专题1.25 全等三角形几何模型（手拉手）（分层练习）（培优练）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）.docx

1、专题1.25 全等三角形几何模型（手拉手）（分层练习）（培优练）手拉手模型是最常见的一类证明全等或相似的重要数学模型，全等型手拉手模型主要有以下三个特征：双等腰、共顶点、顶角相等.模型一：等边三角形ABC 和 CDE 均为等边三角形，点 C 为公共顶点，如图一：结论：ACE BCD . 图一 图二模型二：等腰三角形等腰 ABC 和等腰 CDE，点 C 是公共顶点，ACB = DCE = a , 如图二：结论：ACD BCE .除了以上二个模型外，还有正方形等等一、单选题1如图，在OAB和OCD中，OAOB，OCOD，OAOC，AOBCOD40，连接AC，BD交于点M，连接OM下列结论：ACBD

2、；AMB40；OM平分BOC；MO平分BMC其中正确的个数为（）A B C D2如图，点C是线段AE上一动点（不与A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，有以下5个结论：AD=BE；PQAE；AP=BQ；DE=DP；AOB=60其中一定成立的结论有（）个A1 B2 C3 D43如图，正和正中，B、C、D共线，且，连接和相交于点F，以下结论中正确的有（）个连接，则平分A4 B3 C2 D1二、填空题4在锐角三角形ABC中，AH是边BC的高，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接

3、CE，BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：BG=CE；BGCE；AM是AEG的中线；EAM=ABC其中正确的是 5如图，CA=CB，CD=CE，ACB=DCE=50，AD、BE交于点H，连接CH，则CHE= 6在ABC中，点D是直线BC上一动点， 连接AD，在直线的右侧作等边，连接CE，当线段CE的长度最小时，线段的长度为 三、解答题7已知：ABC与BDE都是等腰三角形BABC，BDBE（ABBD）且有ABCDBE（1）如图1，如果A、B、D在一直线上，且ABC60，求证：BMN是等边三角形；（2）在第（1）问的情况下，直线AE和CD的夹角是 ；（3）如图2，若A、B、D不在一直

4、线上，但ABC60的条件不变则直线AE和CD的夹角是 ；（4）如图3，若ACB60，直线AE和CD的夹角是 8两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形如图1，在“手拉手”图形中，ABAC，ADAE，BACDAE，连接BD，CE，则ABDACE(1)请证明图1的结论成立；(2)如图2，ABC和AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，求BOC的度数；(3)如图3，ABBC，ABCBDC60，试探究A与C的数量关系9在中，为延长线上一点，点为线段，的垂直平分线的交点，连接，(1)如图1，当时，则_；

5、(2)当时，如图2，连接，判断的形状，并证明；如图3，直线与交于点，满足为直线上一动点当的值最大时，用等式表示，与之间的数量关系为_，并证明10已知，在中，点为直线上一动点（点不与点重合），以为边作正方形，连接（1）如图，当点在线段上时，求证（2）如图，当点在线段的延长线上时，其他条件不变，请直接写出三条线段之间的关系（3）如图，当点在线段的反向延长线上，且点，分别在直线的两侧时，其他条件不变，请直接写出三条线段之间的关系11已知中，（1）如图1，在中，若，且，求证：；（2）如图2，在中，若，且垂直平分，求的长；（3）如图3，在中，当垂直平分于，且时，试探究，之间的数量关系，并证明12（1）如

6、图1，和都是等边三角形，且，三点在一条直线上，连接，相交于点，求证：（2）如图2，在中，若，分别以，和为边在外部作等边，等边，等边，连接、恰交于点求证：； 如图2，在（2）的条件下，试猜想，与存在怎样的数量关系，并说明理由13如图1，是以为直角的直角三角形，分别以，为边向外作正方形，连结，与交于点，与交于点（1）求证：；（2）如图2，在图1基础上连接和，若，求四边形的面积14如图，B，C，E三点在一条直线上，ABC和DCE均为等边三角形，BD与AC交于点M，AE与CD交于点N（1）求证：AEBD；（2）连接MN，求证：MNBE；（3）若把DCE绕点C顺时针旋转一个角度，（1）中的结论还成立吗？

