期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且a=b，化简c+a-c-b+a+b= 【答案】0【分析】先由数轴得出a，b，c的大小，再按照绝对值的化简法则化简即可；【详解】由数轴可得：a0cb，且|a|=|b|b=-a,c+a-c-b+a+b=-c-a+c-b+0=-a-b当 b=-a 时原式 =-a+a=0故答案为0【点睛】本题考查了数轴上的数的绝对值化简问题，属于基础知识的考查，比较简单【变式5-2】（2023春河南焦作七年级焦作市实验中学校考期中）实数a，b，c在数轴上的位置如

15、图所示，且b=c(1)若b+c+a=3，求a的值(2)用“”把a，-a，b，c连按越来【答案】(1)-3(2)abcc，ab0c即可得到答案【详解】（1）解：由题意得，ab0c，a=-a，b=c，b=-c，即b+c=0，b+c+a=3，0-a=3，a=-3；（2）解：ab0c，abc-a【点睛】本题主要考查了化简绝对值，有理数与数轴，灵活运用所学知识是解题的关键【变式5-3】（2023春新疆乌鲁木齐七年级乌鲁木齐市第六十八中学校考期末）a，b，c的大小关系如图所示，则a-b|a-b|-b-c|b-c|-c-a|c-a|的值是（）A3B1C1D3【答案】B【分析】先根据数轴分别判断出a-b，b-

16、c，c-a的符号，然后根据绝对值的性质去绝对值，化简即可【详解】解：由数轴可知 a-b0，c-a0，a-ba-b-b-cb-c-c-ac-a=a-b-a-b-b-cb-c-c-a-c-a=-1-1+1=-1故选：B【点睛】本题主要考查的是数轴的比较大小和去绝对值，掌握利用数轴比较大小和绝对值的性质是解决此题的关键【题型6 有理数的混合运算】【例6】（2023春山西临汾七年级统考期中）（1）-16+4-5-+15（2）-3-34-43（3）127-13-1456（4）-13-2113-23（5）-32+-422-5-15-12023（6）-42-223-56-113-115【答案】（1）-22；

17、（2）-163；（3）-65；（4）-3；（5）-1；（6）-525【分析】（1）利用有理数的加法法则计算即可；（2）利用有理数的乘除混合运算即可；（3）按照有理数混合运算的法则计算即可；（4）利用带有乘方运算的有理数混合运算的法则计算即可；（5）利用带有乘方运算的有理数混合运算的法则计算即可；（6）利用带有乘方运算的有理数混合运算的法则计算即可【详解】解：（1）-16+4-5-+15=-16+4+5+-15=-31+9=-22；（2）-3-34-43=-3-43-43=-163；（3）127-13-1456=127-71265=-65（4）-13-2113-23=-1-2113-8=-1-2

18、1111=-1-2=-3（5）-32+-422-5-15-12023=-9+162-5-5-1=-9+32-25+1=-1（6）-42-223-56-113-115=16-38-56-86-65=-6-12-65=-6+35=-525【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握混合运算的法则是解题的关键【变式6-1】（2023春河南许昌七年级统考期末）在计算10-18-32+716-42时，小明同学的解题过程如下：10-18-32+716-42解：原式=10-18-32+71616=10-1816-3216+71616=10-2-24+7=-9(1)上述书写过程中，小明同学第_步出现了错误，错

19、误的原因是_(2)请你帮小明同学写出正确的解答过程(3)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就计算时还需要注意的事项给其他同学提一条建议【答案】(1)，改变了运算的顺序(2)25(3)在有理数的运算中要注意确定运算结果的符号（答案不唯一）【分析】（1）根据小明的解答过程分析即可；（2）按照有理数混合运算的顺序计算即可；（3）根据有理数的运算法则解答即可【详解】（1）由运算过程可知，小明同学第步出现了错误，错误的原因是改变了运算的顺序故答案为：，改变了运算的顺序；（2）原式=10-18-32+71616=10-1816-3216+71616=10-2-24+7=10-15=25；（3）在有

