专题1.2 矩形的性质与判定综合（7个考点12大题型）（解析版）.docx

1、专题1.2 矩形的性质与判定综合（7个考点12大题型） 重难点题型归纳 【题型1 利用矩形的性质求角度】【题型2 利用矩形的性质求线段长度】【题型3 利用矩形的性质求面积】【题型4 求矩形在平面直角坐标系中的坐标】【题型5 矩形与折叠综合应用】【题型6 直角三角形斜边上的中线问题】【题型7 添加条件对矩形的判定】【题型8 矩形的判定-证明题】【题型9 矩形的性质与判定综合】【题型10 求矩形中最大值问题-梯子模型】【题型11 求矩形中最小值问题】【题型12 矩形中动点问题-分类讨论】 满分必练 【题型1 利用矩形的性质求角度】1（2023春灌南县期中）如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点

2、O，AE平分BAD交BC于点E若ODA30，则BOE的度数为（）A45B60C65D75【答案】D【解答】证明：在矩形ABCD中，AE平分BAD，BAEEAD45，ADBC，OAOB，AEBEAD45，BEBAOADODA30，BAC60，又OAOB，AOB为等边三角形，BOBA，BOBEADBCOBEADO30BOE（18030）275故选：D2（2023高明区二模）矩形ABCD和直角三角形EFG的位置如图所示，点A在EG上，点D在EF上，若255，则1等于（）A155B135C125D105【答案】C【解答】解：ADC90GEF，EAD+ADE90，2+ADE90，DAE255，1180D

3、AE125，故选：C3（2023春海淀区校级期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OAB55，则ODA的度数为（）A55B45C40D35【答案】D【解答】解：四边形ABCD是矩形，BAD90，OBAOAB55，ODA90OBA35，故选：D4（2023春新市区期中）如图，已知在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AEBD于点E若DAE：BAE3：1，则EAC的度数是（）A18B36C45D72【答案】C【解答】解：四边形ABCD 矩形，BAD90，OAAC，OBBD，ACBD，OAOB，ABOBAO，DAE：BAE3：1，BAE9022.5AEBO，ABO+BA

4、E90，BAOABO9022.567.5，EAOBAOBAE67.522.545故选：C5（2023春武昌区校级期中）如图，点E在矩形ABCD边BC的延长线上，连接AC，DE，BEAC，若E70，则ACB的度数是（）A40B50C70D30【答案】A【解答】解：连接BD，如图所示，四边形ABCD是矩形，BDACBEAC，BDBEBDE是等腰三角形E70，BDE70，DBE180707040四边形ABCD是矩形，OBOC，ACBDBE40，故选：A6（2023定西一模）如图，这是一农村民居侧面截图，屋坡AF，AG分别架在墙体的点B，C处，且ABAC，侧面四边形BDEC为矩形若测得FBD55，则A

5、（）A70B110C125D135【答案】B【解答】解：四边形BDEC为矩形，CBD90，ABC180FBDCBD180559035，ABAC，ABCACB35，A1802ABC180335110故选：B【题型2 利用矩形的性质求线段长度】7（2023春双鸭山期中）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AOB60，AC+AB12，则边AB的长为（）A3B4CD【答案】B【解答】解：四边形ABCD是矩形，AOB60，AOB是等边三角形，AC+AB12，3AB12，AB4故选：B8（2023春朝阳区校级期中）如图，矩形ABCD，BD8，对角线AC，BD交于O，若AOB60，则BC的长为（

6、）A4BCD16【答案】B【解答】解：四边形ABCD是矩形，BD8，ACBD8，ABC90，OAOB4，AOB60，ABO是等边三角形，ABOA4，BC，故选：B9（2023春龙凤区期中）已知：如图，矩形ABCD中，AB5，BC12，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上任意一点，且PEAC于点E，PFBD于点F，则PE+PF等于（）A6B5CD【答案】C【解答】解：连接PO，矩形ABCD的两边AB5，BC12，S矩形ABCDABBC60，OAOC，OBOD，ACBD，AC13，SAODS矩形ABCD15，OAODAC，SAODSAOP+SDOPOAPE+ODPFOA（PE+PF）（PE