7、说明理由15如图，两个正方形ABCD与DEFG，连结AG，CE，二者相交于点H（1）证明：ADGCDE；（2）请说明AG和CE的位置和数量关系，并给予证明；（3）连结AE和CG，请问ADE的面积和CDG的面积有怎样的数量关系？并说明理由16（1）如图，和都是等边三角形，且点，在一条直线上，连结和，直线，相交于点则线段与的数量关系为_与相交构成的锐角的度数为_（2）如图，点，不在同一条直线上，其它条件不变，上述的结论是否还成立（3） 应用：如图，点，不在同一条直线上，其它条件依然不变，此时恰好有设直线交于点，请把图形补全若，则_17如图，ABD和BCE都是等边三角形，ABC105，AE与DC交于

8、点F（1）求证：AEDC；（2）求BFE的度数；（3）若AF9.17cm，BF1.53cm，CF7.53cm，求CD18在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：模型是由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”这个数学兴趣小组进行了如下操作：（1）如图1在ABC和ADE中，AB=AC，AD=AE，BAC=DAE=40（ABAD），连接BD，CE，当点E落在AB边上，且D，E，C三点共线时，则在这个“手拉手模型”中，和ABD全等的三角形是，BDC的度数为（2）如

9、图2在ABC和ADE中，AB=AC，AD=AE，BAC=DAE=90，连接BD，CE，当点B，D，E在同一条直线上时，请判断线段BD和CE的关系，并说明理由（3）如图3，已知ABC，请画出图形：以AB，AC为边分别向ABC外作等边三角形ABD和等边三角形ACE（等边三角形三条边相等，三个角都等于60），连接BE，CD，交于点P，请直接写出线段BE和CD的数量关系及BPD的度数19如图，在四边形中，点从点出发，以的速度沿向点匀速运动设运动时间为（1）如图，连接，当时，求的值；（2）如图，当点开始运动时，点同时从点出发，以的速度沿向点匀速运动，当两点中有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动当与

10、全等时，求和的值；（3）如图，当（2）中的点开始运动时，点同时从点出发，以的速度沿向点运动，连接，交于点连接当时，请求出此时的值20已知：等腰和等腰中，（1）如图1，延长交于点，若，则的度数为 ；（2）如图2，连接、，延长交于点，若，求证：点为中点；（3）如图3，连接、，点是的中点，连接，交于点，直接写出的面积21在ABC中，ABAC，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作ADE，使ADAE，DAEBAC，连接CE（1）（请直接写出你的结论）如图1，当点D在线段BC上：如果BAC90，则BCE ；如果BAC100，则BCE ；（2）设BAC，BCE如图2，当点D在线

11、段BC上移动，则、之间有怎样的数量关系？请说明理由；当点D在直线BC上移动，则、之间有怎样的数量关系？请画出图形，并直接写出你的结论22如图1，在ABC中，AEBC于E，AEBE，D是AE上一点，且DECE，连接BD，CD（1）判断与的位置关系和数量关系，并证明；（2）如图2，若将DCE绕点E旋转一定的角度后，BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化？并证明；（3）如图3，将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变，求BD与AC夹角的度数参考答案：1D【分析】由证明得出，正确；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出，正确；作于，于，如图所示：则，由证明，得出，由角

12、平分线的判定方法得出平分，正确；由，得出当时，才平分，假设，由得出，由平分得出，推出，得，而，所以，而，故错误；即可得出结论解：，即，在和中，正确；，由三角形的外角性质得：，正确；作于，于，如图2所示：则，在和中，平分，正确；，当时，才平分，假设，平分，在和中，与矛盾，错误；综上所述，正确的是；故选：D【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，角平分线的判定等知识，熟悉相关性质是解题的关键2D【分析】由于ABC和CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，ACB=DCE=60，从而证出ACDBCE，可推知AD=BE；由ACDBCE得CBE=DAC，加之ACB=DCE=60

