专题1.16 完全平方公式（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）.docx

1、专题1.16 完全平方公式（知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】完全平方公式1.完全平方公式 两个数的和（或差）的平方，等于他们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.即用字母表示为：（ab）2=a22ab+b22.完全平方公式的几种常见变化公式（1）a2+b2=(a+b)2-2ab=(ab)2+2ab（2）(a+b)2=(ab)2+4ab（3）(ab)2=(a+b)2-4ab（4）(a+b)2+(ab)2=2(a2+b2)（5）(a+b)2-(ab)2=4ab（6）ab=12(a+b)2-(a2+b2)=14(a+b)2-(ab)2)（7）(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+

2、2bc特别解读1.弄清公式的特征：公式的左边是是一个二项式的完全平方，公式的右边是一个三项式，包括左边二项式的各项的平方和，另一项是这两项的乘积的2倍.2.理解字母a,b的意义：公式中的字母a,b可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式.【知识点二】完全平方公式的验证1.验证(a+b)2=a2+2ab+b2 如图，大正方形的面积可以表示为(a+b)2，也可以用四个部分的面积之和来表示，即a2+ab+ba+b2，所以(a+b)2=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2.2.验证(ab)2=a2-2ab+b2 如图，阴影部分的面积可以表示为S阴影=(ab)2，也可用大正方形的面积减去三个空白

3、部分的面积，所以(ab)2=a2-(a-b)b-(a-b)b=a2-2ab+b2特别解读利用几何图形验证完全平方公式时，所列式子表示同一个图形的面积.【知识点三】利用乘法公式进行整式的混合运算1.当两个三项式相乘是，先利用添括号使原式变成符合乘法公式的形式，在运用乘法公式计算.2.整式的混合运算，先算乘方，再算乘除，最后算加减.特别解读1.添括号只是一个变式，不改变式子的值.2.添括号是否正确，可利用去括号检验.【考点目录】【考点1】运算完全平方公式进行运算； 【考点2】应用乘法公式化简求值； 【考点3】应用完全平方公式进行简便运算； 【考点4】完全平方公式中的整体思想； 【考点5】完全平方公

4、式参数问题； 【考点6】建立完全平方公式模型解决实际问题.【考点1】运算完全平方公式进行运算；【例1】（2023上全国八年级专题练习）计算：（1）（2）【答案】（1）；（2）【分析】本题考查整式混合运算，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键，注意整体思想的运用平方差公式和完全平方公式（1）把看做为一个整体，运用平方差公式计算，再运用完全平方公式计算即可；（2）把看做为一个整体，运用完全平方公式计算，再运用完全平方公式计算即可（1）解：；（2）解：【变式1】（2024上上海宝山七年级统考期末）下列算式中，可用完全平方公式计算的是（）ABCD【答案】D【分析】本题考查了完全平方公式的特征：

5、；根据完全平方公式逐个判断即可解：A.，不能用完全平方公式进行计算，故本选项错误；B.，不能用完全平方公式进行计算，故本选项错误；C.，不能用完全平方公式进行计算，故本选项错误；D.，能用完全平方公式进行计算，故本选项正确；故选：D【变式2】（2024下全国七年级假期作业）若，则m的值为 【答案】7【解析】略【考点2】应用乘法公式化简求值【例2】（2024上广东广州八年级统考期末）已知（1）_；（2）求代数式的值【答案】（1）；（2）；【分析】（1）本题考查已知代数式的值求代数式的值，先变形代数式，代入求解即可得到答案；（2）本题考查平方差公式及完全平方公式求值，先化简再带入计算即可得到答案；

6、（1）解：，；（2）解：原式【变式1】（2023上上海青浦七年级校考期中）已知，则的值为（）A10B14C16D18【答案】A【分析】本题考查了代数式求值、完全平方公式，熟记完全平方公式是解题关键将所求式子利用完全平方公式转化为，代入计算即可得解：，故选：A【变式2】（2023上江西新余八年级新余市第一中学校考阶段练习）已知，则的值是 【答案】16【分析】本题考查了完全平方公式，换元法是解题的关键设，换元后进行计算即可求解解：设，即，解得，即的值为16故答案为：16【考点3】应用完全平方公式进行简便运算； 【例3】（2023下全国八年级假期作业）利用简便方法计算（1）（2）【答案】（1）；（2

7、）解：（1）原式（2）原式【变式1】（2023上河北廊坊八年级校考阶段练习）如图是嘉淇关于的计算过程，则开始出现错误的是（）A步骤B步骤C步骤D步骤【答案】B【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式的计算，熟练掌握公式是解题的关键解：故选B【变式2】（2024上上海松江七年级统考期末）计算： 【答案】2【分析】本题考查有理数的运算，将原式进行正确的变形是解题的关键将原式变形后利用乘法公式简便计算即可解：，故答案为：2【考点4】完全平方公式中的整体思想； 【例4】（2023上广东阳江八年级统考期末）知识与方法：完全平方公式：，适当的变形，可以解决很多的数学问题例如：若，求的值解：，根据上面的解