7、+PF）15，PE+PF，故选：C10（2023春镇江期中）数学家笛卡尔在几何一书阐述了坐标几何思想，主张取代数和几何中最好的东西以长补短如图，在直角坐标系中，矩形OABC，点B的坐标是（1，3），则AC的长是（）A3BCD4【答案】C【解答】解：连接OB，过B作BMx轴于M，点B的坐标是（1，3），OM1，BM3，由勾股定理可得：，四边形OABC为矩形，OBAC，故选：C11（2023春涧西区期中）如图，在RtABC中，CD为斜边AB上的中线，点E是AB上方一点，且AEBE，连接DE，若CD3，AE7，则DE的长为（）A2B2C4D4【答案】B【解答】解：在RtABC中，CD为斜边AB上的中

8、线，CDADBDAB3，AEBE7，EDAD，在RtADE中，DE2，故选：B12（2023榕城区一模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O若BOC120，AB4，则AD的长为（）A8BCD4【答案】B【解答】解：BOC120，BOA60，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AOBOODOC，ABO是等边三角形，ABD60，AB4，BOOD4，BD8，RtABD中，故选：B13（2023春西湖区校级期中）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作OEAC交AD于点E，若AB6，BC8，则AE的长为（）AB6CD5【答案】C【解答】解：如图，连接CE，矩形ABC

9、D，AB6，BC8，ADBC8，ABCD6，ADC90，OAOC，OEAC，AECE，设AEx，则CEx，DE8x，在 RtDEC中，CE2DE2+CD2，x2（8x）2+62，故选：C14（2023春庐阳区校级期中）如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DEAM于E，若，AE2EM，则CM的长为（）ABC1D2【答案】C【解答】解：四边形ABCD是长方形，ABCD，ADBC，BC90，ADBC，DAEAMB，DEAM，DEADEM90，在ABM和DEA中，ABMDEA（AAS），AMAD，BMAE，AE2EM，BCADAM3EM，连接DM，如下图所示，在RtDEM和Rt

10、DCM中，RtDEMRtDCM（HL），EMCM，设EMCMx，则BMAE2x，AMAE+EM3x，在RtABM中，由勾股定理得AB2+BM2AM2，即，解得x11，x21（舍去），CM1故选：C15（2023雁塔区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分BED，AB2，ABE45，则DE的长为（）ABCD【答案】C【解答】解：四边形ABCD为矩形，ADBC，ADBC，A90，AB2，ABE45，AEAB2，BE2，ADBC，DECECB，EC平分BED，BECDEC，BECECB，BCBE2，AD2，DEADAE22，故选：C【题型3 利用矩形的性质求面积】16（2023春

11、裕华区校级期中）如果长方形的三个顶点的坐标分别为（3，2），（3，2），（3，2），则这个长方形的面积为（）A32B24C6D8【答案】B【解答】解：因为长方形的三个顶点的坐标分别为（3，2），（3，2），（3，2），所以AB6，BC4，所以长方形的面积为6424故选：B17（2023灞桥区校级四模）如图，在矩形ABCD中，AB4，AD6，O，E分别为AC，OD的中点，连接AE，则AED的面积为（）A3B6C9D12【答案】A【解答】解：O，E分别为AC，OD的中点，SAEDSAODSADCS矩形ABCD，AB4，AD6，S矩形ABCDABAD24，SAED243，故选：A【题型4 求矩形在平

12、面直角坐标系中的坐标】18（2023春东阿县期中）如图，在矩形ABCD中，AB3，AD1，AB在x轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧，交x轴的正半轴于点M，则点M的坐标为（）ABCD【答案】D【解答】解：由题意得：，故，点B表示的数为2，点M表示的数为，点M的坐标为故选：D19（2023金东区二模）如图，将5个大小相同的长方形置于平面直角坐标系中，若顶点A（2，9），B（6，3），则顶点C的坐标是（）A（4，5）B（3，5）C（4，7）D（5，6）【答案】A【解答】解：如图，A（2，9），B（6，3），D（6，9），AD624，BD936，每个长方形的长为632，宽为441，点C的

