专题1.22 特殊平行四边形“将军饮马”专题（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）.docx

1、专题1.22 特殊平行四边形“将军饮马”专题（巩固篇）（专项练习）一、单选题【知识点一】菱形将军饮马问题1如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB4，BD，E为AB的中点，点P为线段AC上的动点，则EPBP的最小值为（）A4BC D82如图，在ABC中，AC=BC=4，ACB=120，点M在边BC上，且BM=1，点N是直线AC上一动点，点P是边AB上一动点，则PM+PN的最小值为（）A B C D43在边长为的菱形中，E是上异于两点的动点，F是上的动点，满足，则的面积的最小值为（）ABCD4如图，在菱形中，分别是边，上的动点，是对角线上的动点，若，则的最小值是（）A2B3C4D【知识

2、点二】矩形将军饮马问题5如图，矩形的边，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，连接，则的最小值为（）ABC3D6如图，点M、N分别是矩形ABCD的边BC和对角线AC上的动点，连接AM、MN，则的最小值为（）ABCD57如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动点(不与端点重合)，若四点运动过程中满足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，则四边形EFGH周长的最小值等于（）A10B10C5D58如图，在矩形ABCD中，AB5，AD3动点P满足S矩形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为（）ABCD

3、【知识点三】正方形将军饮马问题9如图，在正方形ABCD中，AB=4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EFAB与点F，EGBC与点G，连接DE，FG，下列结论：DE=FG，DEFG，BFG=ADE，FG的最小值为3，其中正确的结论的个数有()A1个B2个C3个D4个10如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一个动点，PEBC于点E，PFCD于点F，连接EF，有下列5个结论：APEF；APEF；APD一定是等腰三角形；PFEBAP；EF的最小值等于其中正确结论的个数是（ ）A2个B3个C4个D5个11如图，正方形ABCD的边长是2，DAC的平分线交CD于点E，若点P，Q分别是A

4、D和AE上的动点，则的最小值为（）ABCD212如图，E，F是正方形ABCD的边BC上两个动点，BECF连接AE，BD交于点G，连接CG，DF交于点M若正方形的边长为1，则线段BM的最小值是（）ABCD二、填空题【知识点一】菱形将军饮马问题13如图，菱形ABCD中，对角线，M，N分别是BC，CD上的动点，P是线段BD上的一个动点，则的最小值是_14已知菱形中，点、分别为、上的动点，则的最小值是_15如图，在菱形中，点，在上，且，连接，则的最小值为_16 如图，菱形的对角线，点E为对角线上的一动点，则的最小值为_【知识点二】矩形将军饮马问题17如图，矩形ABCD中，AB2，AD3，点E、F分别为

5、AD、DC边上的点，且EF2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PAPG的最小值为_18如图，在矩形中，点是上一点，是上一动点，、分别是，的中点，则的最小值为_19如图，在长方形中，已知，点是边上一动点（点不与重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为_20动手操作：在长方形纸片ABCD中，AB6，AD10，如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A处，折痕为PQ，当点A在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动，若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则ACQ面积的最大值为 _【知识点三】正方形将军饮马问题21如图，正方形ABCD的边长是5，E是边BC上一点且BE2，F为边

6、AB上的一个动点，连接EF，以EF为边向右作等边三角形EFG，连接CG，则CG长的最小值为_22如图，在正方形中，点，分别是，的中点，点是边上一个动点，连接，将四边形沿折叠，得到四边形（1）若，三点在同一条直线上，则的大小为_；（2）若，则，两点的连线段的最小值为_23如图，正方形ABCD的边长为cm，动点E、F分别从点A、C同时出发，都以0.5cm/s的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为_cm24如图，点P是边长为1的正方形ABCD的对角线AC上的一个动点，点E是BC中点，连接PE，并将PE绕