20、理数的运算中要注意确定运算结果的符号（答案不唯一）【点睛】本题考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解答本题的关键混合运算的顺序是先算乘除，后算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算如果有括号，先算括号里面的，并按小括号、中括号、大括号的顺序进行有时也可以根据运算定律改变运算的顺序【变式6-2】（2023春江苏连云港七年级校考期中）计算：(1)-6-3+-7+5(2)-1832-23(3)56-23+71236(4)-2-13-14+2-324【答案】(1)3(2)8(3)27(4)32【分析】（1）去绝对值，再根据有理数加减法则直接计算即可得到答案；（2）根据有理数乘除法则直接计

21、算即可得到答案；（3）根据有理数乘除法则直接计算即可得到答案；（4）去绝对值，再根据有理数乘除法则直接计算即可得到答案；【详解】（1）解：原式=-6-3+7+5=-9+12=3；（2）解：原式=(-18)23(-23)=8；（3）解：原式=5636-2336+71236=30-24+21=27；（4）解：原式=2-13(-1+7)4=2-12=32【点睛】本题考查去绝对值，幂的运算，有理数加减乘除法则，解题的关键是熟练掌握有理数四则运算的法则【变式6-3】（2023春河北承德七年级统考期末）已知2、3、4三个数(1)计算：2-34(2)写出一个算式（要求每个数字都出现且只出现一次，运算符号不限

22、），使其结果为-6_=-6(3)从三个任取两个数，组成算式，使其运算结果最大（提示：目前运算有加、减、乘、除、乘方）则最大结果为：_【答案】(1)-14(2)-342，答案不唯一(3)81【分析】（1）按照有理数混合运算法则进行计算；（2）利用122=6的运算构造即可；（3）从三个任取两个数，组成算式，使其运算结果最大，所选之数应为3，4，且用乘方计算即可【详解】（1）解：2-34=-14=-14；（2）解：-342=-122=-6故答案为：-342（答案不唯一）；（3）解：34=81，43=64，最大结果为：81；故答案为：81【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解决问题的关

23、键【题型7 倒数的运用】【例7】（2023春重庆七年级统考期末）-1.5的倒数的绝对值的相反数为 【答案】-23【分析】根据倒数的定义、相反数的定义、绝对值的定义解答即可【详解】解：-1.5=-32，-32的倒数是-23，-23的绝对值是23，23的相反数为-23，-1.5的倒数的绝对值的相反数为-23，故答案为-23【点睛】本题考查了倒数的定义，绝对值的定义，相反数的定义，掌握倒数的定义及相反数的定义是解题的关键【变式7-1】（2023春陕西渭南七年级统考期中）在数轴上，点A表示的数在-2的右边，且到-2的距离为3，则点A表示的数的倒数是（）A1B-1C5D15【答案】A【分析】在数轴的右边

24、找出与点A距离是3的点表示的数，再求出倒数即可【详解】解：点A表示的数在-2的右边，且到-2的距离为3，点A表示的数为-2+3=1，点A表示的数的倒数是1，故选A【点睛】本题考查了数轴的性质，倒数的定义，熟练掌握相关性质是解题关键【变式7-2】（2023春安徽合肥七年级合肥市第四十五中学校考期中）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，求a-cd+6m+b的值【答案】2或-4【分析】根据a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，求出a+b=0cd=1，m=2，分两种情况代入原式计算即可【详解】解：a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，a+b=0cd=1，m=2，

25、m=2时，原式=a+b-cd+6m=0-1+3=2，m=-2时，原式=a+b-cd+6m=0-1-3=-4，综上所述：a-cd+6m+b的值为2或-4【点睛】本题考查了相反数、倒数、绝对值、有理数的加减混合运算，掌握混合云算的顺序，相反数、倒数、绝对值性质的熟练应用是解题的关键【变式7-3】（2023春云南红河七年级统考期末）观察下面的解题过程，并解决问题求-78134-78-712的值解134-78-712-78=134-78-712-87=74-87-78-87-712-872+1+23=-13-78134-78-712=-3请用上述方法计算：-11216-14+23-512【答案】-12