13、，AC=BC，得到ACPBCQ（ASA），所以AP=BQ；故正确；根据CQBCPA（ASA），再根据PCQ=60推出PCQ为等边三角形，又由PQC=DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知正确；根据DQE=ECQ+CEQ=60+CEQ，CDE=60，可知DQECDE，可知错误；利用等边三角形的性质，BCDE，再根据平行线的性质得到CBE=DEO，于是AOB=DAC+BEC=BEC+DEO=DEC=60，可知正确解：等边ABC和等边DCE，BC=AC,DE=DC=CE，DEC=BCA=DCE=60，ACD=BCE，在ACD和BCE中，AC=BC，ACD=BCE，DC=CE，ACDBCE(SAS)

14、，AD=BE；故正确；ACDBCE(已证)，CAD=CBE，ACB=ECD=60(已证)，BCQ=180-602=60，ACB=BCQ=60，在ACP与BCQ中，CAD=CBE，AC=BC，ACB=BCQ=60，ACPBCQ(ASA)，AP=BQ；故正确；ACPBCQ，PC=QC，PCQ是等边三角形，CPQ=60，ACB=CPQ，PQAE；故正确；AD=BE，AP=BQ，ADAP=BEBQ，即DP=QE，DQE=ECQ+CEQ=60+CEQ，CDE=60，DQECDE，DEQE，则DPDE，故错误；ACB=DCE=60，BCD=60，等边DCE，EDC=60=BCD，BCDE，CBE=DEO，

15、AOB=DAC+BEC=BEC+DEO=DEC=60.故正确；综上所述，正确的结论有：，错误的结论只有，故选D【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，以及等边三角形的判定和性质，此图形是典型的“手拉手”模型，熟练掌握此模型的特点是解题的关键3A【分析】根据“手拉手”模型证明，从而得到，再结合三角形的外角性质即可求解，即可证明；作于点，于点，证明，结合角平分线的判定定理即可证明；利用面积法表示和的面积，然后利用比值即可证明；利用“截长补短”的思想，在上取点，使得，首先判断出为等边三角形，再结合“手拉手”模型推出即可证明解：和均为等边三角形，在和中，故正确；如图所示，作于点，于点，则，在和中，平分

16、，故正确；如图所示，作于点，整理得：，故正确；如图所示，在上取点，使得，平分，为等边三角形，在和中，故正确；综上，均正确；故选：A【点拨】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解等边三角形的基本性质，掌握全等三角形中的辅助线的基本模型，包括“手拉手”模型，截长补短的思想等是解题关键4【分析】根据正方形的性质和SAS可证明ABGAEC，然后根据全等三角形的性质即可判断；设BG、CE相交于点N，AC、BG相交于点K，如图1，根据全等三角形对应角相等可得ACEAGB，然后根据三角形的内角和定理可得CNGCAG90，于是可判断；过点E作EPHA的延长线于P，过点G作GQAM于Q，

17、如图2，根据余角的性质即可判断；利用AAS即可证明ABHEAP，可得EPAH，同理可证GQAH，从而得到EPGQ，再利用AAS可证明EPMGQM，可得EMGM，从而可判断，于是可得答案解：在正方形ABDE和ACFG中，ABAE，ACAG，BAECAG90，BAE+BACCAG+BAC，即CAEBAG，ABGAEC（SAS），BGCE，故正确；设BG、CE相交于点N，AC、BG相交于点K，如图1，ABGAEC，ACEAGB，AKGNKC，CNGCAG90，BGCE，故正确；过点E作EPHA的延长线于P，过点G作GQAM于Q，如图2，AHBC，ABH+BAH90，BAE90，EAP+BAH90，A