7、点P逆时针旋转120得到PF，连接EF，则EF的最小值是_三、解答题25提出问题如图，是直线同侧的两个点，如何在上找到一个点，使得这个点到点，的距离的和最短？分析问题如图，若，两点在直线的异侧，则连接，与直线交于一点，根据“两点之间线段最短”，可知该点即为点，因此，要解决上面提出的问题，只需要将点或点移到直线的另一侧的点处，且保证（或）即可；解决问题：在图中确定点的位置要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；如图，在菱形中，是边的中点，是对角线上的一个动点，求的最小值26如图，先将ABC绕点C顺时针旋转90得到DEC，再将线段DE绕点D顺时针旋转90得到DG，连接BE、BG、AD，且AC4(1)

8、若ABC135求证：B、E、D三点共线；求BG的长；(2)若ABC90，AC2CE，点P在边AB上，求线段PD的最小值27小红在学习了图形的旋转后，用它来探究直角在正方形中的旋转问题如图1，有和一个边长为a的正方形ABCD，点O是正方形的中心(1)如图2，当顶点P是正方形边上任意一点时，的两边分别与正方形的边BC，AD交于E，F两点，连接EF若绕P点旋转，在旋转过程中EF长的最小值为_(2)如图3，当点P与正方形的中心O重合时，的两边分别与正方形的边BC和AB交于E，F两点，连接EF若绕O点旋转，在旋转过程中求EF长的最小值；四边形EOFB的面积是否会发生变化，请说明理由28如图，四边形ABC

9、D是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接BN、AM、CM（1）求证：AMBENB；（2）若正方形的边长为，正方形内是否存在一点P，使得PAPBPC的值最小？若存在，求出它的最小值；若不存在，说明理由参考答案1C【分析】连接DE交AC于点P，连结BP，根据菱形的性质推出AO是BD的垂直平分线，推出PE+PB=PE+PD=DE且值最小，根据勾股定理求出DE的长即可解： 四边形ABCD是菱形，ACBD，AOAC，BOBD2，AB4，连接DE交AC于点P，连结BP，作EMBD于点M，四边形ABCD是菱形，ACBD，且DOBO，即AO是BD的垂直

10、平分线，PDPB，PE+PBPE+PDDE且值最小，E是AB的中点，EMBD，BE=2，DMBD-BMBO3，DE，故选C【点拨】此题考查了轴对称-最短路线问题，菱形的性质，勾股定理等等，关键是根据题意确定P点位置从而确定PE+PB的最小值的情形2B【分析】作点C关于AB的对称点C，连接AC，BC，取AN=AN，连接PN，得四边形ACBC是菱形，则PN=PN，故而PM+PN=PM+PN，当M、P、N共线，PM+PN最小，从而解决问题解：作点C关于AB的对称点C，连接AC，BC，取AN=AN，连接PN，则CA=CA=CB=BC，四边形ACBC是菱形，PN=PN，PM+PN=PM+PN，当M、P、

11、N共线，且MNAC时，PM+PN最小，过点C作CHBC于H，ACB=120，CBH=60，CH=BC=2，PM+PN的最小值为2，故选：B【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质，轴对称-最短路线问题，菱形的判定与性质，含30角的直角三角形的性质等知识，作辅助线将PM+PN的最小值转化为CM的长是解题的关键3D【分析】连接BD，根据四边形ABCD为菱形， 可得AB=AD=BC=CD，由，可得ABD为等边三角形，可证BD=AB=BC=DC，BCD为等边三角形，可得BDF=A=60，由，DF+CF=2a，可得AE=DF，可证ABEDBF（SAS），可证EBF为等边三角形，可得BE最短时，EBF面积最

12、小，当点E为AD中点时，BE最短，在RtABE中，根据勾股定理BE=，根据等边三角形面积公式球即可解：连接BD，四边形ABCD为菱形， AB=AD=BC=CD，ABD为等边三角形，BD=AB=BC=DC，BCD为等边三角形，BDF=A=60，DF+CF=2a，AE=DF，在ABE和DBF中，ABEDBF（SAS），EB=FB，ABE=DBF，ABE+EBD=ABD=60，DBF+EBD=ABE+EBD=60，EBF为等边三角形，BE最短时，EBF面积最小，当点E为AD中点时，BE最短，ABD为等边三角形，点E为AD中点，BEAD，AE=，在RtABE中，根据勾股定理BE=，SEBF最小=故选择

