专题1.5一元一次方程的应用15种类型精讲精练（知识梳理 典例剖析 变式训练）（解析版）【苏科版】.docx

1、 专题1.5一元一次方程的应用15种类型精讲精练（知识梳理+典例剖析+变式训练）【目标导航】【知识梳理】一.一元一次方程的应用（一）一元一次方程解应用题的类型有：（1）探索规律型问题；（2）数字问题；（3）销售问题（利润=售价-进价，利润率=利润进价100%；（4）工程问题（工作量=人均效率人数时间；如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和=工作总量）；（5）行程问题（路程=速度时间）；（6）等值变换问题；（7）和，差，倍，分问题；（8）分配问题；（9）比赛积分问题；（10）水流航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度）二.利用方程解决实际问题的基本思路如

2、下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答列一元一次方程解应用题的五个步骤1审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系2设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数3列：根据等量关系列出方程4解：解方程，求得未知数的值5答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句【典例剖析】【考点1】一元一次方程的应用分配问题【例1】（2020秋淮阴区期中）某班学生39人到公园划船，共租用9只船，每只大船可坐5人，每

3、只小船可坐3人每只船都坐满，问大、小船各租了多少只？【分析】设大船租了x只，则小船租了（9x）只，根据大船、小船共坐人39建立方程求出其解即可【解析】设大船租了x只，则小船租了（9x）只，由题意，得5x+3（9x）39，解得：x6，则小船租了963只答：大船租了6只，则小船租了3只【变式1.1】（2022江苏七年级专题练习）七年级1班共有学生45人，其中男生人数比女生人数少3人某节课上，老师组织同学们做圆柱形笔筒，每名学生每节课能做筒身30个或筒底90个(1)七年级1班有男生、女生各多少人？(2)原计划女生负责做筒身，男生做筒底，要求每个筒身匹配2个筒底，那么每节课做出的筒身和筒底配套吗？如果

4、不配套，男生要支援女生几人，才能使筒身和筒底配套？【答案】(1)男生21人，女生24人(2)不配套；男生要支援女生3人【分析】（1）根据男生人数+女生人数总人数，可以列出相应的方程，然后求解即可；（2）根据题意，可以计算出原计划制作的筒身和筒底数，然后看一下数量是否是二倍的关系即可判断原计划生产的是否配套；然后根据判断设男生要支援女生a人，再列方程，解答即可【详解】（1）解：设女生有x人，则男生有（x3）人，由题意可得：x+（x3）45，解得x24，x321，答：七年级1班有男生21人，女生24人（2）解：女生可以做筒身：2430720（个），男生可以做筒底：21901890（个），72021

5、890，原计划每节课做出的筒身和筒底不配套；设男生要支援女生a人，才能使筒身和筒底配套，根据题意得：（24+a）302（21a）90，解得a3，答：男生要支援女生3人，才能使筒身和筒底配套【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系式，是解题的关键【变式1.2】（2020江苏射阳外国语学校七年级阶段练习）某中学有住宿生若干人，若每个房间住8人，则有3人无处住；若每个房间住9人则有两张空床位，问该中学有宿舍多少间，住宿生有多少人？【答案】该中学有宿舍5间，住宿生有43人【分析】设有宿舍x间，利用住宿生人数相等列一元一次方程求解【详解】解：设有宿舍x间，列方程：8x+3=9x-2

6、，解得x=5，住宿生人数：85+3=43（人），答：该中学有宿舍5间，住宿生有43人【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是找到等量关系列出方程求解【变式1.3】（2019江苏常州市兰陵中学七年级阶段练习）已知甲队有45人，乙队有30人，如果要使乙队人数只有甲队人数的一半，那么需要从乙队抽调多少人去甲队？【答案】需要从乙队抽调5人去甲队【分析】设需要从乙队抽调x人去甲队，则抽调后甲队人数是（45+x）人，抽调后乙队是（30x）人题目中的相等关系是：抽调后甲队人数2抽调后乙队人数，就可以列出方程45+x2（30x）求解【详解】解：设需要从乙队抽调x人去甲队，根据题意得：45+x2（30x

7、），解得：x5故需要从乙队抽调5人去甲队【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，掌握一元一次方程的应用的分配问题是解题的关键【考点2】一元一次方程的应用配套问题【例2】（2019秋涟水县月考）在手工制作课上，老师组织七年级2班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒七年级2班共有学生50人，其中男生人数比女生人数少2人，并且每名学生每小时剪筒身40个或剪筒底120个（1）七年级2班有男生、女生各多少人？（2）原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，要求一个筒身配两个筒底，那么每小时剪出的筒身与筒底能配套吗？如果不配套，那么男生应向女生支援多少人时，才能使每小时剪出的筒身与筒底配套【分析】（1）设七年级2班有

8、男生有x人，则女生有（x+2）人，根据题意可得等量关系：男生人数+女生人数50，根据等量关系列出方程，再解即可；（2）分别计算出24名男生和6名女生剪出的筒底和筒身的数量，可得不配套；设男生应向女生支援y人，根据制作筒底的数量筒身的数量2，根据等量关系列出方程，再解即可【解析】（1）设七年级2班有男生有x人，则女生有（x+2）人，由题意得：x+x+250，解得：x24，女生：24+226（人），答：七年级2班有男生有24人，则女生有26人；（2）男生剪筒底的数量：241202880（个），女生剪筒身的数量：26401040（个），因为一个筒身配两个筒底，2880：10402：1，所以原计划男生

9、负责剪筒底，女生负责剪筒身，每小时剪出的筒身与筒底不能配套，设男生应向女生支援y人，由题意得：120（24y）（26+y）402，解得：y4，答：男生应向女生支援4人时，才能使每小时剪出的筒身与筒底配套【变式2.1】（2020江苏南通田家炳中学七年级期中）机械厂加工车间有68名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮刚好配成1套，那么需要分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大、小齿轮刚好配套？【答案】生产大齿轮20人，生产小齿轮48人【分析】设生产大齿轮的人数为x人，则生产小齿轮的人数为(68-x) 人，再由2个大齿轮与3个小齿轮配成一套列出比

10、例式，求出x的值即可【详解】设生产大齿轮的人数为x人，则生产小齿轮的人数为(68-x) 人，因为平均每人每天可加工大齿轮16个或小齿轮10个，所以x人生产大齿轮的个数为16x个，(68-x)人生产小齿轮的个数为10(68-x)个又两个大齿轮与三个小齿轮酿成一套，可得：316x=210(68-x)，解得：x=20，68-x=68-20=48（人），答：生产大齿轮的人数为20人，生产小齿轮的人数为48人【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程【变式2.2】（2022江苏七年级专题练习）劳作课上，王老师组织七年级5班的学生用硬纸制作圆柱形笔筒七年级

11、5班共有学生55人，其中男生人数比女生人数少3人，每名学生每小时能剪筒身30个或剪筒底90个（1）七年级5班有男生，女生各多少人；（2）原计划女生负责剪筒身，男生负责剪筒底，要求一个筒身配两个筒底，那么每小时剪出的筒身与筒底能配套吗？如果不配套，男生应向女生支援多少人，才能使每小时剪出的筒身与筒底配套【答案】（1）七年级5班有男生26人，女生29人；（2）不配套，男生应向女生支援4人，才能使每小时剪出的筒身与筒底配套【分析】（1）设七年级5班有男生x人，则有女生（x+3）人，根据男生人数+女生人数=55列出方程，求解即可；（2）分别计算出26名男生和29名女生剪出的筒底和筒身的数量，可得不配套

12、；设男生应向女生支援y人，根据制作筒底的数量=筒身的数量2列出方程，求解即可【详解】解：(1)设七年级5班有男生x人，则有女生（x+3）人，由题意得：x+x+3=55，解得x=26，女生：26+3=29（人）答：七年级5班有男生26人，女生29人；（2）男生剪筒底的数量：2690=2340（个），女生剪筒身的数量：2930=870（个），一个筒身配两个筒底，2340:8702:1，原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，每小时剪出的筒身与筒底不配套设男生应向女生支援y人，由题意得：90（26y）=（29+y）302，解得y=4答：男生应向女生支援4人，才能使每小时剪出的筒身与筒底配套【点睛】此题

13、主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列出方程【变式2.3】（2021江苏省南京市浦口区第三中学七年级阶段练习）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成硬纸板以如图两种方式裁剪（裁剪后边角料不再利用）A方法：剪6个侧面；B方法：剪4个侧面和5个底面现有19张硬纸板，裁剪时张用A方法，其余用B方法（1）用的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数；（2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？【答案】（1）裁剪出的侧面个数为6x+4(19-x)=(2x+76)个裁剪出的底面个数为5(19-x)=(-5x+95)个（2）

14、最多可以做的盒子个数为30个【分析】（1）因为x张用A方法，则有（38-x）张用B方法，就可以根据题意分别表示出侧面和底面的个数（2）由题意可得，侧面个数和底面个数之比为3:2，可以列出一元一次方程，求出x的值，从而可得侧面的总数，即可求得【详解】（1）根据题意可得，侧面：6x+4(19-x)=(2x+76)（个），底面：5(19-x)=(-5x+95)（个）（2）根据题意可得，2x+7695-5x=32 ，解得x=7，所以盒子=2x+763=30（个）考点：1、一元一次方程的应用2、列代数式【考点3】一元一次方程的应用行程问题【例3】（2020春金湖县模拟）5月的第二个周日是母亲节，小东准备