18、BHEAP，即EAMABC，故正确；AHB=P=90，AB=AE，ABHEAP（AAS），EPAH，同理可得GQAH，EPGQ，在EPM和GQM中，EPMGQM（AAS），EMGM，AM是AEG的中线，故正确综上所述，结论都正确故答案为：【点拨】本题考查了正方形的性质、三角形的内角和定理以及全等三角形的判定和性质，作辅助线构造出全等三角形是难点，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键565【分析】先判断出，再判断出即可得到平分，即可得出结论解：如图，在和中，；过点作于，于，在和中，在与中，平分；，故答案为：【点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的定义此题难度适中，注意掌握辅助线的作

19、法，注意掌握数形结合思想的应用6【分析】在的左侧作等边三角形，连接、，再证明 可得 再利用时，最短，从而可得答案.解： 在的左侧作等边三角形，连接、，则 则，故点、关于对称，则，均为等边三角形， ，当时，最小，由 故，故的长度为，故答案为：【点拨】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，含的直角三角形的性质，灵活运用以上知识解题是解题的关键.7（1）证明见分析；（2）60；（3）60；（4）60；【分析】（1）根据题意，得ABCDBE60，从而得；通过证明，得；通过证明，得，根据等边三角形的性质分析，即可完成证明；（2）结合题意，通过证明为等边三角形，得；结合（1）的

20、结论，根据三角形外角性质，推导得，从而完成求解；（3）同理，通过证明为等边三角形，得；通过证明，得；根据三角形外角性质，推导得，从而完成求解；（4）根据题意，通过证明为等边三角形，推导得，通过证明，得，结合三角形外角的性质计算，即可得到答案解：（1）ABCDBE60，BABC，BDBE和中 和中为等边三角形；（2）ABCDBE60, BABC为等边三角形； 根据题意，AE和CD相交于点O ，即直线AE和CD的夹角是故答案为：；（3）ABCDBE60, BABC为等边三角形； ，ABCDBE60BABC，BDBE和中 如图，延长，交CD于点O，即直线AE和CD的夹角是故答案为：；（4）BABC，

21、 ACB60为等边三角形BDBE，ABCDBE ， 和中 分别延长CD、AE，相较于点O，如下图：，即直线AE和CD的夹角是故答案为：【点拨】本题考查了等腰三角形、等边三角形、全等三角形、补角、三角形外角的知识；解题的关键是熟练掌握等边三角形、全等三角形、三角形外角的性质，从而完成求解8(1)见分析；(2)60；(3)A+BCD=180，理由见分析【分析】（1）利用等式的性质得出BAD=CAE，即可得出结论；（2）同（1）的方法判断出ABDACE，得出ADB=AEC，再利用对顶角和三角形的内角和定理判断出BOC=60，即可得出答案；（3）先判断出BDP是等边三角形，得出BD=BP，DBP=60

22、，进而判断出ABDCBP（SAS），即可得出结论（1）解：证明：BAC=DAE，BAC+CAD=DAE+CAD，BAD=CAE，在ABD和ACE中，ABDACE（SAS）；（2）如图2，ABC和ADE是等边三角形，AB=AC，AD=AE，BAC=DAE=60，BAD=CAE，在ABD和ACE中，ABDACE（SAS），ADB=AEC，令AD与CE交于点G，AGE=DGO，180-ADB-DGO=180-AEC-AGE，DOE=DAE=60，BOC=60；（3）A+BCD=180理由：如图3，延长DC至P，使DP=DB，BDC=60，BDP是等边三角形，BD=BP，DBP=60，ABC=60=D

23、BP，ABD=CBP，AB=CB，ABDCBP（SAS），BCP=A，BCD+BCP=180，A+BCD=180【点拨】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形是解本题的关键9(1)100；(2)时等边三角形，证明见分析；证明见分析【分析】（1）利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，四边形内角和定理解决问题即可；（2）时等边三角形，证明，即可；结论：如图，作点关于直线的对称点，连接，当点在的延长线上时，的值最大，此时，利用全等三角形的性质证明，可得结论（1）解：点为线段，的垂直平分线的交点，故答案为：100（2）解：结论