13、D【点拨】本题考查菱形的性质，等边三角形判定与性质，三角形全等判定与性质，掌握菱形的性质，等边三角形判定与性质，三角形全等判定与性质是解题关键4D【分析】先找出点E关于AC的对称点E，过点E作EFBC于F，交AC于P，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知EF为PEPF的最小值的最小值，过点C作CGAD于G，再根据平行线间的距离相等即可得解解：如图，点E关于AC的对称点E，过点E作EFBC于F，交AC于P，则PEPFEF为最小值的情况，过点C作CGAD于G，CG42，ADBC，EFCG2，故选：D【点拨】本题考查了轴对称确定最短路线问题，菱形的性质，作出图形，确定出最短路线为菱形的对边的

14、距离是解题的关键5B【分析】过点G作GHAB于H，过点G作MNAB，由“AAS”可证GEHEFA，可得GHAE1，可得点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，则当F与D重合时，CG有最小值，即可求解解：如图，过点G作GHAB于H，过点G作MNAB，四边形ABCD是矩形，AB，BC3，B90，CD，AD3，AE1，BE，GHEAGEF90，GEHEGH90，GEHFEA90，EGHFEA，又GEEF，GEHEFA（AAS），GHAE1，点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，当F与D重合时，CG有最小值，此时AFEH3，CG的最小值，故选B【点拨】本题考查了矩形的性质，全等三角形

15、的判定和性质，勾股定理，确定点G的运动轨迹是本题的关键6B【分析】根据动点最值问题求解步骤，分析所求线段端点（定、动）；动点轨迹为直线；模型方法（类比将军饮马模型，作定点关于动点轨迹的对称点）；确定最值对应的定线段；求定线段长，按步骤进行即可求解解：如图所示，作点关于直线的对称点，连接，过作，即当三点共线，时，的最小值为，在中，连接，如上图所示，则，在矩形ABCD中，则，故选：B【点拨】本题考查动点最值问题，熟练掌握动点最值问题的求解步骤，根据题意按步骤逐步分析是解决问题的关键7A【分析】由矩形的性质与线段的等量关系证明，则，如图，作关于的对称点，连接交于，此时最小，即四边形周长最小，作于，则

16、四边形是矩形，则，在中，由勾股定理得求出的值，进而可求最小的周长解：四边形是矩形，在和中，同理，如图，作关于的对称点，连接交于，此时最小，即四边形周长最小，作于，四边形是矩形，在中，由勾股定理得，四边形的周长，故选A【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，轴对称等知识解题的关键在于找出四边形周长最小时点、的位置关系8C【分析】首先由，得出动点在与平行且与的距离是2的直线上，作关于直线的对称点，连接，连接，则的长就是所求的最短距离然后在直角三角形中，由勾股定理求得的值，即的最小值解：设中边上的高是，动点在与平行且与的距离是2的直线上，如图，作关于直线的对称点，连接，连接，则的

17、长就是所求的最短距离在中，即的最小值为故选：C【点拨】本题考查了轴对称最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质得出动点所在的位置是解题的关键9C【分析】连接BE交FG于H，延长DE交AB于I，交FG于J根据正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质确定BE=DE，根据正方形的性质，矩形的判定定理和性质，等量代换思想即可判断符合题意；根据矩形的性质，等边对等角，全等三角形的性质和等价代换思想即可判断符合题意；根据直角三角形两个锐角互余，等量代换思想和三角形内角和定理即可判断符合题意；根据垂线段最短确定当DEAC时，FG取得最小值为DE，根据正方形的性质和三角形面积公