8、题思路与方法，解决下列问题：知识应用：（1）当，时，_（2）若，求的值迁移与拓展：（3）如图，点E是线段上的一点，在线段的同侧作以为边正方形，设，两正方形的面积和为50，求图中阴影部分面积【答案】（1）；（2）；（3）【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式及其变形是解题的关键（1）根据完全平方公式变形后整体代入求值即可； （2）根据完全平方公式变形后整体代入求值即可； （3）由正方形，三角形的面积，利用完全平方公式求出，即可求解解：（1），即，；故答案为：12；（2），；（3）由题意可知：，【变式1】（2024上吉林长春八年级统考期末）已知，则代数式的值是（）A12B16C24D3

9、6【答案】D【分析】本题考查完全平方公式的应用根据题意先将代数式整理成，再将题干已知代入代数式即可得到本题答案解：，又，即，故选：D【变式2】（2024上重庆北碚八年级统考期末）若，则代数式的值是 【答案】【分析】此题主要考查了完全平方公式分解因式，代数式的值，正确分解因式是解题关键先利用完全平方公式变形，进而把已知数据代入求出答案解：，故答案为:【考点5】完全平方公式中的参数问题；【例5】（2023上山东烟台八年级统考期中）课本原题：当k取何值时， 是一个完全平方式？解决此类问题的关键是熟练掌握完全平方公式： 的结构特征。因为， 是一个完全平方式，故将写成，根据多项式对应项的系数相等，得到（

10、1）请尝试用语言叙述完全平方公式的结构特征： ；（2）若 是完全平方式，则m的值为 ；若（n为常数） 是完全平方式，则n的值为 ；（3）已知 ，请求出b的值【答案】（1）左边是两个数的和（差）的平方，右边是一个二次三项式，其中首末两项分别是两数的平方，都为正，中间一项是两数积的两倍，其符号与等式左边的运算符号相同（答案不唯一，能描述清楚即可）；（2）10或；16；（3）【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式： 的结构特征是解题关键；（1）根据完全平方公式结构特征用语言表述即可；（2）根据完全平方公式结构特征：求字母常数的值即可；（3）根据完全平方公式结构特征：求字母常数的值即可（1

11、）解：完全平方公式：，完全平方公式的结构特征：左边是两个数的和（差）的平方，右边是一个二次三项式，其中首末两项分别是两数的平方，都为正，中间一项是两数积的两倍，其符号与等式左边的运算符号相同，故答案为：左边是两个数的和（差）的平方，右边是一个二次三项式，其中首末两项分别是两数的平方，都为正，中间一项是两数积的两倍，其符号与等式左边的运算符号相同；（答案不唯一，能描述清楚即可）（2）解： 是完全平方式，解得：或； 是完全平方式，故答案为：10或；16；（3）解：， ，【变式1】（2023上全国八年级课堂例题）要使成为完全平方式，则常数的值为（）ABCD【答案】D【分析】本题考查了完全平方式，根据

12、平方项确定出这两个数是解题的关键完全平方式：的特点是首平方，尾平方，首尾底数积的两倍在中央，先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方式的二倍项即可求解解：化为完全平方式，即当成为两数和的完全平方式时，此时；当成为两数差的完全平方式时，此时综上，答案：D【变式2】（2023上全国八年级期末）如果多项式是完全平方式，那么k的值为 【答案】【分析】本题考查了完全平方式，根据口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央”来求k的值即可解：多项式是完全平方式，故答案为：【考点6】建立完全平方公式模型解决实际问题.【例6】（2023上福建福州八年级福州日升中学校考期中）我们已学完全平方公式

13、：，观察下列式子：，原式有最小值是；，原式有最大值是；并完成下列问题：（1）代数式有最 （填大或小）值，这个值= （2）解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栏围成一个长方形花圃，为了设计一个尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为米，完成下列任务用含的式子表示花圃的面积；请说明当取何值时，花圃的最大面积是多少平方米？【答案】（1）小，；（2）平方米；当时，花圃的最大面积为1250平方米【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；（1）根据题中所给方法可进行求解；（2）利用长方形的面积长宽可得结论；利用题中所给方法即可解决问题（1）解：，代数式有

14、最小值，最小值为；故答案为小，；（2）解：由图可得花圃的面积：平方米；由可知：，当时，且，当时，花圃的最大面积为1250平方米【变式1】（2024上广东广州八年级统考期末）如图，某小区规划在边长为的正方形场地上，修建两条宽为的甬道，其余部分种草，下列各式中，表示甬道所占面积的为（）ABCD【答案】B【分析】本题考查了完全平方公式及正方形的面积等知识点，用正方形场地的面积减去正方形场地除去甬道部分的面积即可解：甬道所占面积的为横向和纵向两条甬道面积之和减去重叠部分，即，由图可知边长为的正方形场地的面积为：，除去甬道部分的面积为：，甬道所占面积为：故选：B【变式2】（2023下浙江湖州七年级统考阶段练习）三种不同类型的长方形砖长宽如图所示，现有A类、C类各若干块，B类4块，小双用这些地砖拼成一个正方形（不重叠无缝隙），那么小双拼成正方形的边长是 （用含m，n的代数式表示）【答案】或【分析】设A类需用a块，C类需用c块，根据题意得拼成的正方形的面积为：是一个完全平方式，据此求解即可得解：设A类需用a块，C类需用c块，这些地砖拼成的正方形的面积为：，根据题意，是一个完全平方式，所以或者；当，时，此时正方形的边长为：；当，时，此时正方形的边长为：；故答案为：或【点拨】本题考查完全平方公式，解题的关键是理解题意，掌握完全平方公式的结构特征