26、【分析】仿照阅读材料中的方法先求其倒数，然后根据倒数关系求解即可【详解】解：16-14+23-512-112，=16-14+23-512-12，=16-12-14-12+23-12-512-12，=-2+3-8+5，=-2，-11216-14+23-512=-12【点睛】此题考查了有理数的混合运算，乘法分配律，倒数，熟练掌握运算法则是解本题的关键【题型8 科学记数法表示较大的数】【例8】（2023春云南昆明七年级昆明市第三中学校考期末）从疫情形势和病毒变异情况来看，奥密克戎变异株已经成为全球流行优势毒株，虽然感染人数多，但是重症率和死亡率低从人群免疫水平来看，我国新冠疫苗接种得到普及全国截至2

27、022年12月27日累计接种新冠病毒疫苗超过34亿剂次，疫苗接种覆盖人数和全程接种人数分别占全国总人口的92%和90%以上人民群众健康意识、健康素养进一步提升，个人防护能力逐渐提高其中，34亿这个数用科学记数法表示为（）A34108B3.4109C3.41010D0.341011【答案】B【分析】根据科学记数法的定义即可得【详解】解：34亿=3400000000=3.4109，故选：B【点睛】本题考查了科学记数法，熟记科学记数法的定义（将一个数表示成a10n的形式，其中1a10，n为整数，这种记数的方法叫做科学记数法）是解题关键确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与

28、小数点移动的位数相同【变式8-1】（2023春安徽淮南七年级统考期末）中央网信办等五部门印发2023年数字乡村发展工作要点，提出到2023年底，农村宽带接入用户数超过190000000，190000000这个数用科学记数法可表示为（）A1.9107B19107C1.9108D0.19109【答案】C【分析】将190000000写成a10n（1a10，n为整数）的形式即可【详解】解：190000000=1.9108故选：C【点睛】本题主要考查了科学记数法，将原数写成a10n（1a10，n为整数）的形式，确定a和n的值是解答本题的关键【变式8-2】（2023春河南商丘七年级统考期末）截至2020年

29、10月末，全国核酸日检测能力是5.76106人份，实现了“应检尽检”、“愿检尽检”数据5.76106原来的数是（）A576000B576万C57600000D57.6万【答案】B【分析】将科学记数法a10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数【详解】解：5.76106=5760000=576万故选：B【点睛】本题考查写出用科学记数法表示的原数把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法【变式8-3】（2023春河北邢台七年级统考期末）若数据143200000n个=1.4321015，则

30、n的值是（）A15B14C12D11【答案】C【分析】根据1.4321015，得到原数小数点向左移动了15位，而1.4321015的小数点后包含3位数字，因此用15-12即可获得正确答案【详解】将原数用科学记数法表示为1.4321015原数小数点向左移动了15位1.4321015的小数点后包含3位数字n=15-3=12故答案为C【点睛】本题考查了科学记数法，对于a10n，a的取值范围1a10【题型9 计算“24”点】【例9】（2023春辽宁鞍山七年级统考期末）小明和同学们玩扑克牌游戏游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算，其中J代表11、Q

31、代表12、K代表13，若每张牌上的数字只能用一次，并使得运算结果等于24(1)小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式；(2)请你抽取任意数字不相同的4张扑克牌，并列出一个结果等于24的算式【答案】(1)5-326=24，答案不唯一(2)见解析【分析】（1）根据题意将其进行有理数的混合运算得到24即可；（2）假设一组数字，再进行计算即可【详解】（1）由题意得：5-326=24；（2）由题意得，假设抽取的卡牌上的数字为：2、3、4、6，则26+34=24（答案不唯一）【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键【变式9-1】（2023春广东惠州七年级统考期中）有一种“24点”的游戏，规则为：将4个给定的有理数进行加减乘除四则运算（每个数只能用一次），使其结果为24，例如1，2，3，4可做如下运算：1+2+34=24