18、式即可判断不符合题意解：如下图所示，连接BE交FG于H，延长DE交AB于I，交FG于J四边形ABCD是正方形，AB=AD，BAE=DAE，FBG=90AE是ABE和ADE的公共边，BE=DEEFAB，EGBC，四边形FBGE是矩形BE=FGDE=FG故符合题意矩形FBGE的对角线相交于点H，HF=HBABE=BFG，ABE=ADEBFG=ADE故符合题意四边形ABCD是正方形，DAI=90AID+ADE=90AID+BFG=90FJI=180-（AID+BFG）=90DEFG故符合题意DE=FG，当DE取得最小值时，FG取得最小值点E是对角线AC上与A，C不重合的一个动点，当DEAC时，DE取

19、得最小值，即FG取得最小值为DE正方形ABCD中，AB=4，AD=CD=AB=4，ADC=90，FG的最小值为故不符合题意故，共3个符合题意故选：C【点拨】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质，矩形的判定定理和性质，等边对等角，直角三角形两个锐角互余，三角形内角和定理，垂线段最短，综合应用这些知识点是解题关键10C【分析】延长FP交AB于点N，延长AP交EF于点M，只需要证明ANPFPE得到AP=EF，PFE=BAP即可判断；根据三角形的内角和定理即可判断；根据P的任意性可以判断；根据AP=EF，当AP最小时，EF有最小值，即可判断；解：延长FP交AB于点N，延长AP交EF于点M四

20、边形ABCD是正方形ABP=CBD，ABC=90，AB=BC，又NPAB，PEBC，PNB=NBE=PEB=90，PN=PE，四边形BNPE是正方形，ANP=EPF=90，四边形BCFN是矩形，NP=EP=BE，BC=NF，AN=PF，在ANP与FPE中，ANPFPE（SAS），AP=EF，PFE=BAP（故正确）；在APN与FPM中，APN=FPM，NAP=PFM，PMF=ANP=90，APEF，（故正确）；P是BD上任意一点，因而APD是等腰三角形不一定成立，（故错误）；AP=EF，当APBD时，AP有最小值即EF有最小值，AB=AD，APBD，此时P为BD的中点，又BAD=90，即EF的

21、最小值为（故正确）故正确的是：故选：C【点拨】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质，正确证明ANPFPE，以及理解P的任意性是解决本题的关键11A【分析】过D作AE的垂线交AE于F，交AC于D，再过D作APAD，由角平分线的性质可得出D是D关于AE的对称点，进而可知DP即为DQ+PQ的最小值解：作D关于AE的对称点D，再过D作DPAD于P，DDAE，AFD=AFD，AF=AF，DAE=CAE，DAFDAF，D是D关于AE的对称点，AD=AD=2，DP即为DQ+PQ的最小值，四边形ABCD是正方形，DAD=45，AP=PD，在RtAPD中，PD2+

22、AP2=AD2，AD2=4，AP=PD，2PD2=AD2，即2PD2=4，PD=，即DQ+PQ的最小值为，故A正确故选：A【点拨】本题考查了正方形的性质以及角平分线的性质和全等三角形的判定和性质和轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的关键12D【分析】先证明ABEDCF（SAS），由全等三角形的性质得出BAECDF，证明ABGCBG（SAS），由全等三角形的性质得出BAGBCG，取CD的中点O，连接OB、OF，则OFCOCD，由勾股定理求出OB的长，当O、M、B三点共线时，BM的长度最小，则可求出答案解：如图，在正方形ABCD中，ABADCB，EBAFCD，ABGCBG，在ABE

23、和DCF中，ABEDCF（SAS），BAECDF，在ABG和CBG中，ABGCBG（SAS），BAGBCG，CDFBCG，DCM+BCGFCD90，CDF+DCM90，DMC1809090，取CD的中点O，连接OB、OF，则OFCOCD，在RtBOC中，OB，根据三角形的三边关系，OF+BMOB，当O、M、B三点共线时，BM的长度最小，BM的最小值OBOF故选：D【点拨】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键13#4.8【分析】作点M关于直线BD的对称点，连接，P，连接，根据垂线段最短原理，当时，的值最小