15、精心设计一份手工礼物送给妈妈，为尽快完成手工礼物，小东骑自行车到位于家正西方向的商店购买材料小东离家15分钟时自行车出现故障，小东立即打电话通知在家看报纸的父亲贺明带上工具箱来帮忙维修，同时小东以原来一半的速度推着自行车继续走向商店父亲贺明接到电话后（接电话时间忽略不计），立即骑车出发追赶小东，15分钟时追上小东，并修好了自行车，父亲贺明以原速返家，小东以原骑行速度骑车前往商店，10分钟时到达商店，此时两人相距5000米（1）求父亲贺明和小东骑车的速度；（2）求小东家到商店的路程【分析】（1）设小东骑车速度为x米/分钟，由“父亲贺明以原速返家，小东以原骑行速度骑车前往商店，10分钟时到达商店，

16、此时两人相距5000米”，列出方程，即可求解；（2）利用路程速度时间可求解【解析】设小东骑车速度为x米/分钟，则父亲贺明骑车速度=15x+12x1515=32x（米/分钟），由题意可得：10x+1032x5000，x20032x300米/分钟，答：父亲贺明骑车的速度为300米/分钟，小东骑车的速度200米/分钟；（2）小东家到商店的路程15200+15100+102006500（米），答：小东家到商店的路程为6500米【变式3.1】（2022江苏无锡七年级期末）列方程解应用题：已知两地相距300千米，甲车的速度为每小时75千米，乙车的速度为每小时45千米(1)若两车分别从A、B两地同时同向而行

17、（甲车在乙车后面），问经过多长时间甲车追上乙车？(2)若两车同时从A、B两地相向而行，问经过多长时间两车相距60千米？【答案】(1)经过10小时甲车追上乙车(2)经过2小时或3小时两车相距60千米【分析】（1）设经过x小时甲车追上乙车，根据路程=速度时间结合甲车比乙车多行驶300千米，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）设经过y小时两车相距60千米，分两车相遇前相距60千米及相遇后相距60千米两种情况考虑，根据路程=速度时间，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论（1）（1）设经过x小时甲车追上乙车，依题意，得：75x45x300，解得：x10，答：经过10小时甲车追

18、上乙车（2）设经过y小时两车相距60千米，依题意，得：75y+45y30060或75y+45y300+60，解得：y2或y3，答：经过2小时或3小时两车相距60千米【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键【变式3.2】（2023江苏七年级专题练习）某人自驾车从A市前往B市，前五分之一路段为县道，中间的路段为高速公路，后十分之一路段也是县道已知汽车在县道上行驶的速度为60km/h在高速公路上行驶的速度为100km/h，汽车从A市前往B市一共行驶了1.8小时求A、B两市之间的路程【答案】150千米【分析】设A、B两市之间的路程为skm，根据“汽车从A市前

19、往B市一共行驶了1.8小时”建立方程，求解即可【详解】设A、B两市之间的路程为skm，根据题意可知，15s+110s60+(1-15-110)s100=1.8，解得：s150，故答案为：A、B两地的距离为150千米【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是根据行程问题中速度、时间和路程的关系：速度时间路程，路程时间速度，路程速度时间来解答【变式3.3】（2022江苏七年级专题练习）周末小明和爸爸在400米的环形跑道上骑车锻炼，他们在同一地点沿着同一方向同时出发，骑行结束后两人有如下对话：(1)请根据它们的对话内容，求出小明和爸爸的骑行速度；(2)爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，再经

20、过多少分钟，小明和爸爸跑道上相距50米？【答案】(1)小明的骑行速度为200米/分，爸爸的骑行速度为400米/分；(2)爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过14或74分钟，小明和爸爸相距50米【分析】（1）设小明的骑行速度为x米/分，则爸爸的骑行速度为2x米/分，根据距离=速度差时间即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）设爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过y分钟，小明和爸爸跑道上相距50米根据距离=速度差时间即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论【详解】（1）解：设小明的骑行速度为x米/分，则爸爸的骑行速度为2x米/分，根据题意得：2（2x-x）=40

21、0，解得：x=200，2x=400答：小明的骑行速度为200米/分，爸爸的骑行速度为400米/分；（2）解：设爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过y分钟，小明和爸爸相距50米400y-200y=50，解得y=14；爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，爸爸又比小明多骑了350米，根据题意得：400y-200y=350，解得y=74答：爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过14或74分钟，小明和爸爸相距50米【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，由路程差找出合适的等量关系列出方程，再求解【考点4】一元一次方程的应用顺水逆水问题【例4】

22、（2020秋黄陵县期末）某人乘船由A地顺流而下到达B地，然后又逆流而上到C地，共用了3小时已知船在静水中速度为每小时8千米，水流速度是每小时2千米已知A、B、C三地在一条直线上，若AC两地距离是2千米，则AB两地距离多少千米？（C在A、B之间）【分析】根据路程、速度、时间之间的关系列出方程即可解答【解析】设AB两地距离为x千米，则CB两地距离为（x2）千米根据题意，得+3解得 x答：AB两地距离为千米【变式4.1】（2022江苏七年级专题练习）小莉和同学在“五一”假期去森林公园玩，在溪流边的A码头租了一艘小艇，逆流而上，划行速度8千米/时到B地后沿原路返回，速度增加50%，回到A码头比去时少花

23、了20分钟求A、B两地之间的路程【答案】8千米【分析】设A、B两地之间的路程为x千米，根据等量关系式：回到A码头比去时少花了20分钟列出方程，解方程即可【详解】解：设A、B两地之间的路程为x千米，依题意得：x8-x81+50%=2060，解得：x8答：A、B两地之间的路程为8千米【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键【变式4.2】（2022江苏七年级单元测试）轮船在静水中的航行速度25km/h，水流速度为5km/h，从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头，共用6h（不计停留时间），求甲、乙两码头间的距离【答案】72km【分析】设甲、乙两码头间的距离为xkm

24、，根据时间路程速度结合往返共用6小时，列出一元一次方程，解方程即可【详解】解：设甲、乙两码头间的距离为xkm，依题意，得：x255x25-56，解得：x72，答：甲、乙两码头间的距离为72km【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键【变式4.3】（2021江苏南通市八一中学七年级阶段练习）列一元一次方程解应用题：在风速为24 km/h的条件下，一架飞机顺风从A机场飞到B机场要用2.8 h，它逆风飞行同样的航线要用3h求无风时这架飞机在这一航线的平均航速和两机场之间的航程【答案】无风时飞机的航速是696千米/时，两机场之间的航程是2016千米【分析】设

25、无风时飞机的航速是x千米/时，根据路程=时间速度，列出方程求解即可【详解】解：设无风时飞机的航速是x千米/时，依题意得：2.8x+24=3x-24， 解得：x=696则3(696-24)=2016（千米）答：无风时飞机的航速是696千米/时，两机场之间的航程是2016千米【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键【考点5】一元一次方程的应用工程问题【例5】（2019秋兴化市校级期末）某地为了打造风光带，将一段长为360m的河道整治任务分配给甲，乙两个工程队先后接力完成，共用时20天，已知甲工程队每天整治24m，乙工程队每天整治16m求：（1）甲，乙两

26、个工程队分别整治了多长的河道？（2）甲、乙两工程队各整治河道的天数【分析】（1）设甲工程队整治了x天，则乙工程队整治了（20x）天，由两队一共整治了360m为等量关系建立方程求出其解即可；（2）由（1）即可求解【解析】（1）设甲工程队整治了x天，则乙工程队整治了（20x）天，由题意，得24x+16（20x）360，解得：x5，乙队整治了20515（天），甲队整治的河道长为：245120（m）；乙队整治的河道长为：1615240（m）答：甲工程队整治了120m，乙工程队整治了240m（2） 由（1）得：甲工程队整治了5天，乙工程队整治了15天【变式5.1】（2022江苏扬州七年级期末）接种疫苗是

27、阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每人每小时生产疫苗500剂，但受某些因素影响，某车间有10名工人不能按时到厂为了应对疫情，该车间其余工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天能完成预定任务(1)求该车间当前参加生产的工人有多少人；(2)生产4天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时若上级分配给该车间共780万剂的生产任务，问该车间还需要多少天才能完成任务【答案】(1)当前参加生产的工人有40人(2)车间还需要28天才能完成任务【分析】（1）设当前参加生产的工人有x人，根据完成的工作总量不变，即

28、可得出关于x的方程，解之即可得出结论；（2）设还需要生产y天才能完成任务，根据工作总量工作效率工作时间工作人数，即可得出关于y的方程求解（1）解：设当前参加生产的工人有x人，由题意可得：50010x5008（x+10），解得：x40故当前参加生产的工人有40人；（2）780万7800000，设还需要生产y天才能完成任务，由题意可得：45001040+（40+10）10500y7800000，解得：y28故该车间还需要28天才能完成任务【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系正确列方程计算是解题关键【变式5.2】（2022江苏扬州二模）为迎接科技活动节，甲、乙两个社团承接制作

29、彩旗的任务已知甲社团比乙社团每小时少制作12面彩旗，甲社团制作120面彩旗所用的时间与乙社团制作150面彩旗所用的时间相等(1)甲、乙两个社团每小时各制作多少面彩旗？(2)现在需要制作一批彩旗，已知甲社团单独完成比乙社团单独完成多用1个小时，那么甲、乙两个社团同时合作，_小时可完成（直接写答案）【答案】(1)48，60；(2)209【解析】(1)解：设乙社团每小时做x面彩旗，则甲社团每小时做( x-12 )面彩旗，依题意有120x-12=150x 解得：x=60，经检验：x=60是原方程的解，x-12=60-12=48答：甲社团每小时做48面彩旗，乙社团每小时做60面彩旗(2)解：设这批彩旗共