13、坐标为：（2+12，922），即（4，5），故选：A20长方形ABCD（ABCD，ADBC，四个内角均为90）中，三个顶点的坐标分别是A（1，0），B（5，0），C（5，3），则第四个顶点D的坐标是（）A（0，3）B（3，0）C（1，3）D（5，0）【答案】C【解答】解：ABCD，ADBC，ABCD，ADBC，三个顶点的坐标分别是A（1，0），B（5，0），C（5，3），D（1，3），故选：C21（2022秋渠县期末）在平面直角坐标系中，长方形ABCD如图所示，A（6，2），B（2，2），C（2，3），则点D的坐标为（）A（6，3）B（3，6）C（6，3）D（3，6）【答案】C【解答】解：四边

14、形ABCD是长方形，ABDC，ADBC，A（6，2），B（2，2），C（2，3），点D的横坐标与点A的横坐标相同，为6，点D的纵坐标与点C的纵坐标相同，为3，点D的坐标为（6，3）故选：C22如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（2，1），点C的纵坐标是4，则B，C两点的坐标分别是（）A（，3），（，4）B（，3），（，4）C（，），（，4）D（，），（，4）【答案】B【解答】解：过点A作ADx轴于点D，过点B作BEx轴于点E，过点C作CFy轴，过点A作AFx轴，交点为F四边形AOBC是矩形，ACOB，ACOB，CAFBOE在ACF和OBE中，CAFBOE（AAS），BECF413AOD+BO

15、EBOE+OBE90，AODOBEADOOEB90，AODOBE，即，OE，即点B（，3），AFOE，点C的横坐标为：（2），点C（，4）故选：B【题型5 矩形与折叠综合应用】23.（2021徐州）如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使 C、A两点重合，点D落在点G处已知AB4，BC8（1）求证：AEF是等腰三角形；（2）求线段FD的长【答案】（1） 略 （2）FD3【解答】（1）证明：由折叠性质可知，AEFCEF，由矩形性质可得ADBC，AFECEF，AEFAFEAEAF，故AEF为等腰三角形（2）解：由折叠可得AECE，设CExAE，则BEBCCE8x，B90，在RtABE中，有AB

16、2+BE2AE2，即42+（8x）2x2，解得：x5由（1）结论可得AFAE5，故FDADAFBCAF85324.（2021苏州）如图，在平行四边形ABCD中，将ABC沿着AC所在的直线折叠得到ABC，BC交AD于点E，连接BD，若B60，ACB45，AC，则BD的长是（）A1BCD【答案】B【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABCD，ADC60，CAEACB45，将ABC沿AC翻折至ABC，ACBACB45，ABCB60，AEC180CAEACB90，AECEAC，AEC90，ABC60，ADC60，BAD30，DCE30，BEDE1，BD故选：B25.（2021春雨花区月考

17、）小西在学完第十八章平行四边形之后，研究了新人教版八年级下册数学教材第64页的数学活动1其内容如下：如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60，30，15等大小的角，可以采用下面的方法（如图1）：（1）对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平（2）再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到了线段BN小雅在小西研究的基础上，再次动手操作（如图2）：（3）将MN延长交BC于点G，将BMG沿MG折叠，点B刚好落在AD边上点H处，连接GH，把纸片再次展平请根据小西和小雅的探究，完成下列问题：直接写出BE和BN的数量关系： 求ABM的角度大小；求证

18、：四边形BGHM是菱形【答案】（3）BEBN ABM30 四边形BGHM是菱形【解答】解：（3）对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，BEAB，再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到了线段BNABBN，BEBN，故答案为：BEBN；解：由折叠的性质得：BENAEN90，BEBN，BNE30，ABN60，由折叠的性质得：ABMABN30；证明：由得ABM30，四边形ABCD是矩形，AABC90，AMBBMN60，MBG60，BMG是等边三角形，BMBG，由折叠得BMMH，BGGH，BMMHBGGH，四边形BGHM是菱形【题型6 直角三角形斜边上的

19、中线问题】26（2023春通道县期中）如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为4.8 km，则M、C两点间的距离为（）A2.4 kmB3.6 kmC4.2 kmD4.8 km【答案】A【解答】解：公路AC、BC互相垂直，ACB90，M为AB的中点，AB4.8 km，CM2.4（ km），即M，C两点间的距离为2.4 km，故选：A27（2023邓州市一模）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，OC4，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长度为（）A1.5B3C2D5【答案】C【解答】解：四边形ABCD是矩形，OAOBOCOD4，点P、Q是AO，