24、：时等边三角形理由：点是线段，的垂直平分线的交点，时等边三角形；结论：理由：如图，作点关于直线的对称点，连接，则，点在的延长线上时，的值最大，此时，时等边三角形，（SAS），故答案为：【点拨】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型10（1）见分析；（2），见分析；（3），见分析.【分析】（1）ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可证明BADCAF，从而证得CF=BD，据此即可证得；（2）同（1）相同，利用SAS即可证得BADCAF，从而证得BD=CF，即

25、可得到CF-CD=BC；（3）同理，证明BADCAF即可得出结论.解：（1）证明：如图1，BAC=90，ABC=45，ACB=ABC=45，AB=AC，四边形ADEF是正方形，AD=AF，DAF=90，BAD=90-DAC，CAF=90-DAC，BAD=CAF，在BAD和CAF中，BADCAF（SAS），BD=CF，BD+CD=BC，CF+CD=BC；（2）解：CF-CD=BC理由如下：如图2，BAD=90+CAD，CAF=90+CAD，BAD=CAF，在BAD和CAF中，BADCAF（SAS），BD=CF，BD=BC+CD，CF-CD=BC（3）CD-CF=BC理由：BAC=90，ABC=4

26、5，ACB=ABC=45，AB=AC，四边形ADEF是正方形，AD=AF，DAF=90，BAD=90-BAF，CAF=90-BAF，BAD=CAF，在BAD和CAF中， BADCAF（SAS），BD=CF，CD-BC=CF，CD-CF=BC.【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形11（1）证明见分析；（2）5；（3）CD2=BD2+4AH2，证明见分析；【分析】（1）求出DAC=BAE，再利用“边

27、角边”证明ACD和ABE全等，再根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）连接BE，先求出ADE是等边三角形，再根据全等三角形对应边相等可得BE=CD，全等三角形对应角相等可得BEA=CDA=30，然后求出BED=90，再利用勾股定理列式进行计算即可得解；（3）过B作BFBD，且BF=AE，连接DF，先求出四边形ABFE是平行四边形，根据平行四边形对边相等可得AB=EF，设AEF=x，AED=y，根据平行四边形的邻角互补与等腰三角形的性质求出CAD，从而得到CAD=FED，然后利用“边角边”证明ACD和EFD全等，根据全等三角形对应边相等可得CD=DF，然后利用勾股定理列式计算即可得解解：（1）

28、如图1，证明：DAE=BAC，DAE+CAE=BAC+CAE，即DAC=BAE在ACD与ABE中，ACDABE（SAS），CD=BE；（2）如图2，连接BE，CD垂直平分AEAD=DE，DAE=60，ADE是等边三角形，CDA=ADE=60=30，ABEACD，BE=CD=4，BEA=CDA=30，BEDE，DE=AD=3，BD=5；（3）如图3，过B作BFBD，且BF=AE，连接DF，则四边形ABFE是平行四边形，AB=EF，设AEF=x，AED=y，则FED=x+y，BAE=180-x，EAD=AED=y，BAC=2ADB=180-2y，CAD=360-BAC-BAE-EAD=360-（1

29、80-2y）-（180-x）-y=x+y，FED=CAD，在ACD和EFD中， ，ACDEFD（SAS），CD=DF，而BD2+BF2=DF2，CD2=BD2+4AH2【点拨】此题参考勾股定理，全等三角形的判定与 性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边三角形的判定与性质，综合性较强，难度较大，作辅助线构造出全等三角形与直角三角形是解题的关键12（1）详见分析；（2）详见分析；，理由详见分析【分析】（1）根据等边三角形的性质得出BC=AC，CE=CD，ACB=DCE=60，进而得出BCE=ACD，判断出（SAS），即可得出结论； （2）同（1）的方法判断出（SAS），（SA