24、，根据菱形的性质表示菱形的面积，然后计算求解即可解：如图，作点M关于直线BD的对称点，连接，P，连接，则=，根据垂线段最短原理，当时，的值最小，菱形ABCD中，对角线，对角线的交点为O，OA=3，OB=4，AOOB，由勾股定理得，即，解得，故答案为：【点拨】本题考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称，垂线段最短原理，熟练掌握菱形的性质，轴对称的性质，垂线段最短原理是解题的关键14【分析】作出点M关于AC的对称点，过点作NBC，利用PM=P，根据PM+PN=P+PNN，结合垂线段最短，计算即可解：作出点M关于AC的对称点，过点作NBC，PM=P，PM+PN=P+PNN，根据垂线段最短，此时N最小，恰

25、好是菱形的高，过点A作AQBC，垂足为Q，菱形中，ADBC，=，N =，的最小值为，故答案为：【点拨】本题考查了菱形的性质，轴对称性质，等边三角形的性质，垂线段最短，熟练掌握垂线段最短是解题的关键15【分析】连接BD交AC于点O，根据菱形的性质和勾股定理可得DO=3，当点O为MN的中点时，BM+DN的值最小，再证明得DN=BM，由勾股定理求出DN的长即可解：连接BD交AC于点O，如图，四边形ABCD是菱形，AC=8 又 在RtAOB中， DO=5当点O为MN的中点时，BM+DN的值最小，MN=1 在RtDON中， 在RtDON和RtBOM中， DN=BM 的最小值为故答案为【点拨】本题主要考查

26、了菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，灵活运用菱形的性质和勾股定理求出BN=是解答本题的关键163【分析】过点作的垂线，垂足为，过点作，根据已知条件求得的长，根据含30度角的直角三角形的性质，可得，当时，最小，股定理求得的长即可求解解：如图，过点作的垂线，垂足为，过点作， 中，如图，当时，最小，最小值为的最小值为故答案为：【点拨】本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，轴对称求线段和的最小值，垂线段最短，转化线段是解题的关键174【分析】因为EF=2，点G为EF的中点，根据直角三角形斜边上中线的性质得出DG=1，所以G是以D为圆心，以1为半径的圆弧上的点，作A关于BC的对

27、称点，连接，交BC于P，交以D为圆心，以1为半径的圆于G，此时PA+PG的值最小，最小值为的长；根据勾股定理求得，即可求得，从而得出PA+PG的最小值解：EF=2，点G为EF的中点， DG=1， G是以D为圆心，以1为半径的圆弧上的点， 作A关于BC的对称点，连接，交BC于P，交以D为圆心，以1为半径的圆于G， 此时PA+PG的值最小，最小值为的长； AB=2，AD=3， ， ， ， PA+PG的最小值为4， 故答案为：4【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，判断出G点的轨迹是解题的关键凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点1

28、8【分析】根据题意可知，本题考查的是“两定一动”问题，求线段和最小，即“将军饮马”问题，以此进行解题即可解：如图所示，作EHBC，交BC于H，作AB，CD的中点M、N，连接MN，作Q点关于MN的对称点，P为EF的中点，P点的运动轨迹在线段MN上，最小时，F与点重合，EHBC，BH=AE=3，DC=EH=2，Q为AE的中点，QE=，在中，即最小值为：故答案为：【点拨】本题主要考查的是“将军饮马”问题，从几何问题中提取对应模型，并进行解题是本题的关键194【分析】根据对称性得到ABAM6，在中根据三角形三边关系可得，所以当A，M，C三点共线时，CM最短，求解即可解：连接AM，AC，如图所示：点B和