30、有y面，则y48-y60=1，解得y=240， 甲、乙两个社团同时合作，完成这批彩旗共需要的时间为：24048+60=209（小时），故答案为：209【点睛】本题考查了分式方程一元一次方程的应用，正确确定题目中的相等关系，根据相等关系确定所设的未知数，列方程是列方程解应用题的关键【变式5.3】（2022江苏七年级专题练习）新农村建设中，某镇成立了新型农业合作社，扩大了油菜种植面积，今年2000亩油菜喜获丰收该合作社计划租赁5台油菜收割机机械化收割，一台收割机每天大约能收割40亩油菜(1)求该合作社按计划几天可收割完这些油菜；(2)该合作社在完成了一半收割任务时，从气象部门得知三天后有降雨，于是

31、该合作社决定再租赁3台油菜收割机加入抢收，并把每天的工作时间延长10%，请判断该合作社能否完成抢收任务，并说明理由【答案】(1)该合作社按计划10天可收割完这些油菜(2)该合作社能完成抢收任务，理由见解析【分析】（1）设该合作社按计划x天可收割完这些油菜，再根据“工作效率工作时间=工作总量”列一元一次方程并解答即可；（2）先求出增加3台油菜收割机后一天的收割量，再求出三天的收割量，然后和1000亩进行比较即可【详解】（1）解：设该合作社按计划x天可收割完这些油菜540x=2000解得：x=10答：该合作社按计划10天可收割完这些油菜；（2）解：原来一天的收割量：540=200（亩），现在一天的

32、收割量：(5+3)40(1+10%)=352（亩），现在三天可完成的收割量：3523=1056（亩）1000亩答：该合作社能完成抢收任务【点睛】本题考查了一元一次方程应用中的工程问题，找到等量关系是解答本题的关键【考点6】一元一次方程的应用积分问题【例6】（2019秋丰台区期末）为了促进全民健身运动的开展，某市组织了一次足球比赛如表记录了比赛过程中部分代表队的积分情况 代表队场次（场）胜（场）平（场）负（场）积分（场）A651016B660018C632111D631210（1）本次比赛中，胜一场积3分；（2）参加此次比赛的F代表队完成10场比赛后，只输了一场，积分是23分请你求出F代表队胜出

33、的场数【分析】（1）根据B队的比赛场数和积分可以得到胜一场的积分；（2）根据表格中的数据可以计算出胜一场、平一场和负一场的积分，从而可以列出相应的方程，解答本题【解析】（1）本次比赛中，胜一场积：1863（分），故答案为：3；（2）设F代表队胜出x场，则平了（10x1）场，输了1场，由（1）知，胜一场积分为3分，则平一场积分为：16351（分），则负一场积分为：1133+120（分），3x+1（10x1）+1023，解得，x7，答：F代表队胜出7场【变式6.1】（2017江苏兴化市海河学校七年级期中）某篮球联赛规则规定：胜一场得2分,负一场得1分.某篮球队赛了12场,共得20分. 该篮球队负了

34、多少场？请按照下列步骤解决这个问题：（1）设该篮球队胜了x场，则负了_场，根据题意列出一个一元一次方程：_；（2）解（1）中所得的方程，并回答：该篮球队负了多少场？【答案】 （1）(12-x) ,2x+(12-x)=20;(2)4【详解】试题分析：（1）首先理解题意找出题中存在的等量关系：胜场的数+负场的数=12场；胜场的得分+负场的得分=20分，根据此等式列方程即可（2）根据去括号、移项、合并同类项即可求解.试题解析：（1）设该队胜了x场，则该队负了（12-x）场；胜场得分：2x分，负场得分：（12-x）分因为共得20分，所以方程应为：2x+（12-x）=20（2）2x+（12-x）=20去

35、括号，得：2x+12-x=20移项，得：2x-x=20-12合并同类项，得x=8，所以，该篮球队负了：12-8=4场.点睛：因为共有12场，设胜了x场，那么负了（12-x）场，根据得分为20分可列方程求解关键是找到共比赛了多少场，设出胜利的场数，以总分数作为等量关系列方程求解【变式6.2】（2021江苏七年级专题练习）盛盛同学到某高校游玩时，看到运动场的宣传栏中的部分信息（如表）：院系篮球赛成绩公告比赛场次胜场负场积分2212103422148362202222盛盛同学结合学习的知识设计了如下问题，请你帮忙完成下列问题：（1）从表中可以看出，负一场积_分，胜一场积_分（2）某队在比完22场的前

36、提下，胜场总积分能等于其负场总积分的2倍吗？请说明理由【答案】(1)1 ， 2；(2)胜场数为11场时，胜场的积分等于负场的2倍.【详解】试题分析：（1）由表中最后一行的信息可知，22场全负积分为22，由此可得负一场积1分；结合表中第一行的信息即可求得胜一场积2分；（2）设该队胜了x场，则该队负了(22-x)场，胜的场次共积2x分，负的场次共积(22-x)分，由题意可得方程：2x=2(22-x)，解方程即可得到答案.试题解析：（1）由表中最后一行的信息可知，某队22场全负共积了22分，负一场的积分为：2222=1（分）；设胜一场积a分，则由表中第一行信息可得：12a+10=34，解得：a=2，

37、胜一场积2分；（2）设该队胜了x场，根据题意可得：2x=2(22-x)，解得：x=11，若某队赛完全部22场，胜了11场，则该队的胜场积分是负场积分的2倍.答：若该队在22场比赛中胜了11场，则其胜场积分是负场积分的2倍.【变式6.3】（2021江苏南京七年级期末）2019年9月29日，中国女排以十一连胜的战绩夺得女排世界杯冠军，成为世界三大赛的“十冠王”2019年女排世界杯的参赛队伍为12支，比赛采取单循环方式，五局三胜，积分规则如下：比赛中以3-0或者3-1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3-2取胜的球队积2分，负队积1分，前四名队伍积分榜部分信息如表所示（1）中国队11场胜场中

38、只有一场以3-2取胜，请将中国队的总积分填在表格中，（2）巴西队积3分取胜的场次比积2分取胜的场次多5场，且负场积分为1分，总积分见表格，求巴西队胜场的场数名次球队场次胜场负场总积分1中国11110_2美国11101283俄罗斯1183234巴西1121【答案】（1）32；（2）7【分析】(1) 根据比赛中以3-0或者3-1取胜的球队积3分，在比赛中以3-2取胜的球队积2分，结合表格和已知条件即可得出；(2)设巴西队积3分取胜的场数为x场，则积2分取胜的场数为(x-5)场，根据巴西队的总积分为21分，列出方程解方程即可得出答案【详解】（1）解：比赛中以3-0或者3-1取胜的球队积3分，在比赛中

39、以3 -2取胜的球队积2分，中国队11场胜场中只有一场以3-2取胜，中国队的总积分=103+12=32，故答案为：32；（2）设巴西队积3分取胜的场数为x场，则积2分取胜的场数为(x-5)场，依题意可列方程3x+2(x-5)+1=213x+2x-10+1= 215x= 30x=6，则积2分取胜的场数为x-5=1，所以取胜的场数为6+1=7，故答案为：7【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元-次方程是解题的关键【考点7】一元一次方程的应用数字问题【例7】（2019秋道里区校级月考）一个两位数，把它的个位数字与十位数字交换位置得到新两位数，原两

40、位数的个位数字比原两位数的十位数字大2，且新两位数与原两位数的和为154，求原两位数是多少？【分析】根据两位数的确定方法列出一元一次方程即可求得结果【解析】方法一：设个位数字为x，则十位数字为x2，两位数为10（x2）+x根据题意，得10x+（x2）+10（x2）+x154解得x8，x2610（x2）+x68原两位数是68方法二：设个位数字为x，十位数字为y，两位数为10y+x根据题意，得x-y=210x+y+10y+x=154 解得x=8y=610y+x68原两位数是68答：原两位数是68【变式7.1】（2021江苏南通第一初中七年级阶段练习）小明在课外阅读中对有关“自定义型题”有了一定的了

41、解，他也尝试着自定义了“颠倒数”的概念：从左到右写下一个自然数，再把它按从右到左的顺序写一遍，如果两数位数相同，这样就得到了这个数的“颠倒数”如286的颠倒数是682请你探究，解决下列问题：(1)请直接写出2019的“颠倒数”为_(2)能否找到一个数字填入口，使下列由“颠倒数”构成的等式136口口631成立？若能，求出这个数字；不能，请说明理由（要求列方程解）【答案】(1)9102(2)能，2【分析】（1）根据题目中的例子可直接写出答案；（2）设口中的数为x，根据等式136口口631，列方程解方程可得结论（1）解：2019的“颠倒数”为9102；故答案为：9102（2）解：能，设口中的数为x，

42、13（60+x）（10x+6）31，780+13x310x+186，297x594，x2，即口中的数为2【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，掌握两位数的表示方法：十位数字10+个位数字【变式7.2】（2022江苏苏州七年级期末）在33的方格中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都相等，我们把这样的方格图叫做“等和格” 如图1的“等和格”中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都等于15(1)在图2的“等和格”方格图中，可得a （用含b的代数式表示）；(2)在图3的“等和格”方格图中，可得a ，b ；(3)在图4的“等和格”方格图中，可得b 【答案】(1)-b(2)2

43、，2(3)9【分析】（1）根据每行、每列的3个代数式的和相等，可得a与b的关系；（2）根据第一行与第三列、对角线上与第二行的和相等，可得a与b的值；（3）根据“等和格”的定义可得方程，分别进行整理代入可求出b的值（1）解：如图2，根据题意得-2a+a=3b+2a，-3a=3b，解得a=-b，故答案为：-b；（2）解：如图3，可得-2a+a=3b+2a-2a+2a=b-8+3b，解得a=-2b=2，故答案为：-2,2；（3）解：如图4，可得2a2+a+a-2a2=a2+2a+a-3， a2+a=3，又 2a2+a+a-3=b+3a2+2a+a2+2a，b=-2a2-2a-3， b=-2(a2+a