30、S），即可得出结论； 先判断出APB=60，APC=60，在PE上取一点M，使PM=PC，证明是等边三角形， 进而判断出（SAS），即可得出结论解：（1）证明：和都是等边三角形， BC=AC，CE=CD，ACB=DCE=60， ABC+ACE=DCE+ACE， 即BCE=ACD， （SAS）， BE=AD； （2）证明：和是等边三角形， AC=BC，CD=CE，ACB=DCE=60， ACB+BCD=DCE+BCD， 即ACD=BCE， （SAS）， AD=BE， 同理：（SAS）， AD=CF， 即AD=BE=CF；解：结论：PB+PC+PD=BE，理由：如图2，AD与BC的交点记作点Q，则

31、AQC=BQP， 由知， CAD=CBE， 在中，CAD+AQC=180-ACB=120， CBE+BQP=120， 在中，APB=180-（CBE+BQP）=60， DPE=60， 同理：APC=60， CPD=120， 在PE上取一点M，使PM=PC， 是等边三角形， ，PCM=CMP=60， CME=120=CPD， 是等边三角形， CD=CE，DCE=60=PCM， PCD=MCE， （SAS）， PD=ME， BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD【点拨】此题是三角形综合题，主要考查了三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键

32、13（1）详见分析；（2）18【分析】（1）根据正方形的性质得出BC=BD，AB=BF，CBD=ABF=90，求出ABD=CBF，根据全等三角形的判定得出即可；（2）根据全等三角形的性质得出BAD=BFC，AD=FC=6，求出ADCF，根据三角形的面积求出即可解：（1）四边形、是正方形，即在和中，；图1图2（2），【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点，能求出ABDFBC是解此题的关键14（1）见分析；（2）见分析；（3）成立，理由见分析【分析】（1）根据等边三角形边长相等的性质和各内角为的性质可求得，根据全等三角形对应边相等的性质即可求得（2）是等边三角

33、形，由可知，根据可证明，得到，又，可知是等边三角形，得到，由，得到，所以（3）根据题意画出图形，证明方法与（1）相同解：（1）证明：如图1中，与都是等边三角形，即在和中，（2）证明：如图1中，连接，在和中，是等边三角形，（3）成立；理由如下：如图2中，、均为等边三角形，即，在和中，【点拨】本题考查了等边三角形的性质的运用及全等三角形的判定和性质的运用解决本题的关键是证明三角形全等，属于中考常考题型15(1)答案见分析；(2) AG=CE，AGCE；(3) ADE的面积=CDG的面积【分析】（1）利用SAS证明ADGCDE；（2）利用ADGCDE得到AG=CE，DAG=DCE，利用DAG+AMD

34、=90得到DCE+CMG=90，即可推出AGCE；（3）ADE的面积=CDG的面积，作GPCD于P，ENAD交AD的延长线于N，证明 DPGDNE，得到PG=EN，再利用三角形的面积公式分别表示出ADE的面积，CDG的面积，即可得到结论ADE的面积=CDG的面积.解：（1）四边形ABCD与DEFG都是正方形，AD=CD，DG=DE，ADC=EDG=90，ADC+CDG=EDG+CDG，ADG=CDE，ADGCDE（SAS），（2）AG=CE，AGCE，ADGCDE，AG=CE，DAG=DCE，DAG+AMD=90，AMD=CMG，DCE+CMG=90，CHA=90，AGCE；（3）ADE的面积

35、=CDG的面积，作GPCD于P，ENAD交AD的延长线于N，则DPG=DNE=90，GDE=90，EDN+GDN=90，PDG+GDN=90，EDN=PDG，DE=DG，DPGDNE，PG=EN，ADE的面积=，CDG的面积=，ADE的面积=CDG的面积.【点拨】此题考查正方形的性质，三角形全等的判定及性质，利用三角形面积公式求解，根据图形得到三角形全等的条件是解题的关键.16（1）相等，；（2）成立，证明见分析；（3）见分析，4.【分析】（1）证明BCDACE，并运用三角形外角和定理和等边三角形的性质求解即可；（2）是第（1）问的变式，只是位置变化，结论保持不变；（3）根据AEC=30，判定