29、M关于AP对称，ABAM6，在中根据三角形三边关系可得：，当A，M，C三点共线时，CM最短，在矩形ABCD中，AC，CMAC-AM=1064，故答案为：4【点拨】本题考查动点最值问题，解题过程涉及到对称性质、三角形三边关系、矩形性质、勾股定理等知识点，解决问题的关键是根据三角形的三边关系确定CM的取值范围2024【分析】根据翻折的性质，可得BA与AP的关系，因为Q在AD上，所以ACQ的高是6，因此ACQ面积取最大值时，最大，根据折叠情况分析即可得到解： 长方形纸片ABCD中，AB6，AD10 当Q与D重合时，如图，由折叠得： 由勾股定理，得，当与B重合时，如图， 由折叠得：，CA的最大值是是8

30、，当CA取最大值8时，ACQ面积最大，ACQ面积的最大值= 故答案为24【点拨】本题考查了翻折变换，利用了翻折的性质，勾股定理，分类讨论是解题关键21【分析】由题意分析可知，点F为主动点，运动轨迹是线段AB，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G的运动轨迹，也是一条线段，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段AB上运动，点G的轨迹也是一条线段，将EFB绕点E旋转60，使EF与EG重合，得到EFBEGH，从而可知EBH为等边三角形，四边形ABCD是正方形，FBE=90，GHE=FBE=90，点G在垂直于HE的直线HN上

31、，延长HG交DC于点N，过点C作CMHN于M，则CM即为CG的最小值，过点E作EPCM于P，可知四边形HEPM为矩形，PEC=30，EPC=90，则CM=MP+CP=HE+EC=2+=，故答案为：【点拨】本题考查了线段最值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G的运动轨迹，是本题的关键，之后运用垂线段最短，构造图形计算，是最值问题中比较典型的类型22 67.5 【分析】（1）易得，利用翻折的性质得到；（2）连接，易证，得到，当，在同一条直线上时，FQ最小，计算可得解：（1）如图1，易得，故答案为：67.5；（2）如图2，连接，易证，当，在同一条直线上时，最小，最小值为，故答案

32、为：【点拨】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，正确掌握翻折的性质是解题的关键23【分析】连接BD，交EF于点O取OB中点M，连接 MA，MG，则MA，MG为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可解：连接BD，交EF于点O取OB中点M，连接 MA，MG，在正方形ABCD中，AB=CD， ， ，在中， 在中， 连接AC，则于点O，在中， AGAM-MG=，当A，M，G三点共线时，AG最小=cm，故答案为：【点拨】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，连接OB，取OB中点M，连接 MA，MG，则MA，MG为定长，利用两点之间线段最短解决问题是解

33、决本题的关键24#【分析】当EPAC时，EF有最小值，过点P作PMEF于点M，由直角三角形的性质求出PE的长，由旋转的性质得出PE=PF，EPF=120，求出PM的长，则可得出答案解：如图，当EPAC时，EF有最小值，过点P作PMEF于点M，四边形ABCD是正方形，ACB=45，E为BC的中点，BC=1，CE=，PE=CE=，将PE绕点P逆时针旋转120得到PF，PE=PF，EPF=120，PEF=30，PM=PE=由勾股定理得EM=，EF=2EM=，EF的最小值是故答案为：【点拨】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，直角三角形的性质，垂线段的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键25（1）见分

34、析（2）【分析】（1）作点A关于l的对称点A，连接AB交l于C；（2）根据菱形的对称性可知点B、D关于AC对称，则PBPE的最小值即为DE的长，再利用勾股定理求出DE的长即可解：（1）如图所示：点C即为所求；（2）连接DE，交AC于点P，作DHBC，交BC延长线于H，四边形ABCD是菱形，点B、D关于AC对称，ABCDBC=4，ABCD，PB=PDPBPE的最小值PD+PE即为DE的长，DCHB60，CHCD2，DHCH2，点E为BC的中点，CE2，EH4，在RtDEH中，由勾股定理得，DE，PEPB的最小值为【点拨】本题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，轴对称最短路线问题，含30角的直角