20、AD的中点，PQ是AOD的中位线，故选：C【题型7 添加条件对矩形的判定】28（2023辽宁一模）四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形；那么需要添加的条件是（）AABBCBAC垂直BDCACDACBD【答案】D【解答】解：四边形ABCD的对角线互相平分，四边形ABCD是平行四边形，A、ABBC，平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；B、ACBD，平行四边形ABCD是菱形，故选项B不符合题意；C、四边形ABCD是平行四边形，AC，不能判定平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意；D、ACBD，平行四边形ABCD是矩形，故选项D符合题意；故选：D29（2023春南宁期中）如图

21、，要使ABCD成为矩形，需要添加的条件是（）AABC90BABDCBDCACBDDABBC【答案】A【解答】解：A、ABC90，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，得到ABCD是矩形，故A符合题意；B、ABDCBD，由ADBC得到ADBCBD，因此ABDADB，所以ABAD，ABCD是菱形，故B不符合题意；C、ACBD，由平行线四边形的性质，得到AC垂直平分BD，因此ABAD，ABCD是菱形，故C不符合题意；D、ABBC，此时ABCD是菱形，故D不符合题意故选：A【题型8 矩形的判定-证明题】30（2023春天宁区校级期中）如图，ABC中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作CF

22、AB，交DE延长线于点F（1）求证：ADECFE；（2）连接AF，CD如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形，证明你的结论【答案】（1）证明见解答过程；（2）当ACBC时，四边形ADCF是矩形，证明见解答过程【解答】（1）证明：CFAB，ADFCFD，DACFCA，点E是AC的中点，AECE，在ADE与CFE中，ADECFE（AAS）；（2）解：当ACBC时，四边形ADCF是两性矩形，证明如下：由（1）知，ADCF，ADCF，四边形ADCF是平行四边形，ADCF，ADCF，点D是AB的中点，ADBD，BDCF，BDCF，四边形BDFC是平行四边形，BCDF，

23、ACBC，ACDF，四边形ADCF是矩形31（2023钦州一模）如图，在ABCD中，点E，F分别是BC，AD边上的点，且BEDF（1）求证：ABECDF；（2）若AEC90，求证：四边形AECF为矩形【答案】（1）见解析；（2）见解析【解答】证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，ABCD，BD，在ABE和CDF中，ABECDF（SAS）；（2）四边形ABCD是平行四边形，AFEC，ADBC，DFBE，ADDFBCBE，即AFEC，四边形AECF是平行四边形；AEC90，四边形AECF是矩形32（2023春南昌县期中）如图，将平行四边形ABCD的边AB延长至点E，使BEAB，连接DE，EC，D

24、E，交BC于点O（1）求证：BDEC；（2）连接BD，若BOD2A，求证：四边形BECD是矩形【答案】（1）见解答；（2）见解答【解答】证明：（1）在平行四边形ABCD中，ADBC，ABCD，ABCD，则BECD又ABBE，BEDC，四边形BECD为平行四边形，BDEC在ABD与BEC中，ABDBEC（SSS），BDCE；（2）由（1）知，四边形BECD为平行四边形，则ODOE，OCOB四边形ABCD为平行四边形，ABCD，即AOCD又BOD2A，BODOCD+ODC，OCDODC，OCOD，OC+OBOD+OE，即BCED，平行四边形BECD为矩形33（2023春青秀区校级期中）如图，已知A

25、BCD，延长AB到E，使BEAB，连接BD，ED，EC，若EDAD（1）求证：BECD；（2）求证：四边形BECD是矩形【答案】（1）（2）证明见解析【解答】证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，DCAB，BEAB，BECD；（2）四边形ABCD是平行四边形，DCAE，BECD，四边形BECD是平行四边形，BEAB，EDAD，DBAE，DBE90，四边形BECD是矩形34（2023春渝北区月考）如图，在ABC中，O是AC上的任意一点（不与点A、C重合），过点O平行于BC的直线l分别与BCA、ABC的外角DCA的平分线交于点E、F（1）OE与OF相等吗？证明你的结论（2）试确定点O的位置，使四