44、)-3=-23-3=-9，故答案为：-9【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是充分利用“每行，每列及对角线上的3个数（或代数式）的和都相等”，得出等式求解【变式7.3】（2022江苏扬州七年级期末）定义：对于一个两位数x，如果x满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“互异数”，将一个“互异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将这个新两位数与原两位数求和，再除以11所得的商记为Qx例如，当x=12，对调个位数字与十位数字得到的新两位数21，新两位数与原两位数的和为12+21=33，和33除以11的商为3311=3，所以Q12=3(1)计算：

45、Q24=_；(2)若一个“互异数”x的十位数字是4，个位数字是3m-1，且Qx=13，求x；(3)经思考，小聪同学发现：“若Qx=n（n为常数），则“互异数”x的个位数字与十位数字之和一定为n”，请判断小聪同学的发现是否正确？如果正确，说明理由；如果不正确，请举例说明【答案】(1)6(2)x=49(3)正确，理由见解析【分析】（1）根据定义求解即可；（2）根据题意表示出这个两位数，按照定义求得Qx，进而求得m，即可求得x；（3）方法同（2）(1)24对调个位数字与十位数字得到的新两位数42新两位数与原两位数的和为24+42=66和66除以11的商为6611=6，所以Q24=6(2)一个“互异数

46、”x的十位数字是4，个位数字是3m-1， 则x=410+3m-1，对调个位数字与十位数字得到的新两位数30m-1+4新两位数与原两位数的和为410+3m-1+30m-1+4=33m+40-3-30+4=33m+11 33m+1111=3m+1Qx=3m+1 Qx=13，即3m+1=13解得m=4个位数字是3m-1 34-1=9 x=49(3)正确，理由如下，设这个两位数的十位数为a，个位数为b， Qx=n 10a+b+a+10b=11n则：a+b=n【点睛】本题考查了列代数式，整式的加减运算，理解新定义是解题的关键【考点8】一元一次方程的应用年龄问题【例8】（2019秋北京期末）今年，小楠和哥

47、哥的年龄之和是21岁，小楠的年龄只有哥哥的一半，小楠和哥哥各多少岁？（用方程解）【分析】首先根据题意，设哥哥的年龄为x岁，则小楠的年龄为12x岁，然后根据：哥哥的年龄+小楠的年龄21，列出方程，求出x的值是多少，再用哥哥的年龄减去14，求出小楠的年龄即可【解析】设哥哥的年龄为x岁，则小楠的年龄为12x岁，则x+12x21，解得x1421147（岁）答：今年小楠7岁，哥哥14岁【变式8.1】（2022陕西陇县教学研究室七年级期中）已知小明的年龄是m岁，小红的年龄比小明的年龄的2倍少4岁，小华的年龄比小红的年龄的12还多1岁(1)求这三名同学的年龄的和；(2)小红比小华大几岁？【答案】(1)这三名

48、同学的年龄的和为(4m-5)岁(2)小红比小华大(m-3)岁【分析】（1）根据题意分别列出小明、小红和小华的年龄，再相加，去括号，合并同类项，即可求出这三名同学的年龄的和；（2）计算小红与小华的年龄差即可【详解】（1）解：由题意可知：小红的年龄为2m-4岁，小华的年龄为12(2m-4)+1=m-1岁，这三名同学的年龄的和为m+(2m-4)+m-1=m+2m-4+m-1=4m-5；这三名同学的年龄的和为(4m-5)岁；（2）解：2m-4-12(2m-4)+1=m-3小红比小华大(m-3)岁【点睛】本题考查了整式加减的应用，解决本题是要先去小括号，再去中括号注意去括号时，如果括号前是负号，那么括号

49、中的每一项都要变号；合并同类项时，只把系数相加减，字母与字母的指数不变【变式8.2】（2022黑龙江哈尔滨市风华中学校七年级阶段练习）现在弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的一半，而9年前弟弟的年龄只有哥哥的年龄的15，哥哥现在年龄是多少？【答案】哥哥现在年龄是24岁【分析】设哥哥现在年龄是x岁，则现在弟弟的年龄是x2岁，再根据题意列方程求解即可【详解】解：设哥哥现在年龄是x岁，则现在弟弟的年龄是x2岁，根据题意，得x2-9=15(x-9)，解这个方程，得x=24答：哥哥现在年龄是24岁【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是设定未知数后，由题目等量关系列出方程求解【变式8.3】（2022全国

50、七年级专题练习）游戏规则组员把自己的年龄加上10，结果乘以10，再减去10，再减去自己的年龄，结果除以9，将自己计算的结果告诉组长，组长就知道你的实际年龄请你指出这个游戏背后的数学原理【答案】见解析【分析】设自己的年龄为x，根据题意，列出代数式并进行化简，最后可得结果，再将结果与x比较即可说明【详解】解：设自己的年龄为x，根据题意可得：10(x+10)-10-x9=x+10，这说明结果总比自己的年龄大小10，所以组长只需要将计算结果减去10，就等于组员的年龄，【点睛】本题考查了列代数式及整式的加减，属于基础题，关键是根据题意列出等式【考点9】一元一次方程的应用日历问题【例9】（2019秋武城县

51、期中）某公司新研发一种办公室用壁挂式电磁日历，底板是一块长方形磁块，再用31枚圆柱形小铁片标上数字吸附在底板上作为日期，如图1是2007年10月份日历（1）用长方形和正方形分别圈出相邻的3个数和9个数，若设圈出的数的中心数为a，用含a的整式表示这3个数的和与9个数的和，结果分别为3a，9a（2）用某种图形圈出相邻的5个数，使这5个数的和能表示成5a的形式，请在图2中画出一个这样的图形（3）用平行四边形圈出相邻的四个数，是否存在这样的4个数使得a+b+c+d114？如果存在就求出来，不存在说明理由（4）第一次翻动31枚日历铁片，第二次翻动其中的30枚，第三次翻动其中的29枚，第31次只翻动其中的

52、一枚，按这样的方法翻动日历铁片，能否使铁板上所有的31枚铁片原来有数字的一面都朝下，试通过计算证明你的判断【分析】（1）根据日历的特点可列出关于a的方程，求解即可；（2）根据上下左右的数量关系，画图即可（3）举例拆分即可（4）根据数字的奇偶性规律验证【解析】（1）长方形中中间数为a，上下两数分别为（a7）；（a+7）3个数的和为a+（a7）+（a+7）3a正方形中中间数为a，那么左右两数分别为（a1）；（a+1）根据以上规律左边三个数的和为3（a1）；中间三个数的和为3a；右边三个数的和为3（a+1）9个数的和为3（a1）+3a+3（a+1）9a故答案为：3a，9a（2）如图所示即可（3）存在

53、，ba+1，ca+6，da+7，a+b+c+da+a+1+a+6+a+7114，解得：a25，b26，c31，d32（4）不能，共翻动了31+30+29+28+2+1（31+1）312496次 偶数次而要使一个铁片翻面，需要1次、3次，5次，奇数次需要翻动的总次数是 奇数31奇数次奇数偶数所以，不能【变式9.1】（2022江苏七年级专题练习）将连续的偶数0，2，4，6，排成如图所示的数阵，用十字框按如图所示的方式任意框五个数（十字框只能平移）(1)若框住的5个数中，正中间的一个数为16，则这5个数的和为_；(2)十字框内五个数的最小和是_；(3)设正中间的数为a，用式子表示十字框内五个数的和；

54、(4)十字框能否框住这样的5个数，它们的和等于2030？若能，求出正中间的数a；若不能，请说明理由【答案】(1)80(2)最小值为70(3)5a(4)不能，理由见解析【分析】（1）根据图示进行计算便可得结果；（2）用a表示出其余4个数，再求和便可，根据a的最小值求出五个数的最小和；（3）用a表示出其余4个数，再求和便可；（4）根据（2）中的代数式，结合题意列出a的方程，根据方程有无解进行解答便可【详解】（1）解：由题意得，这5个数的和为：4+14+16+18+28=80，故答案为：80；（2）解：设正中间的数为a，则其余4个数分别为a-12，a-2，a+2，a+12，十字框内5个数的和为：（a

55、-12）+（a-2）+a+（a+2）+（a+12）=5a，由图可知，a14，5a70故答案为：70；（3）解：由（2）知十字框内5个数的和为5a；（4）解：根据题意得，5a=2030，解得，a=406，406是第204个偶数，2046=34，所以2030在数阵的第34行第6列，十字框不能框出这样的5个数它们的和等于2030【点睛】主要考查一元一次方程的应用，规律型：数字的变化类，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律【变式9.2】（2021江苏泰州中学附属初中七年级阶段练习）将奇数1至2021按照顺序排成表记P(m，n)表示第m行第n个数，如P(2

56、，3)表示第2行第3个数是17（1）P(4，5) = ；（2）将表格中的4个阴影格子看成一个整体并平移，所覆盖的4个数之和能否等于100若能，求出4个数中的最大数；若不能，请说明理由（3）若P(m，n) =2021，推理m = ；n = 【答案】（1）45；（2）不能，理由见解析；（3）169，3【分析】（1）先找出数字的变化规律，然后即可计算出相应的值；（2）先判断，然后设4个阴影格子中的数分别为2n-3、2n-1、2n+1、2n+11，即可列出相应的方程，然后求解即可说明理由；（3）根据题意，可以得到26（m-1）+n-1=2021，然后m为整数，1n6，即可得到m、n的值【详解】解：（1