35、三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键26(1)见分析；BG4(2)22【分析】（1）由旋转的性质可得ACD90BCE，ABDE，BCCE，ACCD，ABCDEC135，由等腰三角形的性质可得BEC45CBE，可证BEC+CED180，可得结论；通过证明四边形ABDG是矩形，可得ADBG，由等腰直角三角形的性质可求解；（2）由垂线段最短可得当PDAB时，PD的长度有最小值，先证点P，点E，点D三点共线，由勾股定理可求DE的长，由正方形的性质可得BCPE2，即可求解(1)证明：如图，连接AG，将ABC绕点C顺时针旋转90得到DEC，ABCDEC，ACD90BCE，ABDE，

36、BCCE，ACCD，ABCDEC135，BEC45CBE，BEC+CED180，B、E、D三点共线将线段DE绕点D顺时针旋转90得到DG，DEDG，EDG90，ABDEDG，ABEABCCBE90，ABE+EDG180，ABDG，四边形ABDG是平行四边形，又BDG90，四边形ABDG是矩形，ADBG，ACCD4，ACD90，ADAD4，BG4(2)如图，点P在边AB上，当PDAB时，PD的长度有最小值，由旋转的性质可得：ABCCEDBCE90，BCDE，ABC+BPD180，DPBC，点P，点E，点D三点共线，AC2CE，BCCE2，又ABCBPEBCE90，四边形BPEC是正方形，BCPE

37、2，CDAC4，CE2，CED90，DE2，DP22，线段PD的最小值为22【点拨】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键27(1)a；(2)；不会变化，见分析【分析】（1）过点E作EHAB于H，则当EF=EH时，EF的长最小，根据正方形的性质的A=B=AHE=90，证得四边形AHEB是矩形，即可求出EH=AB=a，由此得到答案；（2）连接AC、BD，证明OBFOCE（ASA），得到OF=OE，由勾股定理得到，当OEBC时，OE与OF最小，即EF最小，此时OE=OF=BC=a，由此求出E

38、F；四边形EOFB的面积不会变化，根据OBFOCE（AAS），得到，由此得到四边形EOFB的面积=(1)解：过点E作EHAB于H，则当EF=EH时，EF的长最小，四边形ABCD是正方形，A=B=AHE=90，四边形AHEB是矩形，EH=AB=a，故答案为：a；(2)如图，连接AC、BD交于点O，EOF=BOC=90，BOF=COE，OB=OC，OBF=OCE=45，OBFOCE（ASA），OF=OE，EOF=90，当OEBC时，OE与OF最小，即EF最小，此时OE=OF=BC=a，；四边形EOFB的面积不会变化，理由如下：OBFOCE（AAS），四边形EOFB的面积=，四边形EOFB的面积不会

39、变化【点拨】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，矩形的判定及性质，正确掌握正方形的性质是解题的关键28（1）见分析；（2）存在，【分析】（1）由四边形ABCD为正方形，ABE为等边三角形，可得BEBA，BABC，ABE60，再由MBN60，可推出MBANBE，由此即可证明；（2）将BPC顺时针旋转60度得到，过点F作FMAB交AB延长线于M，可以推出当AP，PE，EF在一条直线上，即如下图：可得最小PA+PB+PCAF，由此求解即可解：（1）由旋转的性质可得BN=BM，如图1，四边形ABCD为正方形，ABE为等边三角形，BEBA，BABC，ABE60；MBN60，MBNABE，MB

40、ANBE；在AMB与ENB中，AMBENB（SAS）；（2）将BPC顺时针旋转60度得到，过点F作FMAB交AB延长线于M，PC=EF，PBC=EBF，BC=BF为等边三角形，即得PA+PB+PCAP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，即如下图：可得最小PA+PB+PCAF四边形ABCD是正方形，ABC=90，AB=BC=BF，ABF=ABC+CBF=150BAF=AFB15，MBF=BAF+AFB=30，【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，正方形的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解