26、边形AECF是矩形，并加以证明【答案】（1）证明见解析；（2）O在AC的中点上时，四边形AECF是矩形，见解析【解答】解：（1）OEEF；理由是：直线lBC，OECECB，CE平分ACB，OCEBCE，OECOCE，OEOC，同理OFOC，OEOF（2）O在AC的中点上时，四边形AECF是矩形，理由是：OAOC，OEOF，四边形AECF是平行四边形，OEOFOCOA，ACEF，平行四边形AECF是矩形【题型9 矩形的性质与判定综合】35（2023春宁波期中）矩形一定具有的性质是（）A邻边相等B对角线相等C对角线互相垂直D对角线平分每一组对角【答案】B【解答】解：矩形对角线相等且互相平分，故选：

27、B36（2023春徐汇区期中）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的（）A当ABBC时，它是菱形B当ADCD时，它是菱形C当ABC90时，它是矩形D当ACBD时，它是矩形【答案】B【解答】解：A、四边形ABCD是平行四边形，又ABBC，四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；B、四边形ABCD是平行四边形，又ACCD，四边形ABCD是矩形，故本选项符合题意；C、四边形ABCD是平行四边形，又ABC90，四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；D、四边形ABCD是平行四边形，又ACBD，四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；故选：B37（2023东昌府区二模）如图，点O是平行

28、四边形ABCD对角线的交点，ABBC，分别过点C、D作CEBD，DEAC，连接OE（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）设AC12，BD16，求OE的长【答案】（1）证明见解析；（2）10【解答】（1）证明：CEBD，DEAC，四边形OCED是平行四边形，四边形ABCD是平行四边形，ABBC，平行四边形ABCD是菱形，ACBD，COD90，平行四边形OCED是矩形；（2）解：四边形ABCD是平行四边形，AC12，BD16，在RtCOD中，由勾股定理得：CD10，由（1）知，四边形OCED是矩形，OECD1038（2023春新市区校级期中）如图，在ABC中，ABAC，D是BC的中点，过点A作A

29、EBC，且AEDC，连接CE（1）求证：四边形ADCE是矩形：（2）若AB5，BC8，求CE的长【答案】（1）见解析；（2）3【解答】（1）证明：ABAC，D为BC的中点，ADBC，AEBCAEDC，AEDC，四边形ADCE是平行四边形，ADC90，四边形ADCE是矩形（2）解：ABAC，D是BC的中点，ADB90，BC8，BD4，AD3，四边形ADCE是矩形，CEAD3，CE的长是339（2023开封模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，BEAC，AEBD，EO与AB交于点F（1）求证：四边形AEBO是矩形；（2）若CD3，求EO的长【答案】（1）见解析；（2）3【解答】（1）

30、证明：BEAC，AEBD四边形AEBO是平行四边形又菱形ABCD对角线交于点OACBD，即AOB90四边形AEBO是矩形；（2）解：四边形AEBO是矩形，EOAB，在菱形ABCD中，ABCD，EOCD340（2023大兴区一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD的交于点O，延长CB到E，使得BEBC连接AE过点B作BFAC，交AE于点F，连接OF（1）求证：四边形AFBO是矩形；（2）若ABC60，BF1，求OF的长【答案】（1）证明见解析；（2）2【解答】（1）证明：四边形ABCD是菱形，ADBC，ACBD，ADBC，BEBC，ADBE，四边形ADBE是平行四边形，AEBD，BFAC，

31、四边形AFBO是平行四边形，ACBD，AEBD，AEAC，OAF90，平行四边形AFBO是矩形；（2）解：四边形ABCD是菱形，ABBC，OAOC，由（1）可知，四边形AFBO是矩形，OFAB，OABF1，AC2OA2，ABC60，ABC是等边三角形，ABAC2，OFAB2，即OF的长为241（2023延庆区一模）如图，在平行四边形ABCD中，连接AC，BAC90点M为边AD的中点，连接CM并延长，交BA的延长线于点E，连接DE（1）求证：四边形ACDE是矩形；（2）若BE10，DE12，求四边形BCDE的面积【答案】（1）证明见解答；（2）四边形BCDE的面积是90【解答】（1）证明：四边形