36、AE是等边三角形CDE的高，运用前面的结论，把条件集中到一个含有30角的直角三角形中求解即可.解：（1）相等；.理由如下：和都是等边三角形，在和中，又，.（2）成立；理由如下：证明：和都是等边三角形，在和中，又，.（3）补全图形（如图）,CDE是等边三角形，DEC=60，AEC=30，AEC=AED，EQDQ，DQP=90，根据（1）知，BDC=AEC=30，PQ=2，DP=4.故答案为：4.【点拨】本题是一道猜想证明题，以两线段之间的大小关系为基础，考查了等边三角形的性质，三角形的全等，直角三角形的性质，证明两个手拉手模型三角形全等是解题的关键.17（1）见分析；（2）60；（3）18.23

37、cm【分析】（1）由等边三角形的性质可知DBAEBC60，BDAB，BCBE从而可证DBCABE即可利用“SAS”可证明DBCABE，得出结论AEDC（2）过点B作BNCD于N，BHAE于H由DBCABE可知BEHBCN，BDFBAF再结合等边三角形的性质可求出FDA+DAF120，进而求出DFA180-12060，即求出DFE180-60120即可利用“AAS”证明BEHBCN，得出结论BHBN，即得出BF平分DFE，即可求出BFE60（3）延长BF至Q，使FQAF，连接AQ根据所作辅助线可知AFQBFE60，即证明AFQ是等边三角形，得出结论AFAQBQ，FAQ60又可证明DAFBAQ利用

38、“SAS”可证明DAFBAQ，即得出DFBQBF+FQBF+AF，最后即可求出CDDF+CFBF+AF+CF1.53+9.17+7.5318.23cm解：（1）证明：ABD和BCE都是等边三角形，DBAEBC60，BDAB，BCBE，DBA+ABCEBC+ABC，即DBCABE，在DBC和ABE中，DBCABE（SAS），AEDC；（2）解：如图，过点B作BNCD于N，BHAE于HDBCABE，BEHBCN，BDFBAF，ABD是等边三角形，BDA+BAD120，FDA+DAF120，DFA180-12060，DFE180-60120，在BEH和BCN中，BEHBCN（AAS），BHBN，BF

39、平分DFE，BFEDFE12060；（3）解：如图，延长BF至Q，使FQAF，连接AQ则AFQBFE60，AFQ是等边三角形，AFAQBQ，FAQ60，ABD是等边三角形，ADAB，DAB60，DAB+BAFBAF+FAQ，即DAFBAQ，在DAF和BAQ中，DAFBAQ（SAS），DFBQBF+FQBF+AF，CDDF+CFBF+AF+CF1.53+9.17+7.5318.23cm【点拨】本题为三角形综合题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及角平分线的判定和性质正确的作出辅助线也是解答本题的关键18（1）ACE，40；（2）BD=CE且BDCE，理由见分析

40、；（3）作图见分析，BE=CD，BPD=60【分析】（1）利用全等三角形的判定定理可以证明，再根据全等三角形的性质及三角形内角和定理求出是解题的突破口；（2）通过BAC=DAE=90及等量代换可得相等关系，再通过证明DABEAC（SAS），通过等量代换推出DBC+ECB=90即可间接证明垂直；（3）利用全等三角形的判定定理可以证明三角形全等得出BE=CD，通过等量代换求解可得BPD=60解：（1）由题意在ABD和ACE中，,，故答案是：ACE，40；（2）BD=CE且BDCE；理由：因为BAC=DAE=90，所以DAC+DAB=DAC+EAC所以DAB=EAC在DAB和EAC中，所以DABEA