57、）观察P(1，2) =3=2（60+2）-1，P(2，2) =15=2（61+2）-1，P(2，3) =17=2（61+3）-1，P(3，1) =25=2（62+1）-1，P(3，3) =29=2（62+3）-1，P(m，n) =26（m-1）+n-1，P(4，5)=2（63+5）-1=45，故答案为：45；（2）所覆盖的4个数之和不能等于100，理由：设4个阴影格子中的数分别为2n-3、2n-1、2n+1、2n+11，由题意可得（2n-3）+（2n-1）+（2n+1）+（2n+11）=100，解得n=11.5，n为整数，所覆盖的4个数之和不能等于100；（3）P(m，n) =2021，26（

58、m-1）+n-1=2021，12m+2n-13=2021，m为正整数，1n6，m=169，n=3，故答案为：169，3【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数字的变化规律、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，找出等量关系，列出相应的方程【变式9.3】（2021江苏梅岭中学教育集团运河中学七年级期中）生活与数学（1）小明同学在某月的日历上圈出22个数，正方形的方框内的四个数的和是32，那么第一个数是 ；（2）小丽也在上面的日历上圈出22个数，斜框内的四个数的和是42，则它们分别是 ；（3）小军也在日历上圈出5个数，呈十字框形，它们的和是50，则中间的数是 ；（4）某月有5个星

59、期日的和是75，则这个月中最后一个星期日是 号；（5）若干个偶数按每行8个数排成下图：图中方框内的9个数的和与中间的数有什么关系 ；汤姆所画的斜框内9个数的和为360，则斜框的中间一个数是 ；托马斯也学小军画了一个十字框，十字框内5个数的和为400，托马斯请小军计算十字框的中间一个数，小军则认为托马斯的问题有误你同意小军的观点吗？如果同意，请说明理由；不同意，请计算出十字框中间的数【答案】（1）4；（2）7，8，13，14；（3）10；（4）29；（5）方框内的9个数的和是中间的数的9倍；40；同意，理由见解析【分析】（1）设第一个数是x，根据题意列方程x+（x+1）+（x+7）+（x+8）3

60、2，解方程可得答案；（2）设第一个数是x，根据题意列方程x+（x+1）+（x+6）+（x+7）42，解方程可得答案；（3）设中间的数是x，根据题意列方程（x7）+（x1）+x+（x+1）+（x+7）50，解方程可得答案；（4）设最后一个星期日是x，根据题意列方程（x28）+（x21）+（x14）+（x7）+x75，解方程可得答案；（5）计算出方框内的9个数的和与中间的数20比较即可；设中间的数是x，根据题意列方程（x16）+（x14）+（x12）+（x2）+x+（x+2）+（x+12）+（x+14）+（x+16）360，解方程可得答案；设中间的数是x，根据题意列方程（x16）+（x2）+x+（

61、x+2）+（x+16）400，解方程，再检验是否符合题意可得答案【详解】解：（1）设第一个数是x，根据题意得，x+（x+1）+（x+7）+（x+8）32，解得x4，故答案为：4；（2）设第一个数是x，根据题意得，x+（x+1）+（x+6）+（x+7）42，解得x7，x+18，x+714，x+6135，故答案为：7，8，13，14；（3）设中间的数是x，根据题意得，（x7）+（x1）+x+（x+1）+（x+7）50，解得x10，故答案为：10；（4）设最后一个星期日是x，根据题意得，（x28）+（x21）+（x14）+（x7）+x75，解得x29，故答案为：29；（5）方框内9个数的和为2+4+

62、6+18+20+22+34+36+38180，中间的数为20，方框内的9个数的和是中间的数的9倍，故答案为：方框内的9个数的和是中间的数的9倍；设中间的数是x，根据题意得，（x16）+（x14）+（x12）+（x2）+x+（x+2）+（x+12）+（x+14）+（x+16）360，解得x40，故答案为：40；同意，设中间的数是x，根据题意得，（x16）+（x2）+x+（x+2）+（x+16）400，解得x80，80是图形最右侧的数，十字框无法画出，所以同意小军的观点【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意得出数字间的规律列出方程是解本题的关键【考点10】一元一次方程的应用二元关联问题【例

63、10】（2019秋大东区期末）列一元一次方程解应用题：某校为了开展“阳光体育运动，计划购买篮球、足球共60个，已知每个篮球的价格为70元，每个足球的价格为80元若购买这两类球的总金额为4600元，求篮球、足球各买了多少个？【分析】设购买篮球x个，购买足球（60x）个，根据总价单价购买数量结合购买篮球、足球共60个购买这两类球的总金额为4600元，列出方程，求解即可【解析】设购买篮球x个，则购买足球（60x）个，依题意得：70x+80（60x）4600，解得：x20，60x40，答：购买篮球20个，购买足球40个；【变式10.1】（2022江苏七年级专题练习）为创设一个洁净、美丽的校园环境，培养

64、学生的环保意识和爱护校园的主人翁意识，2021年11月29日，郑州某校组织开展了“弯弯腰捡垃圾，美丽校园我创造”的主题活动在分发垃圾袋时发现，若每人发2个垃圾袋则多5个，若每人发3个垃圾袋则少4个问：有多少个学生，准备了多少个垃圾袋？【答案】有9个学生，准备了23个垃圾袋【分析】设有x个学生，根据题意“每人发2个垃圾袋则多5个，若每人发3个垃圾袋则少4个”垃圾袋个数相等列一元一次方程，即可求解【详解】解：设有x个学生由题意得：2x+5=3x-4，解得：x=9，垃圾袋有29+5=23（个）答：有9个学生，准备了23个垃圾袋【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用题，根据题意列出二元一次方程组是解决

65、本题的关键【变式10.2】（2022江苏七年级专题练习）七年级某班准备购买一些羽毛球和羽毛球拍，现从甲、乙两店了解到：同一款式的羽毛球和羽毛球拍价格相同，一套（一盒羽毛球和一副羽毛球拍）总价60元，一副羽毛球拍的单价是一盒羽毛球单价的4倍甲店的优惠政策是：每买一副羽毛球拍赠送一盒羽毛球，每多买的一盒羽毛球按原价付款；乙店的优惠政策是：一盒羽毛球和一副羽毛球拍都按定价实行9折优惠(1)求一盒羽毛球和一副羽毛球拍的单价分别是多少？(2)若购买5副羽毛球拍和m（m不少于5）盒羽毛球，当m为多少时，到甲、乙两店购买付款一样多？【答案】(1)一盒羽毛球的单价是12元，一副羽毛球拍的单价是48元；(2)当

66、m为30时，到甲、乙两店购买付款一样多【分析】（1）设一盒羽毛球的单价是x元，则一副羽毛球拍的单价是4x元，再根据等量关系“一套总价60元”列出方程即可得解；（2）由题意得12（m5）+4850.912m+0.9485即可解答【详解】（1）解：设一盒羽毛球的单价是x元，则一副羽毛球拍的单价是4x元，依题意得x+4x60，解得：x12，所以4x48，答：一盒羽毛球的单价是12元，一副羽毛球拍的单价是48元（2）（2）由题意得，12（m5）+4850.912m+0.9485，解得：m30，答：当m为30时，到甲、乙两店购买付款一样多【点睛】本题主要考查了解一元一次方程和一元一次方程的应用，审清题意

67、、明确等量关系是解答本题的关键【变式10.3】（2022江苏盐城七年级期末）九章算术记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺问绳长井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺问绳长和井深各多少尺？【分析】（方法一）设绳长x尺，两次测量井深不变，可列方程_（方法二）设井深x尺，两次测量绳长不变，可列方程_请你从上述两种方法中任选一种继续解决问题【答案】13x-4=14x-1，3x+4=4x+1，绳长和井深分别为36尺，8尺【分析】用代数式表示绳长或井深即可得方程此题中的

68、等量关系有：将绳三折测之，绳多四尺；绳四折测之，绳多一尺【详解】解：（方法一）设绳长x尺，两次测量井深不变，可列方程13x-4=14x-1；（方法二）设井深x尺，两次测量绳长不变，可列方程3x+4=4x+1由3x+4=4x+1解得x=83x+4=36答：绳长和井深分别为36尺，8尺【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，不变的是井深（绳长），用代数式表示绳长（井深）是此题的关键【考点11】一元一次方程的应用盈亏问题【例11】（2021秋香坊区校级月考）两件商品都卖84元，其中一件亏本20%，另一件盈利40%，则两件商品卖出后总共盈利还是亏损？为什么？【分析】设两件商品单价分别为x元，y元，根

69、据题意列出方程，即可求解【解析】盈利，理由如下：设两件商品单价分别为x元，y元，由题意可得：（120%）x84，解得：x105，（1+40%）y84，解得：y60，总进价：105+60165（元），总售价：842168（元），165168，盈利【变式11.1】（2023江苏七年级专题练习）某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售请你帮商场计算一下：(1)降价前每件衬衫的利润率为多少？(2)每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？

70、【答案】(1)50%(2)每件衬衫降价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标【分析】（1）根据利润公式计算即可求解（2）每件衬衫降价x元时，销售完这批衬衫正好达到盈利的40%的预期目标，根据销售收入 进货成本 = 利润，即可的出关于x的一元一次方程，解之即可（1）（12080）80100%4080100%50%故降价前每件衬衫的利润率为50%；（2）设每件衬衫降价x元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标，根据题意得：120400+（120x）（500400）805008050045%，解得：x20解得：x20每件衬衫降价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目

71、标【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程时解题关键【变式11.2】（2023江苏七年级专题练习）某校新学期准备添置一批课桌椅，原计划订购50套，每套120元，店方提示：如果多购，可以优惠，结果该校实际订购了60套，每套减价5元，但商店获得了同样多的利润，求每套课桌椅的成本价【答案】90元【分析】设每套课桌椅的成本价是x元，根据利润相同列方程求解即可【详解】解：设每套课桌椅的成本价是x元，根据题意得：50（120x）60（1205x），解得x90，答：每套课桌椅的成本价是90元【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找出合适的等量关系列出方程是解题的关键【变式11