32、ABCD是平行四边形，ABCD，MAEMDC，点M为边AD的中点，MAMD，在MAE和MDC中，MAEMDC（ASA），MEMC，四边形ACDE是平行四边形，ACDBAC90，四边形ACDE是矩形（2）解：四边形ABCD是平行四边形，四边形ACDE是矩形，AECD，ABCD，AED90，DEBE，BE10，DE12，AEABCDBE105，BECD，S四边形BCDE（5+10）1290，四边形BCDE的面积是9042（2023春长沙期中）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，其中ADBC，ABCD，AC2OB，E为CD上一点，连接AE，OE（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若

33、AE平分BAD，且BD2AD，求DOE的度数【答案】（1）证明见解析；（2）75【解答】（1）证明：ADBC，ABCD，四边形ABCD是平行四边形，BD2OB，AC2OB，ACBD，平行四边形ABCD是矩形；（2）解：四边形ABCD是矩形，DABADC90，OAOD，BD2OD，AE平分BAD，DAE45，ADE是等腰直角三角形，ADDE，BD2AD，OAODAD，AOD是等边三角形，ADO60，ODEADCADO906030，ADDE，ADOD，DEOD，DOEDEO（180ODE）（18030）7543（2023丰台区一模）如图，在ABCD中，ACB90，过点D作DEBC交BC的延长线于点

34、E，连接AE交CD于点F（1）求证：四边形ACED是矩形；（2）连接BF，若ABC60，CE2，求BF的长【答案】（1）证明见解答；（2）BF的长是2【解答】（1）证明：ACB90，ACBC，DEBC，ACDE，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，ADCE，四边形ACED是平行四边形，ACE90，四边形ACED是矩形（2）解：四边形ACED是矩形，四边形ABCD是平行四边形，AECDAB，AFEF，ADCECB2，ABC60，ABC是等边三角形，BFAE，ABAEBE2CE224，AFB90，AFAE42，BF2，BF的长是244（2023春鄂城区期中）如图，菱形ABCD的对角线

35、AC，BD相交于点O，E是AD的中点，EFAB于F点，OGEF交AB于点G（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD10，EF4，求OE和BG的长【答案】（1）证明见解析；（2）5，2【解答】（1）证明：四边形ABCD是菱形，OBOD，E是AD的中点，OE是ABD的中位线，OEFG，OGEF，四边形OEFG是平行四边形，EFAB，EFG90，平行四边形OEFG是矩形；（2）解：四边形ABCD是菱形，ABAD10，ACBD，AOD90，E是AD的中点，OEADAE5，由（1）可知，四边形EFCO是矩形，FGOE5，EFAB，EFA90，AF3，BGABAFFG10352，故答案为：2【题型1

36、0 求矩形中最大值问题-梯子模型】45（2023春裕华区校级期中）如图，矩形ABCD中，AB8，BC3，顶点A，B分别在y轴和x轴上，当点A在y轴上移动时，点B也随之在x轴上移动，在移动过程中，OD的最大值为（）A8B9CD【答案】B【解答】解：如图，取AB的中点E，连接OE、DE，ODOE+DE，当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，此时，AB8，BC3，OEAEAB4，DE5，OD的最大值为：5+49；故选：B46（2023慈溪市模拟）如图，MON45，点A、B分别在射线OM、射线ON上运动，四边形ABCD是矩形，且AB2，AD1，则OD的最大值为（）ABCD无最大值【答案】A【解

37、答】解：以AB为底边作等腰直角AEB，作EHCD于H，连接DE，OE，MON45，点O在以E为圆心，AE为半径的圆上运动，AB2，AEOE，在RtEDH中，由勾股定理得，DE，当点D、E、O共线时，OD最大，OD的最大值为OE+DE+，故选：A【题型11 求矩形中最小值问题】47（2023台湾）如图，矩形ABCD中，AB6，AD8，且有一点P从B点沿着BD往D点移动，若过P点作AB的垂线交AB于E点，过P点作AD的垂线交AD于F点，则EF的长度最小为多少（）ABC5D7【答案】B【解答】解：如图，连接AP、EF，PEAB，PFAD，AEPAFP90四边形ABCD是矩形，BAD90四边形AEPF