41、C（SAS），所以BD=CE，DBA=ECA，因为DBA+EBC+ACB=90，所以ECA+EBC+ACB=90，即DBC+ECB=90，所以BEC=180（DBC+ECB）=90，所以BDCE，（3）BE=CD，BPD=60，理由如下：如图所示，为等边三角形， ，在中，【点拨】本题考查了三角形全等的判定及性质、三角形内角和定理、等边三角形的性质、解题的关键是掌握相关定理的同时，要灵活运用等量代换的思想进行解答19（1）；（2），或，；（3）【分析】（1）由“”可证，可得，可求解；（2）分两种情况讨论，由全等三角形的性质可求解；（3）由，可求的值，由面积和差关系可求，可求的值解：（1），在和中

42、，；（2）若，若，；综上所述：，或，；（3）如图，连接，过点作于，过点作于，【点拨】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键20（1）；（2）见分析；（3）【分析】（1）由已知条件可得，对顶角，则，根据即可的；（2）过点作的垂线交的延长线于,证明，得,进而可得，再证明即可得证点为中点；（3）延长至，使得，连接，设交于点，先证明，进而证明，根据角度的计算以及三角形内角和定理求得，进而证明，再根据,证明，根据已知条件求得最后证明即可解：（1）设交于，如图1，是等腰和是等腰即故答案为（2）如图2，过点作的垂线交的延长线

43、于,是等腰和是等腰又又即是的中点（3）延长至，使得，连接，设交于点，如图即是等腰和是等腰在与中，（SAS），点是的中点，（SAS）（SAS），即，【点拨】本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，构造辅助线是解题的关键21（1）90；80；（2）+180，理由见分析；图见分析，+180或【分析】、（1）由等腰直角三角形的性质可得ABCACB45，由“SAS”可证BADCAE，可得ABCACE45，可求BCE的度数；由等腰三角形的性质求出ABDACB40，由“SAS”可证ABDACE得出ABDACE40，则可得出结论；（2）由“SAS”可证ABDA

44、CE得出ABDACE，再用三角形的内角和即可得出结论；分两种情况画出图形，由“SAS”可证ABDACE得出ABDACE，再用三角形的内角和即可得出结论解：（1）ABAC，BAC90，ABCACB45，DAEBAC，BADCAE，ABAC，ADAE，BADCAE（SAS）ABCACE45，BCEACB+ACE90，故答案为：90；BAC100，ABAC，ABDACB40，BACDAE，BADCAE，在ABD和ACE中，BADCAE，ABAC，ADAE，ABDACE（SAS），ABDACE40，BCEACE+ACB40+4080，故答案为：80（2）+180，理由：BACDAE，BACDACDAE

45、DAC即BADCAE在ABD与ACE中，ABDACE（SAS），BACEB+ACBACE+ACBACE+ACB，B+ACB，+B+ACB180，+180如图1：当点D在射线BC上时，+180，连接CE，BACDAE，BADCAE，在ABD和ACE中，ABDACE（SAS），ABDACE，在ABC中，BAC+B+ACB180，BAC+ACE+ACBBAC+BCE180，即：BCE+BAC180，+180，如图2：当点D在射线BC的反向延长线上时，连接BE，BACDAE，BADCAE，又ABAC，ADAE，ABDACE（SAS），ABDACE，ABDACEACB+BCE，ABD+ABCACE+AB

46、CACB+BCE+ABC180，BAC180ABCACB，BACBCE；综上所述：点D在直线BC上移动，+180或【点拨】本题主要考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定方法及性质是关键22（1）， ；（2）， ；（3）【分析】（1）先判断出，再判定，再判断，（2）先判断出，再得到同理（1）可得结论；（3）先判断出，再判断出，最后计算即可解：（1）与的位置关系是：，数量关系是理由如下：如图1，延长交于点于，AEBC，（2）与的位置关系是：，数量关系是如图，线段AC与线段BD交于点F，线段AE与线段BD交于点G，即，AEBC，又，（3）如图，线段AC与线段BD交于点F，和是等边三角形，在和中，与的夹角度数为【点拨】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，判断垂直的方法，解本题的关键是判断