72、.3】（2022江苏七年级单元测试）2022年春节来临之际，各大商场都进行了促销活动某商场将某品牌的电视机按进价提高60%作为标价，然后以“九折酬宾，再返现金200元”的优惠进行促销，结果该品牌电视机每台仍可获利460元求该品牌电视机每台的进价【答案】1500元【分析】设该品牌电视机每台的进价为x元，根据利润=售价折扣-返现-进价列方程求出x的值即可【详解】解：设该品牌电视机每台的进价为x元根据题意，得1+60%x0.9-200-x=460解得x1500答：该品牌电视机每台的进价为1500元【点睛】本题考查一元一次方程的应用，熟练掌握进价、售价、利润、折扣之间的关系是解题关键【考点12】一元一

73、次方程的应用销售问题【例12】（2019秋吴兴区期末）每年“双十一”购物活动，商家都会利用这个契机进行打折满减的促销活动某商家平时的优惠措施是按所有商品标价打七折；“双十一”活动期间的优惠措施是：购买的所有商品先按标价总和打七五折，再享受折后每满200元减30元的优惠如标价为300元的商品，折后为225元，再减30元，即实付：3000.7530195（元）（1）该商店标价总和为1000元的商品，在“双十一”购买，最后实付只需多少元？（2）小明妈妈在这次活动中打算购买某件商品，打折满减后，应付金额是507元，求该商品的标价（3）在（2）的条件下，若该商家出售的商品标价均为整数，小明通过计算后告诉

74、妈妈：通过凑单的办法，只须再多支付元，就可以得到最大的优惠【分析】（1）根据“双十一”活动期间的优惠措施即可求解；（2）根据“双十一”活动期间的优惠措施可知该商品折后应该可以享受两次“满200减30”，设原标价为x元，根据打折满减后，应付金额是507元列出方程即可求解；（3）求出享受三次“满200减30”需要的钱数，减去507即可求解【解析】（1）打折后：10000.75750（元），“满200减30”再享受优惠：33090（元），最后实付：75090660（元）故最后实付只需660元；（2）标价总和打七五折后：满200元，不到400元，可减30元，不合题意；满400元，不到600元，可减60

75、元，符合题意；满600元，不到800元，可减90元，不合题意则该商品折后应该可以享受两次“满200减30”，设原标价为x元，则0.75x60507，解得x756答：该商品原标价为756元；（3）600905073（元）答：只须再多支付3元，就可以得到最大的优惠故答案为：3【变式12.1】（2022江苏南京七年级期末）某单位计划“双12期间”购进一批手写板，网上某店铺的标价为900元/台，优惠活动如下：销售量单价不超过10台的部分每台立减140元超过10台但不超过20台的部分每台立减220元超过20台的部分每台立减300元(1)若该单位购买了16台这种手写板，花了 元；若该单位购买了x（x20）

76、这种手写板，花了 元；（用含x的代数式表示）(2)若该单位购买的这种手写板均价为696元，求他们购买的数量【答案】(1)11680；600x+2400(2)他们购买了25台写字板【分析】（1）结合题意，根据有理数乘法和加减运算性质计算，即可得到答案；结合题意，根据有理数运算和代数式的性质计算，即可得到答案；（2）结合题意，分三种情况，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案(1)根据题意，该单位购买了16台这种手写板，花了：10900-140+6900-220=11680元故答案为：11680；该单位购买了x（x20）这种手写板，花了：10900-140+10900-220+x-20900-30

77、0=600x+2400元故答案为：600x+2400；(2)设该单位购买了x台手写板当0x10时，均价760元，不合题意；当10x20时，该单位花了：10900-140+x-10900-220=680x+800元680x800696xx50，x50和10x20矛盾，不符合题意，故舍去；当x20时，600x+2400=696xx25该单位购买了25台写字板【点睛】本题考查了有理数运算、代数式、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握代数式、一元一次方程的性质，从而完成求解【变式12.2】（2022江苏无锡七年级期末）元旦期间，某超市第一次用3800元购进了甲、乙两种商品，其中甲种商品40件，乙种

78、商品160件已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价贵5元甲种商品售价为20元/件，乙种商品售价为25元/件(1)甲、乙两种商品每件进价各多少元？(2)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完，可获得多少利润？(3)该超市第二次又购进同样数量的甲，乙两种商品，其中甲种商品每件的进价不变，乙种商品每件的进价少3元，甲种商品按原售价提价m%销售，乙种商品按原售价降价m%销售，如果第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多160元，求m的值【答案】(1)甲15元，乙20元(2)1000元(3)10【分析】(1) 设甲每件x元，乙每件y元，列出方程组y-x=540x+160y=38

79、00求解即可(2) 根据总利润=(甲售价-甲进价)甲商品数量+(乙售价-乙进价)乙商品数量(3) 根据题意，得4020(1+ m%)-15+ 16025(1- m%)-(20-3)=1000+160，解方程即可（1）设甲每件x元，乙每件y元，根据题意，得y-x=540x+160y=3800，解方程组，得x=15y=20，故甲、乙两种商品每件进价各15元、20元（2）根据题意，得总利润=(20-15)40+(25-20)160=1000(元)（3）根据题意，得4020(1+ m%)-15+ 16025(1- m%)-(20-3)=1000+160，解得m=10，故m的值为10【点睛】本题考查了二

80、元一次方程组的应用，一元一次方程的解法，销售问题，熟练掌握二元一次方程组的列法和解法是解题的关键【变式12.3】（2020江苏滨海县第一初级中学七年级阶段练习）甲、乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价20元，乒乓球每盒定价5元现两家商店搞促销活动：甲店的优惠办法是：每买一副乒乓球拍赠一盒乒乓球；乙店的优惠办法是：全部商品按定价的9折出售某班需购买乒乓球拍4副，乒乓球若干盒（不少于4盒）(1)当购买乒乓球的盒数为x盒时，在甲店购买需付款多少元？在乙店购买需付款多少元？（用含x的代数式表示）(2)当购买乒乓球盒数为多少盒时，两家费用相同？请计算说明【答案】(1)甲：（5x

81、+60）元，乙：（72+4.5x）元(2)当购买乒乓球的盒数为24盒时，两家费用相同【分析】（1）甲店需付费：4副乒乓球拍子费用+（x-4）盒乒乓球费用；乙店需付费：（4副乒乓球拍子费用+x盒乒乓球费用）0.9，把相关数值代入求解即可；（2）令（1）中所列的两个代数式相等，即可得到关于x的方程，解方程即可（1）解：在甲店购买需付款420+5(x-4)=（5x+60）元，在乙店购买需付款4200.9+5x0.9=（72+4.5x）元；（2）解：由题意得：5x+6072+4.5x，解得x24，所以，当购买乒乓球的盒数为24盒时，两家费用相同【点睛】此题考查了列代数式，以及一元一次方程的应用，得到两

82、个商店付费的关系式是解决本题的关键【考点13】一元一次方程的应用方案设计问题【例13】（2019秋石城县期末）海洋服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价300元，领带每条定价40元厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：买一套西装送一条领带；西装和领带定价打9折付款现有某客户要到该服装厂购买西装50套，领带x条（x50）（1）若该客户分别按两种优惠方案购买，需付款各多少元（用含x的式子表示）（2）若该客户购买西装50套，领带60条，请通过计算说明按哪种方案购买较为合算（3）请通过计算说明什么情况下客户分别选择方案和购买较为合算【分析】（1）根据题意可以分别用含x的代数式表示出两种付款的

83、金额；（2）将x60分别代入（1）中的代数式，然后比较大小，即可解答本题；（3）由题意得：40x+1300036x+13500，求得x125，然后分类讨论即可【解析】（1）第一种方案：40x+13000第二种方案36x+13500；（2）当x60时，方案一：4060+1300015400（元）方案二：3660+1350015660（元）因为1540015660所以，按方案一购买较合算（3）由题意得：40x+1300036x+13500，解得：x125当领带条数x125时，选择方案一更合适；当领带条数x125时，选择方案一和方案二一样；当领带条数x125时，选择方案二更合适【变式13.1】（20

84、22江苏泰州中学附属初中七年级期中）“双11”天猫商城推出各种优惠活动进行促销今年，张阿姨在“双11”到来之前准备在两家天猫店铺中选择一家购买原价均为1000元/条的被子若干条，店铺在活动期间分别给予以下优惠： A店铺：“双11”当天购买可以享受8折优惠；B店铺：商品每满1000元可使用店铺优惠券80元 同时每满500元可使用商城双11购物津贴券50元，同时“双11”当天购买还可立减100元(例如：购买2条被子需支付10002-802-504-100=1540元)(1)若张阿姨想在“双11”当天购买4条被子，她选择哪家店铺购买?请说明理由；(2)若张阿姨在“双11”当天购买a条被子，请分别用含

85、a的代数式表示在这两家店铺购买的费用；(3)张阿姨在双11当天购买几条被子，两家店铺的费用相同?【答案】(1)她选择B店铺购买，理由见解析(2)A店铺：800a元，B店铺：820a-100元(3)张阿姨在双11”当天购买5条被子，两家店铺的费用相同【分析】（1）分别计算出去两个店铺购买被子的费用即可得到答案；（2）根据两个店铺的优惠方案列出对应的代数式即可；（3）令（2）中所求的2个代数式相等得到关于a的方程，解方程即可【详解】（1）解：由题意得，去A店铺需付款：410000.8=3200元，去B店铺需付款：41000-804-850-100=3180元，32003180，她选择B店铺购买；（