38、为矩形APEF要求EF的最小值就是要求AP的最小值点P从B点沿着BD往D点移动，当APBD时，AP取最小值下面求此时AP的值，在RtBAD中，BAD90，AB6，AD8，BD10SABD，APEF的长度最小为：故本题选B48（2023春河东区期中）如图，在RtABC中，BAC90，且BA6，AC8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DMAB于点M，DNAC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（）A5B3.6C2.4D4.8【答案】D【解答】解：如图，连接ADBAC90，且BA6，AC8，DMAB，DNAC，四边形AMDN为矩形，ADMN，当AD最小时，MN最小当ADBC时，AD最小，此

39、时SABCABACADBC，6810AD，AD4.8，线段MN的最小值为4.8故选：D49（2023春孝南区期中）如图，在ABC中，BAC90，AB3，AC4，P为边BC上一动点，PEAB于E，PFAC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（）A1.2B1.3C1.4D2.4【答案】A【解答】解：连接AP，如图所示：BAC90，AB3，AC4，BC5，PEAB，PFAC，四边形AFPE是矩形，EFAPM是EF的中点，PMAP，根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即APBC时，AP最短，同样PM也最短，当APBC时，AP2.4，AP最短时，AP2.4，当PM最短时，PMAP1.2故选

40、：A50（2023烟台一模）如图，在矩形ABCD中，AB12，AD10，点E在AD上，点F在BC上，且AECF，连结CE，DF，则CE+DF的最小值为（）A26B25C24D22【答案】A【解答】解：如图，连接BE，四边形ABCD是矩形，ABCD，BAEDCF90，AECF，ABECDF，BEDF，CE+DFCE+BE，如图，作点B关于A点的对称点B，连接CB，CB即为CE+BE的最小值，AB12，AD10，BB24，BC10，CE+DF的最小值为26，故A正确故选：A【题型12 矩形中动点问题-分类讨论】51（2023赵县二模）如图，在四边形ABCD中，AB90，AD8cm，BC6cm，点P

41、从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（）A当t3s时，四边形ABMP为矩形B当t4s时，四边形CDPM为平行四边形C当CDPM时，t3sD当CDPM时，t3s或5s【答案】D【解答】解：根据题意，可得DPtcm，BMtcm，AD8cm，BC6cm，AP（8t）cm，CM（6t）cm，当四边形ABMP为矩形时，APBM，即8tt，解得t4，故A选项不符合题意；当四边形CDPM为平行四边形，DPCM，即t6t，解得t3，故B选项不符合题意；当CDPM时，

42、分两种情况：四边形CDPM是平行四边形，此时CMPD，即6tt，解得t3，四边形CDPM是等腰梯形，过点M作MGAD于点G，过点C作CHAD于点H，如图所示：则MGPCHD90，PMCD，GMHC，MGPCHD（HL），GPHD，AGAP+GP8t+，又BMt，8t+t，解得t5，综上，当CDPM时，t3s或5s，故C选项不符合题意，D选项符合题意，故选：D52（2023春江津区期中）已知直角坐标系中，四边形OABC是长方形，点A，C的坐标分别为A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P是BC边上的一个动点，当POD是腰长为5的等腰三角形时，则点P坐标为（）A（2，4）（3，4）B（

43、2，4）（8，4）C（2，4）（3，4）（8，4）D（2，4）（2.5，4）（3，4）（8，4）【答案】C【解答】解：（1）OD是等腰三角形的底边时，P就是OD的垂直平分线与CB的交点，此时OPPD5；（2）OD是等腰三角形的一条腰时：若点O是顶角顶点时，P点就是以点O为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，在直角OPC中，CP3，则P的坐标是（3，4）；若D是顶角顶点时，P点就是以点D为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，过D作DMBC于点M，在直角PDM中，PM3，当P在M的左边时，CPCMPM532，则P的坐标是（2，4）；当P在M的右侧时，CPCM+PM5+38，则P的坐标是（8，4）所以满足条件的点P的坐标为：（3，4）或（2，4）或（8，4）故选：C