86、2）解：由题意得，去A店铺需付款：1000a0.8=800a元，去B店铺需付款：1000a-80a-2a50-100=820a-100元；（3）解：由题意得800a=820a-100，解得a=5，答：张阿姨在双11当天购买5条被子，两家店铺的费用相同【点睛】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，有理数四则混合计算的应用，正确理解题意列出对应的式子是解题的关键【变式13.2】（2022江苏七年级专题练习）葡萄加工厂现收购10吨葡萄，该葡萄的出原汁率80%（原汁含皮带籽）.若在市场上直接销售原汁，每吨可获利润500元；制成葡萄汁（葡萄汁不含皮不带籽）销售，每加工1吨原汁可获利润1200元；制

87、成葡萄饮料销售，每加工1吨原汁可获利润2000元.该厂的生产能力是：若制葡萄汁，每天可加工3吨原汁；若制葡萄饮料，每天可加工1吨原汁；受人员和设备限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批葡萄必须在4天内全部销售或加工完毕.为此，该厂设计了两种可行方案：（将葡萄榨成原汁时间忽略不计）方案一：尽可能多的制成葡萄饮料，其余直接销售原汁；方案二：将一部分制成葡萄饮料，其余制成葡萄汁销售，并恰好4天完成.(1)方案一获利情况.(2)方案二如何安排原汁的使用.(3)请你帮葡萄加工厂选一种方案，使这10吨葡萄既能在4天内全部销售或加工完毕，又能获得你认为最多的利润.【答案】(1)10000（元）

88、；(2)2吨做制葡萄饮料，6吨做葡萄汁；(3)选择第二种方案【分析】（1）方案一是尽可能多的葡萄饮料，也就是四天都制葡萄饮料，每天加工一吨，可加工4吨，剩下的4吨原汁直接销售；（2）设x天制葡萄饮料，则4-x天制成葡萄汁销售，由此列出方程解答即可；（3）比较两种方案的利润得出答案即可【详解】（1）1080%=8吨，方案一获利42000+8-4500=10000（元）；（2）设x天制葡萄饮料，则4-x天制成葡萄汁销售，由题意得x+34-x=8，解得：x=2，4-x=2，21=2（吨），32=6（吨）答：2吨做制葡萄饮料，6吨做葡萄汁（3）方案二获利22000+61200=11200元，10000

89、11200，所以选择第二种方案【点睛】此题考查一元一次方程的实际运用，方案的选择问题，理解方案的含义，找出题目蕴含的数量关系解决问题【变式13.3】（2021江苏南通第一初中七年级阶段练习）某校计划购买20张书柜和一批书架（书架不少于20只），现从A、B两家超市了解到：同型号的产品价格相同，书柜每张210元，书架每只70元，A超市的优惠政策为每买一张书柜赠送一只书架，B超市的优惠政策为所有商品八折，设购买书架a只(1)若该校到同一家超市选购所有商品，则到A超市要准备_元货款，到B超市要准备_元货款（用含a的式子表示）；(2)在（1）的情况下，当购买多少只书架时，无论到哪一家超市所付货款都一样？

90、(3)假如你是本次购买的负责人，学校想购买20张书柜和100只书架，且可到两家超市自由选购，请你设计一种购买方案，使付款额最少，最少付款额是多少？【答案】(1)（70a+2800），（56a+3360）(2)购买40只书架时，无论到哪家超市所付货款都一样(3)第三种方案（到A超市购买20个书柜和20个书架，到B超市购买80只书架）所付款额最少，最少付款额为8680元【分析】（1）根据A、B两个超市的优惠政策即可求解；（2）由（1）和两家超市所付货款都一样可列出方程，再解即可；（3）去A超市买、去B超市买和去A超市购买20个书柜和20个书架，到B超市购买80只书架，三种情况讨论即可得出最少付款额

91、（1）解：根据题意得A超市所需的费用为：20210+70（a20）=70a+2800B超市所需的费用为：0.8（20210+70a）=56a+3360故答案为：（70a+2800），（56a+3360）（2）解：由题意得：70a+2800=56a+3360解得：a=40，答：购买40只书架时，无论到哪家超市所付货款都一样（3）解：学校购买20张书柜和100只书架，即a=100时；第一种方案：到A超市购买，付款为：20210+70（10020）=9800元；第二种方案：到B超市购买，付款为：0.8（20210+70100）=8960元；第三种方案：到A超市购买20个书柜和20个书架，到B超市购买

92、80只书架，付款为：20210+70（10020）0.8=8680元因为868089609800，所以第三种方案（到A超市购买20个书柜和20个书架，到B超市购买80只书架）所付款额最少，最少付款额为8680元【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列出方程【考点14】一元一次方程的应用分段计费问题【例14】（2020秋天宁区校级期中）为鼓励人们节约用水，某市居民生活用水实行“阶梯水价”收费，具体体收费标准见下表：每户每月用水量水的价格（单位：元/吨）不超过20吨的部分1.6超过20吨且不超过30吨的部分2.4超过30吨的部分3.3例：某用户1月份

93、用水25吨，应缴水费1.620+2.4（2520）44（元）（1）若张红家5月份用水量为10吨，则该月需缴交水费16元；（2）若张红家6月份缴交水费62.6元，则该月用水量为32吨；（3）若张红家7月份用水量为a吨（a30），请计算该月需缴交水费多少元？（用含a的代数式表示）【分析】（1）判断得到10吨为20吨以下，由表格中的水价计算即可得到结果；（2）判断得到6月份用水量超过30吨，设为x吨，根据水费列出方程，求出方程的解即可得到结果；（3）根据a的范围，按照超过30吨的部分收费方式，计算即可得到结果【解析】（1）1020，该月需缴水费为101.616（元）；故答案为：16；（2）设该月用水

94、量为x吨，经判断x30，根据题意得：201.6+102.4+（x30）3.362.6，解得：x32故该月用水量为32吨故答案为：32；（3）201.6+102.4+（a2010）3.33.3a43（元）答：该月需缴交水费（3.3a43）元【变式14.1】（2022江苏苏州工业园区星湾学校七年级期中）某通讯公司推出以下收费套餐，甲选择了套餐A，乙选择了套餐B，设甲的通话时间为t1分钟，乙的通话时间为t2分钟月租费（元/月）不加收通话费时限（分）超时加收通话费标准（元/分）套餐A581500.3套餐B883500.3(1)请用含t1t1150、t2t2350的代数式表示甲和乙的通话费用；(2)若甲

95、9月份通话时间为390分钟，乙通话费用和甲相同，求乙通话时间；(3)若甲和乙在10月份通话时间和通话费用都一样，则通话时间为_【答案】(1)(0.3t1+13)元，(0.3t2-17)元；(2)490分钟；(3)250分钟【分析】（1）利用通话费用=月租费+超时加收通话费标准超时的时间，即可用含t1、t2的代数式表示出甲和乙的通话费用；（2）根据甲、乙的通话费用相同，即可得出关于t2的一元一次方程，解之即可；（3）当t1=t2时，设甲、乙的通话时间均为t分钟，分为0t150， 150t350，t350三种情况讨论，即可得出关t的一元一次方程，解之即可【详解】（1）解：依题意得：甲的通话费用为5

96、8+0.3(t1-150)=(0.3t1+13)元，乙的通话费用为88+0.3(t2-350)=(0.3t2-17)元，（2）解：依题意得：0.3t2-17=0.3390+13，解得t2=490，答：乙的通话时间为490分钟（3）解：当t1=t2时，设甲、乙的通话时间均为t分钟，当0t150时，甲的费用为58元，乙的费用为88元，不符合题意；当150t350时，0.3t+13=88，解得t=250；当 t350时，0.3t+13=0.3t-17，无解；甲和乙在10月份通话时间和通话费用都一样，则通话时间为250分钟，故答案为：250分钟【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关

97、键是要读懂题意找出等量关系才能正确列出方程【变式14.2】（2022江苏七年级专题练习）某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表：档次月用电量电价（元/度）第1档不超过240度的部分a第2档超过240度但不超过400度的部分0.65第3档超过400度的部分a+0.3已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元；9月份老李家交电费157元(1)表中a的值为；(2)求老李家9月份的用电量；(3)若8月份老李家用电的平均电价为0.7元/度，求老李家8月份的用电量【答案】(1)0.6(2)260度(3)560度【分析】（1）利用电费=电价月用电量，即可得出关于a的一元一次方程，解之

98、即可求出a的值；（2）设老李家9月份的用电量为x度，先求出月用电量为240度时的电费，由该值小于157，可得出x240，再利用电费=144+0.65超过240度的部分，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（3）设老李家8月份的用电量为y度，根据8月份老李家用电的平均电价为0.7元/度，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论【详解】（1）依题意得：200a=120，解得：a=0.6故答案为：0.6；（2）设老李家9月份的用电量为x度，0.6240=144（元），144157，x240依题意得：144+0.65（x-240）=157，解得：x=260答：老李家9月份的用电量为2

99、60度（3）设老李家8月份的用电量为y度，依题意得：144+0.65（400-240）+（0.6+0.3）（y-400）=0.7y，解得：y=560答：老李家8月份的用电量为560度【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键【变式14.3】（2022江苏七年级专题练习）国家提倡节能减排，创造节约型社会，某城市提出实施居民生活用水年度阶梯水价，具体水价标准见下表：类别水费价格（元/立方米）污水处理费（元/立方米）综合水价（元/立方米）第一阶梯120（含）立方米3.51.55第二阶梯120180（含）立方米5.251.56.75第三阶梯180立方米10.5

100、1.512例如，某户家庭年用水128立方米，应缴纳水费：1205+128-1206.75=654（元）(1)小明家2019年共用水160立方米，则应缴纳水费多少元？(2)小敏家2019年共用水a立方米（a180），请用含a的代数式表示应缴纳的水费(3)小慧家2019年，2020年两年共用水360立方米，已知2020年的年用水量少于2019年的年用水量，且2020年的年用水量高于120立方米，两年共缴纳水费2220元，求小慧家这两年的年用水量分别是多少？（列一元一次方程求解）【答案】(1)870元(2)12a-1155元(3)小慧家2019年用水220立方米，2020年用水140立方米【分析】（

101、1）根据表格中规定的分段计算方法列式计算可得；（2）利用总价=单价数量，结合阶梯水价，即可得出结论；（3）设2019年用水x立方米，则2020年用水（360-x）立方米根据两年共缴纳水费2220元即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论【详解】（1）解：小明家2019年应缴纳水费为：1205+160-1206.75=870（元）；（2）解：小敏家2019年共用水a立方米a180，则应缴纳的水费为：1205+180-1206.75+12a-180=12a-1155元；（3）解：设小慧家2019年用水x立方米，则2020年用水360-x立方米，则360-x120，解得180x240，1203

102、60-x180,根据题意得：1205+180-1206.75+12x-180+1205+360-x-1206.75=2220解得：x=2202020年用水量：360-220=140（立方米）答：小慧家2019年用水220立方米，2020年用水140立方米【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程【考点15】一元一次方程的应用与数轴问题【例15】（2020秋滨湖区期中）如图，一把长度为5个单位的直尺AB放置在如图所示的数轴上（点A在点B左侧），点A、B、C表示的数分别是a、b、c，若b、c同时满足：cb3；（b6）x|b5|+30是关于x的一

103、元一次方程（1）a ，b，c（2）设直尺以2个单位/秒的速度沿数轴匀速向右移动，同时点P从点A出发，以m个单位/秒的速度也沿数轴匀速向右移动，设运动时间为t秒若B、P、C三点恰好在同一时刻重合，求m的值；当t1时，B、P、C三个点中恰好有一个点到另外两个点的距离相等，请直接写出所有满足条件的m的值【分析】（1）根据已知条件和一元一次方程的定义可求b、c，进一步得到a；（2）根据B、C两点恰好在同一时刻重合，可得关于x的方程，解方程求出x，再根据B、P、C三点恰好在同一时刻重合，可得关于m的方程，解方程求出m的值；分五种情况进行讨论可求所有满足条件的m的值【解析】（1）依题意有c-b=3b-5=

104、1b-60，解得b4，c7，则a451故答案为：1，4，7；（2）BC3，AC8，当B、C重合时，依题意有2t3，解得t=32，依题意有32m8，解得m=1637421，当B是P、C中点时，依题意有5+2m1，解得m6；当B与P重合时，依题意有m25，解得m7；当P是B、C中点时，依题意有m125+2，解得m7.5；当P与C重合时，m7（1）8；当C是P、B中点时，依题意有m17（1），解得m9综上所述，m6或7或7.5或8或9【变式15.1】（2022江苏泰州中学附属初中七年级期中）如图，点A、B和线段MN都在数轴上，点A、M、N、B对应的数字分别为-1、0、2、11 线段MN沿数轴的正方向

105、以每秒1个单位的速度移动，移动时间为t秒(1)用含有t的代数式表示AM的长为 (2)当AM+BN=12时，求t的值；(3)若点A、B与线段MN同时移动，点A以每秒2个单位速度向数轴的正方向移动，点B以每秒1个单位的速度向数轴的负方向移动，在移动过程，AM和BN可能相等吗?若相等，请求出t的值，若不相等，请说明理由【答案】(1)t+1(2)t=10(3)t=103或t=8【分析】（1）先表示出运动t秒后M表示的数，再根据数轴上两点距离公式求解即可；（2）先表示出运动t秒后点N表示的数，进而表示出BN，再根据AM+BN=12建立方程求解即可；（3）分别求出运动t秒后A、B、M、N表示的数，然后求出

106、AM、BN，据此建立方程求解即可【详解】（1）解：由题意得，运动t秒后点M表示的数为t，AM=t-1=t+1，故答案为：t+1；（2）解：由题意得，运动t秒后点N表示的数为t+2，BN=11-t+2=9-t，AM+BN=12，t+1+9-t=12，9-t=11-t，9-t=t-11或9-t=11-t（舍去），解得t=10；（3）解：在移动过程，AM和BN可能相等，理由如下：由题意得，运动t秒后点A表示的数为2t-1，点B表示的数为11-t，点M表示的数为t，点N表示的数为t+2，则AM=2t-1-t=t-1，BN=11-t-t-2=9-2t，AM=BN，t-1=9-2t，t-1=9-2t或t-

107、1=2t-9，解得t=103或t=8【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，绝对值方程，一元一次方程的应用，熟知数轴上的两点距离公式是解题的关键【变式15.2】（2022江苏无锡市江南中学七年级期中）如图，数轴上有A、B、C、D四点，点D对应的数为x，已知OA5，OB3，CD2，P、Q两点同时从原点O出发，沿着数轴正方向分别以每秒钟a和b个单位长度的速度运动，且ab点Q到点D后立即朝数轴的负方向运动，速度不变，在点C处与点P相遇，相遇后点P也立即朝着数轴的负方向运动,且P点的速度变为2a，Q点的速度不变.(1)P、Q两点相遇时，点P前进的路程为 ；Q、P两点相遇前的速度比ba= ；（用含有x的

108、式子表示）(2)若点B为线段AD的中点，此时，点D表示的数x= ；相遇后，当点P到达点A处时，点Q在原点O的 (填“左”或“右”)侧，并求出此时点Q在数轴上所表示的数字；(3)在（2）的条件下，当点P到达点A处时，立即掉头朝数轴的正方向运动，速度变为3a，点Q的速度始终不变，这两点在点M处第二次相遇，则点M在数轴上所表示的数字为 【答案】(1)x-2；x+2x-2；(2)11；左，-109；(3)-198【分析】（1）表示线段OC即可，因为运动时间相同，速度比等于路程比，可求ba；（2）利用中点分线段相等求出此时的x，求出ba的准确值，求出b2a也就是路程比，从而可求OQ，确定点Q的位置，和表

109、示的数；（3）确定Q和P相向而行的总路程PQ=-109-5=359，再由时间相同时，路程比等于速度比可知MQPQ=1327设未知数列方程求解即可【详解】（1）解：OC=OD-CD=x-2；因为运动时间相同，速度比等于路程比，所以ba=OD+DCOD-DC=x+2x-2；（2）解：点B为线段AD的中点，BD=AB=8，OD=OB+BD=11，点D表示的数为11； 当x=11时，ba=11+211-2=139，b2a=1318，CQAC=1318，即CQ14=1318，CQ=919，OQ=CQ-OC=919-8=109，点Q在原点O的左侧，且Q表示数-109；（3）解：当P从A处掉头时，PQ=-1

110、09-5=359，此时Q与P的速度比为b3a=1327，路程比也是MQPM=1327，设Q走的路程MQ为13m，P走的路程为27m，则13m+27m=359，m=772，MQ=9172，MO=MQ+OQ=9172+109=199，点M表示-198【点睛】本题考查在路程问题背景下，根据数轴上点值会表示线段的长，点的运动路程即为线段的长，善于利用速度公式，运动时间相同的情况下，速度比=路程比【变式15.3】（2022江苏无锡七年级期中）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，AB表示A点和B点之间的距离，且a、b满足|a+2|+(b+3a)2=0(1)求A、B两点之间的距离是_；(2)若点D，E

111、，F，G是线段AB上从左到右的四个点，并且AD=DE=EF=FG=GB计算与点F所表示的数最接近的整数是_；(3)若一小球甲在数轴上从点A处以1个单位/秒的速度向右运动，同时另一小球乙从点B处以7个单位/秒的速度向左运动，当甲乙两小球开始运动时，立即在点P和点B处各放一块挡板，其中点P所表示的数为-1，当球在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒），问：t为何值时，甲、乙两小球之间的距离为4【答案】(1)8(2)3(3)12或32或83或134或5【分析】（1）根据非负数的性质得|a+2|=0，(b+3a)2=0，求出a、b的值，再求AB的长即

112、可；（2）根据AD=DE=EF=FG=GB求出AF之间的距离，根据AF之间的距离即可求出F点所表示的数，进而得到答案；（3）先求出AP、BP的长，再确定t的取值范围，再按t的取值范围分类讨论，分别列方程求出t的值并进行检验，得出正确结果【详解】（1）解：|a+2|0，(b+3a)20，且|a+2|+(b+3a)2=0，|a+2|=0，(b+3a)2=0，a+2=0，b+3a=0，a=-2，b-6=0，b=6，AB=6-(-2)=8故答案为：8；（2）解：AB=8，AD=AB5=85=1.6，AF=3AD=4.8，点F对应的有理数为-2+4.8=2.8，所以与点F最接近的整数是3；（3）解：点A

113、、P、B表示的数是-2、-1、6，PA=-1-(-2)=1，PB=6-(-1)=7，甲到达点P时，则t=1；乙第一次到达点P时，则7t=7，解得t=1，当t=1时，甲、乙同时到达点P，此时甲、乙之间的距离是04，当甲与点P的距离为4时，则t-1=4，解得t=5，t的取值范围是0t5，当0t1时，则t+7t+4=8，解得t=12；当1t2时，则t+7t-4=8，解得t=32；当2t3时，则t-1+(73-7t)=4，解得t=83；当3t4时，则t-1+(7t-73)=4，解得t=134；当4t5时，则t-1+(75-7t)=4，解得t=5，综上所述，当t的值为12或32或83或134或5时，甲、乙两小球之间的距离为4【点睛】此题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题、数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题的求解等知识与方法，解第（3）题时，弄清甲球、乙球运动的方向和时间并且正确地用代数式表示甲、乙两球之间的距离是解题的关键